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2026年四川省内江市威远中学九年级下学期第一次模拟考试数学试题
1．表示（　　）
A．的倒数 B．的相反数 C．7的倒数 D．7的相反数
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得表示的倒数，
故答案为：A
【分析】根据倒数的定义结合题意即可得到表示的倒数。
2．2025年11月6日6时27分月球过近地点，距离地球约357000公里，这是2025年所有满月中与地球最近的一次，将数据357000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：A
【分析】本题主要考查科学记数法的运用。科学记数法的标准形式为 a ，其中 1 |a| < 10 ， n 为整数。解决此类问题的关键是准确确定 a 和 n ：先移动小数点得到 a ，再根据移动的位数确定指数 n 的正负与大小。本题中，将357000化为科学记数法，需特别注意指数 n 等于原数整数部分的位数减1。
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误；
B.，原计算错误；
C.，原计算错误；
D.，计算正确；
故选：D．
【分析】本题主要考查整式运算中的常见法则，包括完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及幂的乘方。解题时需逐项验证：完全平方公式结果应为三项；积的乘方要把每个因式分别乘方；同底数幂相除指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘。根据这些法则判断各选项的正误即可。
4．如图，直线，直线EF分别交、于点E、F，过点F作交于点G，垂足为F，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
根据三角形外角的性质可知，结合平行线的性质与垂直的定义，分别求出两个角的度数，进而得到结果．
5．“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别。轴对称图形是指存在一条直线，图形沿该直线对折后两部分完全重合；中心对称图形是指将图形绕某一点旋转180°后能与自身重合。解题时，需要同时满足两个条件：既要找到对称轴，又要找到旋转180°后重合的中心。根据定义逐一判断各选项即可得出答案。
6．某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）：10，6，9，11，8，10，下列关于这组数据描述正确的是（　　）
A．中位数是10 B．众数是10 C．平均数是9.5 D．方差是6
【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：学生的成绩按照从小到大的顺序排列为6，8，9，10，10，11
∴中位数为（9+10）÷2=9.5
∴众数为10
∴平均数为（6+8+9+10+10+11）÷6=9
方差为（32+12+0+12+12+22）÷6=
故答案为：B.
【分析】根据题意，由中位数、众数、平均数、方差的含义进行计算，分别判断得到答案即可。
7．如图，在中，，，，则的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：，
，
故选：B．
【分析】本题以直角三角形为背景，考查了锐角三角函数的定义，重点是对正弦概念的理解与运用。正弦值等于直角三角形中锐角的对边与斜边之比。解题时，先识别∠A的对边BC和斜边AB，再代入已知边长计算比值并化简即可。
8．如图，以为直径作半圆，是半圆上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交直径于点，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
，
故选：C．
【分析】本题以圆和扇形为背景，考查了不规则图形面积的求法，涉及圆心角与圆周角的关系、勾股定理、扇形面积公式及三角形面积公式。解题的关键是将阴影部分面积转化为规则图形面积的和差运算：连接辅助线后，阴影面积等于扇形COB的面积加上 AOC的面积再减去扇形CAD的面积。先根据已知条件求出各半径、圆心角和线段长，再代入公式计算即可。
9．已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象相交于点A（4，1），B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为（1，0），则△ACD的面积为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．5
【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵点A（4，1）在反比例函数y＝上，
∴m＝xy＝4×1＝4，
∴y＝．
把B（a，2）代入y＝得
2＝，
∴a＝2，
∴B（2，2）．
∵把A（4，1），B（2，2）代入y＝kx+b
∴，解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点C在直线上，
∴当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）
过A作AE⊥x轴于E．
