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《圆》的计算专题
一、解答题：本题共18小题，共144分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
如图，，分别与相切于点，，且与相交于点，过点作，交的延长线于点其中，．
求证：；
求的半径．
【答案】证明：如图，连接，
、分别与相切于点、，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
又，
，

【解析】证明：如图，连接，
、分别与相切于点、，
，，
，
在和中，
，
≌，
，
，
，
，，
又，
，
；
解：，，
∽，
，即，
，
，
在中，，
，，
∽，
，即，
，即的半径为．
连接，由切线的性质容易证明≌，则，由等角的余角相等可证明，因此；
容易证明∽，则，，利用勾股定理计算得，最后通过∽计算出即可．
本题考查了圆周角定理，切线的性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等，正确作出辅助线是解题的关键．
2.本小题分
如图，点是的内心，连接并延长交的外接圆于点，与交于点，连接．
设，则______；用含的式子表示
求证：；
若，，求的长．
【答案】
连接，
点是的内心，
，
，
，
，，
，
的长是
【解析】解：点是的内心，连接并延长交的外接圆于点，
平分，
，
，
，
，
故答案为：
证明：连接，
点是的内心，
，
，
，
，，
，
．
解：，，
，，
，，
，
，
∽，
，
，
的长是．
由点是的内心，得，由圆周角定理得，所以，于是得到问题的答案．
连接，则，而，所以，则．
由，，得，，由，，推导出，而，所以∽，则，求得．
此题重点考查三角形的内切圆与内心、三角形的外接圆与外心、圆周角定理、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、等腰三角形的判定、相似三角形的判定与性质等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
3.本小题分
如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于．
求证：是的切线；
若，，求的半径长．
【答案】如图，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线

【解析】证明：如图，连接，则，
，
，
，
，
，
，
，
，
为半径，
是的切线；
解：如图，连接，过点作于，
，，
四边形是矩形，
，
，
在中，由勾股定理得：，
的半径长为．
如图，连接，则，易证，从而得到，进而求得，再根据切线定义即可证明结论；
如图，连接，过点作于，易证四边形是矩形，则，利用垂径定理可得，在中，最后利用勾股定理求解即可．
本题主要考查了切线的判定与性质，圆周角定理，勾股定理，垂径定理，矩形的判定与性质，熟练掌握切线的判定与性质是解答本题的关键．
4.本小题分
如图，以上一点为圆心作，且经过的顶点，交于点，过点作，交于点，．
求证：与相切；
若，，求的长．
【答案】连接，如图，
，
，
是的直径，
，即，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
与相切

【解析】证明：连接，如图，
，
，
是的直径，
，即，
，
，
，
，
，即，
是的半径，
与相切；
解：在直角三角形中，，
，
，，
∽，
，
，
，
，
，，
设，交于点，
，，
∽，，
，，
，
，
．
连接，如图，根据平行线的性质、等边对等角结合已知证明，由是的直径，可得，进而得到即可；
先证明∽，利用相似三角形的性质求出，进而得到，，设，交于点，易得∽，，利用相似三角形的性质求出即可．
本题考查切线的判定与性质、垂径定理、圆周角定理、解直角三角形、勾股定理，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
5.本小题分
已知是的直径，弦与相交于点，过点作的切线与的延长线交于点，．
如图，若为弧的中点，求的大小；
如图，若，求的大小．
【答案】

【解析】解：如图，连接．
是的切线，
，即．
，
．
点为的中点，为直径，
．
．
，
．
若为弧的中点，则．
如图，连接，
由知，，
，
．
．
，
．
．
若，则．
连接，根据切线的性质，得，求得，的度数，根据等腰三角形的性质求解即可；
连接，根据题意，求得，根据平行线的性质，证明，利用角的平分线求解即可．
本题考查了圆的切线，直角三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，熟练掌握切线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键．
6.本小题分
如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，，过点作，交于点．
求证：是的切线；
若点是的中点，且，求的半径．
【答案】见解析；
半径为．
【解析】证明：连接，
是的直径，
．
．
，
，
，
，
即，
，
为的半径，
是的切线；
解：点是的中点，
．
，
，
，
，
，
又，
．
，
在中，
，
，
即半径为．
连接，根据圆周角定理得到根据等腰三角形的性质得到，求得根据切线的判定定理得到结论；
由点是的中点，得到求得，得到，根据三角函数的定义得到，根据勾股定理即可得到结论．
本题考查了切线的判定和性质，解直角三角形，勾股定理，正确地添加辅助线是解题的关键．
7.本小题分
如图，在中，点在边上，以为直径作，分别交、边于点、，点在上方的上，连接、，，是的切线．
求证：；
若，，求的值．
【答案】在中，点在边上，以为直径作，连接，，
，
，
，
，
由切线的性质可得：，
，
，
，

