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广东省深圳市龙华区行知学校2025-2026学年上学期九年级10月月考数学试卷
1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
3．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
4．已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补
6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
7．如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分 ，则的长为（　　）
A．12 B．5 C．1 D．3
8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，，过点作于点，连接，则的长为（　　）
A． B． C． D．
9．关于的一元二次方程的一个根为，则　 　．
10．一条抛物线的顶点坐标为，且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为　 　．
11．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为　 　．
12．抛物线与轴的交点坐标分别为．当时，的取值范围是　 　．
13．如图，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，交于点．已知，，则的长为　 　．
14．解下列方程：
（1）（配方法解）；
（2）（公式法）；
（3）.
15．若关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个根，满足，求的值．
16．尺规作图：“利用直角三角形作矩形”的过程；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
17．“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
（1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；
（2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？
18．如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长．
19．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
20．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，线段上的点，连接，，与相交于点．
（1）如图1，连接，．当时，求证：；
（2）如图2，若，且，
①求证：；
②当时，设，求的长（用含的代数式表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、为二次函数，故A符合题意；
B、为一次函数，故B不符合题意；
C、为反比例函数，故C不符合题意；
D、为一次函数，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】形如的函数是二次函数，根据二次函数的概念逐项判断即可.
2．【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为，
当x=0时，y=2，
∴该二次函数开口向上，与y轴交点为，对称轴为直线，即为y轴，
四个选项中，只有A选项符合题意．
故答案为：A．
【分析】本题首先结合二次函数的解析式，得出，然后计算出与y轴交点为，并结合二次函数对称轴计算出，即y轴，最后结合图象即可得出答案。
3．【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，平分，
∴，
故答案为：A ．
【分析】根据菱形的对角线平分对角的性质即可得答案．
4．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
，，，，
，
故选：D．
【分析】
由于抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越远对应的函数值越小．
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质判断即可.
6．【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】 设停车场内车道的宽度为， 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选C．
【分析】根据矩形性质可得，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是菱形
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，根据勾股定理可得AO，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
9．【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
10．【答案】（答案不唯一）
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴该二次函数的表达式可以为，
又∵开口向下，
∴，
可取，此时函数表达式为．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：把代入，
得：，
∴
【分析】将点代入抛物线可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的交点坐标分别为，
∴当时，．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过E作于M，交于N，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】过E作于M，交于N，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，且，则，根据勾股定理可得AM，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．【答案】（1）x2-4x=-2，
x2-4x+4=-2+4，
，
x-2=± ，
∴；
（2）中，
>0，
∴，∴，；
（3）方程变形为 ，
，
.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）根据题意先配方，进而即可求解；
（2）根据一元二次方程根的判别式结合题意得到>0，再根据求根公式即可求解；
（3）根据题意运用提公因式法因式分解，进而即可求解。
15．【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，，
解得；
（2）和是一元二次方程的两个根，，，
∵，
，
解得．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的情况结合其判别式即可求出参数的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而整体代入即可求解。
（1）解：∵方程有两个实数根，
，
解得；
（2）和是一元二次方程的两个根，
，，
∵，
，
解得．
16．【答案】解：如图，矩形即为所求．
【知识点】矩形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】根据题意以点为圆心，为半径画弧，与以点为圆心，为半径画的弧交于点，则，进而根据平行四边形的判定结合矩形的判定即可求解。
17．【答案】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，由题意得：，
解得或，
∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨6元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）平均增长率问题常列方程，其中分别为起始和终止数据，为平均增长率；
（2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，每千克利润为元，再根据等量关系“ 每周获利2240元 ”列关于x的一元二次方程并求解，再结合水果售价不能超过15元/千克确定方程的解即可．
（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，
由题意得：，
解得或，
∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨6元．
18．【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形.
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴.
∵四边形是矩形，
∴.
在中，由勾股定理得：.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据菱形性质可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据勾股定理可得OB，再根据矩形性质可得，根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形.
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴.
∵四边形是矩形，
∴.
在中，由勾股定理得：.
19．【答案】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为：，
将P(-9，1.5）代入，得：a（-9+3）2+2=1.5，
解得：a=，
∴ 抛物线的解析式为.
