资源简介

广东省深圳市宝安中学2025-2026学年高一上学期阶段考试数学试卷
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，所以.
故答案为：A
【分析】由题意可知，对于交集的概念，只需取两个集合相同的元素，即可进行运算.
2．命题，的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】A
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是“，”.
故答案为：A
【分析】对于命题的否定，全称量词命题需要改为存在量词命题，然后再将结论的范围进行变换，“＞”改为“≤”即可，可以得出答案.
3．已知，则的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，
由，
则，即.
故答案为：C.
【分析】令，注意新元的取值范围，利用换元法求函数解析式即可.
4．定义差集．现有三个集合，如图所示，则阴影部分表示的集合是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：根据差集的定义可得图（1）中的阴影部分表示的集合是，
则可用图（2）中的阴影部分表示，故 A错误；
根据差集的定义可得图（3）中的阴影部分表示的集合是，
所以可用图（4）中的阴影部分表示，故B错误；
因为图（1）中的阴影部分表示的集合是，图（3）中的阴影部分表示的集合是，
所以，所以，故C错误；
因为可用图（2）中的阴影部分表示，可用图（4）中的阴影部分表示，
所以原图中阴影部分表示的集合是，
又，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据差集的定义作出图表示，同理再作出，即可判断A；根据差集的定义作出图表示，再作出，即可判断B，再进行集合的运算即可判断CD.
5．若，则下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、由，得，因此，故A正确；
B、取，得，故B错误；
C、，由，得，
则，，即，故C错误；
D、取，满足，而，故D错误.
故答案为：A.
【分析】利用不等式性质即可判断A；取特殊值，得即可判断B；利用作差法比较大小即可判断C；取特殊值取，即可判断D.
6．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质
【解析】【解答】二次函数的对称轴为，
要使二次函数在上单调，则或，即或，
故答案为：B．
【分析】结合二次函数的性质，要使得二次函数在上单调，则二次函数对称轴在3的左侧或4的右侧（包含端点），根据此要求建立不等关系并解出即可．
7．若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：命题“，不等式恒成立”是真命题，
则恒成立，
令，则，则，可得，
因为函数、在区间上均为减函数，所以函数在区间上为减函数，
当时，，即，
则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意可得恒成立，令，分离参数可得，求出函数在区间上的最小值，即可得实数的取值范围.
8．定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：作出的图象，如图所示：
令，解得或，则，
令，解得，则，
由题可知，当在区间上的取值范围为时，
当且仅当时取得最大值，且最大值为.
故答案为：B.
【分析】作出的图象，分别令，，求得点的坐标，根据值域，结合图象求的最大值即可.
9．下列说法正确的是（　　）
A． B．集合
C．集合 D．若，则
【答案】B,D
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】A、不是的元素，，A不符合题意；
B、集合表示所有2的整数倍的数组成的集合即偶数集，
集合表示为整数的数组成的集合，则，
即，也是偶数集，所以两个集合相等，B符合题意；
C、不是同一集合，C不符合题意．
D、由，由可知，所以，
则，所以，解得或，
由集合元素的互异性可知，所以.D符合题意．
故答案为：BD
【分析】利用元素与集合以及集合和集合的关系判断A，通过相等集合的概念判断BC；利用元素相同，以及结合元素满足互异性求解即可判断D.
10．已知的解集是，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．不等式的解集是
C．的最小值是
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由不等式的解集为，可得 是关于x的方程 的两个根，且 ，
A、由分析可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误；
B、由韦达定理可得 ，解得 ，，
不等式 化为 ，由 可得 ，解得 ，
则不等式 的解集为 ，故B正确；
C、， ， 则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，则 的最小值是，故C正确；
D、当 时， ，则 ，
当 时， 取到最大值 ，
由 得， 或 ，
的值域是 ，
因 在 上的最小值为 ，最大值为1，
从而得 或 ，
因此 ，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可得 是关于x的方程 的两个根，且 即可判断A；利用韦达定理求得，解一元二次不等式即可判断B；利用基本不等式求最值即可判断C；利用二次函数图象与性质，分析求解即可判断D.