【解析】证明：在中，点在边上，以为直径作，连接，，
，
，
，
，
由切线的性质可得：，
，
，
，
；
解：，，
，
，
，，
∽，
．
根据圆周角定理可知，进而可知，根据角度关系即可证明；
证明∽，根据相似三角形的性质即可求解．
本题考查切线的性质，正确进行计算是解题关键．
8.本小题分
如图，石碾是古代用石头和木材制作的一种破碎或去皮工具，如图为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点是上的一点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，已知．
求证：是的切线；
若，，则的半径的长为______．
【答案】连接．
是的切线，
，即，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，即，
是的半径，
是的切线
【解析】证明：连接．
是的切线，
，即，
，
，
，
，，
，
是的切线，
，即，
，
，
，
，，
，
在和中，
，
≌，
，即，
是的半径，
是的切线；
解：设的半径为，则，
，
，
、是的切线，
，
在中，，
，
在中，，
，
，即，解得，
故的半径长为．
故答案为：．
通过连接，利用平行线的性质、等腰三角形的性质证明≌，得到，从而证明，证得是的切线；
先由的值得出，利用切线长定理得到，再结合三角函数求出的长度，利用直角三角形中角的性质得到，结合的表达式建立方程求解半径．
本题主要考查了解直角三角形的应用，切线的判定与性质以及圆周角定理，解题的关键是掌握切线的判定定理，利用全等三角形证明垂直关系，结合直角三角形的特殊性质建立方程求解．
9.本小题分
如图，已知在中，，，，作的平分线交于点，以为圆心，长为半径作圆，与射线交于点，．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
求的半径及的正切值．
【答案】直线与相切，
，，，
，
是直角三角形，
如图，过点作交于点，
平分，，
，
是的半径，
与直线相切，

【解析】解：直线与相切，
理由：，，，
，
，
如图，过点作交于点，
平分，，
，
是的半径，
与直线相切，
，
，
，
解得，
即的半径为，
，
．
根据勾股定理的逆定理得到；过点作交于点，根据角平分线的性质即可得到结论；
利用三角形的面积公式，求出的长，进而求出和的长，利用对顶角相等和正切的定义即可得到结论．
本题考查了直线与圆的位置关系，勾股定理逆定理，角平分线的性质，三角形的面积，解直角三角形，掌握相关知识点是解题关键．
10.本小题分
如图，是的直径，是圆上位于上方的一点，是上一点，经过点的切线与的延长线交于点．
请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点，连接作出点，并说明四边形是矩形；尺规作图部分不写步骤，保留作图痕迹
在的条件下，若的直径为，，，求的长度．
【答案】如图，点即为所求；
是的直径，
．
，
．
四边形是矩形

【解析】解：如图，点即为所求；
是的直径，
．
，
．
四边形是矩形．
如图，连接．
的直径为，
．
与相切，
．
．
，
．
，
．
∽．
，即．
解得．
．
以为顶点，为边，在的下方作，交于点即可；根据直径所对的圆周角是直角得出，根据平行线的性质求出，然后根据矩形的判定即可得证；
根据切线的性质并结合中的结论可得出，根平行线的性质并结合已知可得出，证明∽，根据相似三角形的性质求出，最后根据勾股定理求解即可．
本题考查作图复杂作图，矩形的判定与性质，圆周角定理，切线的性质，解题的关键是掌握相关知识的灵活运用．
11.本小题分
如图，以的直角边为直径作，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结．
求证：；
当时，求的值；
若，且把的面积分成：的两部分，求的长．
【答案】证明：，，，
的长为或
【解析】证明：，，，
；
连接，
，
为等腰直角三角形，
，
，
过点作，交的延长线于点，
，
四边形为正方形，
令，则，，
，
；
连接，
是圆直径，
，
，
∽，
，，
，
∽，
，
，
，
又把的面积分成：的两部分，有两种情况：当：：时，，设，则，，由可知：，，
；：：时，
设，则，，同理可得，，
，
综上所述，的长为或．
利用同弧所对的圆周角相等，通过等量代换证明即可；
连接，过点作，交的延长线于点，得出是直角三角形，再，则，，求出，再求；
连接，根据圆周角定理得出∽，∽，再根据把的面积分成：的两部分，分两种情况讨论即可．
本题考查圆的综合应用，熟练掌握三角形相似的判定及性质，直角三角形的性质是解题的关键．
12.本小题分
停车楔如图是一种固定汽车轮胎的装置，如图是轮胎和停车楔的示意图当汽车停于水平地面上时，将停车楔置于轮胎后方即可防止车辆倒退，此时紧贴轮胎，边与地面重合且与轮胎相切于点为了更好地研究这个停车楔与轮胎的关系，小南在示意图上，连接并延长交于点，连接已知．
求证：；
小南通过查阅资料了解到，此停车楔的高度即点到直线的距离为，支撑边与底边的夹角，求轮胎的直径．
【答案】证明过程见解答
轮胎的直径为
【解析】证明：连接，
，
，
，
与相切于点，
，
，
，
，
；
解：连接，过点作，垂足为，
是的直径，
，
，
，
，
，
在中，，
，
，
，
在中，，
轮胎的直径为．
连接，根据平行线的性质可得，从而可得，然后利用切线的性质可得，从而可得，再根据等腰三角形的性质可得，从而可得，即可解答；
连接，过点作，垂足为，根据直径所对的圆周角是直角可得，从而利用平行线的性质可得，进而可得，然后在中，利用含度角的直角三角形的性质可得，再利用的结论可得，最后在中，利用含度角的直角三角形的性质进行计算，即可解答．
本题考查了切线的性质，解直角三角形的应用，圆周角定理，根据题目的已知条件并结合图形添加适当的辅助线是解题的关键．
13.本小题分
如图，是的直径，与相切于点，连接，过点作的垂线，在垂线上取一点，连接，使得，过点作的垂线分别交，于点，．
求证：是的切线；
若，，求的长．
【答案】过点作于点，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；，
，
，
，
；又，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
是的切线

