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广东省广州市第七中学2026年九年级数学中考前模拟试卷
1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵盈利与亏本是具有相反意义的两种量，题目规定盈利记为正，
∴亏本对应的记数符号为负，
因此亏本30元记作元。
故答案为：A
【分析】本题考查正负数在实际情境中的应用。正负数可用来表示一对相反意义的量，题目已经明确盈利的记数规则为正，那么与盈利含义相反的亏本就对应负的记数形式，直接对应数值书写即可得到结果。
2．一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（　　）
A．圆 B．圆柱 C．圆锥 D．棱柱
【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：该展开图由两个全等的圆形和一个矩形组成，
∵圆柱的侧面展开图为矩形，上下底面为两个全等的圆，
∴该几何体是圆柱。
故答案为：B
【分析】本题考查常见几何体的展开图识别。根据展开图的组成特征，两个圆形可作为几何体的上下底面，矩形可作为侧面，结合圆柱的展开图结构特点，就能对应判断出几何体的类型。
3．有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这10位同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，
∴要判断是否进入决赛，还需知道这10位同学的中位数.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知中位数是将一组数据从大到小（或从小到大）排列后，处于最中间的数或最中间的两个数的平均数，由此可做出判断。
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；分式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：选项A：根据同底数幂相乘的法则，底数不变指数相加，，计算错误；
选项B：，与被开方数不同，不属于同类二次根式，无法直接合并，计算错误；
选项C：分式的分子与分母不存在公因式，不能进行约分，计算错误；
选项D：先对分母用平方差公式因式分解，，则，计算正确。
故答案为：D
【分析】本题综合考查幂的运算、二次根式加减、分式化简等基础运算规则。分别依据同底数幂乘法法则、同类二次根式的合并要求、分式约分的条件以及平方差公式因式分解后约分的方法，逐个验证选项的计算正误，就能选出正确结果。
5．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形内角和公式：边形内角和为，
对于正八边形，边数，
代入公式得内角和为。
故答案为：C
【分析】本题考查多边形内角和公式的应用。多边形内角和与边数相关，通用公式为，只需将正八边形的边数8代入公式，经过简单计算就能得到内角和的数值。
6．如图，在中，，，线段垂直平分，交于点，交于点，若cm，则的长为（　　）
A．cm B．cm C．cm D．cm
【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴。
∵垂直平分，
∴，。
在中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴。
故答案为：C
【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及解直角三角形的应用。先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合顶角的度数算出底角的度数；再根据线段垂直平分线得到直角与线段相等的关系，在直角三角形中利用余弦的定义求出的长度，进而得到的长度，最后结合的条件得到的长。
7．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送2件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每小时送件外卖，则现在平均每小时送件外卖。
原来送40件外卖的耗时为小时，
现在送40件外卖的耗时为小时。
∵现在送40件的时间比原来少3小时，即原来的耗时减去3小时等于现在的耗时，
∴可列方程：。
故答案为：D
【分析】本题考查分式方程的实际应用，属于工程类问题。首先根据题目设出的原来的配送效率，表示出现在的配送效率；再结合“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系，分别表示出原来和现在配送40件的时长；最后根据“现在比原来少用3小时”的时间差关系，整理出对应的等量关系，即可列出方程。
8．如图，是的直径，是的切线，点B为切点，若，，则劣弧长为（　　）．
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的切线，
∴，即。
在中，，
∴，
又∵，，
∴，
则圆的半径。
根据圆周角定理，。
由弧长公式，代入，，
得劣弧的长为。
故答案为：C
【分析】本题综合考查圆的切线性质、解直角三角形、圆周角定理与弧长计算。首先根据切线的性质得到直角三角形，结合正切值求出的度数与直径的长度，进而得到圆的半径；再利用圆周角定理求出圆心角的度数；最后代入弧长公式计算即可得到劣弧的长度。
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式，
即，解得。
联立两个函数的解析式，得，
两边同乘整理得，即。
∵，∴，
又∵对任意实数，都有，
∴方程无实数解，即两个函数图象没有交点。
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与函数交点问题的综合应用。先通过一元二次方程有两个不等实根的条件，利用根的判别式求出的取值范围；再将两个函数解析式联立，转化为一元二次方程，结合的取值范围判断方程根的情况，根的个数就对应函数图象的交点个数。
10．某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管每分钟的进水量和出水管每分钟的出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分钟）之间的关系如图，则容器内的水量不少于27升时持续的时间是（　　）分钟．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，前4分钟进水20升，
则进水管每分钟进水量为升。
设出水管每分钟出水量为升，
