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广东省深圳中学2026年初三数学中考三模试卷
1．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（　　）
A．④ B．③ C．② D．①
【答案】C
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：应该将②涂黑．
故选C．
【分析】根据中心对称图形的特点进行判断即可．
2．实数在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴四个数种最小的数为，
故答案为：A．
【分析】根据实数在数轴上的表示结合题意得到，进而即可求解。
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．3a（1-a）=3a-3a2 B．
C． D．
【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，正确；
B、，不是同类项不能合并，错误；
C、，错误；
D、，错误；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查单项式乘多项式、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式.需要注意的是选项C的符号根据“奇负偶正”判断应为负；选项D完全平方公式展开为二次三项式.
4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=100°，∠C的度数是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB和∠C都对
∴
故选：B.
【分析】直接利用圆周角定理求解.
5．若是方程的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=1代入原方程可得关于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
6．已知直线a//b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC=30°，∠ACB=90°）按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）
A．60° B．50° C．45° D．40°
【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b
∴∠2=∠1+∠CAB
∵∠1=20°，∠CAB=30°
∴∠2=50°
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行线的性质.根据“两直线平行，内错角相等”得到∠2=∠1+∠CAB，即可计算∠2的度数.
7．我国古代计算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何 ”设马价x两，牛价y两，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列：
故答案为：A.
【分析】本题主要考查列二元一次方程组解决实际问题.根据“马四匹，牛六头，共价四十八两”可列：4x+6y=48；根据“马三匹，牛五头，共价三十八两”可列：3x+5y=38，联立即可得到二元一次方程组.
8．一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象。如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（　　）
A．2m B．4m C． D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图：
根据题意：，∠BOC=90°
∴∠1+∠2=90°
∵∠2+∠3=90°
∴
∵，
∴
∵A、O、D三点共线
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角函数的实际应用.根据“入射角等于反射角”及“反射光线与折射光线夹角恰为90°”推出及，分别在△EOC与△EOD中利用计算EC，ED，计算线段差即可得到CD的长.
9．若是整数，则n的值可以是　 　（写出一个即可）
【答案】20
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵是整数
∴20-n的值可以为0，1，4，9，16
∴n可以是20、19、16、11、4
故答案为：20、19、16、11、4（写一个即可）
【分析】本题主要考查算术平方根为整数的条件.要使为整数，则20-n必须是一个完全平方数，因为20-n≥0，所以根据20以内的完全平方数确定n的值即可.
10．将函数的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为　 　
【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵的图象向下平移2个单位
∴新函数的解析式为
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律.根据“上加下减”原则确定平移后的图像解析式.
11．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数的图象交于A、B两点，当x>0时，请利用函数图象直接写出不等式的解集是　 　
【答案】1＜x<4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象可知，当1＜x<4时，反比例函数图象在一次函数图象下方，即，
故答案为：1＜x<4.
【分析】本题主要考查利用函数图象解不等式.不等式表示反比例函数的图像在一次函数y=kx+b图像下方，观察图象即可得到解集.
12．如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，若则AF=　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=∠C=90°，AB=BC
∵
∴
∵点E为BC中点
∴
根据勾股定理：
∵EF⊥AE
∴∠AEF=90°
∴∠AEB+∠FEC=90°
∵∠AEB+∠BAE=90°
∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴
根据勾股定理：
故答案为：.
【分析】本题主要考查勾股定理、三角形相似及正方形性质.先根据正方形性质及边长利用勾股定理计算AE的长；再通过“AA”判定两三角形相似，计算EF的长；最后利用勾股定理计算AF即可.
13．如图，点E是矩形ABCD的边CD的中点，以点D为圆心，DE长为半径作弧，交AD于点F，若矩形ABCD的面积为8，则图中扇形EDF的面积为　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=90°，AD=BC，AB=CD
设DE=x，根据题意CE=DE=DF=x，AB=CD=2x
∵矩形ABCD的面积为8
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】本题主要考查矩形的性质、三角形面积及扇形面积的计算.先根据矩形性质与作图步骤得到线段关系，并用字母x表示；再根据三角形面积公式及两个三角形面积关系计算x；最后根据扇形面积公式计算扇形EDF的面积.
14．计算：
【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，包括负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简以及零次幂.按照运算法则逐项计算：（负指数化为倒数）；由计算；；（非零数的零次幂为1），最后合并同类项即可.
15．先化简： 再求值： 再从-1，0，1，2中选一个合适的数代入求值.
【答案】解：
∵m=-1，0，1时，原分式无意义，
∴m=2，
当m=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值与分式有意义的条件；解题时先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母分别因式分解，通过约分化简为最简分式；再根据分式分母不能为零的条件，排除使原式无意义的 的取值，从剩余数值中选取一个代入最简分式，计算得到最终结果。
16． 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量.某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.60≤x<70，B.70≤x<80，C.80≤x<90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100.
