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广东佛山市顺德德胜学校2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试题
1．若复数为纯虚数，则实数的值为（　　）
A．2 B．2或 C． D．
【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为复数为纯虚数，
所以
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而建立关于a的方程组，从而得出实数a的值。
2．已知向量，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
若，则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.
3．在中，，，则角A的大小为（　　）
A． B．或 C． D．或
【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由题意知中，，，
故，即，
因为，故，则或，
故角A的大小为或.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理得出角C的值，再根据三角形内角和定理得出角A的值.
4．已知，为不共线的非零向量，，，，则（　　）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
【答案】B
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】，为不共线的非零向量，，，，
则，，
因，则与不共线，，，三点不共线，A不正确；
因，即与共线，且有公共点B，则，，三点共线，B符合题意；
因，则与不共线，，，三点不共线，C不正确；
因，则与不共线，，，三点不共线，D不正确.
故答案为：B
【分析】根据向量的共线定理，逐项进行判断，可得答案.
5．要得到函数y=sin(2x+)的图像，只需把函数y=sin2x的图像
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：目标函数可转化为，则只需将向左平移个单位.
故答案为：B.【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可.
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得①，
②，
①+②得：，即，解得，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】将等式分别平方再相加，根据正弦的两角差公式求得，再根据三角函数的基本关系求解即可.
7．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，
由正弦定理可得，
，
，
即，
即，解得或，
当时，又，，所以或（舍），
则为等腰三角形；
当时，又因为，所以，则为直角三角形，
综上所述，为等腰或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理，结合三角形的内角和定理以及诱导公式、两角和的正弦公式化简求解判断即可.
8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：因为是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，
又，
，
则，即，
设，
则
又，则时，取最小值.
故答案为：C.
【分析】由余弦定理得到，根据数量积的定义求得，设，再根据向量的线性运算和数量积的运算律可得，然后利用二次函数求最值即可．
9．下列有关复数的叙述正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则的虚部为
C．若，则 D．若，则
【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A，，则，故A正确；
对于B，，则的虚部为，故B不正确；
对于C，设，由得，所以，故C正确；
对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据复数的运算及相关概念可判断ABC；对于D，由复数的几何意义可知复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，进而可得.
10．已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（　　）
A．若，则为锐角三角形
B．若是的重心，则
C．若为的垂心，，则
D．若分别表示的面积，则
【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算；三角形五心
【解析】【解答】解：对于A，由，则，即，
所以仅仅只可得一个角为锐角，故A错误；
对于B，由题意可作图如下：
则为的中点，且，所以，故B正确；
对于C，由题意可作图如下：
则，所以，故C正确；
对于D，由题意可作图如下：
则分别为的中点，，
可得为上靠近的三等分点，易知，即，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，仅能判定，其他角不能确定；对于B，根据重心的性质结合向量的线性运算即可求解；对于C，根据数量积的定义即可判断；对于D，由向量线性运算可得为上靠近的三等分点，进而得到即可.
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可以得到的图象
C．函数的图象关于点中心对称
D．若函数在有且仅有4个零点，则的取值范围是
【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由图像可知，振幅；最高点横坐标为，相邻零点横坐标为，
因此，最小正周期，则；
将代入，得，
即，结合得，因此，
选项A：的最小正周期，A正确；
选项B：将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），横坐标变换为，
代入得：，B正确；
选项C：将代入：
，
因此不是对称中心，C错误；
选项D：，
当时，，
要求有且仅有4个零点需满足：，解得，D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据函数图象可确定，结合正弦型函数的性质及平移变换可判断ABC；对于D，，再利用整体法可知，然后求解即可.
12．已知，，则在方向上的投影向量为　 　（用坐标表示）
【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，所以在方向上的投影向量为.
故答案为：
【分析】由在方向上的投影向量为进行求解．
13．已知，则=　 　.
【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题可得：，
所以
故答案为：
【分析】由题可知，再根据复数的除法运算及模长公式求解.
14．如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为　 　 　 　.
【答案】；
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，
根据正弦定理，代入，，，
得，解得；
在中，，，，
所以，且，
在中，利用余弦定理，
代入得，则.
故答案为：.
