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吉林省长春市宽城区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在，，0，2这四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．2
2．下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
3．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
6．人行天桥的示意图如图所示，若高长为10米，斜坡长为30米，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
7．如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：，，，在经过这四个点中的三个点的二次函数的图象中，a的值最大时二次函数经过的三个点是（　　）
A．B，C，D B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．不等式的解集是　 　．
10．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是　 　．
11．若关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是　 　．
12．如图，在矩形中，，．以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E，连接，则的长为　 　．（结果保留）
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上．若轴，则线段的长为　 　．
14．如图，点是以为直径的半圆上一点，，．点是直径上的动点，点与点关于对称．当点与点不重合时，作交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②线段的最小值为；③当时，与半圆相切；④当点由点运动到点时，点经过的路径长为．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：．
16．在一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气，依次记为A、B、C、D．这4张书签除图案不同外，其余均相同．现将这4张书签充分搅匀，小林同学从盒子中随机抽取2张书签，请用画树状图（或列表）的方法，求小林抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的概率．
17．如图，两条笔直的公路、相交于点O，，指挥中心M设在路段上，与O地的距离为16千米．一次行动中，王警官带队从O地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：，，】
18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中的边上画点P，连接，使平分的面积；
（2）在图②中的边上画点Q，连接，使；
（3）在图③中的边上画点M，连接，使．
19．如图，在中，，以为直径的交BC于点D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，则的长为　 　．
20．某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．
（1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲款软件评分：
60 60 70 70 72 75 80 80 80 80
80 80 81 81 81 82 82 85 90 91
b．乙款软件评分频数分布直方图如图．
（数据分成五组：，，，，）
其中成绩在的数据如下：
75 75 75 76 78 78 79 79
c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示：
软件 平均数 中位数 众数
甲 78 80 m
乙 78 n 75
根据所给信息，解答下列问题：
①______，______；
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个；
（2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：
软件 维度1 维度2 维度3 维度4
甲 94 k 92 93
乙 91 93 93 92
①求乙款软件的评分；
②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值．
21．某快餐店销售A、B两种快餐，A种快餐每份利润12元，每天能卖出40份；B种快餐每份利润8元，每天能卖出80份．该店根据顾客需求，准备降低A种快餐的利润，同时提高B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份；每份B种快餐每提高1元利润，就少卖2份，但这两种快餐每天销售的总份数不变．设每份A种快餐降低的利润为x元，调价后销售A、B两种快餐一天的总利润为y元．
（1）调价后A种快餐每天可卖出______份，B种快餐每天可卖出______份；（用含x的代数式表示）
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）求x为何值时y取得最大值，并求出y的最大值．
22．【问题原型】在矩形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，交于点．
（1）如图①，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______；
（2）如图②，若，判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题变式】如图③，四边形为平行四边形，为锐角，且，点是射线上一点，作，交射线于点，若，则线段的长为______．
23．如图，在中，，，．点P是边上一点（点P不与点B重合），连接．过点P作，使点Q和点B在直线的两侧，连接，．
（1）　 　度；
（2）求证：；
（3）点M是边延长线上一点，且，连接，线段的最小值为　 　；
（4）当时，直接写出线段的长．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，连接．点P是抛物线上的一点（点P不与点B重合），设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）过点P作y轴的平行线交线段于点C，当线段的长为2时，求m的值；
（3）当时，抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与m之间的函数关系式；
（4）过点P作y轴的垂线交直线于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．设抛物线在内部的图象（含交点）为G，当图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴2>0，且0>-1>-3．
∵2是正数，其余数为负数或0，
∴2是这四个数中最大的数．
故答案为： D.
【分析】根据有理数大小比较的基本法则（正数>0>负数），通过直接比较即可得出答案.
2．【答案】D
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故选：D．
【分析】根据正方体的展开图逐项判断解答．
3．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；有理数的乘方法则；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、 ，因此错误；
B、 ，因此错误；
C、 ，因此正确；
D、 ，因此错误；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式及幂的乘方分别计算，然后判断即可.
4．【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤求解即可。
5．【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
【分析】根据相似三角形性质即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：∵长为10米，斜坡长为30米，
∴米，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】
根据勾股定理先求出AB，再利用正切的定义求解即可．
7．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，四边形是的内接四边形，
∴，
连接，如图所示：
又∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据圆的内接四边形对角互补，求出，连接，根据等边对等角即可求出∠ACB，再由圆周角定理即可求解.
8．【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，；
A、B、C组成的二次函数开口向上，；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．
设二次函数为，
当抛物线过A、B、C三点时，则，
解得；
当抛物线过A、B、D三点时，则，
解得，
故a的值最大时二次函数经过A、B、D三点，
故答案为：C.