∵4到12分钟共8分钟，容器内水量从20升增加到30升，
∴，
解得。
分两个阶段计算水量不少于27升的时长：
① 既进水又出水阶段（4~12分钟）：此阶段每分钟净增水量为升，
水量从27升到30升所需时间为分钟；
② 只出水阶段（12分钟后）：此阶段每分钟减少升，
水量从30升降到27升所需时间为分钟。
总持续时长为分钟。
故答案为：B
【分析】本题考查一次函数的实际应用，结合分段函数的图象分析水量变化规律。首先根据第一段图象求出进水管的进水速度，再通过第二段的水量变化求出出水管的出水速度；接着分“既进水又出水”和“只出水”两个阶段，分别计算水量不低于27升的时长，最后将两个阶段的时长相加，就能得到总持续时间。
11．截至2026年3月，全国高铁累计安全运行里程已超过8500000公里，成为全球最安全、最繁忙的高速铁路网络.8500000用科学记数法表示为　 　．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法的形式为，其中，为整数。
将8500000的小数点向左移动6位，得到，
小数点移动的位数为6，故，
即。
故答案为：
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法用于表示较大或较小的数，核心是确定和的值：需要满足一位整数的要求，通过移动原数的小数点得到；的绝对值等于小数点移动的位数，原数大于10时为正整数，据此计算即可得到结果。
12．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴实数x的取值范围是：x≠2．
故答案为x≠2．
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
13．如图，，，垂足为，，则　 　．
【答案】
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，∴。
在中，根据三角形内角和为，
得。
又∵，
∴（两直线平行，同位角相等）。
故答案为：
【分析】本题考查平行线的性质与三角形内角和定理的综合应用。先由垂直的定义得到直角，再利用三角形内角和为180°的性质，算出的度数；最后根据平行线的同位角相等的性质，就能得到的度数。
14．不等式组的解集为　 　
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：分别求解两个不等式：
解不等式，
移项得，即，
系数化为1得；
解不等式，
两边同乘2得，
移项得。
根据“大小小大中间找”的解集规则，
不等式组的解集为。
故答案为：
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法。先分别解出两个一元一次不等式的解集，解不等式时注意移项变号、系数化为1时不等号方向的变化规则；再根据不等式组解集的确定口诀，结合两个解集的范围，取公共部分即为不等式组的解集。
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若以原点为位似中心作一个四边形，使它与四边形位似，且它与四边形的相似比为，则顶点在第一象限内的对应点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】平行四边形的性质；位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，，
根据平行四边形顶点坐标的规律，点的横坐标为，纵坐标为，
即。
∵位似中心为原点，相似比为，且对应点在第一象限，
∴点的坐标为点坐标乘以，
即横坐标：，纵坐标：，
故。
故答案为：
【分析】本题考查平行四边形的性质与位似变换的坐标规律。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知顶点坐标推导出点的坐标；再根据以原点为位似中心的坐标变化规则，相似比为时，对应点坐标为原坐标乘以，结合第一象限的限定，就能得到的坐标。
16．如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，下列结论：①四边形是正方形；②的周长为；③；④的长为．其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）
【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：① ∵四边形是矩形，∴。
由折叠性质得，，
∴四边形有三个角为直角，且邻边，
∴四边形是正方形，故①正确。
过点作，分别交、于、，
则四边形为矩形，。
∵是正方形的对角线，∴，
∴、均为等腰直角三角形。
设，则，，。
由折叠得，在中，由勾股定理：
，即，
展开整理得，解得或（舍去）。
∴，，。
③∵、为等腰直角三角形，
∴，，
∴，故③正确。
∵，∴，
又，∴，
又，∴。
∴，代入得，
解得，，故④正确。
②，
的周长为，故②错误。
综上，正确的结论是①③④。
故答案为：①③④
【分析首先根据矩形的性质得到 DC 与 AB、CB 与 AD 的长度关系以及直角条件；结合折叠得出 BA=EB 且∠FEB 为直角，先由三个内角为直角判定四边形 ABEF 为矩形，再根据正方形的判定定理验证结论①正确。接着作辅助线 MN 平行于 AB，利用矩形的判定得到四边形 ABNM 为矩形，进而得到 MN 的长度；由正方形的性质得到 45° 角，结合平行线的内错角相等△BNG 和△FMG 均为等腰直角三角形，得到直角边相等的关系。设 BN 的长度为参数 a，用含 a 的代数式表示出 MD、MG 的长度，再由折叠得到 DG=DC=10，在直角三角形 MDG 中应用勾股定理，进而即可得到参数 a 的值，从而确定各条线段的长度。然后利用同角的余角相等推出∠NGH 与∠MDG 相等，结合两个直角相等的条件，根据个三角形相似的判定定理证明△DMG 与△GNH得到NH、GH 的长度，结合折叠得到 CH=GH，验证结论④正确。再根据等腰直角三角形斜边与直角边的数量关系，分别求出 BG 和 GF 的长度，计算二者的比值验证结论③正确；最后求出 BH 的长度，计算△BGH 的周长，判断结论②不成立。
17．解方程组：．
【答案】解：
由①，得：
把③代入②，得．
解得：．
把代入①，得．
∴原方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的求解，可采用代入消元法计算。先整理第一个方程，用含的式子表示，再将其代入第二个方程，消去未知数后解一元一次方程得到的值，最后将的值回代求出，即可得到方程组的解。
18．如图，平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接．求证：．