∴S△ACD＝S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA＝．
故选：D．
【分析】本题以反比例函数与一次函数相交为背景，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征以及坐标系中三角形面积的求法。解题的关键是先由点A坐标求出反比例函数中的m，再代入点B求出其横坐标a；接着利用A、B两点坐标确定一次函数解析式，并求出它与x轴的交点C的坐标；最后过点A作x轴的垂线，将△ ACD的面积转化为梯形与两个直角三角形面积之差进行计算。
10．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：初始会做人数为1，
第一节课后，会做人数变为，
第二节课，新教会人数为，
∴会做的总人数为．
故选：B．
【分析】本题以实验技能传播为背景，考查了列一元二次方程解决实际问题，属于典型的传播问题模型。解题的关键是理清每一轮新增会做实验的人数：初始有1人会做；第一节课后，这1人教会了x名同学，此时共有1+x人会做；第二节课时，这1+x人每人再教会x名同学，因此新增人数为(1+x)x。将初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数相加，即得总人数方程。
11．已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；
②当时，二次函数的图象与轴有两个交点；
③若，则；
④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则．
其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函数中，，
则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确．
令，
则，
当时，则，
则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确．
点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大，
故若，则，故③错误．
联立与，
则，
整理得：，
则，解得：，
令，对称轴为直线，
∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，
故当时，，
解得：．
解得：，故④正确，
综上：①②④正确，
故选：C
【分析】本题以二次函数为核心，综合考查了二次函数的图象与性质、判别式与交点个数的关系、函数值大小与点到对称轴距离的联系，以及函数图象交点问题。解题时需逐项分析：①根据二次项系数和对称轴公式直接判断开口方向和对称轴；②令函数值为0，通过判别式 > 0确定与x轴有两个交点的条件；③利用开口向上时“离对称轴越远函数值越大”的规律，由推导距离关系；④联立两个函数方程，转化为一元二次方程根的存在性问题，并结合自变量范围确定参数的取值范围。掌握这些知识是正确判断结论的关键。
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；探索规律-图形的递变规律；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线l为正比例函数的图象，
∴，
∴，
∴正方形的面积，
由题意得、是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∴，
∴正方形的面积，
同理，，
∴正方形的面积， … ，
由规律可知，正方形的面积，
故选：C．
【分析】本题以正比例函数y=x与正方形序列的构建为背景，综合考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、正方形的面积计算以及从特殊到一般的规律探究能力。解题的关键是发现每个正方形的边长与前一图形之间的关系：由直线y=x可知，从而\、等均为等腰直角三角形。依次计算出第一个、第二个、第三个正方形的面积，观察它们构成以为底数的指数形式，指数与序号n的关系为n-1，进而归纳出第n个正方形面积的表达式。掌握这种通过前几项找规律的方法即可正确求解。
13．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式；整体思想
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题以多项式因式分解为背景，考查了完全平方公式的灵活运用及整体思想。解题的关键是将 (m+n) 视为一个整体，观察多项式符合的结构，其中 a = m+n，b = 3。识别出这种形式后，直接套用完全平方公式即可分解为。整体代入思想是解决此类“复合式”因式分解问题的核心。
14．在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
【答案】x≥2且x≠3
【知识点】二次根式的概念；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】根据题意得：，即，解得：x≥2且x≠3．
故答案为x≥2且x≠3．
【分析】
要确定该式中自变量)的取值范围，需要结合二次根式的性质和分式的意义分析：二次根式中被开方数需要满足大于等于0，因此可得x-20；分式的分母不能为0，因此可得x-20，结合两个条件即可求出自变量x的取值范围.