【分析】
先比较抛物线的开口方向，再利用待定系数法计算开口向上抛物线的解析式即可解答.
9．【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用移项、合并同类项、再系数化1解一元一次不等式即可．
10．【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
11．【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程无实数根，
，
化简得，解得，
满足，
则a的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程的定义及一元二次方程根的情况列出不等式组求解即可.
12．【答案】
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长为；
故答案为：．
【分析】
根据题意，由矩形性质及解直角三角形先求出，最后根据弧长计算公式即可解答.
13．【答案】6
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵点、点在抛物线上，
∴二次函数对称轴直线为，
∵抛物线与y轴相交于点C，
∴点C到对称轴直线的距离为3，
∵轴，
∴点关于对称轴对称，
∴．
故答案为：6．
【分析】
由点、点在抛物线上，求出二次函数的对称轴，再由二次函数对称性即可解答.
14．【答案】①③④
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接，
点与点关于对称，
，
，
，
，
∴，，
，
，
，故正确；
当时，
是半圆的直径，
，
，，
，，，
，，
，
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点在线段上运动时，的最小值为，
，
，
的最小值为，故不正确；
当时，连接，如图所示，
，，
是等边三角形，
∴，，
，，
，
，
，
点与点关于对称，
，
，
，
，
是等边三角形，直径，
，
与半圆相切，故正确；
点与点关于对称，
当点由点运动到点时，，
点经过的路径长为，故正确．
故答案为：．
【分析】
根据对称的性质可得，再由直角三角形的性质和等腰三角形的性质证出，可得，即可得，当时，根据勾股定理求出，根据“点到直线之间，垂线段最短”求出的最小值，即可判断，根据圆的切线性质和等边三角形的性质判断，再根据对称的性质和点运动的特点可判断．
15．【答案】解： 由题意得：a=1，b=6，c=4
∴方程有两个不相等的实数根
∴原方程的解为，．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】
先通过一元二次方程根的判别式，判断这个方程存在几个实数根，之后再运用求根公式计算出方程的根就可以。
16．【答案】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的情况有2种，
（1张为“立春”，1张为“立冬”）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【【分析】
根据题意画出树状图，再由概率公式即可求解.
17．【答案】解：如图，过点M作于点N．
在中，，，
∵，
∴（千米）．
∵，
∴王警官能实现与指挥中心用对讲机通话．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
过点M作于点N，在中，解直角三角形求出MN，再比较即可作答．
18．【答案】（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求；
【知识点】求正切值；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】
本题考查了三角形中线的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义以及网格作图技巧.
（1）三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，因此面积相等. 要使BP平分的面积，只需找到AC边的中点P，连接BP即可. 在网格中，通过数格子的方法可以快速定位AC的中点；
（2）45度角是等腰直角三角形的特征角，因此我们可以构造一个以AB为直角边的等腰直角三角形. 在网格中取合适的格点F，使得AF=AB，且，则为等腰直角三角形，.连接BF，BF与AC的交点即为点Q，此时；
（3）要构造正切值为2/5的角，需要在以AB为直角边的直角三角形中，找到对边与邻边的比值为2/5的情况. 我们可以利用相似三角形的性质，先构造一个直角三角形，通过网格中的格点构造相似三角形，得到所需的比例关系，即，最后便可以得到．
（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求；
19．【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴．
故答案 为：．
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，圆的切线判定定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.
（1）已知AB=AC，所以是等腰三角形，. 又因为，所以也是等腰三角形，. 由此可得，根据“同位角相等，两直线平行”，可证得，已知，结合，可得，又因为OD是的半径，所以得出结论；
（2）首先，AB是的直径，且，因此圆的半径. 在中，OD=3，DE=4，根据勾股定理，求出. 因为OE=5，OA=3，所以AE=2. 接下来，可证明出，根据相似三角形对应边成比例，可得，解得.