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89.
九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 89 90 a
九年级 89 b 92
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m=　 　；a=　 　，b=　 　；
（2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好 请说明理由；（写一条）
（3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率.
【答案】（1）25；94；87
（2）八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好。理由如下：因为两个年级学生成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数高于九年级；所以八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好。
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 —— （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） —— （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） —— （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ——
所有等可能的结果共有12种，其中必有甲同学参加比赛的结果有6种
可得P（必有甲同学参加）
答：必有甲同学参加的概率为.
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）九年级学生C组成绩的人数占比为，所以m=25；
根据八年级学生成绩数据，94分出现次数最多，所以a=94；
九年级学生成绩在D组的人数为人，成绩在C组的人数为5人，因为共有20人，因此将C组数据从大到小排列：89、88、88、86、81，中位数为；
故答案为：25；94；87.
【分析】本题主要考查统计图表的分析、中位数、众数的计算及用列表法或树状图法求概率.
（1）根据题干信息“九年级20名学生的成绩在C组中的数据有5个”可计算m；根据八年级学生成绩数据找到出现次数最多的数据即为众数a；根据中位数定义，20个数据，中位数应为第10、11个数据的平均数，根据D组数据有7个，将C组数据从大到小排列第3、4个即为整体数据的第10、11个数据，计算平均数即可；
（2）分析三种统计量，两个年级的平均数相同，八年级成绩的中位数、众数均比九年级成绩高，因此八年级成绩更好；
（3）列表共有12种等可能结果（有序），其中含有甲的有6种（甲与乙、甲与丙、甲与丁，每种顺序不同算两次），即可计算概率.
17．某景区需购买A，B两种帐篷，已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.
（1）A，B两种帐篷的单价各是多少元
（2）若该景区需要购买A，B两种帐篷共20顶（两种帐篷均需购买），且购买B种帐篷的数量不少A种帐篷数量的，则购买A，B两种帐篷各多少顶时，总费用最低 最低总费用是多少元
【答案】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为（x+400）元，由题意得：
解得：x=600.
经检验：x=600是原分式方程的解且符合题意
∴x+400=1000.
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元
（2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷（20-m）顶，总费用为W元.
由题意得：
解得：m≤15.
又∵两种型号的帐篷均需购买，
∴0W=600m+1000（20-m）=-400m+20000.
∵-400<0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=15时，W取最小值，w总小=-400×15+20000=14000.
此时20-m=5.
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题主要考查分式方程的实际应用以及一次函数最值问题.
（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为x+400，根据“用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等 ”，A种帐篷数量为，B种帐篷数量为，可列分式方程，注意分式方程要检验；
（2）根据两种帐篷的数量关系分别设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷（20-m）顶，根据“购买B种帐篷的数量不少A种帐篷数量的 ”得到m的取值范围；再由总费用=购买A种帐篷的费用+购买B种帐篷的费用，得到W与m的函数关系式，利用一次函数性质求解即可.
18．如图，在△ABC中，点O是AB上（异于点A、B）的一点，⊙O恰好经过点B、C，BD⊥AC，垂足为点D，且BC平分∠ABD.
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）若AB=5，AD=4，求⊙O的半径长.
（3）尺规作图：作∠A的角平分线AE（点E在线段BD上）。
【答案】（1）解：AC与⊙O相切.
理由如下：如图，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠OBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD，
∴∠ACO=∠D.
∵BD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴∠ACO=∠D=90°，
∵点C在⊙O上
∴AC与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r.
∵∠D=90°，AB=5，AD=4，
由（1）知，∠ACO=∠D，
又∵∠CAO=∠DAB，
∴△AOC∽△ABD，
∴⊙O的半径长为.
（3）如图，AE即为所求
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题主要考查圆切线的判定、相似三角形的判定和性质以及尺规作图——角平分线.
（1）连接OC，根据“等边对等角”及角平分线的定义得到∠OCB=∠DBC，利用“内错角相等，两直线平行”推出OC∥BD，再由“两直线平行，同位角相等”得到∠ACO=∠D=90°；结合“∠ACO=90°”与“OC是半径”即可判定AC与⊙O相切；
（2）先利用勾股定理计算BD长；再利用“AA”证明相似，根据相似三角形对应线段成比例即可计算圆的半径；
（3）以点A为圆心适当长为半径画弧，交AD、AB于两点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离为半径画弧，交于一点，连接点A与这一点并延长交BD于点E即可.