15．为了了解我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：（1）这6000名学生的数学会考成绩的全体是总体；（2）每个考生是个体；（3）200名考生是总体的一个样本；（4）样本容量是200，其中说法正确的有　 　 ．
【答案】（1）（4）
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：本题中的个体是每个考生的数学会考成绩，样本是200名考生的数学会考成绩，故（2）和（3）错误，不符合题意；
总体是我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，样本容量是200．故（1）和（4）正确，符合题意．
故答案为（1）（4）．
【分析】本题以考生数学成绩统计为背景，考查了总体、个体、样本、样本容量这四个统计基本概念的区别与判断。解题的关键是明确考查对象是“成绩”而不是“考生本人”：总体是6000名考生的数学成绩，个体是每名考生的数学成绩，样本是抽取的200名考生的数学成绩，而样本容量是200（只指数目，不带单位）。理解每个概念的具体含义，并注意区分“考生”与“成绩”的不同表述，是正确解答此类题目的核心。
16．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，
连接OC交圆O于点 ，
∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，
在矩形中，∠ABC=90°，
∵，
∴OA=OB= =1，
∵，
∴ ，
∴
故答案为：
【分析】本题以矩形中的动点及垂直关系为背景，考查了圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）及利用圆外一点到圆上点的距离最值（点与圆的位置关系）求线段最小值。由AE⊥BE得点E在以AB为直径的圆上运动。连接圆心O与点C，线段OC与圆的交点即为使CE最小的点E'，利用勾股定理求OC，再减去半径即得CE的最小值。
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了绝对值、乘方、二次根式的化简以及特殊角的三角函数值。解题的关键是分别准确计算出每一部分的值：|-4|=4，=4，，tan，再按照实数的运算顺序（先乘方和化简，再加减）进行合并计算，注意同类二次根式的合并。
18．如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接．
（1）求证：；
（2）若平分，求证：．
【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
即．
在和中，
∵，
∴≌（）；
（2）证明：∵≌，
∴，．
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴≌（）．
∴．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）因为∠BAC和∠FAG相等，等式两边同时减去公共角∠DAC后，可得∠1=∠2，结合已知的AB=AC、AF=AG，即可证明△ABF≌△ACG；
（2）根据（1）中三角形全等的结论，可以得到对应边相等，即AF=AG，BF=CG。又已知AB=AC，且AD平分∠BAC，所以可以推出∠2=∠3，再结合AE是公共边，即可证明△AEF≌△AEG，由此可以推出BE=CG，同时能得到AE⊥FG的结论.
（1）如图，
∵，
∴，
即．
在和中，
∵，
∴≌（）；
（2）∵≌，
∴，．
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴≌（）．
∴．
∴．
19．某中学为了培养学生课外阅读的好习惯，举办了“我爱阅读”活动．学校提供四类书籍供学生阅读，A：文学，B：科技，C：数理，D：历史．为了解该校九年级学生在校期间的阅读情况，随机抽取了九年级若干学生进行调查（每名学生仅选择一类书），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图根据图表信息回答以下问题：
（1）参与调查的学生共有______人，补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“D：历史类”对应的圆心角的度数是______；
（3）若九年级学生共有1200人，请估计九年级选择科技书的学生人数；
（4）已知选择B类的学生中恰好有2名女生、4名男生，现从中抽取2名学生参加学校科学实验比赛，请用列表法或画树状图的方法，求所选取的两名学生恰好是一男一女的概率．
【答案】（1）60，
C：数理的人数为：人，
补全条形统计图如图；