【解析】证明：过点作于点，
与相切于点，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
；
又，，
，
，
，
，
又，，
≌，
，
是的切线；
解：过点作交的延长线于点，
设，则，
设，
，
，
，
，
在中，，
，
解得：，
在中，，
，
，
，
，
又，
，
，
在中，．
若，，则．
过点作于点，证明，再证明；，，证明≌得，从而可得是的切线作垂直，证相等；
过点作交的延长线于点，设，则，设，求出，，得出，由得，求出，，由勾股定理求出．
本题考查切线的性质与判定、垂径定理、圆周角定理、解直角三角形、全等三角形的判定与性质，熟练掌握相关性质定理、数形结合的思想方法的运用是解题的关键．
14.本小题分
如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求线段的长．
【答案】证明：连接，
是的直径，
，
平分，
，
，
是的切线，
，
，
；
解：过作于，
，
，
，，
四边形是正方形，
，，
是的直径，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
，
．
【解析】连接，根据圆周角定理得到，根据角平分线的定义得到，根据切线的性质得到，根据平行线的判定定理即可得到结论；
过作于，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，根据正方形的性质得到，，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了切线的性质，圆周角定理，平行线的判定和性质，解直角三角形，正方形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，正确地作出辅助线是解题的关键．
15.本小题分
如图为某游乐场摩天轮简化示意图，摩天轮最低端与地面的距离忽略不计，即可看作摩天轮与地面相切，摩天轮最外端圆的直径约为米夜晚，小明坐在透明座舱旋转到点时用激光笔照射在摩天轮的点和最低点处，激光线交地面于点，当激光线经过圆心点时，交圆于点，交水平地面于点且于点．
求证：；
若米，求的长．
【答案】证明：是的切线，
，
，
于点，过圆心，
，
，
，
；
解：米，于点，过圆心，圆的直径约为米，
米，米，
米，
，
，
，
，
米．
故BE的长为米．
【解析】利用垂径定理、圆周角定理，同角的余角相等证得即可；
利用勾股定理求得，然后通过解直角三角形求得，利用勾股定理求得，进一步求得．
本题考查圆周角定理，垂径定理，切线的性质等的应用，熟练掌握性质定理是解题的关键．
16.本小题分
如图，是的内接三角形，为的直径，是直径下方一点，且连接交于点．
如图，若，则 ______；
如图，是延长线上一点，连接，且．
求证：与相切；
若的半径为，，求的长．
【答案】解：；
证明：如图，连接．
，
，
，
，
，，
由知，
，
，
，
，
，
点在上，
是的切线；
解：，
，
，
，
，，
，
由知，，
，
，
，
．
【解析】【分析】
本题考查了圆的性质，等腰三角形的判定和性质，圆的切线的判定定理，勾股定理等知识，灵活掌握相关知识点解决问题是解题关键．
先根据圆周角定理得出，再根据可得，然后根据，求出即可；
连半径，证；
说明是等腰直角三角形，再利用求解．
【解答】
解：是的直径，
，
，
，
，
故答案为；
见答案；
见答案．
17.本小题分
如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点，且．
求证：为的切线；
若，，求的半径．
【答案】证明见解答；
的半径长为．
【解析】证明：连接，则，
，
，
，
，
以为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点，
，
，
，
是的半径，且，
为的切线．
解：设的半径为，则，
由得，，
，
，
，，
，
，
，
，
解得，
的半径长为．
连接，则，而，所以，则，所以，由切线的性质得，则，即可证明为的切线；
设的半径为，则，由，得，，则，由，求得，则的半径长为．
此题重点考查圆周角定理、切线的判定与性质、勾股定理、解直角三角形等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
18.本小题分
已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点．
Ⅰ如图，求的大小；
Ⅱ如图，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为，求和的长．