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内，
理由：∵AB=24，
∴OB=OA=12
由（1）可知，抛物线的解析式为，
当x=0时， =＞1，
∴网球越过了球网，
∴当y=0时，=0，
解得：x=9或x=-15（不符合题意，舍去）
∵9＜12，
∴网球落在对方区域，
∴此次击球越过球网并落在对方区域内．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意设出抛物线的顶点式，再利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案；
（2）根据（1）的抛物线解析式分别求出当时，y的值和当y=0时，x的值，即可得出答案．
（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：
∵，
当时，，
网球越过球网，
当时，，
网球落在对方区域；
此次击球越过球网并落在对方区域内．
20．【答案】（1）解：如图，点在线段的垂直平分线上．理由如下：∵四边形是菱形，对角线相交于点，
．
，
；
（2）①证明：如图，∵四边形是菱形，，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
．
，
；
②如图，连接．
，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
在中，，
，
．
，，
，
．
，
，
．
在中，，
由勾股定理得，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的判定结合菱形的性质即可求解；
（2）①先根据菱形的性质得到，进而进行角的运算得到，从而根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解；
②连接，根据等边三角形的判定和性质得到，进而根据全等三角形的判定和性质结合勾股定理解直角三角形即可求解。
（1）解：如图，点在线段的垂直平分线上．
理由如下：∵四边形是菱形，对角线相交于点，
．
，
；
（2）①证明：如图，∵四边形是菱形，
，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
．
，
；
②如图，连接．
，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
在中，，
，
．
，，
，
．
，
，
．
在中，，
由勾股定理得，
．
1 / 1广东省深圳市龙华区行知学校2025-2026学年上学期九年级10月月考数学试卷
1．下列关于的函数中，属于二次函数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的定义
【解析】【解答】解：A、为二次函数，故A符合题意；
B、为一次函数，故B不符合题意；
C、为反比例函数，故C不符合题意；
D、为一次函数，故D不符合题意.
故答案为：A.
【分析】形如的函数是二次函数，根据二次函数的概念逐项判断即可.
2．在平面直角坐标系中，二次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵二次函数解析式为，
当x=0时，y=2，
∴该二次函数开口向上，与y轴交点为，对称轴为直线，即为y轴，
四个选项中，只有A选项符合题意．
故答案为：A．
【分析】本题首先结合二次函数的解析式，得出，然后计算出与y轴交点为，并结合二次函数对称轴计算出，即y轴，最后结合图象即可得出答案。
3．如图为汽车常备的一种千斤顶的原理图，其基本形状是一个菱形，中间通过螺杆连接，转动手柄可改变的大小（菱形的边长不变）．当时，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是菱形，是对角线，
∴，平分，
∴，
故答案为：A ．
【分析】根据菱形的对角线平分对角的性质即可得答案．
4．已知抛物线，若点，，都在该抛物线上，则，，的大小关系是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：，
，抛物线开口向下，对称轴为直线，
，，，，
，
故选：D．
【分析】
由于抛物线开口向下，则抛物线上的点距离对称轴越远对应的函数值越小．
5．下列性质中，菱形具有而矩形不一定具有的是（　　）
A．对角线相等 B．对角线垂直 C．邻边垂直 D．邻角互补
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线互相垂直，但矩形的对角线不一定垂直，
∴菱形具有而矩形不一定具有的是对角线垂直，
故答案为：B.
【分析】根据菱形的性质、矩形的性质判断即可.
6．如图是某地下停车场的平面示意图，停车场的长为，宽为．停车场内车道的宽都相等，若停车位的占地面积为．求车道的宽度（单位：）．设停车场内车道的宽度为，根据题意所列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：若设停车场内车道的宽度为，则停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】 设停车场内车道的宽度为， 由停车场的长、宽及停车场内车道的宽度，可得出停车位（图中阴影部分）可合成长为，宽为的矩形，结合停车位的占地面积为，即可列出关于的一元二次方程，即可求出答案.
7．如图，在矩形ABCD中，，，E为上一点，平分 ，则的长为（　　）
A．12 B．5 C．1 D．3
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定；矩形的性质；角平分线的概念；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，
∴，
∴，
∵平分，
∵，
∴，
∴，
在中，，
∴．
故选C．
【分析】根据矩形性质可得，则，根据角平分线定义可得，则，根据等角对等边可得，根据勾股定理可得BE，再根据边之间的关系即可求出答案.
