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广东深圳外国语学校2025-2026学年高三第九次月考数学试题
1．已知复数 满足 ，则 （　　）
A． B．5 C． D．10
【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
得，即
则 .
故答案为：A
【分析】由题可知，再利用复数的除法运算求出，进而得到模长即可.
2．已知集合，，则（　　）．
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由得，由得，
所以集合，，于是．
故答案为：A
【分析】解不等式，再求交集即可.
3．一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数，
即，即有，解得.
故答案为：A
【分析】利用百分位数、平均数的定义建立方程，再解方程即可.
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或
【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，
由余弦定理得，化简得
则或.
故答案为：C
【分析】由余弦定理可得，再求即可.
5．圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的轴截面如图所示
则
易得，所以，即，所以，
所以圆柱体积
记
，得，
，单调递增
，单调递减
故.
故答案为：D
【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，进而可得，圆柱体积，再利用导数求最值即可.
6．已知正项等比数列的前项积为，若，，则（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设的公比为.，，
，，，
，，
..
故答案为：D
【分析】根据等比数列基本量的运算求出、，再由通项公式求即可.
7．若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆，圆心为：，半径为，
当与圆相切，且直线时，最大，
∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，
∴在直线上存在一点，使得到的距离等于，
∴只需到直线的距离小于或等于，
故，解得，
故答案为：C.
【分析】根据题意，圆心到直线的距离小于或等于，即，再解不等式即可.
8．已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此函数在上的值域为，
而函数在上单调递减，值域为，
要使关于的方程恒有解，则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：B
【分析】根据题意，利用导数确定函数值域，再结合题意可得，然后解不等式即可.
9．已知函数的最小正周期为，则（　　）
A． B．
C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为
【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：，由于最小正周期为，故，故，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当时，， 故，当时，取上的最小值为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】对于A，利用周期可得；对于B，直接求值即可；对于C，利用代入法检验即可；对于D，利用整体法求最值即可.
10．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，
得，且，
，
，
所以选项A、选项C对；选项B、选项D错.
故答案为：AC.
【分析】利用对立事件求概率公式、全概率公式和条件概率公式，则判断出选项A、选项B和选项D；由概率的性质判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
11．在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．的最大值是最小值的2倍
C．四面体外接球的体积为
D．当取得最小值时，点的坐标为
【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：四面体的直观图如图所示．设顶点在底面上的射影为，连接，
则平面，连接并延长，交于点，易得为的中点．
因为，所以，所以，
则，则，A正确．
设四面体外接球的球心为，则在上，设，
则，解得，所以四面体外接球的半径为3，
四面体外接球的体积为，C错误．
易得四面体内切球的半径，内切球的球心为，
则的最大值为，最小值为，B正确．
因为平面，所以，
又因为，所以，
解得或（舍去），．
当取得最小值时，，即，
得，D正确．
故答案为：ABD
【分析】对于A，利用正四面体的性质可得即可判断；对于B，可得四面体内切球的半径，再结合几何意义得到最值即可；对于C，根据外接球的概念得到半径，进而得到体积即可；对于D，由题可知，当取得最小值时，，再计算坐标即可.
12．已知向量＝（1，2）与向量＝（m，3）满足，则＝　 　.
【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由题，，故答案为：
【分析】由向量平行的坐标运算得到，再求数量积即可.
13．某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有　 　种．
【答案】
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由于智能编程功能的必须分配给甲组，
则其余4款AI助手可以分成两组分给乙组和丙组，
有种分配方法，
或者
有种分配方法，
所以共有种分配方法.
故答案为：
【分析】根据题意，其余4款AI助手分层两组或分成三组，再结合分组分配原理求解即可.
14．已知函数有三个不同的零点，且，则的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
所以是函数的一个零点，
当时，令，可得，
令，，
，
所以关于对称，
若要函数有三个不同的零点，
则需满足方程有两个实数根，
即函数与有两个交点，且两交点关于直线对称，
又，可得，，
所以，
当且仅当，，时，等号成立，
此时的最小值为．
故答案为：
【分析】由题可知，则有两个实数根，令，，然后可证关于对称，故，，.