19．综合与实践
【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥。
如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意。主拱和副拱轮廓近似抛物线。
综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱。这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡。
（1）【模型建立】
如图1，实践小组记主拱所在抛物线为副拱所在抛物线为以它们的对称中心为原点O建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为x轴，即和关于原点中心对称。通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点A、B间距离为米，则的顶点D的坐标为（0，　 　，左交点A的坐标为　 　，0），抛物线的解析式为　 　，抛物线的解析式为　 　；
（2）【模型应用】
实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于y轴对称的副拱和如图2，和所在抛物线关于点P（m，0）对称，且恰好经过C1的顶点D，请求出左副拱所在抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索EF，所在直线为y=x+n，如图3，要求斜拉索EF和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线y=x+n至少要与和各有一个交点，求出n的取值范围.
【答案】（1）16；；；
（2）解：设C3所在抛物线为
∵C1和C3所在抛物线关于点P（m，0）对称，
且C3的顶点（h，k）的C1顶点D（0，16）也关于点P对称，即k=-16
∵C3恰好经过C1的顶点D（0，16），
即
解得h=±48，
∵C3在y轴左侧，∴h=-48
∴C3所在抛物线为
（3）∵C4（x≥0）和直线y=x+n至少要有一个交点，
∴直线y=x+n与C4最高可交于点D（0，16）
∴n≤16
∵C1和直线y=x+n的交点坐标满足方程组：
消y得即
当n≤16时，，
∴，
∴当n≤16时，C1和直线y=x+n的必有交点
∵C3和直线y=x+n的交点坐标满足方程组：
消y得即
∵
∴
∴n的取值范围为14≤n≤16.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：∵和关于原点中心对称，和的顶点间距离为32米
∴OD=16
∴点D坐标为（0，16）
又∵和的左右交点A、B间距离为米
∴
∴点A的坐标为
设抛物线的解析式为，将点A代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为
∵和关于原点中心对称
∴抛物线的解析式为
故答案为：16；；；.
【分析】（1）根据题干信息确定顶点D的坐标及点A的坐标；由于抛物线关于y轴对称且顶点坐标D为（0，16），设抛物线的解析式为，将点A坐标代入计算a即可得到抛物线的解析式；根据和关于原点中心对称，则抛物线开口大小不变、开口方向相反，即可得到抛物线的解析式；
（2）设抛物线的解析式为顶点式，根据和关于点P中心对称，得到a相同；结合抛物线的顶点确定k的值；最后根据恰好经过的顶点D，将点D坐标代入计算h即可；
（3）先确定与直线至少有一个交点，最高可交于点D即可确定n≤16；联立与直线，根据判别式可判断C1和直线y=x+n的必有交点；联立与直线，根据判别式计算n的范围，最后得到n的解集.
20．【定义】将线段AB绕点A逆时针旋转角得到线段AC，将线段AB绕点A逆时针旋转角（180°-α）得到线段AD，则称由点A、B、C、D围成的四边形为“旋补四边形”，其中∠BAC=α为旋补角。
【概念感悟】
（1）如图1，在旋补四边形ABCD中，，则对边AB与CD满足位置关系：　 　；
（2）如图2，当α=60°时，求证：旋补四边形ABCD是菱形；
（3）【拓展应用】
已知四边形ABCD为旋补四边形，旋补角∠BAC=α，把沿AC折叠到直线AE与直线CD交于点F.
如图3，，若AB=2，AD∥EC，求线段BC的长；
（4）若直线AD⊥直线EC于点G，画出示意图并写出的值.
【答案】（1）AB∥CD
（2）∵四边形ABCD为旋补四边形且α=60°
∴∠BAC=60°，∠BAD=120°，AB=AC=AD
∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=60°
∵AB=AC，AC=AD
∴△ABC和△ADC是等边三角形
∴AB=BC=AC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形
（3）∵四边形ABCD为旋补四边形
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=180°-2α
∵AC=AD
∵AD∥EC
∴∠ECF=∠ADC=α
∴∠ACE=∠ACD+∠ECF=2α
∵把△ABC沿AC折叠到△AEC
∴AE=AB=AC=2，∠EAC=∠BAC=α，BC=CE
∴∠E=∠ACE=2α，∠ECF=∠EAC=α，
∴∠EFC=∠EAC+∠FCA=2α=∠E
∴AF=FC=CE=BC
设AF=FC=CE=BC=x
∵在△AEC和△CFE中，∠E=∠E，∠ECF=α=∠EAC
∴△AEC∽△CFE
即解得（负根舍去）
∴线段BC的长为
（4）①如图
②如图
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∵AC=AD
∴
∴
∴
∴AB∥CD
故答案为：AB∥CD；
（4）①如图所示：在AG上截取GF=DG，连接CF，
由（3）知，
∵CG⊥DF且DG=GF
∴CD=CF
∴
∴∠DFC=∠ACD，∠ADC=∠ADC
∴△CDF∽△ADC
∴
由折叠性质：
∵AC=AE，AG⊥EC
∴
∴
∴AF=CF=CD
设AG=x，DG=y，则CD=AF=x-y，AD=x+y，DF=2y
∴，即
记，将变形为
即，解得：（负值已舍去）；
②如图所示：延长AG使FG=AG，连接CF，
易证：△CAF∽△DCF
∴
设AG=x，DG=y，则CF=AC=AD=y-x，DF=x+y，AF=2x
∴，即
记，将变形为
即，解得：（负值已舍去）；
综上所述：的值为或.