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴．
故答案 为：．
20．【答案】（1）①80，77；②180
（2）解：①乙款软件的评分（分）；
②由题意得，解得：．
∴k的最小整数值为91．
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，
∴甲组数据的众数为80，即；
∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人，
∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即．
②∵乙款软件评分在有3人，
∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个．
故答案为：①80；77；②180．
【分析】
（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可；
②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解．
（2）①利用加权平均数的计算方法计算即可；
②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可．
（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，
∴甲组数据的众数为80，即；
∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人，
∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即．
②∵乙款软件评分在有3人，
∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个．
故答案为：①80；77；②180．
（2）解：①乙款软件的评分（分）；
②由题意得，解得：．
∴k的最小整数值为91．
故答案为：①；②91．
21．【答案】（1），
（2）解：
；
（3）解：，
∴当时，y取得最大值，y的最大值1264．
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）解：设每份A种快餐降低的利润为x元，
∵每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份，
∴A种快餐可多卖份，
∴调价后A种快餐每天可卖出份，
∵这两种快餐每天销售的总份数不变，
∴B种快餐每天可卖出份；
故答案为：，；
【分析】
（1）根据题中表述的数量关系即可解答；
（2）根据“总利润=单件利润×数量”，将两种快餐利润相加即可；
（3）根据二次函数性质求函数最值即可．
（1）解：设每份A种快餐降低的利润为x元，
∵每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份，
∴A种快餐可多卖份，
∴调价后A种快餐每天可卖出份，
∵这两种快餐每天销售的总份数不变，
∴B种快餐每天可卖出份；
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：，
∴当时，y取得最大值，y的最大值1264．
22．【答案】（1）；
（2）．
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【问题变式】或
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【问题变式】分情况讨论：点F在上或点F在的延长线上．
当点F在上时，如图
四边形为平行四边形，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
；
当点F在的延长线上时，如图
四边形为平行四边形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
．
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想.
（1）根据正方形的性质，得AB=AD，. 已知，得. 由此可得，根据“同角的余角相等”，. 又因为， AB=AD，所以，根据全等三角形对应边相等，可得AF=AE；
（2）由于四边形ABCD是矩形，因此. 同理，由可得， 且， 所以. 根据相似三角形对应边成比例，可得，已知，因此，整理得；
【问题变式】分两种情况讨论：当点F在上时，DF=1，CF=1，此时可根据相似三角形的比例关系求出BE的长度，进而得到CE的长度；当点F在CD的延长线上时，DF=1，CF=3，同理可求出BE的长度，进而得到CE的另一种可能值.
23．【答案】（1）30
（2）证明：∵，，，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）
（4）
【知识点】解直角三角形；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30；
（3）过点作于，
∵，
∴，
∴点在过点且垂直于的垂线上，
∴当，即点与点重合时，线段有最小值，
过点作于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：；
（4）∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴线段的长为．
【分析】
本题考查直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短以及三角函数的定义.
（1）在中，已知，BC=3，可先求出的余弦值，再确定其度数. 结合和，可通过三角函数的定义求出的度数为30度；
（2）要证明两个三角形相似，需证明两边对应成比例且夹角相等. 由（1）可知，又，根据“两边对应成比例且夹角相等”，可证得；
（3）由（2）中，可得，说明点Q在过点A且垂直于AC的直线上运动. 根据“垂线段最短”，当MQ垂直于这条直线时，MQ的长度最小. 通过计算点M到该直线的距离，即可得到MQ的最小值；
（4）已知，结合（2）中，可得，根据正切函数的定义，，代入AC的长度，即可求出AQ的长度.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作于，
∵，
∴，
∴点在过点且垂直于的垂线上，
∴当，即点与点重合时，线段有最小值，
过点作于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：；
（4）解：∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴线段的长为．
24．【答案】（1）解：由题意可把点、代入抛物线得：，
解得：，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，由题意得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵过点P作y轴的平行线交线段于点C，且，
∴，
∵，
∴，
解得：，；
（3）解：由抛物线可知：对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，根据二次函数的对称性可知：点关于对称轴对称点的坐标为，
∵，
∴点P在直线上方的抛物线上，则由题意可分：
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为5，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为，最小值为5，
∴；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（4）或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（4）解：令时，则有，解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
由题意可分：当点P在对称轴的左侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点D，线段与抛物线的交点为点E，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点E作于点F，
∵过点P作y轴的垂线交直线于点Q，，
∴点D的纵坐标为，
由旋转的性质可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点D、E之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∵点Q到y轴的距离为1，
∴点E与点B重合，
∴，
解得：，；
当点P在对称轴的右侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点N，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点N分别作，垂直直线，垂足分别为点G，H，
∴四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点N、P之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∴点N的横坐标为2，
∴当时，则有，即，
∴，
解得：（负根舍去），
综上所述：或或．
【分析】
（1）根据待定系数法将点、代入即可求解抛物线解析式；
（2）由题意易得直线的解析式为，则有，然后用含m的式子表示出PC的长，列出方程即可解答；
（3）由题意易得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后根据题意可分当时，当时，当时，进而分类求解即可；
（4）由题意可分当点P在对称轴的左侧时，当点P在对称轴的右侧时，然后画出图象分类进行求解即可．
（1）解：由题意可把点、代入抛物线得：
，解得：，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，由题意得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵过点P作y轴的平行线交线段于点C，且，
∴，
∵，
∴，
解得：，；
（3）解：由抛物线可知：对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
根据二次函数的对称性可知：点关于对称轴对称点的坐标为，
∵，
∴点P在直线上方的抛物线上，则由题意可分：
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为5，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为，最小值为5，
∴；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（4）解：令时，则有，解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
由题意可分：当点P在对称轴的左侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点D，线段与抛物线的交点为点E，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点E作于点F，
∵过点P作y轴的垂线交直线于点Q，，
∴点D的纵坐标为，
由旋转的性质可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点D、E之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∵点Q到y轴的距离为1，
∴点E与点B重合，
∴，
解得：，；
当点P在对称轴的右侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点N，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点N分别作，垂直直线，垂足分别为点G，H，
∴四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点N、P之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∴点N的横坐标为2，
∴当时，则有，即，
∴，
解得：（负根舍去），
综上所述：或或．
1 / 1吉林省长春市宽城区2025-2026学年九年级上学期期末数学试卷
一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
1．在，，0，2这四个数中，最大的数是（　　）
A． B． C．0 D．2
【答案】D
【知识点】有理数的大小比较-直接比较法
【解析】【解答】解：∵正数大于0，0大于负数，
∴2>0，且0>-1>-3．
∵2是正数，其余数为负数或0，
∴2是这四个数中最大的数．
故答案为： D.