（2）
（3）解：（人），
答：估计九年级选择科技书的人数为120人；
（4）解：列表如下：
男1 男2 男3 男4 女1 女2
男1
男2男1 男3男1 男4男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2
男3男2 男4男2 女1男2 女2男2
男3 男1男3 男2男3
男4男3 女1男3 女2男3
男4 男1男4 男2男4 男3男4
女1男4 女2男4
女1 男1女1 男2女1 男3女1 男4女1
女2女1
女2 男1女2 男2女2 男3女2 男4女2 女1女2
由列表可得，共有30种等可能的结果，其中一男一女的结果有16种．
∴P（一男一女）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，
∴参与调查的学生共有60人，
（2）解：，
∴“D：历史类”对应的圆心角的度数是
【分析】本题以校园阅读活动为背景，综合考查了扇形统计图与条形统计图的关联分析、用样本估计总体、以及列表法（或树状图法）求概率。
（1）根据A类的人数和百分比求出总人数，再由C类的百分比求出C类人数，从而补全条形图；
（2）用D类人数占总人数的比例乘以360得到扇形圆心角；
（3）用样本中B类的比例乘以九年级总人数进行估计；
（4）用列表法列举所有等可能结果，再数出一男一女的组合数，最后用概率公式计算。掌握从统计图表中提取数据、进行比例运算以及列举求概率的方法是解决本题的核心。
（1）解：人，
∴参与调查的学生共有60人，
∴C：数理的人数为：人，
补全条形统计图如图；
（2）解，
∴“D：历史类”对应的圆心角的度数是
（3）解：（人），
答：估计九年级选择科技书的人数为120人；
（4）解：列表如下：
男1 男2 男3 男4 女1 女2
男1
男2男1 男3男1 男4男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2
男3男2 男4男2 女1男2 女2男2
男3 男1男3 男2男3
男4男3 女1男3 女2男3
男4 男1男4 男2男4 男3男4
女1男4 女2男4
女1 男1女1 男2女1 男3女1 男4女1
女2女1
女2 男1女2 男2女2 男3女2 男4女2 女1女2
由列表可得，共有30种等可能的结果，其中一男一女的结果有16种．
∴P（一男一女）．
20．安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图2小明测得大树底端点的俯角为，点的仰角为，点离地面的高度．求大树的高．（结果精确到米，参考数据：．）
【答案】解：过点作于，
如图2所示：
在中，，
由，
解得，
在中，，
解得，
∴，
答：大树CD的高为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】本题以智能手机测高为背景，考查了解直角三角形的实际应用，涉及仰角、俯角的概念以及正切函数的运用。解题的关键是过点A作AE CD于点E，将大树高度CD拆分为CE与DE两部分，其中CE = AB。先在 Rt△CEA中，利用俯角的正切值求出水平距离AE；再在Rt△ ADE中，利用仰角的正切值求出DE；最后将两部分相加即可得到大树高度。理解将实际问题转化为直角三角形模型，并正确选用三角函数是解决此类问题的核心。
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围；
（3）已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为9；求点的坐标．
【答案】（1）解：将代入，
解得：，
∴反比例函数表达式为，
将代入，解得：，
∴，
将，代入，
得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）
（3）解：∵，令，解得：，
∴，
设，
则，
∵的面积为9，
∴，
解得：或，
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
（2）∵，
根据函数图象可得：当时，；
【分析】
（1）利用待定系数法，首先将点B的坐标代入反比例函数解析式求出k2，进而确定反比例函数解析式；再将点A的坐标代入求出m，最后利用点A、B的坐标建立方程组求出一次函数解析式。
（2）利用数形结合的思想，不等式>kx+b>0的几何意义是反比例函数图象在一次函数图象上方，且一次函数图象在x轴上方，通过观察图象中两函数图象的交点及与坐标轴的交点位置，确定x的取值范围。
（3）利用三角形面积公式，先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，设点P的坐标，以PC为底，点A的纵坐标绝对值为高，根据面积列方程求解.