【分析】在中，利用正弦定理求得，在中求得以及，再在中，利用余弦定理求解即可.
15．已知平面向量．
（1）若，求的坐标和；
（2）若，与共线，求实数m的值；
（3）若在上的投影的数量为2，求．
【答案】（1）解：向量，则，
即；
（2）解：因为，所以
因为与共线，所以，即；
（3）解：因为在上的投影的数量为2，，所以，
则．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）根据向量加法的坐标表示，结合向量模的坐标表示求解即可；
（2）根据向量共线的坐标表示列式求解即可；
（3）根据投影的定义，结合向量数量积的运算求解即可.
（1）因为，
所以，
从而．
（2）因为，所以
因为与共线，所以，即．
（3）因为在上的投影的数量为2，，所以，
所以．
16．已知中，分别为内角的对边，且，
（1）求角的大小；
（2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
【答案】（1）解：在中，由正弦定理及得：，
化简可得：，
由余弦定理得，
又，所以
（2）解： 是的角平分线，则，
由可得
因为，，即有，
故.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再通过余弦定理求解角。
(2)根据角平分线的性质，结合三角形面积的拆分（的面积等于与的面积和），建立关于的方程求解。
（1）在中，由正弦定理及得：，
化简可得：，
由余弦定理得，
又，所以
（2） 是的角平分线，则，
由可得
因为，，即有，
故.
17．石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米．
（1）求该石凳的体积；
（2）求该石凳的表面积（不包含底面）．
【答案】（1）解：由题意可得正方体的体积立方厘米，
四面体的体积立方厘米，
则该石凳的体积立方厘米；
（2）解：由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形IJKL是边长为厘米的正方形，
则的面积平方厘米，
正方形的面积平方厘米，
五边形的面积平方厘米，
故该石凳的表面积平方厘米．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用割补法求体积即可；
（2）根据题意，该石凳表面由四个三角形，一个正方形及四个五边形组成，再分别求出对应面积相加即可.
（1）由题意可得正方体的体积立方厘米，
四面体的体积立方厘米，
则该石凳的体积立方厘米
（2）由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形IJKL是边长为厘米的正方形，
则的面积平方厘米，
正方形的面积平方厘米，
五边形的面积平方厘米，
故该石凳的表面积平方厘米．
18．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．
【答案】（1）解：
，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）解：令，因为，所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为，，所以，
所以当时，取得最大值，
即，则，
则在区间上的最大值为，最小值为.
（3）解：函数的图象向左平移个单位得，
纵坐标伸长为原来的2倍得，
所以，
令，即，
所以或，
即或，
又，所以只能取，所以或或或，
即函数在上的零点为，
所以函数在上所有零点之和为.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变形化简可得，再利用整体法求单调区间即可；
（2）利用整体法求正弦型函数的最值即可；
（3）由三角函数平移变换可得，再求零点即可．
（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）令，因为，所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为，，所以，
所以当时，取得最大值，
即，则，
则在区间上的最大值为，最小值为.
（3）函数的图象向左平移个单位得，
纵坐标伸长为原来的2倍得，
所以，
令，即，
所以或，
即或，
又，所以只能取，所以或或或，
即函数在上的零点为，
所以函数在上所有零点之和为.
19．在面积为的中，内角，所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的周长；
（3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围.
【答案】（1）解：由正弦定理，得，
所以，
则，
由余弦定理，得，
因为，
所以.
（2）解：由余弦定理，则，
所以，
因为，
由已知条件知，
所以，则，
所以，则.
所以周长为.
（3）解：由，
可得：
由正弦定理，得，
则，
所以
由为锐角三角形，可得，，
解得：，
则，，
所以，
则面积的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再利用余弦定理和三角形中角C的取值范围，从而求出角的值.
（2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，再利用已知条件和三角形的周长公式，从而得到三角形的周长.
（3）利用正弦定理将边用角表示，再利用三角恒等变换以及正弦函数的性质计算可得.
（1）由正弦定理得，所以，
所以，由余弦定理，，
因，则.
（2）由余弦定理，，即，
又，由条件知，所以，
所以，，.
所以周长为.
（3）由可得：
由正弦定理，，即得：，
则
由为锐角三角形可得，，解得：，
则，，故得，
即面积的取值范围为.