11．已知，则下列结论正确的有（　　）
A．的最小值为16 B．的最小值为13
C．的最小值为10 D．的最小值为128
【答案】A,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、，所以由（当且仅当时等号成立），可得.
所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为16，A符合题意；
B、因为，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，B不符合题意；
C、，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，C不符合题意；
D、因为由选项A可知，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】对于A项，所给等式直接结合基本不等式，然后再进行解一元二次不等式即可判断；对于B选项先把题目中的式子转化为，然后再利用“1的妙用”求出最小值即可判断；对于C选项通过式子的转换，结合“1的妙用“即可得到式子，，可求出最小值来判断；对于D选项利用A项中：，然后再结合重要不等式进行求解最小值即可判断。
12．函数的定义域为　 　.
【答案】[1，+∞)
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由可知： ，故，
即函数的定义域为[1，+∞)，
故答案为：[1，+∞)
【分析】根据函数解析式列出不等式组，求得答案.
13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是　 　.
【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解： 函数在区间上单调递减 ，
当时，易知函数在区间上单调递减；
当时，要使函数在区间上单调递减，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分和讨论，易知当时，符合题意；当，由题意列不等式组，求解即可得实数a的取值范围.
14．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是　 　.
【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以当时，；当时，，
要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立，
因为当时，；当时，，
所以当时，，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】分和讨论的正负，结合题意分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，最后利用基本不等式求最值即可.
15．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围.
【答案】（1）当时，集合，则或，
又由不等式解得，所以，
所以.
（2）由（1）知，集合，当时，，
因为“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，
则且等号不能同时成立，解得，
所以正实数m的取值范围是.
【知识点】交、并、补集的混合运算；必要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）由写出集合，并求出，结合一元二次不等式求出集合，根据交集运算可得；
（2）由题意可得集合是集合的真子集，再根据真子集的定义列出关于的不等式组，解不等式组可得.
（1）当时，集合，则或，
又由不等式解得，所以，
所以.
（2）由（1）知，集合，当时，，
因为“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，
则且等号不能同时成立，解得，
所以正实数m的取值范围是.
16．已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行.
（1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间；
（2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值.
【答案】（1）解：如下图所示：
由题意可得，，，，，
由勾股定理可得，
因此，此人从海岛到达地的时间为；
（2）解：如下图所示：，，，，
由勾股定理可得，
由题意可得，即，
可得，
则，当且仅当时，即当时等号成立，
故快递员的速度的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）作出图形，利用勾股定理求得，再根据速度求时间即可；
（2）根据，利用勾股定理求得，根据时间相等列方程，最后利用基本不等式求最值即可.
（1）如下图所示：
由题意可得，，，，，
由勾股定理可得，
因此，此人从海岛到达地的时间为；
（2）如下图所示：，，，，
由勾股定理可得，
由题意可得，即，
可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，快递员的速度的最大值为.
17．已知函数.
（1）若是上的增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）当时，用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增.
【答案】（1）因为，
又是上的增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）当时，不等式，
即，即，
解得或，则解集为
（3）当时，函数
设
，，，
所以函数在区间上单调递增.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据分段函数的单调性以及临界值大小关系即可得到不等式组，进行解出即可；
（2）代入，即可得到一元二次不等式，进行解一元二次不等式即可；
（3）代入值得，结合函数单调性的定义可证.
（1）因为，
又是上的增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）当时，不等式，
即，即，
解得或，则解集为或.
（3）当时，函数
设
，，，
所以函数在区间上单调递增.