【分析】（1）利用角的和差可计算，根据“旋补四边形”定义可知△ACD是等腰三角形，即，利用“三角形内角和180°”可知，最后由“内错角相等，两直线平行”判定AB∥CD；
（2）根据特殊角60°及AB=AC=AD可判定△ABC和△ADC是等边三角形，可得到四边形ABCD四条边相等，即可证明；
（3）同第（1）问先计算，结合平行线的性质与折叠的性质倒角，可得到∠E=∠ACE=2α，∠ECF=∠EAC=α，进而证明△AEC∽△CFE，并且AF=FC=CE=BC，利用相似三角形对应线段成比例即可计算；
（4）类比第（3）问，构造相似三角形，利用对应线段成比例，得到关于的方程，计算求解即可.
1 / 1广东省深圳中学2026年初三数学中考三模试卷
1．在方格纸中，选择标有序号①②③④中的一个小正方形涂黑，与图中阴影部分构成中心对称图形，该小正方形的序号是（　　）
A．④ B．③ C．② D．①
2．实数在数轴上对应点位置如图所示，这四个数中最小的是（　　）
A． B． C． D．
3．下列各式计算正确的是（　　）
A．3a（1-a）=3a-3a2 B．
C． D．
4．如图，点A，B，C在⊙O上，∠AOB=100°，∠C的度数是（　　）
A．40° B．50° C．80° D．100°
5．若是方程的一个解，则m的值为（　　）
A．1 B．2 C． D．
6．已知直线a//b，将一块含30°角的直角三角板（∠BAC=30°，∠ACB=90°）按如图所示的方式放置，顶点A，C分别落在直线a，b上，若∠1=20°，则∠2的度数是（　　）
A．60° B．50° C．45° D．40°
7．我国古代计算题：“马四匹，牛六头，共价四十八两（我国古代货币单位）；马三匹，牛五头，共价三十八两.问马、牛各价几何 ”设马价x两，牛价y两，可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．一束光从空气中以不同的角度射入水中，会发生反射和折射现象。如图1是光束在空水中的径迹，如图2，现将一束光以一定的入射角射入水面GK，此时反射光线与折射光线夹角恰为90°，直线l为法线，A、O、D三点共线，若水深OE为3m，则线段CD的长为（　　）
A．2m B．4m C． D．
9．若是整数，则n的值可以是　 　（写出一个即可）
10．将函数的图象向下平移2个单位后，得到的新函数的解析式为　 　
11．如图，一次函数y=kx+b（k、b为常数，且k≠0）和反比例函数的图象交于A、B两点，当x>0时，请利用函数图象直接写出不等式的解集是　 　
12．如图，在正方形ABCD中，点E为BC中点，连接AE，过点E作EF⊥AE交CD于点F，连接AF，若则AF=　 　.
13．如图，点E是矩形ABCD的边CD的中点，以点D为圆心，DE长为半径作弧，交AD于点F，若矩形ABCD的面积为8，则图中扇形EDF的面积为　 　.
14．计算：
15．先化简： 再求值： 再从-1，0，1，2中选一个合适的数代入求值.
16． 2025年11月25日搭载神舟二十二号飞船的长征二号F遥二十二运载火箭成功发射，我国航天再添辉煌，让我们看到了科技进步的力量.某中学为了了解本校学生对航天科技的关注程度，组织八、九年级学生进行航天科普知识竞赛（满分100分），并分别从两个年级中随机抽取了20名学生的成绩进行整理、描述和分析（成绩均不低于60分，用x表示，共分为四组：A.60≤x<70，B.70≤x<80，C.80≤x<90，D.90≤x≤100），下面给出了部分信息：
八年级20名学生的成绩是：68，69，77，84，85，86，86，86，89，90，90，94，94，94，94，97，98，99，100，100.
九年级20名学生的成绩在C组中的数据是：81，86，88，88，89.
九年级抽取学生的竞赛成绩扇形统计图
八、九年级抽取的学生竞赛成绩统计表
年级 平均数 中位数 众数
八年级 89 90 a
九年级 89 b 92
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：m=　 　；a=　 　，b=　 　；
（2）根据以上数据分析，你认为这次比赛中哪个年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好 请说明理由；（写一条）
（3）该校德育处从八年级测试成绩前四名甲、乙、丙、丁学生中，随机抽取2名学生参加全市航天科普知识竞赛，请用列表法或画树状图法求出必有甲同学参加比赛的概率.