1 / 1广东佛山市顺德德胜学校2025-2026学年第二学期高一期中考试数学试题
1．若复数为纯虚数，则实数的值为（　　）
A．2 B．2或 C． D．
2．已知向量，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在中，，，则角A的大小为（　　）
A． B．或 C． D．或
4．已知，为不共线的非零向量，，，，则（　　）
A．，，三点共线 B．，，三点共线
C．，，三点共线 D．，，三点共线
5．要得到函数y=sin(2x+)的图像，只需把函数y=sin2x的图像
A．向左平移个单位 B．向左平移个单位
C．向右平移个单位 D．向右平移个单位
6．已知，则（　　）
A． B． C． D．
7．在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，且，则的形状为（　　）
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形
8．如图，是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，若，点M为线段上的动点，则的最小值为（　　）
A． B． C． D．
9．下列有关复数的叙述正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则的虚部为
C．若，则 D．若，则
10．已知分别是三个内角的对边，点是内部的一个点，下列四个命题中正确的是（　　）
A．若，则为锐角三角形
B．若是的重心，则
C．若为的垂心，，则
D．若分别表示的面积，则
11．已知函数的部分图象如图所示，下列说法正确的是（　　）
A．函数的最小正周期为
B．函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的两倍，纵坐标不变，可以得到的图象
C．函数的图象关于点中心对称
D．若函数在有且仅有4个零点，则的取值范围是
12．已知，，则在方向上的投影向量为　 　（用坐标表示）
13．已知，则=　 　.
14．如图，风景秀美的宝湖畔有四棵高大的银杏树，记作，湖岸部分地方围有铁丝网不能通过.欲测量两棵树和两棵树之间的距离，现可测得两点间的距离为，.则两棵树和两棵树之间的距离分别为　 　 　 　.
15．已知平面向量．
（1）若，求的坐标和；
（2）若，与共线，求实数m的值；
（3）若在上的投影的数量为2，求．
16．已知中，分别为内角的对边，且，
（1）求角的大小；
（2）设点为上一点，是的角平分线，且，求的长度．
17．石凳是以天然石材或人造石为原料制作的凳椅，是一种常见的户外休闲设施．如图，这是某广场的石凳直观图，它是由正方体截去四面体，，，得到的，其中均为各棱的中点，且厘米．
（1）求该石凳的体积；
（2）求该石凳的表面积（不包含底面）．
18．已知函数．
（1）求的单调递增区间；
（2）求在区间上的最大值和最小值；
（3）将函数的图象先向左平移个单位，再将纵坐标伸长为原来的2倍，得到函数的图象，求函数在上所有零点之和．
19．在面积为的中，内角，所对的边分别为，且.
（1）求角；
（2）若，求的周长；
（3）若为锐角三角形，且边上的高为2，求面积的取值范围.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】复数的基本概念
【解析】【解答】解：因为复数为纯虚数，
所以
故答案为：C.
【分析】利用已知条件结合复数为纯虚数的判断方法，进而建立关于a的方程组，从而得出实数a的值。
2．【答案】B
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：向量，，
若，则，解得.
故答案为：B.
【分析】根据向量垂直的坐标表示求解即可.
3．【答案】D
【知识点】正弦定理
【解析】【解答】解：由题意知中，，，
故，即，
因为，故，则或，
故角A的大小为或.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理得出角C的值，再根据三角形内角和定理得出角A的值.
4．【答案】B
【知识点】共线（平行）向量
【解析】【解答】，为不共线的非零向量，，，，
则，，
因，则与不共线，，，三点不共线，A不正确；
因，即与共线，且有公共点B，则，，三点共线，B符合题意；
因，则与不共线，，，三点不共线，C不正确；
因，则与不共线，，，三点不共线，D不正确.
故答案为：B
【分析】根据向量的共线定理，逐项进行判断，可得答案.
5．【答案】B
【知识点】函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换
【解析】【解答】解：目标函数可转化为，则只需将向左平移个单位.
故答案为：B.【分析】根据三角函数图象的平移变换判断即可.