【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E，F分别在边上，，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．已知．
（1）化简；
（2）若为方程的解，求的值．
【答案】（1）解：
；
（2）解：∵为方程的解，
∴，
∴，
∴．
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，结合完全平方公式、平方差公式与一元二次方程的解的定义进行求解。
（1）先根据完全平方公式展开，根据平方差公式展开，再去括号后合并同类项，即可完成对的化简；
（2）根据方程解的定义，将代入方程可得的整体数值，再将化简后的变形为含的形式，采用整体代入法计算，就能求出的值。
20．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
（1）求密度关于体积V的函数解析式；
（2）若，求二氧化碳密度的变化范围．
【答案】（1）解：∵密度与体积V是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为：；
（2）解：观察函数图象可知，随V的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，
即二氧化碳密度的变化范围是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】本题考查反比例函数的实际应用，结合待定系数法与反比例函数的单调性求解。
（1）先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再将已知的与的对应数值代入解析式，解出比例系数，即可得到完整的函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质，当时，在的范围内随的增大而减小，因此分别将区间端点和代入解析式，求出对应的密度值，就能得到密度的取值范围。
21．为增加学生对科普知识的了解，某校七年级开展了科普知识竞赛，从中随机抽取了部分学生的成绩，并对数据进行整理，数据分为四组，下面给出了部分信息：抽取的学生科普竞赛成绩的统计表和不完整扇形统计图如下：
组别 成绩/分 人数（频数）
A 4
B 9
C
D 4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中　 　，扇形统计图中B组所对应扇形的圆心角是　 　度．
（2）若该校七年级共有120人参加本次科普竞赛，请你估计该校七年级参加本次科普竞赛成绩达到80分及以上的人数．
（3）A组中的4个学生有1位男生，3位女生，学校将从这四人中随机挑选两人作为代表，进行发言总结，请通过列表或画树状图的方法，求恰好选中两位女生的概率．
【答案】（1）3；162
（2）解：人，
答：估计该校七年级参加本次科普竞赛成绩达到80分及以上的人数为78人；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好选中两位女生的结果有种，
∴恰好选中两位女生的概率．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）人，
∴一共抽取的学生人数为20人，
∴，扇形统计图中B组所对应扇形的圆心角是；
【分析】本题考查统计与概率的综合应用，涉及频数统计、扇形统计图、用样本估计总体与概率计算。
（1）先根据A组的人数和对应的扇形占比，计算出抽取的总人数，再用总人数减去其余三组的人数得到的值；用360°乘以B组人数占总人数的比例，就能得到B组对应扇形的圆心角度数；
（2）先计算样本中80分及以上的人数占比，再用总人数120乘以这个占比，即可估计全年级达标人数；
（3）先通过画树状图或列表的方式，列举出所有等可能的抽取结果，再从中筛选出恰好选中两位女生的结果数，根据概率公式“符合条件的结果数÷总结果数”计算即可得到对应概率。
22．如图，．
（1）请用直尺和圆规完成以下基本作图：在射线上截取，作的平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形是菱形．
【答案】（1）如图即为所求；
（2），
，
平分．
，
，
，
又，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题考查尺规作图与菱形的判定，结合平行线、角平分线的性质推导边的关系。
（1）第一步用圆规以为圆心、长为半径画弧，与射线的交点即为点；第二步按照作角平分线的尺规作图方法，作出的平分线，与的交点即为，最后连接即可完成作图；
（2）先根据平行线的内错角相等，得到与相等，再结合角平分线的定义推出，由等角对等边得到；结合的条件，可推得与平行且相等，先判定四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，完成证明。
23．如图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的，摩天轮上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，如图所示．
（1）座舱到达最高点时距离地面的高度为　 　米；
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长．
（3）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
【答案】（1）110
（2）解：过点 作，交 于点 ．延长 ，交于点，连接，设米，
∵，
∴，
∴，，
在中，米，米，
∴，
∴，
同理可得
∴，
∴最佳观赏风景的时间为分钟；
（3）解：连接， ，过点A作，垂足为，
根据题意可知，米，
在 中，米，，
∴米，
∵，
∴，
∵与 相切，
∴，
∴ ，
∵米，
∴，
∴，
∴米，
，
在中，米，
答：点 处的座舱到地面的距离约为米；
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：如图所示，连接，
由题意得，当三点共线，且点A与点B不重合时，座舱到达最高点，
∴座舱到达最高点时距离地面的高度为米；
【分析】本题考查圆的实际应用，结合圆的性质、解直角三角形、弧长计算等知识点解决摩天轮相关问题。
（1）座舱到达最高点时，最高点、圆心与最低点在同一条竖直线上，最高点到地面的高度等于圆的直径加上最低点到地面的高度，代入数值计算即可；
（2）先作出距离地面85米的水平线，与圆交于两点，连接圆心与交点构造直角三角形，通过解直角三角形求出对应的圆心角；再根据圆心角占周角的比例，乘以转动一周的总时长，就能得到最佳观赏的时长；