【分析】根据有理数大小比较的基本法则（正数>0>负数），通过直接比较即可得出答案.
2．下列四个图形中，不能作为正方体的展开图的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】正方体的几种展开图的识别
【解析】【解答】解：正方体展开图的11种情况可分为“1﹣4﹣1型”6种，“2﹣3﹣1型”3种，“2﹣2﹣2型”1种，“3﹣3型”1种，
因此选项D符合题意，
故选：D．
【分析】根据正方体的展开图逐项判断解答．
3．下列运算结果正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；平方差公式及应用；有理数的乘方法则；合并同类项法则及应用
【解析】【解答】解：A、 ，因此错误；
B、 ，因此错误；
C、 ，因此正确；
D、 ，因此错误；
故答案为：C.
【分析】根据合并同类项、同底数幂的乘法、平方差公式及幂的乘方分别计算，然后判断即可.
4．用配方法解方程 时，配方结果正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解： ，
，
，
，
故答案为：D．
【分析】利用配方法的计算方法及步骤求解即可。
5．如图，△ABC与△DEF位似，点O是它们的位似中心，其中OE=2OB，则△ABC与△DEF的周长之比是（　　）
A．1：2 B．1：4 C．1：3 D．1：9
【答案】A
【知识点】位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵△ABC与△DEF位似，点O为位似中心．
∴△ABC∽△DEF，OB：OE= 1：2，
∴△ABC与△DEF的周长比是：1：2．
故选：A．
【分析】根据相似三角形性质即可求出答案.
6．人行天桥的示意图如图所示，若高长为10米，斜坡长为30米，则的值为（　　）
A． B． C． D．3
【答案】C
【知识点】解直角三角形—三边关系（勾股定理）；求正切值
【解析】【解答】解：∵长为10米，斜坡长为30米，
∴米，
根据题意得：，
故答案为：C．
【分析】
根据勾股定理先求出AB，再利用正切的定义求解即可．
7．如图，四边形是的内接四边形，，连接．若，则的大小是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；圆内接四边形的性质
【解析】【解答】解：∵，四边形是的内接四边形，
∴，
连接，如图所示：
又∵，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】
根据圆的内接四边形对角互补，求出，连接，根据等边对等角即可求出∠ACB，再由圆周角定理即可求解.
8．如图，已知平面直角坐标系xOy中的四个点：，，，在经过这四个点中的三个点的二次函数的图象中，a的值最大时二次函数经过的三个点是（　　）
A．B，C，D B．A，B，C C．A，B，D D．A，C，D
【答案】C
【知识点】二次函数图象与系数的关系；待定系数法求二次函数解析式
【解析】【解答】解：由图象知，A、B、D组成的点开口向上，；
A、B、C组成的二次函数开口向上，；
B、C、D三点组成的二次函数开口向下，；
A、D、C三点组成的二次函数开口向下，；
即只需比较A、B、D组成的二次函数和A、B、C组成的二次函数即可．
设二次函数为，
当抛物线过A、B、C三点时，则，
解得；
当抛物线过A、B、D三点时，则，
解得，
故a的值最大时二次函数经过A、B、D三点，
故答案为：C.