18．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
【答案】（1）解：当时，函数，
不等式，即，解得，
则不等式的解集为；
（2）解：由不等式，
若，不等式即为，解得；
若，不等式可化为，即，
此时方程的两根分别为，
当时，不等式即为，解得；
当时，不等式即为，
若，可得，解得或；
若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为；
若，可得，解得或；
综上可得：
当时，不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（3）解：不等式，，即，且，可得，
设，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，
即的最大值为，
若存在，使得不等式成立，可得，
故的取值范围是.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将代入可得函数，再解一元二次不等式即可求得不等式的解集；
（2）整理可得，分和讨论，当时，求得方程的两根，再对a分情况讨论求解即可；
（3）分离参数整理可得，换元令，则，利用基本不等式可得，再根据存在性问题即可得结果.
（1）当时，，
即，解得，
所以的解集为.
（2）由不等式，
若，不等式即为，解得；
若，不等式可化为，即，
此时方程的两根分别为，
当时，不等式即为，解得；
当时，不等式即为，
若，可得，解得或；
若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为；
若，可得，解得或；
综上可得：
当时，不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）因为，，即，
且，可得，
设，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为，
若存在，使得不等式成立，
可得，所以的取值范围是.
19．已知正数满足.
（1）求的取值范围.
（2）求的最小值
（3）若正数满足，证明：.
【答案】（1）因为，可得，
等价于，解得或，
且，可得，所以的取值范围为.
（2）因为正数满足，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是9.
（3）因为，即，则需证明，
因为，当且仅当时等号成立，
同理可得、，
当且仅当、时等号成立，
则，
可得，
即，当且仅当时等号成立，
所以.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得，转化为一元二次不等式进行求解，注意y的范围即可；
（2）首先进行整理可得，利用“1”的替换法求解出最值即可；
（3）通过利用基本不等式可得，、结合题意，注意等号成立的条件.
（1）因为，可得，
等价于，解得或，
且，可得，所以的取值范围为.
（2）因为正数满足，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是9.
（3）因为，即，则需证明，
因为，当且仅当时等号成立，
同理可得、，
当且仅当、时等号成立，
则，
可得，
即，当且仅当时等号成立，
所以.
1 / 1广东省深圳市宝安中学2025-2026学年高一上学期阶段考试数学试卷
1．已知集合，，则（　　）
A． B． C． D．
2．命题，的否定是（　　）
A．， B．，
C．， D．，
3．已知，则的解析式为（　　）
A． B．
C． D．
4．定义差集．现有三个集合，如图所示，则阴影部分表示的集合是（　　）
A． B．
C． D．
5．若，则下列命题正确的是（　　）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．已知函数在上具有单调性，则实数k的取值范围是（　　）
A． B．
C． D．
7．若命题“，不等式恒成立”是真命题，则实数的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
8．定义：表示中的较小者.若函数在区间上的取值范围为，则的最大值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
9．下列说法正确的是（　　）
A． B．集合
C．集合 D．若，则
10．已知的解集是，则下列说法正确的是（　　）
A．
B．不等式的解集是
C．的最小值是
D．当时，，的值域是，则的取值范围是
11．已知，则下列结论正确的有（　　）
A．的最小值为16 B．的最小值为13
C．的最小值为10 D．的最小值为128
12．函数的定义域为　 　.
13．若函数在区间上单调递减，则实数的取值范围是　 　.
14．已知，，若关于的不等式在时恒成立，则的最小值是　 　.
15．已知集合，.
（1）若，求；
（2）若存在正实数，使得“”是“”成立的必要不充分条件，求正实数的取值范围.
16．已知、为东西方向的海岸线上相距的两地（在的东侧），是、之间距地处的一地，在地正南方向处有一海岛，由海岛开往海岸的小船以的速度按直线方向航行.
（1）某人在海岛上乘小船在距地正东方向处的地登岸，登岸后以的速度向东步行到地，求此人从海岛到达地的时间；
（2）一快递员以的速度从地向地骑行，同时某人乘小船从海岛向海岸出发，两人恰好相遇于、之间的地，且距地，求快递员的速度的最大值.
17．已知函数.
（1）若是上的增函数，求实数的取值范围；
（2）当时，求不等式的解集；
（3）当时，用单调性的定义证明：函数在区间上单调递增.