8．中国结寓意团圆、美满，以独特的东方神韵体现中国人民的智慧和深厚的文化底蕴．如图，晓进家有一个菱形中国结装饰，对角线相交于点，测得，，过点作于点，连接，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：四边形是菱形
故选：A．
【分析】根据菱形性质可得，根据勾股定理可得AO，再根据直角三角形斜边上的中线性质即可求出答案.
9．关于的一元二次方程的一个根为，则　 　．
【答案】4
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵的一元二次方程的一个根为，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】将x=2代入方程可得关于m的一次方程，再解方程即可求出答案.
10．一条抛物线的顶点坐标为，且开口向下，则该二次函数的函数表达式可以为　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】列二次函数关系式
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴该二次函数的表达式可以为，
又∵开口向下，
∴，
可取，此时函数表达式为．
故答案为：（答案不唯一）
【分析】根据二次函数的定义即可求出答案.
11．已知抛物线与轴的一个交点为，则代数式的值为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：把代入，
得：，
∴
【分析】将点代入抛物线可得，化简代数式，再整体代入即可求出答案.
12．抛物线与轴的交点坐标分别为．当时，的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数与不等式（组）的综合应用
【解析】【解答】解：∵，
∴抛物线开口向上，
∵抛物线与轴的交点坐标分别为，
∴当时，．
故答案为：．
【分析】根据二次函数的性质即可求出答案.
13．如图，点是正方形对角线上一点，连接，过点作，交于点．已知，，则的长为　 　．
【答案】2
【知识点】三角形全等及其性质；矩形的判定与性质；正方形的性质；等腰直角三角形；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：过E作于M，交于N，
∴，
∵四边形是正方形，
∴，，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，，
∵，，
∴是等腰直角三角形，且，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：2．
【分析】过E作于M，交于N，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，则，根据角之间的关系可得，根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据等腰直角三角形判定定理可得是等腰直角三角形，且，则，根据勾股定理可得AM，再根据边之间的关系即可求出答案.
14．解下列方程：
（1）（配方法解）；
（2）（公式法）；
（3）.
【答案】（1）x2-4x=-2，
x2-4x+4=-2+4，
，
x-2=± ，
∴；
（2）中，
>0，
∴，∴，；
（3）方程变形为 ，
，
.
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（1）根据题意先配方，进而即可求解；
（2）根据一元二次方程根的判别式结合题意得到>0，再根据求根公式即可求解；
（3）根据题意运用提公因式法因式分解，进而即可求解。
15．若关于x的一元二次方程有两个实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若方程的两个根，满足，求的值．
【答案】（1）解：∵方程有两个实数根，，
解得；
（2）和是一元二次方程的两个根，，，
∵，
，
解得．
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）；根据一元二次方程的根的情况求参数
【解析】【分析】（1）根据一元二次方程根的情况结合其判别式即可求出参数的取值范围；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系得到，，进而整体代入即可求解。
（1）解：∵方程有两个实数根，
，
解得；
（2）和是一元二次方程的两个根，
，，
∵，
，
解得．
16．尺规作图：“利用直角三角形作矩形”的过程；（要求：尺规作图，保留作图痕迹）
【答案】解：如图，矩形即为所求．
【知识点】矩形的判定；尺规作图-直线、射线、线段
【解析】【分析】根据题意以点为圆心，为半径画弧，与以点为圆心，为半径画的弧交于点，则，进而根据平行四边形的判定结合矩形的判定即可求解。
17．“户太八号”葡萄是西安市葡萄研究所通过奥林匹亚芽变选育而成，近年来被广泛种植，某葡萄种植基地2020年种植了64亩，到2022年的种植面积达到100亩．
（1）求该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率；
（2）某超市调查发现，当“户太八号”的售价为8元/千克时，每周能售出400千克，售价每上涨1元，每周销售量减少20千克．已知该超市“户太八号”的进价为6元/千克，为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克．若使销售“户太八号”每周获利2240元，则售价应上涨多少元？
【答案】（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，由题意得：，
解得或，
∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨6元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】
（1）平均增长率问题常列方程，其中分别为起始和终止数据，为平均增长率；
（2）设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，每千克利润为元，再根据等量关系“ 每周获利2240元 ”列关于x的一元二次方程并求解，再结合水果售价不能超过15元/千克确定方程的解即可．
（1）解：设该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为，
由题意得：，
解得或（不符合题意，舍去），
答：该基地这两年“户太八号”种植面积的平均增长率为．
（2）解：设售价应上涨元，则每周的销售量为千克，
由题意得：，
解得或，
∵为了维护消费者利益，物价部门规定，该水果售价不能超过15元/千克，
，
解得，
所以，
答：售价应上涨6元．
18．如图，菱形的对角线相交于点O，过点B作，过点C作，与相交于点E．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形.