【分析】
先比较抛物线的开口方向，再利用待定系数法计算开口向上抛物线的解析式即可解答.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
9．不等式的解集是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式
【解析】【解答】解：，
，
，
，
故答案为：．
【分析】利用移项、合并同类项、再系数化1解一元一次不等式即可．
10．若一个多边形的每一个外角都等于40°，则这个多边形的边数是　 　．
【答案】9
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：360÷40=9，即这个多边形的边数是9．
【分析】根据任何多边形的外角和都是360度，利用360除以外角的度数就可以求出外角和中外角的个数，即多边形的边数．
11．若关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于x的一元二次方程无实数根，
，
化简得，解得，
满足，
则a的取值范围是．
故答案为：．
【分析】
根据一元二次方程的定义及一元二次方程根的情况列出不等式组求解即可.
12．如图，在矩形中，，．以点A为圆心，长为半径画弧交边于点E，连接，则的长为　 　．（结果保留）
【答案】
【知识点】矩形的性质；弧长的计算；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵四边形是矩形，，
∴，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长为；
故答案为：．
【分析】
根据题意，由矩形性质及解直角三角形先求出，最后根据弧长计算公式即可解答.
13．如图，在平面直角坐标系中，抛物线与x轴相交于点、点，与y轴相交于点C，点D在抛物线上．若轴，则线段的长为　 　．
【答案】6
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的对称性及应用
【解析】【解答】解：∵点、点在抛物线上，
∴二次函数对称轴直线为，
∵抛物线与y轴相交于点C，
∴点C到对称轴直线的距离为3，
∵轴，
∴点关于对称轴对称，
∴．
故答案为：6．
【分析】
由点、点在抛物线上，求出二次函数的对称轴，再由二次函数对称性即可解答.
14．如图，点是以为直径的半圆上一点，，．点是直径上的动点，点与点关于对称．当点与点不重合时，作交的延长线于点．给出下面四个结论：①；②线段的最小值为；③当时，与半圆相切；④当点由点运动到点时，点经过的路径长为．上述结论中，所有正确结论的序号是　 　．
【答案】①③④
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；圆周角定理；切线的性质；轴对称的性质
【解析】【解答】解：连接，
点与点关于对称，
，
，
，
，
∴，，
，
，
，故正确；
当时，
是半圆的直径，
，
，，
，，，
，，
，
根据“点到直线之间，垂线段最短”可得：点在线段上运动时，的最小值为，
，
，
的最小值为，故不正确；
当时，连接，如图所示，
，，
是等边三角形，
∴，，
，，
，
，
，
点与点关于对称，
，
，
，
，
是等边三角形，直径，
，
与半圆相切，故正确；
点与点关于对称，
当点由点运动到点时，，
点经过的路径长为，故正确．
故答案为：．
【分析】
根据对称的性质可得，再由直角三角形的性质和等腰三角形的性质证出，可得，即可得，当时，根据勾股定理求出，根据“点到直线之间，垂线段最短”求出的最小值，即可判断，根据圆的切线性质和等边三角形的性质判断，再根据对称的性质和点运动的特点可判断．
三、解答题（本大题共10小题，共78分）
15．解方程：．
【答案】解： 由题意得：a=1，b=6，c=4
∴方程有两个不相等的实数根
∴原方程的解为，．
【知识点】公式法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】
先通过一元二次方程根的判别式，判断这个方程存在几个实数根，之后再运用求根公式计算出方程的根就可以。
16．在一个不透明的盒子里装有4张书签，分别描绘“立春”、“立夏”、“立秋”、“立冬”四个节气，依次记为A、B、C、D．这4张书签除图案不同外，其余均相同．现将这4张书签充分搅匀，小林同学从盒子中随机抽取2张书签，请用画树状图（或列表）的方法，求小林抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的概率．
【答案】解：画树状图如下：
共有12种等可能的结果，其中抽取的2张书签中恰好1张为“立春”，1张为“立冬”的情况有2种，
（1张为“立春”，1张为“立冬”）．
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【【分析】
根据题意画出树状图，再由概率公式即可求解.
17．如图，两条笔直的公路、相交于点O，，指挥中心M设在路段上，与O地的距离为16千米．一次行动中，王警官带队从O地出发，沿方向行进，王警官与指挥中心均配有对讲机，两部对讲机只能在10千米之内进行通话，通过计算判断王警官在行进过程中能否实现与指挥中心用对讲机通话．【参考数据：，，】
【答案】解：如图，过点M作于点N．
在中，，，
∵，
∴（千米）．
∵，
∴王警官能实现与指挥中心用对讲机通话．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】
过点M作于点N，在中，解直角三角形求出MN，再比较即可作答．
18．图①、图②、图③均是的正方形网格，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，的三个顶点均在格点上．只用无刻度的直尺，在给定的网格中，分别按下列要求画图，保留适当的作图痕迹，不要求写出画法．
（1）在图①中的边上画点P，连接，使平分的面积；
（2）在图②中的边上画点Q，连接，使；
（3）在图③中的边上画点M，连接，使．
【答案】（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求；
【知识点】求正切值；利用三角形的中线求面积
【解析】【分析】
本题考查了三角形中线的性质，勾股定理及其逆定理，等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，锐角三角函数的定义以及网格作图技巧.