15．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
【答案】（1）解：，
由正弦定理，
整理得，
因为，所以，又因为，所以；
（2）解：，，
，即，解得，则，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）利用余弦定理，结合三角形的面积公式计算即可．
（1）解：，
利用正弦定理：，
整理得：，
由于，
所以，因为，所以；
（2），，
，即，
解得（负值已舍去），则，
.
16．2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.
参考数据：.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数.
【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2）解：，
则，即经验回归方程为，
令，则，
故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）.
【知识点】散点图；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数判断即可；
（2）根据公式求，得经验回归方程，再令，预测2026年我国全口径发电量即可.
（1）因为，
所以，
所以
，
故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2），
则，
则经验回归方程为，
令，则，
故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）
17．如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与的夹角；
（3）求三棱锥的体积.
【答案】（1）证明：由底面，底面，得；
因为，，所以，，
因此平面，
又因为平面，所以，
因为点在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，
得，则，
又因为，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意，得，
由（1）可知，
所以.
因为所以为的中点，得，
又因为，
所以，，
则，
解得，则，
得，，
所以，
则，
因此异面直线与的夹角为.

（3）解：由（2）可知，，
设平面的法向量为，
则， 化简得，
令，得，则平面的一个法向量为，
因为，
所以点到平面的距离，
又因为，，
所以 ，
则，
所以，
则三棱锥体积.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用线面垂直和线线垂直的推导关系得出，再利用点在以为直径的球面上得出，根据线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再得出点M、点N的坐标，利用两向量垂直数量积得出异面直线与的夹角.
（3）利用（2）得出向量的坐标，得出平面的一个法向量，根据点到平面的距离公式和数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再利用三角形面积公式和三棱锥体积公式，从而得三棱锥的体积.
（1）由底面，底面，得； 又，，
故，，因此平面.
平面，故.
在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.
又，平面，因此平面，得证.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意得各点坐标.
由（1）可知，所以.
因为所以为的中点，得.
，
则，，
所以，解得，即.
得，.
，
故，因此异面直线与的夹角为.
（3）由（2）可知，，
设平面的法向量为，则， 化简得
令，得，因此平面的一个法向量为.
，点到平面的距离，
又，， ，
.
故，
三棱锥体积.
18．已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围.
【答案】（1）解：由双曲线，得，则，
因为双曲线的离心率为 ，得，
由双曲线关系，得，
则双曲线的方程为.
（2）解：由，得，
设，，
则向量，，
由 ，得，
解得 ，
代入双曲线方程，得 或，
则直线的斜率，
所以，直线PQ方程为 或.
（3）解：设直线，，
则，圆与轴相切，
所以，圆的半径，
联立直线方程与双曲线方程，
整理得，
由两点在双曲线左支，得，
设，中点，
由韦达定理，得，
则，
所以，
则，
，，
设，
由切线性质，则，
令，代入得，
由，得，
设，
代入上式，得，
可知二次函数在内单调递增，
所以，则，
由切线性质，可知是直角三角形，
所以是锐角，则，
所以 ，
则的取值范围.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而得出a的值，再利用双曲线的离心率公式得出c的值，根据双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出b的值，进而得出双曲线C的方程.
（2）根据c的值得出焦点坐标，从而得出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示，从而得出直线PQ的斜率，进而得出直线PQ的方程.
（3）联立直线方程与双曲线方程，再结合韦达定理和两点距离公式，从而得出，再利用换元法和二次函数的单调性求值域的方法以及切线的性质，从而得出的取值范围.
（1）由双曲线，得，即.
已知离心率 ，得. 由双曲线关系，得.
因此双曲线的方程为.
（2）由得，设，.
向量，，
由 得，解得 ，
代入双曲线方程得 ，或，
故直线的斜率，
所以直线PQ方程为 或.
（3）设直线，，则，圆与轴相切，故半径.
联立直线与双曲线方程，整理得，
由在左支，得，设，中点，
由韦达定理得，
则，即.
故，，，
设，由切线性质，
令，代入得，由，所以，
设，代入上式得，
可知二次函数在内单调递增，所以，
因此，
由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即.
则 ，即的取值范围.
19．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围；
（3）数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有.