18．已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）求关于的不等式的解集；
（3）若存在，使得不等式成立，求的取值范围.
19．已知正数满足.
（1）求的取值范围.
（2）求的最小值
（3）若正数满足，证明：.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】，，所以.
故答案为：A
【分析】由题意可知，对于交集的概念，只需取两个集合相同的元素，即可进行运算.
2．【答案】A
【知识点】全称量词命题；命题的否定
【解析】【解答】全称量词命题的否定是存在量词命题，所以命题“，”的否定是“，”.
故答案为：A
【分析】对于命题的否定，全称量词命题需要改为存在量词命题，然后再将结论的范围进行变换，“＞”改为“≤”即可，可以得出答案.
3．【答案】C
【知识点】函数解析式的求解及常用方法
【解析】【解答】解：令，
由，
则，即.
故答案为：C.
【分析】令，注意新元的取值范围，利用换元法求函数解析式即可.
4．【答案】D
【知识点】交、并、补集的混合运算；Venn图表达集合的关系及运算
【解析】【解答】解：根据差集的定义可得图（1）中的阴影部分表示的集合是，
则可用图（2）中的阴影部分表示，故 A错误；
根据差集的定义可得图（3）中的阴影部分表示的集合是，
所以可用图（4）中的阴影部分表示，故B错误；
因为图（1）中的阴影部分表示的集合是，图（3）中的阴影部分表示的集合是，
所以，所以，故C错误；
因为可用图（2）中的阴影部分表示，可用图（4）中的阴影部分表示，
所以原图中阴影部分表示的集合是，
又，故D正确.
故答案为：D.
【分析】根据差集的定义作出图表示，同理再作出，即可判断A；根据差集的定义作出图表示，再作出，即可判断B，再进行集合的运算即可判断CD.
5．【答案】A
【知识点】不等关系与不等式；利用不等式的性质比较数（式）的大小
【解析】【解答】解：A、由，得，因此，故A正确；
B、取，得，故B错误；
C、，由，得，
则，，即，故C错误；
D、取，满足，而，故D错误.
故答案为：A.
【分析】利用不等式性质即可判断A；取特殊值，得即可判断B；利用作差法比较大小即可判断C；取特殊值取，即可判断D.
6．【答案】B
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的性质
【解析】【解答】二次函数的对称轴为，
要使二次函数在上单调，则或，即或，
故答案为：B．
【分析】结合二次函数的性质，要使得二次函数在上单调，则二次函数对称轴在3的左侧或4的右侧（包含端点），根据此要求建立不等关系并解出即可．
7．【答案】A
【知识点】命题的真假判断与应用；函数单调性的性质；函数的最大（小）值；函数恒成立问题
【解析】【解答】解：命题“，不等式恒成立”是真命题，
则恒成立，
令，则，则，可得，
因为函数、在区间上均为减函数，所以函数在区间上为减函数，
当时，，即，
则实数的取值范围是.
故答案为：A.
【分析】由题意可得恒成立，令，分离参数可得，求出函数在区间上的最小值，即可得实数的取值范围.
8．【答案】B
【知识点】函数的最大（小）值；函数的图象
【解析】【解答】解：作出的图象，如图所示：
令，解得或，则，
令，解得，则，
由题可知，当在区间上的取值范围为时，
当且仅当时取得最大值，且最大值为.
故答案为：B.
【分析】作出的图象，分别令，，求得点的坐标，根据值域，结合图象求的最大值即可.
9．【答案】B,D
【知识点】元素与集合的关系；集合中元素的确定性、互异性、无序性；集合相等
【解析】【解答】A、不是的元素，，A不符合题意；
B、集合表示所有2的整数倍的数组成的集合即偶数集，
集合表示为整数的数组成的集合，则，
即，也是偶数集，所以两个集合相等，B符合题意；
C、不是同一集合，C不符合题意．
D、由，由可知，所以，
则，所以，解得或，
由集合元素的互异性可知，所以.D符合题意．
故答案为：BD
【分析】利用元素与集合以及集合和集合的关系判断A，通过相等集合的概念判断BC；利用元素相同，以及结合元素满足互异性求解即可判断D.