（1）三角形的中线将三角形分成两个等底同高的三角形，因此面积相等. 要使BP平分的面积，只需找到AC边的中点P，连接BP即可. 在网格中，通过数格子的方法可以快速定位AC的中点；
（2）45度角是等腰直角三角形的特征角，因此我们可以构造一个以AB为直角边的等腰直角三角形. 在网格中取合适的格点F，使得AF=AB，且，则为等腰直角三角形，.连接BF，BF与AC的交点即为点Q，此时；
（3）要构造正切值为2/5的角，需要在以AB为直角边的直角三角形中，找到对边与邻边的比值为2/5的情况. 我们可以利用相似三角形的性质，先构造一个直角三角形，通过网格中的格点构造相似三角形，得到所需的比例关系，即，最后便可以得到．
（1）解：如图①，即为所求；
（2）解：如图②，即为所求；
（3）解：如图③，即为所求；
19．如图，在中，，以为直径的交BC于点D，交的延长线于点E，交于点F．
（1）求证：与相切；
（2）若，，则的长为　 　．
【答案】（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）
【知识点】等腰三角形的性质；切线的判定；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：（2）∵，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴．
故答案 为：．
【分析】
本题考查等腰三角形的性质，圆的切线判定定理，平行线的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及勾股定理等知识.
（1）已知AB=AC，所以是等腰三角形，. 又因为，所以也是等腰三角形，. 由此可得，根据“同位角相等，两直线平行”，可证得，已知，结合，可得，又因为OD是的半径，所以得出结论；
（2）首先，AB是的直径，且，因此圆的半径. 在中，OD=3，DE=4，根据勾股定理，求出. 因为OE=5，OA=3，所以AE=2. 接下来，可证明出，根据相似三角形对应边成比例，可得，解得.
（1）证明：如图，连接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的半径，
∴是的切线；
（2）解：∵，
∴，
∴，
又，
∴，
解得，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，即，
∴．
故答案 为：．
20．某研发小组设计了甲、乙两款AI软件，为测试两款软件的实用性能，先后邀请普通用户和专业人士对甲、乙两款软件体验、评分（百分制）．
（1）邀请800个普通用户对甲款软件和1200个普通用户对乙款软件体验、评分（百分制）．从评分中各随机抽取20个数据进行整理、描述和分析，下面给出了部分信息：
a．甲款软件评分：
60 60 70 70 72 75 80 80 80 80
80 80 81 81 81 82 82 85 90 91
b．乙款软件评分频数分布直方图如图．
（数据分成五组：，，，，）
其中成绩在的数据如下：
75 75 75 76 78 78 79 79
c．甲、乙两款软件评分的平均数、中位数、众数如下表所示：
软件 平均数 中位数 众数
甲 78 80 m
乙 78 n 75
根据所给信息，解答下列问题：
①______，______；
②估计这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为______个；
（2）邀请专业人士对甲、乙两款软件从四个维度体验、评分（百分制），评分结果由维度1和维度2各占30%，维度3和维度4各占20%组成，评分如下：
软件 维度1 维度2 维度3 维度4
甲 94 k 92 93
乙 91 93 93 92
①求乙款软件的评分；
②若甲款软件的评分比乙款软件的评分高，求表中k（k为整数）的最小值．
【答案】（1）①80，77；②180
（2）解：①乙款软件的评分（分）；
②由题意得，解得：．
∴k的最小整数值为91．
【知识点】频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】
（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，
∴甲组数据的众数为80，即；
∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人，
∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即．
②∵乙款软件评分在有3人，
∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个．
故答案为：①80；77；②180．
【分析】
（1）①观察表格，根据众数、中位数的定义求解即可；
②用1200乘以第五组数据在样本中所占的比即可得解．
（2）①利用加权平均数的计算方法计算即可；
②根据“甲款软件的评分更高”，列不等式求解即可．
（1）解：①甲组20个数据中出现次数最多的是80，
∴甲组数据的众数为80，即；
∵乙组数据的中位数在第3组中，第1、2两组共有6人，
∴第三组的第4、5个数据的平均数为中位数，即．
②∵乙款软件评分在有3人，
∴这1200个普通用户中对乙款软件评分x满足的约为个．
故答案为：①80；77；②180．