（3）先连接圆心与切点、圆心与观察点，根据切线的性质得到直角三角形，结合勾股定理与三角函数求出相关角度；再过点作地面的垂线，构造新的直角三角形，利用角度与边长的三角函数关系，计算出点到地面的垂直距离。
24．定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“关联函数”．例如：二次函数的“关联函数”为：
（1）二次函数，求该二次函数的“关联函数”的解析式；
（2）设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“关联函数”的图象为，与相交于、两点（点在点的右侧）．
①直线与，分别交于点，，连接交于点，当，的值最大时，求的值；
②若二次函数与它的“关联函数”组成新函数，当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，求的取值范围．
【答案】（1）解：∵二次函数，
，
该二次函数的“关联函数”为 ．
（2）解：①交x轴于点，交y轴于点，
，
，
，
∴该二次函数的“关联函数”为；
根据题意，令，整理得，
解得，
，
∵点在点的右侧，
∴；
如图，过点A作轴交于点H，
当时，，
∴，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∴当时，有最大值为；
②根据题意，由二次函数与它的“关联函数”组成的新函数w如图所示：
，
，
，
∴开口向下，
，
∴当时，取得最小值，最小值为0；当 时，取得最大值，最大值为4，
∵当 时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，
∴当的最大值为4时，符合题意，
则当时，即，解得，
，
，
，
∴当 时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题是新定义类二次函数综合题，结合函数交点、面积比、最值范围等问题进行考查。
（1）根据题目给出的“关联函数”定义，提取二次函数中的、、的值，代入一次函数的系数公式计算出与常数项，即可写出关联函数的解析式；
（2）①先利用待定系数法，将、两点坐标代入二次函数解析式，求出、的值，得到二次函数与对应关联函数的解析式，联立两个解析式求出点的坐标；过点作平行于轴的直线交关联函数于点，求出的长度；再分别表示出、两点的坐标，得到线段的长度；利用平行线判定三角形相似，通过相似比将两个三角形的面积比转化为对应线段的长度比，进而得到关于的二次函数，结合二次函数的性质求出面积比最大时的取值；
②先画出分段函数的图象，分析二次函数段与一次函数段的最值情况；根据“最大值与最小值的差值为定值”的条件，确定区间左端点的取值范围，使得区间内函数的最大值与最小值固定，进而解出的取值范围。
25．如图，在菱形中，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）求证：；
（2）若的面积为，，求的长；
（3）设，求的最大值（用含的式子表示）．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
由旋转可知，，
，
，
在和中，，
（2）解：，
，
设，，
过点E作于M，过F作于N，
，
，
，，
，，
，
即，
解得，
，，
是等边三角形，
，
；
（3）解：，
，
当 时， 值最小，的值最大，
如下图所示，
是等边三角形， ，
，
又是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即的最大值为．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题是菱形与旋转结合的几何综合题，涉及全等三角形、面积计算、最值问题等知识点。
（1）先根据菱形的性质与的条件，判定为等边三角形，得到、；再结合旋转的性质，得到、，通过角的和差关系推导出，最后利用SAS判定定理证明两个三角形全等；
（2）由全等三角形的性质得到，设出边长与线段长度，分别过、作的垂线，利用60°角的三角函数表示出两条高的长度；根据的面积等于两个同底三角形面积之和，代入面积公式列方程，求出菱形边长即的长度，再用减去即可得到的长度；
（3）根据长度固定，要使最大，需让最小，结合垂线段最短的性质，当垂直于时取得最小值；结合等边三角形的性质与菱形的边长，计算出此时与的长度，代入比值即可得到最大值。
1 / 1广东省广州市第七中学2026年九年级数学中考前模拟试卷
1．中国古代著作《九章算术》在世界数学史上首次正式引入负数，如果盈利元记作元，那么亏本元记作（　　）
A．元 B．元 C．元 D．元
2．一个几何体的展开图如图所示，则这个几何体是（　　）
A．圆 B．圆柱 C．圆锥 D．棱柱
3．有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，一位选手知道了自己的成绩后，要判断能否进入决赛，则他还需知道这10位同学成绩的（　　）
A．平均数 B．中位数 C．方差 D．众数
4．下列计算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．文明驾车，礼让行人，一定程度上反映了城市的文明程度．如图，交通指示牌的停车让行标志是正八边形，它的内角和等于（　　）
A． B． C． D．
6．如图，在中，，，线段垂直平分，交于点，交于点，若cm，则的长为（　　）
A．cm B．cm C．cm D．cm
7．由于平台优化派单算法及改善交通工具，某外卖小哥现在每小时比原来可多送2件外卖，送40件的时间比原来少用了3小时．设原来平均每小时送件外卖，依题意，可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，是的直径，是的切线，点B为切点，若，，则劣弧长为（　　）．
A． B． C． D．
9．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则函数的图象与函数的图象交点个数为（　　）
A．0 B．1 C．2 D．3
10．某容器有一个进水管和一个出水管，从某时刻开始的前4分钟内只进水不出水，在随后的8分钟内既进水又出水，12分钟后关闭进水管，放空容器中的水．已知进水管每分钟的进水量和出水管每分钟的出水量是两个常数，容器内的水量（单位：升）与时间（单位：分钟）之间的关系如图，则容器内的水量不少于27升时持续的时间是（　　）分钟．
A． B． C． D．
11．截至2026年3月，全国高铁累计安全运行里程已超过8500000公里，成为全球最安全、最繁忙的高速铁路网络.8500000用科学记数法表示为　 　．
12．若代数式 有意义，则实数x的取值范围是　 　.