10．【答案】B,C,D
【知识点】函数的值域；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式；一元二次方程的根与系数的关系
【解析】【解答】解：由不等式的解集为，可得 是关于x的方程 的两个根，且 ，
A、由分析可知： 是关于x的方程 的两个根，且 ，故A错误；
B、由韦达定理可得 ，解得 ，，
不等式 化为 ，由 可得 ，解得 ，
则不等式 的解集为 ，故B正确；
C、， ， 则 ，
当且仅当 ，即 时等号成立，则 的最小值是，故C正确；
D、当 时， ，则 ，
当 时， 取到最大值 ，
由 得， 或 ，
的值域是 ，
因 在 上的最小值为 ，最大值为1，
从而得 或 ，
因此 ，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】由题意可得 是关于x的方程 的两个根，且 即可判断A；利用韦达定理求得，解一元二次不等式即可判断B；利用基本不等式求最值即可判断C；利用二次函数图象与性质，分析求解即可判断D.
11．【答案】A,D
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：A、，所以由（当且仅当时等号成立），可得.
所以，所以，当且仅当时等号成立，所以的最小值为16，A符合题意；
B、因为，即，
所以，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，B不符合题意；
C、，
当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，C不符合题意；
D、因为由选项A可知，所以，当且仅当，即时取等号，所以的最小值为，D符合题意.
故答案为：AD
【分析】对于A项，所给等式直接结合基本不等式，然后再进行解一元二次不等式即可判断；对于B选项先把题目中的式子转化为，然后再利用“1的妙用”求出最小值即可判断；对于C选项通过式子的转换，结合“1的妙用“即可得到式子，，可求出最小值来判断；对于D选项利用A项中：，然后再结合重要不等式进行求解最小值即可判断。
12．【答案】[1，+∞)
【知识点】函数的定义域及其求法
【解析】【解答】由可知： ，故，
即函数的定义域为[1，+∞)，
故答案为：[1，+∞)
【分析】根据函数解析式列出不等式组，求得答案.
13．【答案】
【知识点】函数单调性的性质
【解析】【解答】解： 函数在区间上单调递减 ，
当时，易知函数在区间上单调递减；
当时，要使函数在区间上单调递减，则，解得，
综上所述，实数的取值范围是.
故答案为：.
【分析】分和讨论，易知当时，符合题意；当，由题意列不等式组，求解即可得实数a的取值范围.
14．【答案】
【知识点】函数恒成立问题；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【解答】解：因为，所以当时，；当时，，
要使关于的不等式在时恒成立，需两因式同号在时恒成立，
因为当时，；当时，，
所以当时，，
所以，即，
所以，当且仅当，即时取等号，
则的最小值为.
故答案为：.
【分析】分和讨论的正负，结合题意分析可知，为方程的根，代入化简可得，进而代入消去，最后利用基本不等式求最值即可.
15．【答案】（1）当时，集合，则或，
又由不等式解得，所以，
所以.
（2）由（1）知，集合，当时，，
因为“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，
则且等号不能同时成立，解得，
所以正实数m的取值范围是.
【知识点】交、并、补集的混合运算；必要条件；必要条件、充分条件与充要条件的判断；一元二次不等式
【解析】【分析】（1）由写出集合，并求出，结合一元二次不等式求出集合，根据交集运算可得；
（2）由题意可得集合是集合的真子集，再根据真子集的定义列出关于的不等式组，解不等式组可得.
（1）当时，集合，则或，
又由不等式解得，所以，
所以.
（2）由（1）知，集合，当时，，
因为“”是“”成立的必要不充分条件，即集合是集合的真子集，
则且等号不能同时成立，解得，
所以正实数m的取值范围是.
16．【答案】（1）解：如下图所示：
由题意可得，，，，，
由勾股定理可得，
因此，此人从海岛到达地的时间为；
（2）解：如下图所示：，，，，
由勾股定理可得，
由题意可得，即，
可得，
则，当且仅当时，即当时等号成立，
故快递员的速度的最大值为.