17．某景区需购买A，B两种帐篷，已知用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等，且B种帐篷的单价比A种帐篷的单价多400元.
（1）A，B两种帐篷的单价各是多少元
（2）若该景区需要购买A，B两种帐篷共20顶（两种帐篷均需购买），且购买B种帐篷的数量不少A种帐篷数量的，则购买A，B两种帐篷各多少顶时，总费用最低 最低总费用是多少元
18．如图，在△ABC中，点O是AB上（异于点A、B）的一点，⊙O恰好经过点B、C，BD⊥AC，垂足为点D，且BC平分∠ABD.
（1）判断直线AC与⊙O的位置关系，并说明理由.
（2）若AB=5，AD=4，求⊙O的半径长.
（3）尺规作图：作∠A的角平分线AE（点E在线段BD上）。
19．综合与实践
【问题背景】浙江台州神仙居景区内有两座著名的景观桥——如意桥与圆梦桥。
如意桥由“鸟巢”设计师何云昌团队设计，两侧下沉的为主拱，两侧上升的为副拱，整体造型宛如一柄悬空的玉如意。主拱和副拱轮廓近似抛物线。
综合实践小组的同学研究这两座桥的对称美学时发现：将如意桥主拱抽象为一条抛物线绕某点旋转得到的抛物线可以用来模拟如意桥的副拱。这种中心对称变换在桥梁设计中既能满足力学要求，又能形成和谐的视觉平衡。
（1）【模型建立】
如图1，实践小组记主拱所在抛物线为副拱所在抛物线为以它们的对称中心为原点O建立平面直角坐标系，它们的交点所在直线为x轴，即和关于原点中心对称。通过测量得知和的顶点间距离为32米，和的左右交点A、B间距离为米，则的顶点D的坐标为（0，　 　，左交点A的坐标为　 　，0），抛物线的解析式为　 　，抛物线的解析式为　 　；
（2）【模型应用】
实践小组参考如意桥的对称美，设计了一座新的桥梁，主拱不变的情况下，改成两条关于y轴对称的副拱和如图2，和所在抛物线关于点P（m，0）对称，且恰好经过C1的顶点D，请求出左副拱所在抛物线的解析式；
（3）在（2）的条件下，为了提高安全性，小组拟增加一段斜拉索EF，所在直线为y=x+n，如图3，要求斜拉索EF和每一个主副拱至少要有一个连接点，即直线y=x+n至少要与和各有一个交点，求出n的取值范围.
20．【定义】将线段AB绕点A逆时针旋转角得到线段AC，将线段AB绕点A逆时针旋转角（180°-α）得到线段AD，则称由点A、B、C、D围成的四边形为“旋补四边形”，其中∠BAC=α为旋补角。
【概念感悟】
（1）如图1，在旋补四边形ABCD中，，则对边AB与CD满足位置关系：　 　；
（2）如图2，当α=60°时，求证：旋补四边形ABCD是菱形；
（3）【拓展应用】
已知四边形ABCD为旋补四边形，旋补角∠BAC=α，把沿AC折叠到直线AE与直线CD交于点F.
如图3，，若AB=2，AD∥EC，求线段BC的长；
（4）若直线AD⊥直线EC于点G，画出示意图并写出的值.
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】利用旋转设计图案
【解析】【解答】解：应该将②涂黑．
故选C．
【分析】根据中心对称图形的特点进行判断即可．
2．【答案】A
【知识点】实数在数轴上的表示；实数的大小比较
【解析】【解答】解：根据题意可得：，
∴四个数种最小的数为，
故答案为：A．
【分析】根据实数在数轴上的表示结合题意得到，进而即可求解。
3．【答案】A
【知识点】单项式乘多项式；完全平方公式及运用；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，正确；
B、，不是同类项不能合并，错误；
C、，错误；
D、，错误；
故答案为：A.
【分析】本题主要考查单项式乘多项式、合并同类项、积的乘方以及完全平方公式.需要注意的是选项C的符号根据“奇负偶正”判断应为负；选项D完全平方公式展开为二次三项式.
4．【答案】B
【知识点】圆周角定理
【解析】【解答】解：∵∠AOB和∠C都对
∴
故选：B.
【分析】直接利用圆周角定理求解.
5．【答案】D
【知识点】已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：∵是方程的一个解，
∴，解得，
故答案为：D．
【分析】根据方程解的定义“使方程左右两边相等的未知数的值就是方程的解”，将x=1代入原方程可得关于字母m的一元一次方程，求解即可得出m的值.