（2）解：①乙款软件的评分（分）；
②由题意得，解得：．
∴k的最小整数值为91．
故答案为：①；②91．
21．某快餐店销售A、B两种快餐，A种快餐每份利润12元，每天能卖出40份；B种快餐每份利润8元，每天能卖出80份．该店根据顾客需求，准备降低A种快餐的利润，同时提高B种快餐的利润．售卖时发现，在一定范围内，每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份；每份B种快餐每提高1元利润，就少卖2份，但这两种快餐每天销售的总份数不变．设每份A种快餐降低的利润为x元，调价后销售A、B两种快餐一天的总利润为y元．
（1）调价后A种快餐每天可卖出______份，B种快餐每天可卖出______份；（用含x的代数式表示）
（2）求y与x之间的函数关系式；
（3）求x为何值时y取得最大值，并求出y的最大值．
【答案】（1），
（2）解：
；
（3）解：，
∴当时，y取得最大值，y的最大值1264．
【知识点】列二次函数关系式；二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【解答】
（1）解：设每份A种快餐降低的利润为x元，
∵每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份，
∴A种快餐可多卖份，
∴调价后A种快餐每天可卖出份，
∵这两种快餐每天销售的总份数不变，
∴B种快餐每天可卖出份；
故答案为：，；
【分析】
（1）根据题中表述的数量关系即可解答；
（2）根据“总利润=单件利润×数量”，将两种快餐利润相加即可；
（3）根据二次函数性质求函数最值即可．
（1）解：设每份A种快餐降低的利润为x元，
∵每份A种快餐每降低1元利润，可多卖2份，
∴A种快餐可多卖份，
∴调价后A种快餐每天可卖出份，
∵这两种快餐每天销售的总份数不变，
∴B种快餐每天可卖出份；
故答案为：，；
（2）解：
；
（3）解：，
∴当时，y取得最大值，y的最大值1264．
22．【问题原型】在矩形中，点是边延长线上一点，连接，过点作，交于点．
（1）如图①，若四边形是正方形，则线段与之间的数量关系是______；
（2）如图②，若，判断与之间的数量关系，并说明理由；
【问题变式】如图③，四边形为平行四边形，为锐角，且，点是射线上一点，作，交射线于点，若，则线段的长为______．
【答案】（1）；
（2）．
证明：四边形是矩形，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
；
【问题变式】或
【知识点】平行四边形的判定与性质；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：（1），理由如下：
四边形是正方形，
，
，
，
，
，
，
故答案为：；
【问题变式】分情况讨论：点F在上或点F在的延长线上．
当点F在上时，如图
四边形为平行四边形，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
；
当点F在的延长线上时，如图
四边形为平行四边形，
，
，
，
，即，
，
，
，
，，
，即，
，
．
综上，的长为或．
故答案为：或．
【分析】
本题考查了正方形的性质，矩形的性质，平行四边形的性质，全等三角形的判定，相似三角形的判定与性质以及分类讨论思想.
（1）根据正方形的性质，得AB=AD，. 已知，得. 由此可得，根据“同角的余角相等”，. 又因为， AB=AD，所以，根据全等三角形对应边相等，可得AF=AE；
（2）由于四边形ABCD是矩形，因此. 同理，由可得， 且， 所以. 根据相似三角形对应边成比例，可得，已知，因此，整理得；
【问题变式】分两种情况讨论：当点F在上时，DF=1，CF=1，此时可根据相似三角形的比例关系求出BE的长度，进而得到CE的长度；当点F在CD的延长线上时，DF=1，CF=3，同理可求出BE的长度，进而得到CE的另一种可能值.
23．如图，在中，，，．点P是边上一点（点P不与点B重合），连接．过点P作，使点Q和点B在直线的两侧，连接，．
（1）　 　度；
（2）求证：；
（3）点M是边延长线上一点，且，连接，线段的最小值为　 　；
（4）当时，直接写出线段的长．
【答案】（1）30
（2）证明：∵，，，∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴.
（3）
（4）
【知识点】解直角三角形；相似三角形的判定-SAS；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】
解：（1）∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30；
（3）过点作于，
∵，
∴，
∴点在过点且垂直于的垂线上，
∴当，即点与点重合时，线段有最小值，
过点作于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：；
（4）∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴线段的长为．
【分析】
本题考查直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，垂线段最短以及三角函数的定义.