【答案】（1）解：当时，，则，
令，则，
当时，，，故，单调递减，
，故时，，即，
当时：，故，即，
综上，单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：当时，，方程为，
设，则，且，
两式相减，
因此，
令，求导，
令，，单调递减，，
所以在上单调递减时，；时，，所以，
记，则，单调递增，，
所以；
（3）证明：由(1)知，当时，，即，
取，得，，
因此，
由(2)知，当时，，
取（，此时），则，
所以，
记，，则
故在上单调递增，因此，即，
取，则，
所以，得证.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）将代入，可得函数，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）当时，方程化为，设，得到关于的函数，构造函数，求导，根据的范围，利用导数判断函数的单调性，求值域即可；
（3）由(1)知，当时，，即，根据数列前项和与通项的关系求出 ，再结合求出，进而表示出 ，利用放缩法证明不等式即可.
（1）当时，，则
令，则
当时，，，故，单调递减.
，故时，，即.
当时：，故，即
综上，单调递增区间：，单调递减区间：
（2）当时，，方程为
设，则，且
两式相减
因此
令，求导，
令，，单调递减，
所以在上单调递减时，；时，
所以
记，则，单调递增，
所以
（3）由(1)知，当时，，即
取，得，
因此
由(2)知，当时，.
取（，此时），则
所以
记，，则
故在上单调递增，因此，即
取，则
所以，得证
1 / 1广东深圳外国语学校2025-2026学年高三第九次月考数学试题
1．已知复数 满足 ，则 （　　）
A． B．5 C． D．10
2．已知集合，，则（　　）．
A． B． C． D．
3．一组从小到大排列的数据：.若它们的第60百分位数比平均数大2，则的值为（　　）
A．10 B．11 C．12 D．13
4．在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.若，，则c为（　　）
A．1 B．2 C．1或2 D．1或
5．圆锥的底面半径为 6 ， 高为 6 ， 现于圆锥内放置一个圆柱， 使圆柱的一个底面与圆锥的底面所在的平面重合， 则该圆柱体积的最大值为（　　）
A． B． C． D．
6．已知正项等比数列的前项积为，若，，则（　　）
A．8 B．16 C．24 D．32
7．若圆上存在两点，直线上存在点，使得，则实数的取值范围为（　　）
A． B．
C． D．
8．已知函数，若关于的方程恒有解，则的取值范围为（　　）
A． B． C． D．
9．已知函数的最小正周期为，则（　　）
A． B．
C．的图象关于点对称 D．在上的最小值为
10．已知随机事件，满足，，，则下列说法正确的是（　　）
A． B． C． D．
11．在空间直角坐标系中，已知正四面体的四个顶点的坐标为，，，，点在四面体外接球的球面上，且平面，点在四面体内切球的球面上，则下列结论正确的有（　　）
A．
B．的最大值是最小值的2倍
C．四面体外接球的体积为
D．当取得最小值时，点的坐标为
12．已知向量＝（1，2）与向量＝（m，3）满足，则＝　 　.
13．某科技公司研发了5款不同功能的AI助手，其功能分别为：文字创作、图像生成、语音交互、数据计算、智能编程，现将这5款助手分配给甲、乙、丙三个小组进行测试，规定每个小组至少分到1款AI助手且智能编程功能的必须分配给甲组．符合条件的分配方案共有　 　种．
14．已知函数有三个不同的零点，且，则的最小值为　 　.
15．在中，角所对的边分别为，且.
（1）求；
（2）若，求的面积.
16．2025年，我国能源安全保障能力再上新台阶，全口径发电量占全球总发电量的，稳居世界第一，为智能算力的爆发性电力需求持续提供稳定保障.某学习小组收集了2021年至2025年我国全口径发电量相关数据，根据数据制作了如下数据表格和散点图.
年份 2021 2022 2023 2024 2025
年份代码 1 2 3 4 5
我国全口径发电量（单位：万亿千瓦时） 8.52 8.85 9.46 10.09 10.58
（1）由散点图看出，可用线性回归模型拟合与的关系，请用相关系数加以说明；
（2）建立关于的经验回归方程，并预测2026年我国全口径发电量.
参考数据：.
参考公式：回归方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，相关系数.
17．如图，在四棱锥中，底面，，，.以为直径的球面分别交，于，两点（，异于所在棱端点）.
（1）证明：平面；
（2）求异面直线与的夹角；
（3）求三棱锥的体积.
18．已知双曲线：的离心率为，左右焦点分别为，，，为双曲线左支上的两点，直线交轴于点.