22．若，则　 　．
【答案】4
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴原式．
故答案为：4
【分析】本题以分式的恒等变形为背景，考查了代数式的整体代入求值技巧。解题的关键是先由已知条件= 3 通分得到= 3，进而得出 x - y = -3xy。然后将所求分式的分子和分母分别用 x-y 表示，即分子为 2(x-y) - 14xy，分母为 (x-y) - 2xy。最后将 x-y = -3xy 整体代入，通过约分消去 xy（注意 xy0）即可求出值。掌握这种“整体代换”的策略是解决此类问题的核心。
23．对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是　 　．
【答案】3567
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解∶ 根据题意， 四位自然数是“博文数”，
，，
解得，，
因此这个数是，符合“博文数”的定义．
故答案为：3567
【分析】本题以新定义“博文数”为背景，考查了阅读理解能力及一元一次方程的应用。解题的关键是根据定义中的两个条件将文字描述转化为数学等式：十位数字（6）等于千位数字（x）的2倍，即6 = 2x；个位数字（y）比百位数字（5）多2，即y - 5 = 2。分别解出x和y后，代入原数得到3567，再验证各位数字不同且均不为0，符合定义要求。理解新定义并准确列出方程是正确解答的核心。
24．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为　 　．
【答案】4
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；矩形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当与重合且与重合时，取得最小值4，
故答案为：4．
【分析】过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，由矩形性质及垂直定义得，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形对边相等，四个角都是直角得，，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形BHPF是矩形，根据矩形对边相等得CD=AB=DE，可判断出△DEC是等腰直角三角形，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PG，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案．
25．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为　 　．
【答案】16
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，
不等式组的解集为：，其整数解为：3、2、1，
∴，
解得：，
解方程，得，
关于的分式方程的解为的解为非负数，
且，
解得且，
且，
则所有满足条件的整数m的值之和是，
故答案为：．
【分析】本题以不等式组和分式方程的综合应用为背景，考查了由整数解个数确定参数范围、分式方程的求解及解的限定条件（非负数且分母不为零）。解题的关键是分两步进行：先解不等式组，根据“有且仅有3个整数解”确定解集为< 4，整数解为1、2、3，从而得到0 <，解得0 < m 6；再解分式方程，化为整式方程得y = m - 2，要求解为非负数且y 2，即m 2且m 4。综合两部分得到26且m 4，最后求出所有符合条件的整数m（2、3、5、6）之和。注意分式方程验根是易错点。
26．某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元．
（1）购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？
（2）根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元．
①请问A型器材最多购买多少套？
②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案．
【答案】（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，由题意可得：
，解得
答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元；
（2）解：①设购买A型器材套，则购买B型器材为套，
由题意可得：
解得，
答：A型器材最多购买套；
②设购买A型器材套，则购买B型器材为套，
由①可得：
根据题意可得：，解得
∴
又∵为正整数，
∴的取值为，即有三种购买方案，
具体为：A型器材为套，B型器材套，
A型器材为套，B型器材套，
A型器材为套，B型器材套．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）先设购买1套A型器材需要x元，购买1套B型器材需要y元，再结合题目给出的条件列出二元一次方程组，最终解这个方程组就能得到对应结果；
（2）①设购买A型器材的数量为a套，结合题目给出的总费用限制列出一元一次不等式，解不等式就能得到对应结果；②同样根据题目的条件列出相关不等式，求解不等式就能得到最终结果.
（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，由题意可得：
，解得
答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元；
（2）解：①设购买A型器材套，则购买B型器材为套，
由题意可得：
解得，
答：A型器材最多购买套；
②设购买A型器材套，则购买B型器材为套，
由①可得：
根据题意可得：，解得
∴
又∵为正整数，
∴的取值为，即有三种购买方案，
具体为：A型器材为套，B型器材套，
A型器材为套，B型器材套，
A型器材为套，B型器材套．
27．如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点
（1）求证：平分；
（2）若，请判断和的数量关系，并证明结论；
（3）在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积.
【答案】（1）证明：如图，连接，
直线是的切线，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
平分．
（2）解：，理由如下：
直线是的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
由（1）得，
，
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
半径为，
，
，
图中阴影部分面积
．

【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的性质；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据切线性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠FOD，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据直线平行性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠EDM，再根据含30°角的直角三角形性质即可就出答案.