6．【答案】A
【知识点】两角和与差的正弦公式；同角三角函数间的基本关系
【解析】【解答】解：由，
可得①，
②，
①+②得：，即，解得，
因为，所以.
故答案为：A.
【分析】将等式分别平方再相加，根据正弦的两角差公式求得，再根据三角函数的基本关系求解即可.
7．【答案】D
【知识点】两角和与差的正弦公式；三角函数诱导公式二~六；正弦定理的应用；三角形的形状判断
【解析】【解答】解：，
由正弦定理可得，
，
，
即，
即，解得或，
当时，又，，所以或（舍），
则为等腰三角形；
当时，又因为，所以，则为直角三角形，
综上所述，为等腰或直角三角形.
故答案为：D.
【分析】利用正弦定理，结合三角形的内角和定理以及诱导公式、两角和的正弦公式化简求解判断即可.
8．【答案】C
【知识点】平面向量的数量积运算；向量在几何中的应用；解三角形
【解析】【解答】解：因为是由三个全等的钝角三角形和一个小的正三角形拼成一个大的正三角形，
又，
，
则，即，
设，
则
又，则时，取最小值.
故答案为：C.
【分析】由余弦定理得到，根据数量积的定义求得，设，再根据向量的线性运算和数量积的运算律可得，然后利用二次函数求最值即可．
9．【答案】A,C,D
【知识点】复数的基本概念；复数代数形式的乘除运算；复数的模；共轭复数
【解析】【解答】解：对于A，，则，故A正确；
对于B，，则的虚部为，故B不正确；
对于C，设，由得，所以，故C正确；
对于D，若，则复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，这个圆上的点到原点的距离最小值为0，最大值为2，所以，D正确.
故答案为：ACD.
【分析】根据复数的运算及相关概念可判断ABC；对于D，由复数的几何意义可知复数对应的点在以为圆心，1为半径的圆上，进而可得.
10．【答案】B,C,D
【知识点】平面向量数乘的运算；平面向量的数量积运算；三角形五心
【解析】【解答】解：对于A，由，则，即，
所以仅仅只可得一个角为锐角，故A错误；
对于B，由题意可作图如下：
则为的中点，且，所以，故B正确；
对于C，由题意可作图如下：
则，所以，故C正确；
对于D，由题意可作图如下：
则分别为的中点，，
可得为上靠近的三等分点，易知，即，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】对于A，仅能判定，其他角不能确定；对于B，根据重心的性质结合向量的线性运算即可求解；对于C，根据数量积的定义即可判断；对于D，由向量线性运算可得为上靠近的三等分点，进而得到即可.
11．【答案】A,B,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式；函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由图像可知，振幅；最高点横坐标为，相邻零点横坐标为，
因此，最小正周期，则；
将代入，得，
即，结合得，因此，
选项A：的最小正周期，A正确；
选项B：将横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），横坐标变换为，
代入得：，B正确；
选项C：将代入：
，
因此不是对称中心，C错误；
选项D：，
当时，，
要求有且仅有4个零点需满足：，解得，D正确.
故答案为：ABD
【分析】根据函数图象可确定，结合正弦型函数的性质及平移变换可判断ABC；对于D，，再利用整体法可知，然后求解即可.
12．【答案】
【知识点】平面向量数量积的坐标表示；平面向量的投影向量
【解析】【解答】解：因为，，所以在方向上的投影向量为.
故答案为：
【分析】由在方向上的投影向量为进行求解．
13．【答案】
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由题可得：，
所以
故答案为：
【分析】由题可知，再根据复数的除法运算及模长公式求解.
14．【答案】；
【知识点】解三角形；解三角形的实际应用
【解析】【解答】解：在中，，
根据正弦定理，代入，，，
得，解得；
在中，，，，
所以，且，
在中，利用余弦定理，
代入得，则.
故答案为：.
【分析】在中，利用正弦定理求得，在中求得以及，再在中，利用余弦定理求解即可.
15．【答案】（1）解：向量，则，
即；
（2）解：因为，所以
因为与共线，所以，即；
（3）解：因为在上的投影的数量为2，，所以，
则．
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角；平面向量的数量积运算；平面向量的投影向量
【解析】【分析】（1）根据向量加法的坐标表示，结合向量模的坐标表示求解即可；
（2）根据向量共线的坐标表示列式求解即可；
（3）根据投影的定义，结合向量数量积的运算求解即可.