（1）在中，已知，BC=3，可先求出的余弦值，再确定其度数. 结合和，可通过三角函数的定义求出的度数为30度；
（2）要证明两个三角形相似，需证明两边对应成比例且夹角相等. 由（1）可知，又，根据“两边对应成比例且夹角相等”，可证得；
（3）由（2）中，可得，说明点Q在过点A且垂直于AC的直线上运动. 根据“垂线段最短”，当MQ垂直于这条直线时，MQ的长度最小. 通过计算点M到该直线的距离，即可得到MQ的最小值；
（4）已知，结合（2）中，可得，根据正切函数的定义，，代入AC的长度，即可求出AQ的长度.
（1）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：30；
（2）证明：∵，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：过点作于，
∵，
∴，
∴点在过点且垂直于的垂线上，
∴当，即点与点重合时，线段有最小值，
过点作于，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∴线段的最小值为，
故答案为：；
（4）解：∵，
∴，
由（2）知，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴线段的长为．
24．如图，在平面直角坐标系中，抛物线经过、两点，连接．点P是抛物线上的一点（点P不与点B重合），设点P的横坐标为m．
（1）求这条抛物线所对应的函数表达式；
（2）过点P作y轴的平行线交线段于点C，当线段的长为2时，求m的值；
（3）当时，抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象的最高点与最低点的纵坐标之差为d，求d与m之间的函数关系式；
（4）过点P作y轴的垂线交直线于点Q，将线段绕点P顺时针旋转得到线段，连接．设抛物线在内部的图象（含交点）为G，当图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1时，直接写出m的值．
【答案】（1）解：由题意可把点、代入抛物线得：，
解得：，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，由题意得：，
解得：，
∴直线的解析式为，
∵过点P作y轴的平行线交线段于点C，且，
∴，
∵，
∴，
解得：，；
（3）解：由抛物线可知：对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，根据二次函数的对称性可知：点关于对称轴对称点的坐标为，
∵，
∴点P在直线上方的抛物线上，则由题意可分：
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为5，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为，最小值为5，
∴；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（4）或或
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；正方形的判定与性质；旋转的性质
【解析】【解答】（4）解：令时，则有，解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
由题意可分：当点P在对称轴的左侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点D，线段与抛物线的交点为点E，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点E作于点F，
∵过点P作y轴的垂线交直线于点Q，，
∴点D的纵坐标为，
由旋转的性质可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点D、E之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∵点Q到y轴的距离为1，
∴点E与点B重合，
∴，
解得：，；
当点P在对称轴的右侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点N，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点N分别作，垂直直线，垂足分别为点G，H，
∴四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点N、P之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∴点N的横坐标为2，
∴当时，则有，即，
∴，
解得：（负根舍去），
综上所述：或或．
【分析】
（1）根据待定系数法将点、代入即可求解抛物线解析式；
（2）由题意易得直线的解析式为，则有，然后用含m的式子表示出PC的长，列出方程即可解答；
（3）由题意易得抛物线的对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，然后根据题意可分当时，当时，当时，进而分类求解即可；
（4）由题意可分当点P在对称轴的左侧时，当点P在对称轴的右侧时，然后画出图象分类进行求解即可．
（1）解：由题意可把点、代入抛物线得：
，解得：，
∴这条抛物线所对应的函数表达式为；
（2）解：设直线的解析式为，由题意得：
，解得：，
∴直线的解析式为，
∵过点P作y轴的平行线交线段于点C，且，
∴，
∵，
∴，
解得：，；
（3）解：由抛物线可知：对称轴为直线，顶点坐标为，当时，y随x的增大而增大，当时，y随x的增大而减小，
根据二次函数的对称性可知：点关于对称轴对称点的坐标为，
∵，
∴点P在直线上方的抛物线上，则由题意可分：
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为9，最小值为5，
∴；
当时，此时抛物线上P、B两点之间（含P、B两点）的图象，最大值为，最小值为5，
∴；
综上所述：当时，；当时，；当时，；
（4）解：令时，则有，解得：，
∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为，
由题意可分：当点P在对称轴的左侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点D，线段与抛物线的交点为点E，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点E作于点F，
∵过点P作y轴的垂线交直线于点Q，，
∴点D的纵坐标为，
由旋转的性质可知：，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点D、E之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∵点Q到y轴的距离为1，
∴点E与点B重合，
∴，
解得：，；
当点P在对称轴的右侧时，如图所示：
设线段与抛物线的交点为点N，抛物线与x轴的另一个交点为点C，即，过点N分别作，垂直直线，垂足分别为点G，H，
∴四边形是矩形，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴四边形是正方形，
∵抛物线在内部的图象（含交点）为G，图象G即为点N、P之间的抛物线，且图象G上最高点与最低点的纵坐标之差为1，
∴，
∴点N的横坐标为2，
∴当时，则有，即，
∴，
解得：（负根舍去），
综上所述：或或．
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