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴.
∵四边形是矩形，
∴.
在中，由勾股定理得：.
【知识点】平行四边形的判定；菱形的性质；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【分析】（1）根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，根据菱形性质可得，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据菱形性质可得，根据勾股定理可得OB，再根据矩形性质可得，根据勾股定理即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴四边形是平行四边形.
∵四边形是菱形，
∴，
∴，
∴平行四边形是矩形；
（2）解：如图，
∵四边形是菱形，，
∴，
∴，
∴.
∵四边形是矩形，
∴.
在中，由勾股定理得：.
19．2024年我国运动员在巴黎奥运会上夺得网球项目女子单打金牌，实现了中国在该项目上的突破．已知网球比赛场地长为24米（其中A，B为边界点），球场中心的球网高度为1米，建立如图①所示的平面直角坐标系．运动员从点处击球，网球飞行路线呈抛物线形状，网球飞行过程中在点处达到最高．
（1）求抛物线的解析式；
（2）判断此次击球是否越过球网并落在对方区域内（含边界），并说明理由；
【答案】（1）解：根据题意，设抛物线的解析式为：，
将P(-9，1.5）代入，得：a（-9+3）2+2=1.5，
解得：a=，
∴ 抛物线的解析式为.
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内，
理由：∵AB=24，
∴OB=OA=12
由（1）可知，抛物线的解析式为，
当x=0时， =＞1，
∴网球越过了球网，
∴当y=0时，=0，
解得：x=9或x=-15（不符合题意，舍去）
∵9＜12，
∴网球落在对方区域，
∴此次击球越过球网并落在对方区域内．
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【分析】（1）根据题意设出抛物线的顶点式，再利用待定系数法求出函数解析式即可得出答案；
（2）根据（1）的抛物线解析式分别求出当时，y的值和当y=0时，x的值，即可得出答案．
（1）解：网球飞行过程中在点处达到最高，
设抛物线的解析式为：，
把代入，得：，
解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：此次击球越过球网并落在对方区域内（含边界）；理由如下：
∵，
当时，，
网球越过球网，
当时，，
网球落在对方区域；
此次击球越过球网并落在对方区域内．
20．如图，在菱形中，对角线，相交于点，点，分别是边，线段上的点，连接，，与相交于点．
（1）如图1，连接，．当时，求证：；
（2）如图2，若，且，
①求证：；
②当时，设，求的长（用含的代数式表示）．
【答案】（1）解：如图，点在线段的垂直平分线上．理由如下：∵四边形是菱形，对角线相交于点，
．
，
；
（2）①证明：如图，∵四边形是菱形，，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
．
，
；
②如图，连接．
，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
在中，，
，
．
，，
，
．
，
，
．
在中，，
由勾股定理得，
．
【知识点】等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；线段垂直平分线的判定；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】（1）根据垂直平分线的判定结合菱形的性质即可求解；
（2）①先根据菱形的性质得到，进而进行角的运算得到，从而根据含30°角的直角三角形的性质结合题意即可求解；
②连接，根据等边三角形的判定和性质得到，进而根据全等三角形的判定和性质结合勾股定理解直角三角形即可求解。
（1）解：如图，点在线段的垂直平分线上．
理由如下：∵四边形是菱形，对角线相交于点，
．
，
；
（2）①证明：如图，∵四边形是菱形，
，
，，
，
，
．
，
．
，
，
，
．
在中，，
．
．
，
；
②如图，连接．
，
∴是等边三角形．
∵，
∴，
在中，，
，
．
，，
，
．
，
，
．
在中，，
由勾股定理得，
．
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