（3）根据含30°角的直角三角形性质可得DF，再根据勾股定理可得DF，再根据割补法，结合三角形，扇形面积即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，
直线是的切线，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
平分．
（2）解：，理由如下：
直线是的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
由（1）得，
，
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
半径为，
，
，
图中阴影部分面积．
28．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大 并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于A、B两点，
∴A( 4，0)，B(0，4)．
∵抛物线经过A、B两点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点E作EH⊥PD于点H，则EH∥OA．
∵OA=OB=4，
∴∠OAB=45°．
∴∠HDE=45°，且DE=．
∴HE=HD=2．
设点P的坐标为(，--3+4)，
则点D为(，+4)，点E为(+2，+6)，点F为(+2，--7-6)．
∴|PD|=- 3+4-(+4)=--4， |EF|=--7-6-(+6)=--8-12．
∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF)
=×2(--4--8-12)
=-2-12-12
=-2(+3)2+6．
∴当=-3时，S四边形PDEF有最大值6．
此时点P的坐标为( 3，4)．
（3）存在，点M的坐标为：，，
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：满足条件的点M的坐标为：，，．理由如下：∵OG=2，
∴点G的坐标为(0，-2)，且A(-4，0)．
设直线AG的方程为，把A、G坐标代入可得，解得．
∴直线AG的方程为．
∴可设直线的方程为-2=-+-2．（＞0）
令=0可得 +-2=0，解得=-4，
∴点M的坐标为(-4，0)．
联立直线与直线AB方程可得，解得．
∴点N的坐标为(，)．
∵F为OA的中点，∴OF=2，即F(-2，0)．
∴MF2=(-4+2)2=-4+4，
MN2=(-4-)2+(0 )2=()2+()2=，
NF2=(+2)2+()2=．
当△FMN为等腰三角形时，分以下三种情况讨论：
①当MN=MF时，即=-4+4，
解得=或=．
此时点M的坐标为或．
②当MN=NF时，即=，
解得=-6(舍去)或=2．
此时点M的坐标为(-2，0)． (点M与点F重合，舍去)．
③当MF=NF时，即-4+4=，
解得=0(舍去)或=．
此时点M的坐标为(，0)．
综上所述，平移后点M的坐标为，，
【分析】本题以二次函数综合题为背景，考查了以下知识点：待定系数法求抛物线解析式、一次函数与坐标轴的交点、坐标系中动点坐标的表示、等腰直角三角形的性质、梯形面积公式、二次函数的最值问题、平行线平移过程中直线方程的表示、两点间距离公式、等腰三角形的存在性及分类讨论思想。
（1）利用待定系数法。先由直线y=x+4求出A(-4，0)、B(0，4)，代入抛物线y=-x2+bx+c得到方程组，解出b，c即可。
（2）先过E作EH PD，由直线y=x+4得∠OAB=45°，结合DE=2求出EH=HD=2。设P点横坐标为a，依次表示D、E、F的纵坐标，用梯形面积公式表示四边形PDEF的面积，得到关于a的二次函数，通过配方求最大值及对应P点坐标。
（3）先求F(-2，0)、G(0，-2)及直线AG的方程。设平移后的直线为y=-x+m-2，用m表示M(m-4，0)和N的坐标。分别计算MF2、MN2、NF2，分MN=MF、MN=NF、MF=NF三种情况列方程求解，舍去重合点等不合题意的解，得到所有满足条件的M点坐标。
（1）∵直线与轴、轴分别交于A、B两点，∴A( 4，0)，B(0，4)．
∵抛物线经过A、B两点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，过点E作EH⊥PD于点H，则EH∥OA．
∵OA=OB=4，
∴∠OAB=45°．
∴∠HDE=45°，且DE=．
∴HE=HD=2．
设点P的坐标为(，--3+4)，