（1）求双曲线的方程；
（2）若，求直线的方程；
（3）设线段的中点为，直线交轴于点，点为关于原点的对称点，以为圆心作与轴相切的圆，过作该圆的两条切线，切点分别为，，求的取值范围.
19．已知函数.
（1）若，求函数的单调区间；
（2）若，关于的方程有两个不等实根，，且满足，求实数的取值范围；
（3）数列的前项和为，设数列的前项和为，且，，求证：当时，有.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】复数代数形式的乘除运算；复数的模
【解析】【解答】解：由，
得，即
则 .
故答案为：A
【分析】由题可知，再利用复数的除法运算求出，进而得到模长即可.
2．【答案】A
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由得，由得，
所以集合，，于是．
故答案为：A
【分析】解不等式，再求交集即可.
3．【答案】A
【知识点】众数、中位数、平均数；用样本估计总体的百分位数
【解析】【解答】解：，这5个数据的第60百分位数是第三个数据和第四个数据的平均数，
即，即有，解得.
故答案为：A
【分析】利用百分位数、平均数的定义建立方程，再解方程即可.
4．【答案】C
【知识点】解三角形；余弦定理
【解析】【解答】解：因为，，
由余弦定理得，化简得
则或.
故答案为：C
【分析】由余弦定理可得，再求即可.
5．【答案】D
【知识点】利用导数研究函数最大（小）值；柱体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：设圆柱的底面半径为r，高为h，圆锥的轴截面如图所示
则
易得，所以，即，所以，
所以圆柱体积
记
，得，
，单调递增
，单调递减
故.
故答案为：D
【分析】设圆柱的底面半径为r，高为h，进而可得，圆柱体积，再利用导数求最值即可.
6．【答案】D
【知识点】等比数列的通项公式；等比数列的性质
【解析】【解答】解：设的公比为.，，
，，，
，，
..
故答案为：D
【分析】根据等比数列基本量的运算求出、，再由通项公式求即可.
7．【答案】C
【知识点】平面内点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系
【解析】【解答】解：圆，圆心为：，半径为，
当与圆相切，且直线时，最大，
∵在圆上存在两点，在直线上存在一点，使得，
∴在直线上存在一点，使得到的距离等于，
∴只需到直线的距离小于或等于，
故，解得，
故答案为：C.
【分析】根据题意，圆心到直线的距离小于或等于，即，再解不等式即可.
8．【答案】B
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：当时，，求导得，
当时，；当时，，
函数在上单调递减，在上单调递增，，
因此函数在上的值域为，
而函数在上单调递减，值域为，
要使关于的方程恒有解，则，解得，
所以的取值范围是.
故答案为：B
【分析】根据题意，利用导数确定函数值域，再结合题意可得，然后解不等式即可.
9．【答案】A,C,D
【知识点】含三角函数的复合函数的周期；含三角函数的复合函数的值域与最值；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：，由于最小正周期为，故，故，故A正确；
对于B，，故B错误；
对于C，，故的图象关于点对称，故C正确；
对于D，当时，， 故，当时，取上的最小值为，故D正确.
故答案为：ACD
【分析】对于A，利用周期可得；对于B，直接求值即可；对于C，利用代入法检验即可；对于D，利用整体法求最值即可.
10．【答案】A,C
【知识点】互斥事件与对立事件；互斥事件的概率加法公式；条件概率；条件概率乘法公式
【解析】【解答】解：由题意，
得，且，
，
，
所以选项A、选项C对；选项B、选项D错.
故答案为：AC.
【分析】利用对立事件求概率公式、全概率公式和条件概率公式，则判断出选项A、选项B和选项D；由概率的性质判断出选项C，从而找出说法正确的选项.
11．【答案】A,B,D
【知识点】球的表面积与体积公式及应用；球内接多面体；空间向量的线性运算的坐标表示
【解析】【解答】解：四面体的直观图如图所示．设顶点在底面上的射影为，连接，
则平面，连接并延长，交于点，易得为的中点．
因为，所以，所以，
则，则，A正确．
设四面体外接球的球心为，则在上，设，
则，解得，所以四面体外接球的半径为3，
四面体外接球的体积为，C错误．
易得四面体内切球的半径，内切球的球心为，
则的最大值为，最小值为，B正确．
因为平面，所以，
又因为，所以，
解得或（舍去），．
当取得最小值时，，即，
得，D正确．
故答案为：ABD
【分析】对于A，利用正四面体的性质可得即可判断；对于B，可得四面体内切球的半径，再结合几何意义得到最值即可；对于C，根据外接球的概念得到半径，进而得到体积即可；对于D，由题可知，当取得最小值时，，再计算坐标即可.