6．【答案】B
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：∵a∥b
∴∠2=∠1+∠CAB
∵∠1=20°，∠CAB=30°
∴∠2=50°
故答案为：B.
【分析】本题主要考查平行线的性质.根据“两直线平行，内错角相等”得到∠2=∠1+∠CAB，即可计算∠2的度数.
7．【答案】A
【知识点】二元一次方程组的应用-古代数学问题；列二元一次方程组
【解析】【解答】解：根据题意可列：
故答案为：A.
【分析】本题主要考查列二元一次方程组解决实际问题.根据“马四匹，牛六头，共价四十八两”可列：4x+6y=48；根据“马三匹，牛五头，共价三十八两”可列：3x+5y=38，联立即可得到二元一次方程组.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】解：如图：
根据题意：，∠BOC=90°
∴∠1+∠2=90°
∵∠2+∠3=90°
∴
∵，
∴
∵A、O、D三点共线
∴
∴
∴
故答案为：C.
【分析】本题主要考查三角函数的实际应用.根据“入射角等于反射角”及“反射光线与折射光线夹角恰为90°”推出及，分别在△EOC与△EOD中利用计算EC，ED，计算线段差即可得到CD的长.
9．【答案】20
【知识点】算术平方根的性质（双重非负性）；算术平方根的实际应用
【解析】【解答】解：∵是整数
∴20-n的值可以为0，1，4，9，16
∴n可以是20、19、16、11、4
故答案为：20、19、16、11、4（写一个即可）
【分析】本题主要考查算术平方根为整数的条件.要使为整数，则20-n必须是一个完全平方数，因为20-n≥0，所以根据20以内的完全平方数确定n的值即可.
10．【答案】
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：∵的图象向下平移2个单位
∴新函数的解析式为
故答案为：.
【分析】本题主要考查二次函数图象的平移规律.根据“上加下减”原则确定平移后的图像解析式.
11．【答案】1＜x<4
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：根据图象可知，当1＜x<4时，反比例函数图象在一次函数图象下方，即，
故答案为：1＜x<4.
【分析】本题主要考查利用函数图象解不等式.不等式表示反比例函数的图像在一次函数y=kx+b图像下方，观察图象即可得到解集.
12．【答案】
【知识点】勾股定理；正方形的性质；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是正方形
∴∠B=∠C=90°，AB=BC
∵
∴
∵点E为BC中点
∴
根据勾股定理：
∵EF⊥AE
∴∠AEF=90°
∴∠AEB+∠FEC=90°
∵∠AEB+∠BAE=90°
∴∠BAE=∠FEC
∴△ABE∽△ECF
∴
根据勾股定理：
故答案为：.
【分析】本题主要考查勾股定理、三角形相似及正方形性质.先根据正方形性质及边长利用勾股定理计算AE的长；再通过“AA”判定两三角形相似，计算EF的长；最后利用勾股定理计算AF即可.
13．【答案】
【知识点】三角形的面积；矩形的性质；扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD是矩形
∴∠D=90°，AD=BC，AB=CD
设DE=x，根据题意CE=DE=DF=x，AB=CD=2x
∵矩形ABCD的面积为8
∴
∴
∵
∴
∴
∴
∴
故答案为：
【分析】本题主要考查矩形的性质、三角形面积及扇形面积的计算.先根据矩形性质与作图步骤得到线段关系，并用字母x表示；再根据三角形面积公式及两个三角形面积关系计算x；最后根据扇形面积公式计算扇形EDF的面积.
14．【答案】解：原式
=3.
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；实数的混合运算（含开方）；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题主要考查实数的混合运算，包括负整数指数幂、特殊角的三角函数值、二次根式的化简以及零次幂.按照运算法则逐项计算：（负指数化为倒数）；由计算；；（非零数的零次幂为1），最后合并同类项即可.
15．【答案】解：
∵m=-1，0，1时，原分式无意义，
∴m=2，
当m=2时，原式
【知识点】分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】本题考查分式的化简求值与分式有意义的条件；解题时先对括号内的分式进行通分计算，再将除法转化为乘法，同时对分子分母分别因式分解，通过约分化简为最简分式；再根据分式分母不能为零的条件，排除使原式无意义的 的取值，从剩余数值中选取一个代入最简分式，计算得到最终结果。
16．【答案】（1）25；94；87
（2）八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好。理由如下：因为两个年级学生成绩的平均数相同，但八年级成绩的中位数高于九年级；所以八年级学生航天科普知识的竞赛成绩更好。
（3）列表如下：
甲 乙 丙 丁
甲 —— （甲，乙） （甲，丙） （甲，丁）
乙 （乙，甲） —— （乙，丙） （乙，丁）
丙 （丙，甲） （丙，乙） —— （丙，丁）
丁 （丁，甲） （丁，乙） （丁，丙） ——
所有等可能的结果共有12种，其中必有甲同学参加比赛的结果有6种
可得P（必有甲同学参加）
答：必有甲同学参加的概率为.