则点D为(，+4)，点E为(+2，+6)，点F为(+2，--7-6)．
∴|PD|=- 3+4-(+4)=--4， |EF|=--7-6-(+6)=--8-12．
∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF)
=×2(--4--8-12)
=-2-12-12
=-2(+3)2+6．
∴当=-3时，S四边形PDEF有最大值6．
此时点P的坐标为( 3，4)．
（3）满足条件的点M的坐标为：，，．理由如下：
∵OG=2，
∴点G的坐标为(0，-2)，且A(-4，0)．
设直线AG的方程为，把A、G坐标代入可得，解得．
∴直线AG的方程为．
∴可设直线的方程为-2=-+-2．（＞0）
令=0可得 +-2=0，解得=-4，
∴点M的坐标为(-4，0)．
联立直线与直线AB方程可得，解得．
∴点N的坐标为(，)．
∵F为OA的中点，∴OF=2，即F(-2，0)．
∴MF2=(-4+2)2=-4+4，
MN2=(-4-)2+(0 )2=()2+()2=，
NF2=(+2)2+()2=．
当△FMN为等腰三角形时，分以下三种情况讨论：
①当MN=MF时，即=-4+4，
解得=或=．
此时点M的坐标为或．
②当MN=NF时，即=，
解得=-6(舍去)或=2．
此时点M的坐标为(-2，0)． (点M与点F重合，舍去)．
③当MF=NF时，即-4+4=，
解得=0(舍去)或=．
此时点M的坐标为(，0)．
综上所述，平移后点M的坐标为，，
1 / 12026年四川省内江市威远中学九年级下学期第一次模拟考试数学试题
1．表示（　　）
A．的倒数 B．的相反数 C．7的倒数 D．7的相反数
2．2025年11月6日6时27分月球过近地点，距离地球约357000公里，这是2025年所有满月中与地球最近的一次，将数据357000用科学记数法表示应为（　　）
A． B． C． D．
3．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
4．如图，直线，直线EF分别交、于点E、F，过点F作交于点G，垂足为F，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．“二十四节气”蕴含了悠久的文化内涵和历史积淀，是中华民族智慧的结晶.下列四幅作品分别代表“立春”“立夏”、“芒种”、“大雪”四个节气，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
6．某校九年级体育模拟测试中，六名男生引体向上的成绩如下（单位：个）：10，6，9，11，8，10，下列关于这组数据描述正确的是（　　）
A．中位数是10 B．众数是10 C．平均数是9.5 D．方差是6
7．如图，在中，，，，则的值为（　　）
A．2 B． C．3 D．
8．如图，以为直径作半圆，是半圆上一点，以点为圆心，的长为半径画弧交直径于点，若，，则图中阴影部分的面积为（　　）
A． B． C．2 D．
9．已知反比例函数y＝与一次函数y＝kx+b的图象相交于点A（4，1），B（a，2）两点，一次函数的图象与y轴交于点C，点D在x轴上，其坐标为（1，0），则△ACD的面积为（　　）
A．12 B．9 C．6 D．5
10．一个同学经过培训后会做某项实验，回到班级后第一节课他教会了若干个同学，第二节课会做的同学每人又教会了同样多的同学，这样全班共有49人会做这项实验，若设1人每次能教会名同学，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
11．已知二次函数的图象经过、两点，有下列结论：
①二次函数的图象开口向上，对称轴为直线；
②当时，二次函数的图象与轴有两个交点；
③若，则；
④当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，则．
其中，正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
12．如图，在平面直角坐标系中，直线l为正比例函数的图象，点的坐标为，过点作x轴的垂线交直线l于点，以为边作正方形；过点作直线l的垂线，垂足为，交x轴于点，以为边作正方形；过点作x轴的垂线，垂足为，交直线l于点，以为边作正方形；…；按此规律操作下所得到的正方形的面积是（　　）
A． B． C． D．
13．因式分解：　 　．
14．在函数中，自变量x的取值范围是　 　 ．