12．【答案】
【知识点】平面向量共线（平行）的坐标表示；平面向量数量积的坐标表示
【解析】【解答】解：由题，，故答案为：
【分析】由向量平行的坐标运算得到，再求数量积即可.
13．【答案】
【知识点】分类加法计数原理；分步乘法计数原理；排列、组合的实际应用
【解析】【解答】解：由于智能编程功能的必须分配给甲组，
则其余4款AI助手可以分成两组分给乙组和丙组，
有种分配方法，
或者
有种分配方法，
所以共有种分配方法.
故答案为：
【分析】根据题意，其余4款AI助手分层两组或分成三组，再结合分组分配原理求解即可.
14．【答案】
【知识点】函数的零点与方程根的关系
【解析】【解答】解：由题意得，
所以是函数的一个零点，
当时，令，可得，
令，，
，
所以关于对称，
若要函数有三个不同的零点，
则需满足方程有两个实数根，
即函数与有两个交点，且两交点关于直线对称，
又，可得，，
所以，
当且仅当，，时，等号成立，
此时的最小值为．
故答案为：
【分析】由题可知，则有两个实数根，令，，然后可证关于对称，故，，.
15．【答案】（1）解：，
由正弦定理，
整理得，
因为，所以，又因为，所以；
（2）解：，，
，即，解得，则，
.
【知识点】两角和与差的正弦公式；解三角形；正弦定理的应用；余弦定理的应用；三角形中的几何计算
【解析】【分析】（1）利用正弦定理，结合两角和的正弦公式化简求角即可；
（2）利用余弦定理，结合三角形的面积公式计算即可．
（1）解：，
利用正弦定理：，
整理得：，
由于，
所以，因为，所以；
（2），，
，即，
解得（负值已舍去），则，
.
16．【答案】（1）解：因为，
所以，
所以，
故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2）解：，
则，即经验回归方程为，
令，则，
故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）.
【知识点】散点图；线性回归方程；样本相关系数r及其数字特征
【解析】【分析】（1）计算相关系数，根据相关系数判断即可；
（2）根据公式求，得经验回归方程，再令，预测2026年我国全口径发电量即可.
（1）因为，
所以，
所以
，
故可用线性回归模型拟合与的关系；
（2），
则，
则经验回归方程为，
令，则，
故预估2026年我国全口径发电量为（万亿千瓦时）
17．【答案】（1）证明：由底面，底面，得；
因为，，所以，，
因此平面，
又因为平面，所以，
因为点在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，
得，则，
又因为，平面，
所以平面.
（2）解：以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意，得，
由（1）可知，
所以.
因为所以为的中点，得，
又因为，
所以，，
则，
解得，则，
得，，
所以，
则，
因此异面直线与的夹角为.

（3）解：由（2）可知，，
设平面的法向量为，
则， 化简得，
令，得，则平面的一个法向量为，
因为，
所以点到平面的距离，
又因为，，
所以 ，
则，
所以，
则三棱锥体积.
【知识点】直线与平面垂直的判定；空间向量的夹角与距离求解公式；用空间向量求直线间的夹角、距离；锥体的体积公式及应用
【解析】【分析】（1）利用线面垂直和线线垂直的推导关系得出，再利用点在以为直径的球面上得出，根据线线垂直证出线面垂直，即证出平面.
（2）利用已知条件建立空间直角坐标系，从而得出点的坐标，再得出点M、点N的坐标，利用两向量垂直数量积得出异面直线与的夹角.
（3）利用（2）得出向量的坐标，得出平面的一个法向量，根据点到平面的距离公式和数量积求向量夹角公式以及同角三角函数基本关系式，从而得出的值，再利用三角形面积公式和三棱锥体积公式，从而得三棱锥的体积.
（1）由底面，底面，得； 又，，
故，，因此平面.
平面，故.
在以为直径的球面上，直径所对的圆周角是直角，得，即.
又，平面，因此平面，得证.