【知识点】扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数
【解析】【解答】解：（1）九年级学生C组成绩的人数占比为，所以m=25；
根据八年级学生成绩数据，94分出现次数最多，所以a=94；
九年级学生成绩在D组的人数为人，成绩在C组的人数为5人，因为共有20人，因此将C组数据从大到小排列：89、88、88、86、81，中位数为；
故答案为：25；94；87.
【分析】本题主要考查统计图表的分析、中位数、众数的计算及用列表法或树状图法求概率.
（1）根据题干信息“九年级20名学生的成绩在C组中的数据有5个”可计算m；根据八年级学生成绩数据找到出现次数最多的数据即为众数a；根据中位数定义，20个数据，中位数应为第10、11个数据的平均数，根据D组数据有7个，将C组数据从大到小排列第3、4个即为整体数据的第10、11个数据，计算平均数即可；
（2）分析三种统计量，两个年级的平均数相同，八年级成绩的中位数、众数均比九年级成绩高，因此八年级成绩更好；
（3）列表共有12种等可能结果（有序），其中含有甲的有6种（甲与乙、甲与丙、甲与丁，每种顺序不同算两次），即可计算概率.
17．【答案】（1）解：设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为（x+400）元，由题意得：
解得：x=600.
经检验：x=600是原分式方程的解且符合题意
∴x+400=1000.
答：A种帐篷的单价为600元，B种帐篷的单价为1000元
（2）解：设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷（20-m）顶，总费用为W元.
由题意得：
解得：m≤15.
又∵两种型号的帐篷均需购买，
∴0W=600m+1000（20-m）=-400m+20000.
∵-400<0，
∴W随m的增大而减小，
∴当m=15时，W取最小值，w总小=-400×15+20000=14000.
此时20-m=5.
答：当购买A种帐篷15顶，B种帐篷5顶时，总费用最低，最低总费用为14000元.
【知识点】分式方程的实际应用；一次函数的实际应用-方案问题
【解析】【分析】本题主要考查分式方程的实际应用以及一次函数最值问题.
（1）设A种帐篷的单价为x元，则B种帐篷的单价为x+400，根据“用1800元购买A种帐篷的数量与用3000元购买B种帐篷的数量相等 ”，A种帐篷数量为，B种帐篷数量为，可列分式方程，注意分式方程要检验；
（2）根据两种帐篷的数量关系分别设购买A种帐篷m顶，则B种帐篷（20-m）顶，根据“购买B种帐篷的数量不少A种帐篷数量的 ”得到m的取值范围；再由总费用=购买A种帐篷的费用+购买B种帐篷的费用，得到W与m的函数关系式，利用一次函数性质求解即可.
18．【答案】（1）解：AC与⊙O相切.
理由如下：如图，连接OC，
∵OB=OC，
∴∠OBC=∠OCB.
∵BC平分∠ABD，
∴∠DBC=∠OBC，
∴∠OCB=∠DBC，
∴OC∥BD，
∴∠ACO=∠D.
∵BD⊥AD，
∴∠D=90°，
∴∠ACO=∠D=90°，
∵点C在⊙O上
∴AC与⊙O相切；
（2）解：设⊙O的半径为r.
∵∠D=90°，AB=5，AD=4，
由（1）知，∠ACO=∠D，
又∵∠CAO=∠DAB，
∴△AOC∽△ABD，
∴⊙O的半径长为.
（3）如图，AE即为所求
【知识点】切线的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】本题主要考查圆切线的判定、相似三角形的判定和性质以及尺规作图——角平分线.
（1）连接OC，根据“等边对等角”及角平分线的定义得到∠OCB=∠DBC，利用“内错角相等，两直线平行”推出OC∥BD，再由“两直线平行，同位角相等”得到∠ACO=∠D=90°；结合“∠ACO=90°”与“OC是半径”即可判定AC与⊙O相切；
（2）先利用勾股定理计算BD长；再利用“AA”证明相似，根据相似三角形对应线段成比例即可计算圆的半径；
（3）以点A为圆心适当长为半径画弧，交AD、AB于两点，分别以这两点为圆心，大于两点间距离为半径画弧，交于一点，连接点A与这一点并延长交BD于点E即可.