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；解三角形的实际应用
【解析】【分析】（1）作出图形，利用勾股定理求得，再根据速度求时间即可；
（2）根据，利用勾股定理求得，根据时间相等列方程，最后利用基本不等式求最值即可.
（1）如下图所示：
由题意可得，，，，，
由勾股定理可得，
因此，此人从海岛到达地的时间为；
（2）如下图所示：，，，，
由勾股定理可得，
由题意可得，即，
可得，
所以，，
当且仅当时，即当时，等号成立，
因此，快递员的速度的最大值为.
17．【答案】（1）因为，
又是上的增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）当时，不等式，
即，即，
解得或，则解集为
（3）当时，函数
设
，，，
所以函数在区间上单调递增.
【知识点】函数的单调性及单调区间；函数单调性的判断与证明；一元二次不等式及其解法
【解析】【分析】（1）根据分段函数的单调性以及临界值大小关系即可得到不等式组，进行解出即可；
（2）代入，即可得到一元二次不等式，进行解一元二次不等式即可；
（3）代入值得，结合函数单调性的定义可证.
（1）因为，
又是上的增函数，所以，解得，
所以实数的取值范围为；
（2）当时，不等式，
即，即，
解得或，则解集为或.
（3）当时，函数
设
，，，
所以函数在区间上单调递增.
18．【答案】（1）解：当时，函数，
不等式，即，解得，
则不等式的解集为；
（2）解：由不等式，
若，不等式即为，解得；
若，不等式可化为，即，
此时方程的两根分别为，
当时，不等式即为，解得；
当时，不等式即为，
若，可得，解得或；
若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为；
若，可得，解得或；
综上可得：
当时，不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
（3）解：不等式，，即，且，可得，
设，则，
则，
当且仅当，即时等号成立，
即的最大值为，
若存在，使得不等式成立，可得，
故的取值范围是.
【知识点】一元二次不等式及其解法；二次函数与一元二次方程、不等式的解的对应关系；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）将代入可得函数，再解一元二次不等式即可求得不等式的解集；
（2）整理可得，分和讨论，当时，求得方程的两根，再对a分情况讨论求解即可；
（3）分离参数整理可得，换元令，则，利用基本不等式可得，再根据存在性问题即可得结果.
（1）当时，，
即，解得，
所以的解集为.
（2）由不等式，
若，不等式即为，解得；
若，不等式可化为，即，
此时方程的两根分别为，
当时，不等式即为，解得；
当时，不等式即为，
若，可得，解得或；
若，可得，不等式即为，此时不等式的解集为；
若，可得，解得或；
综上可得：
当时，不等式的解集为；
当时不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
（3）因为，，即，
且，可得，
设，则，
则，
当且仅当，即时，等号成立，
即的最大值为，
若存在，使得不等式成立，
可得，所以的取值范围是.
19．【答案】（1）因为，可得，
等价于，解得或，
且，可得，所以的取值范围为.
（2）因为正数满足，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是9.
（3）因为，即，则需证明，
因为，当且仅当时等号成立，
同理可得、，
当且仅当、时等号成立，
则，
可得，
即，当且仅当时等号成立，
所以.
【知识点】基本不等式；基本不等式在最值问题中的应用
【解析】【分析】（1）根据题意可得，转化为一元二次不等式进行求解，注意y的范围即可；
（2）首先进行整理可得，利用“1”的替换法求解出最值即可；
（3）通过利用基本不等式可得，、结合题意，注意等号成立的条件.
（1）因为，可得，
等价于，解得或，
且，可得，所以的取值范围为.
（2）因为正数满足，可得，
则，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是9.
（3）因为，即，则需证明，
因为，当且仅当时等号成立，
同理可得、，
当且仅当、时等号成立，
则，
可得，
即，当且仅当时等号成立，
所以.
1 / 1

展开更多......

收起↑