13．如图，，，垂足为，，则　 　．
14．不等式组的解集为　 　
15．如图，在平面直角坐标系中，的顶点，的坐标分别为，，若以原点为位似中心作一个四边形，使它与四边形位似，且它与四边形的相似比为，则顶点在第一象限内的对应点的坐标是　 　．
16．如图，有一张矩形纸片，已知，，现将纸片进行如下操作：先将纸片沿折痕进行折叠，使点落在边上的点处，点在上；然后将纸片沿折痕进行第二次折叠，使点落在第一次的折痕上的点处，点在上，下列结论：①四边形是正方形；②的周长为；③；④的长为．其中正确的结论是　 　．（填写所有正确结论的序号）
17．解方程组：．
18．如图，平行四边形中，点E，F分别在的延长线上，且，连接．求证：．
19．已知．
（1）化简；
（2）若为方程的解，求的值．
20．密闭容器内有一定质量的二氧化碳，当容器的体积V（单位：）变化时，气体的密度（单位：）随之变化．已知密度与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示，当时，．
（1）求密度关于体积V的函数解析式；
（2）若，求二氧化碳密度的变化范围．
21．为增加学生对科普知识的了解，某校七年级开展了科普知识竞赛，从中随机抽取了部分学生的成绩，并对数据进行整理，数据分为四组，下面给出了部分信息：抽取的学生科普竞赛成绩的统计表和不完整扇形统计图如下：
组别 成绩/分 人数（频数）
A 4
B 9
C
D 4
根据以上信息，回答下列问题：
（1）统计表中　 　，扇形统计图中B组所对应扇形的圆心角是　 　度．
（2）若该校七年级共有120人参加本次科普竞赛，请你估计该校七年级参加本次科普竞赛成绩达到80分及以上的人数．
（3）A组中的4个学生有1位男生，3位女生，学校将从这四人中随机挑选两人作为代表，进行发言总结，请通过列表或画树状图的方法，求恰好选中两位女生的概率．
22．如图，．
（1）请用直尺和圆规完成以下基本作图：在射线上截取，作的平分线，交于点，连接；（保留作图痕迹，不写作法）
（2）求证：四边形是菱形．
23．如图是某摩天轮的实景图．摩天轮可视作半径为50米的，摩天轮上的某个座舱可视作上的点，座舱距离地面的最低高度为10米，地面上的观察点到点的距离为80米，如图所示．
（1）座舱到达最高点时距离地面的高度为　 　米；
（2）已知摩天轮匀速转动一周需要30分钟，当座舱距离地面不低于85米时，在座舱中观赏风景的体验最佳．点处的座舱随摩天轮匀速转动一周的过程中，求该座舱中乘客最佳观赏风景的时长．
（3）当视线与相切时，求点处的座舱到地面的距离．（结果精确到米）（参考数据：，，，）
24．定义：对于二次函数（其中、、为常数，且，），我们把一次函数叫作该二次函数的“关联函数”．例如：二次函数的“关联函数”为：
（1）二次函数，求该二次函数的“关联函数”的解析式；
（2）设二次函数的图象交轴于点，交轴于点，它的“关联函数”的图象为，与相交于、两点（点在点的右侧）．
①直线与，分别交于点，，连接交于点，当，的值最大时，求的值；
②若二次函数与它的“关联函数”组成新函数，当时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，求的取值范围．
25．如图，在菱形中，，点是边上一动点，将线段绕点逆时针旋转得到线段．
（1）求证：；
（2）若的面积为，，求的长；
（3）设，求的最大值（用含的式子表示）．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】用正数、负数表示相反意义的量
【解析】【解答】解：∵盈利与亏本是具有相反意义的两种量，题目规定盈利记为正，
∴亏本对应的记数符号为负，
因此亏本30元记作元。
故答案为：A
【分析】本题考查正负数在实际情境中的应用。正负数可用来表示一对相反意义的量，题目已经明确盈利的记数规则为正，那么与盈利含义相反的亏本就对应负的记数形式，直接对应数值书写即可得到结果。
2．【答案】B
【知识点】几何体的展开图
【解析】【解答】解：该展开图由两个全等的圆形和一个矩形组成，
∵圆柱的侧面展开图为矩形，上下底面为两个全等的圆，
∴该几何体是圆柱。
故答案为：B
【分析】本题考查常见几何体的展开图识别。根据展开图的组成特征，两个圆形可作为几何体的上下底面，矩形可作为侧面，结合圆柱的展开图结构特点，就能对应判断出几何体的类型。
3．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：∵有10位同学参加歌唱比赛，成绩各不相同，按成绩取前5位进入决赛，
∴要判断是否进入决赛，还需知道这10位同学的中位数.
故答案为：B.