19．【答案】（1）16；；；
（2）解：设C3所在抛物线为
∵C1和C3所在抛物线关于点P（m，0）对称，
且C3的顶点（h，k）的C1顶点D（0，16）也关于点P对称，即k=-16
∵C3恰好经过C1的顶点D（0，16），
即
解得h=±48，
∵C3在y轴左侧，∴h=-48
∴C3所在抛物线为
（3）∵C4（x≥0）和直线y=x+n至少要有一个交点，
∴直线y=x+n与C4最高可交于点D（0，16）
∴n≤16
∵C1和直线y=x+n的交点坐标满足方程组：
消y得即
当n≤16时，，
∴，
∴当n≤16时，C1和直线y=x+n的必有交点
∵C3和直线y=x+n的交点坐标满足方程组：
消y得即
∵
∴
∴n的取值范围为14≤n≤16.
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；二次函数的实际应用-拱桥问题；二次函数与一元二次方程的综合应用；利用顶点式求二次函数解析式
【解析】【解答】（1）解：∵和关于原点中心对称，和的顶点间距离为32米
∴OD=16
∴点D坐标为（0，16）
又∵和的左右交点A、B间距离为米
∴
∴点A的坐标为
设抛物线的解析式为，将点A代入得：
解得：
∴抛物线的解析式为
∵和关于原点中心对称
∴抛物线的解析式为
故答案为：16；；；.
【分析】（1）根据题干信息确定顶点D的坐标及点A的坐标；由于抛物线关于y轴对称且顶点坐标D为（0，16），设抛物线的解析式为，将点A坐标代入计算a即可得到抛物线的解析式；根据和关于原点中心对称，则抛物线开口大小不变、开口方向相反，即可得到抛物线的解析式；
（2）设抛物线的解析式为顶点式，根据和关于点P中心对称，得到a相同；结合抛物线的顶点确定k的值；最后根据恰好经过的顶点D，将点D坐标代入计算h即可；
（3）先确定与直线至少有一个交点，最高可交于点D即可确定n≤16；联立与直线，根据判别式可判断C1和直线y=x+n的必有交点；联立与直线，根据判别式计算n的范围，最后得到n的解集.
20．【答案】（1）AB∥CD
（2）∵四边形ABCD为旋补四边形且α=60°
∴∠BAC=60°，∠BAD=120°，AB=AC=AD
∴∠DAC=∠BAD-∠BAC=60°
∵AB=AC，AC=AD
∴△ABC和△ADC是等边三角形
∴AB=BC=AC=CD=AD
∴四边形ABCD是菱形
（3）∵四边形ABCD为旋补四边形
∴∠CAD=∠BAD-∠BAC=180°-2α
∵AC=AD
∵AD∥EC
∴∠ECF=∠ADC=α
∴∠ACE=∠ACD+∠ECF=2α
∵把△ABC沿AC折叠到△AEC
∴AE=AB=AC=2，∠EAC=∠BAC=α，BC=CE
∴∠E=∠ACE=2α，∠ECF=∠EAC=α，
∴∠EFC=∠EAC+∠FCA=2α=∠E
∴AF=FC=CE=BC
设AF=FC=CE=BC=x
∵在△AEC和△CFE中，∠E=∠E，∠ECF=α=∠EAC
∴△AEC∽△CFE
即解得（负根舍去）
∴线段BC的长为
（4）①如图
②如图
【知识点】翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定；旋转的性质；一元二次方程的应用-几何问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：（1）∵
∴
∵AC=AD
∴
∴
∴
∴AB∥CD
故答案为：AB∥CD；
（4）①如图所示：在AG上截取GF=DG，连接CF，
由（3）知，
∵CG⊥DF且DG=GF
∴CD=CF
∴
∴∠DFC=∠ACD，∠ADC=∠ADC
∴△CDF∽△ADC
∴
由折叠性质：
∵AC=AE，AG⊥EC
∴
∴
∴AF=CF=CD
设AG=x，DG=y，则CD=AF=x-y，AD=x+y，DF=2y
∴，即
记，将变形为
即，解得：（负值已舍去）；
②如图所示：延长AG使FG=AG，连接CF，
易证：△CAF∽△DCF
∴
设AG=x，DG=y，则CF=AC=AD=y-x，DF=x+y，AF=2x
∴，即
记，将变形为
即，解得：（负值已舍去）；
综上所述：的值为或.
【分析】（1）利用角的和差可计算，根据“旋补四边形”定义可知△ACD是等腰三角形，即，利用“三角形内角和180°”可知，最后由“内错角相等，两直线平行”判定AB∥CD；
（2）根据特殊角60°及AB=AC=AD可判定△ABC和△ADC是等边三角形，可得到四边形ABCD四条边相等，即可证明；
（3）同第（1）问先计算，结合平行线的性质与折叠的性质倒角，可得到∠E=∠ACE=2α，∠ECF=∠EAC=α，进而证明△AEC∽△CFE，并且AF=FC=CE=BC，利用相似三角形对应线段成比例即可计算；
（4）类比第（3）问，构造相似三角形，利用对应线段成比例，得到关于的方程，计算求解即可.
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