（1）因为，
所以，
从而．
（2）因为，所以
因为与共线，所以，即．
（3）因为在上的投影的数量为2，，所以，
所以．
16．【答案】（1）解：在中，由正弦定理及得：，
化简可得：，
由余弦定理得，
又，所以
（2）解： 是的角平分线，则，
由可得
因为，，即有，
故.
【知识点】解三角形；正弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】(1)利用正弦定理将角的关系转化为边的关系，再通过余弦定理求解角。
(2)根据角平分线的性质，结合三角形面积的拆分（的面积等于与的面积和），建立关于的方程求解。
（1）在中，由正弦定理及得：，
化简可得：，
由余弦定理得，
又，所以
（2） 是的角平分线，则，
由可得
因为，，即有，
故.
17．【答案】（1）解：由题意可得正方体的体积立方厘米，
四面体的体积立方厘米，
则该石凳的体积立方厘米；
（2）解：由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形IJKL是边长为厘米的正方形，
则的面积平方厘米，
正方形的面积平方厘米，
五边形的面积平方厘米，
故该石凳的表面积平方厘米．
【知识点】棱柱/棱锥/棱台的侧面积、表面积及应用；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用割补法求体积即可；
（2）根据题意，该石凳表面由四个三角形，一个正方形及四个五边形组成，再分别求出对应面积相加即可.
（1）由题意可得正方体的体积立方厘米，
四面体的体积立方厘米，
则该石凳的体积立方厘米
（2）由题意可得，，，均为边长为厘米的等边三角形，四边形IJKL是边长为厘米的正方形，
则的面积平方厘米，
正方形的面积平方厘米，
五边形的面积平方厘米，
故该石凳的表面积平方厘米．
18．【答案】（1）解：
，
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）解：令，因为，所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为，，所以，
所以当时，取得最大值，
即，则，
则在区间上的最大值为，最小值为.
（3）解：函数的图象向左平移个单位得，
纵坐标伸长为原来的2倍得，
所以，
令，即，
所以或，
即或，
又，所以只能取，所以或或或，
即函数在上的零点为，
所以函数在上所有零点之和为.
【知识点】正弦函数的性质；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的值域与最值；辅助角公式
【解析】【分析】（1）利用三角恒等变形化简可得，再利用整体法求单调区间即可；
（2）利用整体法求正弦型函数的最值即可；
（3）由三角函数平移变换可得，再求零点即可．
（1），
令，解得，
所以的单调递增区间为；
（2）令，因为，所以，
函数在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，取得最小值，
因为，，所以，
所以当时，取得最大值，
即，则，
则在区间上的最大值为，最小值为.
（3）函数的图象向左平移个单位得，
纵坐标伸长为原来的2倍得，
所以，
令，即，
所以或，
即或，
又，所以只能取，所以或或或，
即函数在上的零点为，
所以函数在上所有零点之和为.
19．【答案】（1）解：由正弦定理，得，
所以，
则，
由余弦定理，得，
因为，
所以.
（2）解：由余弦定理，则，
所以，
因为，
由已知条件知，
所以，则，
所以，则.
所以周长为.
（3）解：由，
可得：
由正弦定理，得，
则，
所以
由为锐角三角形，可得，，
解得：，
则，，
所以，
则面积的取值范围为.
【知识点】两角和与差的正弦公式；含三角函数的复合函数的值域与最值；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理将角的关系化为边的关系，再利用余弦定理和三角形中角C的取值范围，从而求出角的值.
（2）先由三角形面积公式求出的值，再结合余弦定理求出的值，再利用已知条件和三角形的周长公式，从而得到三角形的周长.
（3）利用正弦定理将边用角表示，再利用三角恒等变换以及正弦函数的性质计算可得.
（1）由正弦定理得，所以，
所以，由余弦定理，，
因，则.
（2）由余弦定理，，即，
又，由条件知，所以，
所以，，.
所以周长为.
（3）由可得：
由正弦定理，，即得：，
则
由为锐角三角形可得，，解得：，
则，，故得，
即面积的取值范围为.
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