【分析】根据题意可知中位数是将一组数据从大到小（或从小到大）排列后，处于最中间的数或最中间的两个数的平均数，由此可做出判断。
4．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；分式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：选项A：根据同底数幂相乘的法则，底数不变指数相加，，计算错误；
选项B：，与被开方数不同，不属于同类二次根式，无法直接合并，计算错误；
选项C：分式的分子与分母不存在公因式，不能进行约分，计算错误；
选项D：先对分母用平方差公式因式分解，，则，计算正确。
故答案为：D
【分析】本题综合考查幂的运算、二次根式加减、分式化简等基础运算规则。分别依据同底数幂乘法法则、同类二次根式的合并要求、分式约分的条件以及平方差公式因式分解后约分的方法，逐个验证选项的计算正误，就能选出正确结果。
5．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形内角和公式：边形内角和为，
对于正八边形，边数，
代入公式得内角和为。
故答案为：C
【分析】本题考查多边形内角和公式的应用。多边形内角和与边数相关，通用公式为，只需将正八边形的边数8代入公式，经过简单计算就能得到内角和的数值。
6．【答案】C
【知识点】线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵在中，，，
∴。
∵垂直平分，
∴，。
在中，，，
∴，
∴，
又∵，
∴。
故答案为：C
【分析】本题考查等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质以及解直角三角形的应用。先利用等腰三角形两底角相等的性质，结合顶角的度数算出底角的度数；再根据线段垂直平分线得到直角与线段相等的关系，在直角三角形中利用余弦的定义求出的长度，进而得到的长度，最后结合的条件得到的长。
7．【答案】D
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设原来平均每小时送件外卖，则现在平均每小时送件外卖。
原来送40件外卖的耗时为小时，
现在送40件外卖的耗时为小时。
∵现在送40件的时间比原来少3小时，即原来的耗时减去3小时等于现在的耗时，
∴可列方程：。
故答案为：D
【分析】本题考查分式方程的实际应用，属于工程类问题。首先根据题目设出的原来的配送效率，表示出现在的配送效率；再结合“工作时间=工作总量÷工作效率”的关系，分别表示出原来和现在配送40件的时长；最后根据“现在比原来少用3小时”的时间差关系，整理出对应的等量关系，即可列出方程。
8．【答案】C
【知识点】圆周角定理；切线的性质；弧长的计算；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：∵是的直径，是的切线，
∴，即。
在中，，
∴，
又∵，，
∴，
则圆的半径。
根据圆周角定理，。
由弧长公式，代入，，
得劣弧的长为。
故答案为：C
【分析】本题综合考查圆的切线性质、解直角三角形、圆周角定理与弧长计算。首先根据切线的性质得到直角三角形，结合正切值求出的度数与直径的长度，进而得到圆的半径；再利用圆周角定理求出圆心角的度数；最后代入弧长公式计算即可得到劣弧的长度。
9．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【解答】解：∵一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴根的判别式，
即，解得。
联立两个函数的解析式，得，
两边同乘整理得，即。
∵，∴，
又∵对任意实数，都有，
∴方程无实数解，即两个函数图象没有交点。
故答案为：A
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式与函数交点问题的综合应用。先通过一元二次方程有两个不等实根的条件，利用根的判别式求出的取值范围；再将两个函数解析式联立，转化为一元二次方程，结合的取值范围判断方程根的情况，根的个数就对应函数图象的交点个数。
10．【答案】B
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：由图象可知，前4分钟进水20升，
则进水管每分钟进水量为升。
设出水管每分钟出水量为升，
∵4到12分钟共8分钟，容器内水量从20升增加到30升，
∴，
解得。
分两个阶段计算水量不少于27升的时长：
① 既进水又出水阶段（4~12分钟）：此阶段每分钟净增水量为升，
水量从27升到30升所需时间为分钟；
② 只出水阶段（12分钟后）：此阶段每分钟减少升，
水量从30升降到27升所需时间为分钟。
总持续时长为分钟。
故答案为：B
【分析】本题考查一次函数的实际应用，结合分段函数的图象分析水量变化规律。首先根据第一段图象求出进水管的进水速度，再通过第二段的水量变化求出出水管的出水速度；接着分“既进水又出水”和“只出水”两个阶段，分别计算水量不低于27升的时长，最后将两个阶段的时长相加，就能得到总持续时间。
11．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：科学记数法的形式为，其中，为整数。
将8500000的小数点向左移动6位，得到，
小数点移动的位数为6，故，
即。
故答案为：
【分析】本题考查科学记数法的表示方法。科学记数法用于表示较大或较小的数，核心是确定和的值：需要满足一位整数的要求，通过移动原数的小数点得到；的绝对值等于小数点移动的位数，原数大于10时为正整数，据此计算即可得到结果。
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件
【解析】【解答】解：∵代数式 有意义，
∴实数x的取值范围是：x≠2．
故答案为x≠2．
【分析】分式有意义的条件：分母不为0，据此解答即可.