【答案】的度数为；
Ⅱ的长是，的长是．
【解析】如图，连接，
与相切于点，
，
，，
，
，
的度数为
Ⅱ如图，连接，
是的直径，的半径为，
，，
，
，
由得，
，
，
，
，
的长是，的长是．
连接，由切线的性质得，而，，所以，则；
Ⅱ连接，因为是的直径，的半径为，所以，，由，得，而，则，所以，则，求得．
此题重点考查切线的性质、等腰三角形的性质、圆周角定理、平行线的性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半、勾股定理等知识，正确地添加辅助线是解题的关键．
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《圆》的计算专题
一、解答题：本题共18小题，共144分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
1.本小题分
如图，，分别与相切于点，，且与相交于点，过点作，交的延长线于点其中，．
求证：；
求的半径．
2.本小题分
如图，点是的内心，连接并延长交的外接圆于点，与交于点，连接．
设，则______；用含的式子表示
求证：；
若，，求的长．
3.本小题分
如图，是的直径，，是上两点，，过作交的延长线于．
求证：是的切线；
若，，求的半径长．
4.本小题分
如图，以上一点为圆心作，且经过的顶点，交于点，过点作，交于点，．
求证：与相切；
若，，求的长．
5.本小题分
已知是的直径，弦与相交于点，过点作的切线与的延长线交于点，．
如图，若为弧的中点，求的大小；
如图，若，求的大小．
6.本小题分
如图，内接于，为的直径，点在的延长线上，连接，，过点作，交于点．
求证：是的切线；
若点是的中点，且，求的半径．
7.本小题分
如图，在中，点在边上，以为直径作，分别交、边于点、，点在上方的上，连接、，，是的切线．
求证：；
若，，求的值．
8.本小题分
如图，石碾是古代用石头和木材制作的一种破碎或去皮工具，如图为石碾抽象出来的模型，是的直径，为的切线，点是上的一点，连接并延长，与的延长线交于点，连接，已知．
求证：是的切线；
若，，则的半径的长为______．
9.本小题分
如图，已知在中，，，，作的平分线交于点，以为圆心，长为半径作圆，与射线交于点，．
判断直线与的位置关系，并说明理由；
求的半径及的正切值．
10.本小题分
如图，是的直径，是圆上位于上方的一点，是上一点，经过点的切线与的延长线交于点．
请用无刻度的直尺和圆规过点作的平行线，交于点，连接作出点，并说明四边形是矩形；尺规作图部分不写步骤，保留作图痕迹
在的条件下，若的直径为，，，求的长度．
11.本小题分
如图，以的直角边为直径作，过作斜边的垂线交于点，连结，交于点，交于点，连结．
求证：；
当时，求的值；
若，且把的面积分成：的两部分，求的长．
12.本小题分
停车楔如图是一种固定汽车轮胎的装置，如图是轮胎和停车楔的示意图当汽车停于水平地面上时，将停车楔置于轮胎后方即可防止车辆倒退，此时紧贴轮胎，边与地面重合且与轮胎相切于点为了更好地研究这个停车楔与轮胎的关系，小南在示意图上，连接并延长交于点，连接已知．
求证：；
小南通过查阅资料了解到，此停车楔的高度即点到直线的距离为，支撑边与底边的夹角，求轮胎的直径．
13.本小题分
如图，是的直径，与相切于点，连接，过点作的垂线，在垂线上取一点，连接，使得，过点作的垂线分别交，于点，．
求证：是的切线；
若，，求的长．
14.本小题分
如图，是的直径，是上一点，的平分线交于点，过点作的切线交的延长线于点．
求证：；
若，，求线段的长．
15.本小题分
如图为某游乐场摩天轮简化示意图，摩天轮最低端与地面的距离忽略不计，即可看作摩天轮与地面相切，摩天轮最外端圆的直径约为米夜晚，小明坐在透明座舱旋转到点时用激光笔照射在摩天轮的点和最低点处，激光线交地面于点，当激光线经过圆心点时，交圆于点，交水平地面于点且于点．
求证：；
若米，求的长．
16.本小题分
如图，是的内接三角形，为的直径，是直径下方一点，且连接交于点．
如图，若，则 ______；
如图，是延长线上一点，连接，且．
求证：与相切；
若的半径为，，求的长．
17.本小题分
如图，在中，点在上，以为圆心，长为半径作圆，恰好与相切于点，且．
求证：为的切线；
若，，求的半径．
本小题分
已知与相切于点，，，与相交于点，为上一点．
Ⅰ如图，求的大小；
Ⅱ如图，当时，与相交于点，延长与相交于点，若的半径为，求和的长．
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