（2）以为原点，为轴，为轴，为轴建立坐标系，
由题意得各点坐标.
由（1）可知，所以.
因为所以为的中点，得.
，
则，，
所以，解得，即.
得，.
，
故，因此异面直线与的夹角为.
（3）由（2）可知，，
设平面的法向量为，则， 化简得
令，得，因此平面的一个法向量为.
，点到平面的距离，
又，， ，
.
故，
三棱锥体积.
18．【答案】（1）解：由双曲线，得，则，
因为双曲线的离心率为 ，得，
由双曲线关系，得，
则双曲线的方程为.
（2）解：由，得，
设，，
则向量，，
由 ，得，
解得 ，
代入双曲线方程，得 或，
则直线的斜率，
所以，直线PQ方程为 或.
（3）解：设直线，，
则，圆与轴相切，
所以，圆的半径，
联立直线方程与双曲线方程，
整理得，
由两点在双曲线左支，得，
设，中点，
由韦达定理，得，
则，
所以，
则，
，，
设，
由切线性质，则，
令，代入得，
由，得，
设，
代入上式，得，
可知二次函数在内单调递增，
所以，则，
由切线性质，可知是直角三角形，
所以是锐角，则，
所以 ，
则的取值范围.
【知识点】双曲线的简单性质；直线与圆锥曲线的综合问题；圆与圆锥曲线的综合
【解析】【分析】（1）利用双曲线的标准方程确定焦点的位置，从而得出a的值，再利用双曲线的离心率公式得出c的值，根据双曲线中a，b，c三者的关系式，从而得出b的值，进而得出双曲线C的方程.
（2）根据c的值得出焦点坐标，从而得出向量的坐标，再利用向量共线的坐标表示，从而得出直线PQ的斜率，进而得出直线PQ的方程.
（3）联立直线方程与双曲线方程，再结合韦达定理和两点距离公式，从而得出，再利用换元法和二次函数的单调性求值域的方法以及切线的性质，从而得出的取值范围.
（1）由双曲线，得，即.
已知离心率 ，得. 由双曲线关系，得.
因此双曲线的方程为.
（2）由得，设，.
向量，，
由 得，解得 ，
代入双曲线方程得 ，或，
故直线的斜率，
所以直线PQ方程为 或.
（3）设直线，，则，圆与轴相切，故半径.
联立直线与双曲线方程，整理得，
由在左支，得，设，中点，
由韦达定理得，
则，即.
故，，，
设，由切线性质，
令，代入得，由，所以，
设，代入上式得，
可知二次函数在内单调递增，所以，
因此，
由切线性质可知是直角三角形，所以是锐角，即.
则 ，即的取值范围.
19．【答案】（1）解：当时，，则，
令，则，
当时，，，故，单调递减，
，故时，，即，
当时：，故，即，
综上，单调递增区间为，单调递减区间为；
（2）解：当时，，方程为，
设，则，且，
两式相减，
因此，
令，求导，
令，，单调递减，，
所以在上单调递减时，；时，，所以，
记，则，单调递增，，
所以；
（3）证明：由(1)知，当时，，即，
取，得，，
因此，
由(2)知，当时，，
取（，此时），则，
所以，
记，，则
故在上单调递增，因此，即，
取，则，
所以，得证.
【知识点】函数的值域；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；数列的求和；数列与不等式的综合
【解析】【分析】（1）将代入，可得函数，求函数的定义域，再求导，利用导数判断函数的单调性，求单调区间即可；
（2）当时，方程化为，设，得到关于的函数，构造函数，求导，根据的范围，利用导数判断函数的单调性，求值域即可；
（3）由(1)知，当时，，即，根据数列前项和与通项的关系求出 ，再结合求出，进而表示出 ，利用放缩法证明不等式即可.
（1）当时，，则
令，则
当时，，，故，单调递减.
，故时，，即.
当时：，故，即
综上，单调递增区间：，单调递减区间：
（2）当时，，方程为
设，则，且
两式相减
因此
令，求导，
令，，单调递减，
所以在上单调递减时，；时，
所以
记，则，单调递增，
所以
（3）由(1)知，当时，，即
取，得，
因此
由(2)知，当时，.
取（，此时），则
所以
记，，则
故在上单调递增，因此，即
取，则
所以，得证
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