13．【答案】
【知识点】三角形内角和定理；两直线平行，同位角相等
【解析】【解答】解：∵，∴。
在中，根据三角形内角和为，
得。
又∵，
∴（两直线平行，同位角相等）。
故答案为：
【分析】本题考查平行线的性质与三角形内角和定理的综合应用。先由垂直的定义得到直角，再利用三角形内角和为180°的性质，算出的度数；最后根据平行线的同位角相等的性质，就能得到的度数。
14．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：分别求解两个不等式：
解不等式，
移项得，即，
系数化为1得；
解不等式，
两边同乘2得，
移项得。
根据“大小小大中间找”的解集规则，
不等式组的解集为。
故答案为：
【分析】本题考查一元一次不等式组的解法。先分别解出两个一元一次不等式的解集，解不等式时注意移项变号、系数化为1时不等号方向的变化规则；再根据不等式组解集的确定口诀，结合两个解集的范围，取公共部分即为不等式组的解集。
15．【答案】
【知识点】平行四边形的性质；位似变换；坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，，
根据平行四边形顶点坐标的规律，点的横坐标为，纵坐标为，
即。
∵位似中心为原点，相似比为，且对应点在第一象限，
∴点的坐标为点坐标乘以，
即横坐标：，纵坐标：，
故。
故答案为：
【分析】本题考查平行四边形的性质与位似变换的坐标规律。首先利用平行四边形对边平行且相等的性质，结合已知顶点坐标推导出点的坐标；再根据以原点为位似中心的坐标变化规则，相似比为时，对应点坐标为原坐标乘以，结合第一象限的限定，就能得到的坐标。
16．【答案】①③④
【知识点】勾股定理；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：① ∵四边形是矩形，∴。
由折叠性质得，，
∴四边形有三个角为直角，且邻边，
∴四边形是正方形，故①正确。
过点作，分别交、于、，
则四边形为矩形，。
∵是正方形的对角线，∴，
∴、均为等腰直角三角形。
设，则，，。
由折叠得，在中，由勾股定理：
，即，
展开整理得，解得或（舍去）。
∴，，。
③∵、为等腰直角三角形，
∴，，
∴，故③正确。
∵，∴，
又，∴，
又，∴。
∴，代入得，
解得，，故④正确。
②，
的周长为，故②错误。
综上，正确的结论是①③④。
故答案为：①③④
【分析首先根据矩形的性质得到 DC 与 AB、CB 与 AD 的长度关系以及直角条件；结合折叠得出 BA=EB 且∠FEB 为直角，先由三个内角为直角判定四边形 ABEF 为矩形，再根据正方形的判定定理验证结论①正确。接着作辅助线 MN 平行于 AB，利用矩形的判定得到四边形 ABNM 为矩形，进而得到 MN 的长度；由正方形的性质得到 45° 角，结合平行线的内错角相等△BNG 和△FMG 均为等腰直角三角形，得到直角边相等的关系。设 BN 的长度为参数 a，用含 a 的代数式表示出 MD、MG 的长度，再由折叠得到 DG=DC=10，在直角三角形 MDG 中应用勾股定理，进而即可得到参数 a 的值，从而确定各条线段的长度。然后利用同角的余角相等推出∠NGH 与∠MDG 相等，结合两个直角相等的条件，根据个三角形相似的判定定理证明△DMG 与△GNH得到NH、GH 的长度，结合折叠得到 CH=GH，验证结论④正确。再根据等腰直角三角形斜边与直角边的数量关系，分别求出 BG 和 GF 的长度，计算二者的比值验证结论③正确；最后求出 BH 的长度，计算△BGH 的周长，判断结论②不成立。
17．【答案】解：
由①，得：
把③代入②，得．
解得：．
把代入①，得．
∴原方程组的解是．
【知识点】代入消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】本题考查二元一次方程组的求解，可采用代入消元法计算。先整理第一个方程，用含的式子表示，再将其代入第二个方程，消去未知数后解一元一次方程得到的值，最后将的值回代求出，即可得到方程组的解。
18．【答案】证明：∵四边形是平行四边形，
∴，，
∵点E，F分别在边上，，
∴，即，
又∵，
∴四边形是平行四边形，
∴．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形判定定理及性质即可求出答案.
19．【答案】（1）解：
；
（2）解：∵为方程的解，
∴，
∴，
∴．
【知识点】整式的混合运算；利用整式的混合运算化简求值
【解析】【分析】本题考查整式的化简求值，结合完全平方公式、平方差公式与一元二次方程的解的定义进行求解。
（1）先根据完全平方公式展开，根据平方差公式展开，再去括号后合并同类项，即可完成对的化简；
（2）根据方程解的定义，将代入方程可得的整体数值，再将化简后的变形为含的形式，采用整体代入法计算，就能求出的值。
20．【答案】（1）解：∵密度与体积V是反比例函数关系，
∴设，
∵当时，，
∴，
∴，
∴密度关于体积V的函数解析式为：；
（2）解：观察函数图象可知，随V的增大而减小，
当时，，
当时，，
∴当时，
即二氧化碳密度的变化范围是．
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【分析】本题考查反比例函数的实际应用，结合待定系数法与反比例函数的单调性求解。
（1）先根据反比例函数的定义设出函数解析式，再将已知的与的对应数值代入解析式，解出比例系数，即可得到完整的函数解析式；
（2）根据反比例函数的性质，当时，在的范围内随的增大而减小，因此分别将区间端点和代入解析式，求出对应的密度值，就能得到密度的取值范围。
21．【答案】（1）3；162
（2）解：人，
答：估计该校七年级参加本次科普竞赛成绩达到80分及以上的人数为78人；
（3）解：画树状图如下：
由树状图可知，一共有12种等可能的结果，其中恰好选中两位女生的结果有种，
∴恰好选中两位女生的概率．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）人，
∴一共抽取的学生人数为20人，
∴，扇形统计图中B组所对应扇形的圆心角是；
【分析】本题考查统计与概率的综合应用，涉及频数统计、扇形统计图、用样本估计总体与概率计算。
（1）先根据A组的人数和对应的扇形占比，计算出抽取的总人数，再用总人数减去其余三组的人数得到的值；用360°乘以B组人数占总人数的比例，就能得到B组对应扇形的圆心角度数；
（2）先计算样本中80分及以上的人数占比，再用总人数120乘以这个占比，即可估计全年级达标人数；
（3）先通过画树状图或列表的方式，列举出所有等可能的抽取结果，再从中筛选出恰好选中两位女生的结果数，根据概率公式“符合条件的结果数÷总结果数”计算即可得到对应概率。
22．【答案】（1）如图即为所求；
（2），
，
平分．
，
，
，
又，
，
又，
∴四边形是平行四边形，
又，
∴四边形是菱形．
【知识点】平行线的性质；平行四边形的判定；菱形的判定；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】本题考查尺规作图与菱形的判定，结合平行线、角平分线的性质推导边的关系。
（1）第一步用圆规以为圆心、长为半径画弧，与射线的交点即为点；第二步按照作角平分线的尺规作图方法，作出的平分线，与的交点即为，最后连接即可完成作图；
（2）先根据平行线的内错角相等，得到与相等，再结合角平分线的定义推出，由等角对等边得到；结合的条件，可推得与平行且相等，先判定四边形为平行四边形，再根据一组邻边相等的平行四边形是菱形，完成证明。
23．【答案】（1）110
（2）解：过点 作，交 于点 ．延长 ，交于点，连接，设米，
∵，
∴，
∴，，
在中，米，米，
∴，
∴，
同理可得
∴，
∴最佳观赏风景的时间为分钟；
（3）解：连接， ，过点A作，垂足为，
根据题意可知，米，
在 中，米，，
∴米，
∵，
∴，
∵与 相切，
∴，
∴ ，
∵米，
∴，
∴，
∴米，
，
在中，米，
答：点 处的座舱到地面的距离约为米；
【知识点】勾股定理；切线的性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【解答】（1）解：如图所示，连接，
由题意得，当三点共线，且点A与点B不重合时，座舱到达最高点，
∴座舱到达最高点时距离地面的高度为米；
【分析】本题考查圆的实际应用，结合圆的性质、解直角三角形、弧长计算等知识点解决摩天轮相关问题。
（1）座舱到达最高点时，最高点、圆心与最低点在同一条竖直线上，最高点到地面的高度等于圆的直径加上最低点到地面的高度，代入数值计算即可；
（2）先作出距离地面85米的水平线，与圆交于两点，连接圆心与交点构造直角三角形，通过解直角三角形求出对应的圆心角；再根据圆心角占周角的比例，乘以转动一周的总时长，就能得到最佳观赏的时长；
（3）先连接圆心与切点、圆心与观察点，根据切线的性质得到直角三角形，结合勾股定理与三角函数求出相关角度；再过点作地面的垂线，构造新的直角三角形，利用角度与边长的三角函数关系，计算出点到地面的垂直距离。
24．【答案】（1）解：∵二次函数，
，
该二次函数的“关联函数”为 ．
（2）解：①交x轴于点，交y轴于点，
，
，
，
∴该二次函数的“关联函数”为；
根据题意，令，整理得，
解得，
，
∵点在点的右侧，
∴；
如图，过点A作轴交于点H，
当时，，
∴，
，
设，则，
，
，
，
，
，
∴当时，有最大值为；
②根据题意，由二次函数与它的“关联函数”组成的新函数w如图所示：
，
，
，
∴开口向下，
，
∴当时，取得最小值，最小值为0；当 时，取得最大值，最大值为4，
∵当 时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，
∴当的最大值为4时，符合题意，
则当时，即，解得，
，
，
，
∴当 时，函数的最大值和最小值的差值不随的值变化而变化，的取值范围是．
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；二次函数-面积问题
【解析】【分析】本题是新定义类二次函数综合题，结合函数交点、面积比、最值范围等问题进行考查。
（1）根据题目给出的“关联函数”定义，提取二次函数中的、、的值，代入一次函数的系数公式计算出与常数项，即可写出关联函数的解析式；
（2）①先利用待定系数法，将、两点坐标代入二次函数解析式，求出、的值，得到二次函数与对应关联函数的解析式，联立两个解析式求出点的坐标；过点作平行于轴的直线交关联函数于点，求出的长度；再分别表示出、两点的坐标，得到线段的长度；利用平行线判定三角形相似，通过相似比将两个三角形的面积比转化为对应线段的长度比，进而得到关于的二次函数，结合二次函数的性质求出面积比最大时的取值；
②先画出分段函数的图象，分析二次函数段与一次函数段的最值情况；根据“最大值与最小值的差值为定值”的条件，确定区间左端点的取值范围，使得区间内函数的最大值与最小值固定，进而解出的取值范围。
25．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
由旋转可知，，
，
，
在和中，，
（2）解：，
，
设，，
过点E作于M，过F作于N，
，
，
，，
，，
，
即，
解得，
，，
是等边三角形，
，
；
（3）解：，
，
当 时， 值最小，的值最大，
如下图所示，
是等边三角形， ，
，
又是等边三角形，
，
，
，，
，
，
，
，
，
即的最大值为．
【知识点】三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的性质；解直角三角形—边角关系
【解析】【分析】本题是菱形与旋转结合的几何综合题，涉及全等三角形、面积计算、最值问题等知识点。
（1）先根据菱形的性质与的条件，判定为等边三角形，得到、；再结合旋转的性质，得到、，通过角的和差关系推导出，最后利用SAS判定定理证明两个三角形全等；
（2）由全等三角形的性质得到，设出边长与线段长度，分别过、作的垂线，利用60°角的三角函数表示出两条高的长度；根据的面积等于两个同底三角形面积之和，代入面积公式列方程，求出菱形边长即的长度，再用减去即可得到的长度；
（3）根据长度固定，要使最大，需让最小，结合垂线段最短的性质，当垂直于时取得最小值；结合等边三角形的性质与菱形的边长，计算出此时与的长度，代入比值即可得到最大值。
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