15．为了了解我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，从中抽取了200名考生的成绩进行统计，在这个问题中，下列说法：（1）这6000名学生的数学会考成绩的全体是总体；（2）每个考生是个体；（3）200名考生是总体的一个样本；（4）样本容量是200，其中说法正确的有　 　 ．
16．如图，在矩形中，，，是矩形内部的一个动点，且，则线段的最小值为　 　．
17．计算：．
18．如图，在中，，D为边上一点，E为边上一点，连接与交于点F，G为外一点，满足，，连接．
（1）求证：；
（2）若平分，求证：．
19．某中学为了培养学生课外阅读的好习惯，举办了“我爱阅读”活动．学校提供四类书籍供学生阅读，A：文学，B：科技，C：数理，D：历史．为了解该校九年级学生在校期间的阅读情况，随机抽取了九年级若干学生进行调查（每名学生仅选择一类书），并进行了统计和整理，绘制如图所示的不完整统计图根据图表信息回答以下问题：
（1）参与调查的学生共有______人，补全条形统计图；
（2）在扇形统计图中，“D：历史类”对应的圆心角的度数是______；
（3）若九年级学生共有1200人，请估计九年级选择科技书的学生人数；
（4）已知选择B类的学生中恰好有2名女生、4名男生，现从中抽取2名学生参加学校科学实验比赛，请用列表法或画树状图的方法，求所选取的两名学生恰好是一男一女的概率．
20．安装了软件“”的智能手机可以测量物高．其数学原理是：该软件通过测量手机离地面的高度、物体底端的俯角和顶端的仰角即可知道物体高度．如图2小明测得大树底端点的俯角为，点的仰角为，点离地面的高度．求大树的高．（结果精确到米，参考数据：．）
21．如图，在平面直角坐标系中，一次函数（，为常数，且）与反比例函数（为常数，且）的图象交于点，．
（1）求反比例函数和一次函数的表达式；
（2）当时，直接写出自变量的取值范围；
（3）已知一次函数的图象与轴交于点，点在轴上，若的面积为9；求点的坐标．
22．若，则　 　．
23．对于一个四位自然数M，它的各个位置上的数字不同且都不为0．若十位数字是千位数字的2倍，个位数字比百位数字多2，则称M为“博文数”．如：四位数4183，∵，，∴4183是“博文数”．若四位自然数是“博文数”，则这个数是　 　．
24．如图，在矩形中，，．点在边上，且，、分别是边、上的动点，且，是线段上的动点，连接，．则的最小值为　 　．
25．若关于的不等式组有且仅有3个整数解，且关于的分式方程的解为非负数，则所有满足条件的整数的值之和为　 　．
26．某景区对基础设施提档升级，计划购置一批A型和B型器材．购买1套A型器材比购买1套B型器材多50元；购买2套A型器材和3套B型器材共需1350元．
（1）购买1套A型器材和1套B型器材各需多少元？
（2）根据景区的实际情况，需购买A、B型器材的总数为50套，购买A、B型器材的总费用不超过14500元．
①请问A型器材最多购买多少套？
②从游客的实际需要出发，其中A型器材购买的数量不少于B型器材数量的3倍，该景区共有几种购买方案？试写出所有的购买方案．
27．如图，为的直径，射线交于点，过上点作直线于点，交的延长线于点．直线是切线，连接并延长交于点
（1）求证：平分；
（2）若，请判断和的数量关系，并证明结论；
（3）在（2）的条件下，若半径为1，求图中阴影部分面积.
28．如图1，在平面直角坐标系中，直线与轴、轴分别交于A、B两点，抛物线经过A、B两点，并且与轴交于另一点C（点C在点A的右侧），点P是抛物线上一动点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点P是第二象限内抛物线上的一个动点，过点P作PD轴交AB于点D，点E 为线段DB上一点，且DE=，过点E作EFPD交抛物线于点F，当点P运动到什么位置时，四边形PDEF的面积最大 并求出此时点P的坐标；
（3）如图2，点F为AO的中点，连接BF，点G为轴负半轴上一点，且GO=2，沿轴向右平移直线AG，记平移过程的直线为，直线交轴于点M，交直线AB于点N．是否存在点M，使得△FMN为等腰三角形，若存在，直接写出平移后点M的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：由题意得表示的倒数，
故答案为：A
【分析】根据倒数的定义结合题意即可得到表示的倒数。
2．【答案】A
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：A
【分析】本题主要考查科学记数法的运用。科学记数法的标准形式为 a ，其中 1 |a| < 10 ， n 为整数。解决此类问题的关键是准确确定 a 和 n ：先移动小数点得到 a ，再根据移动的位数确定指数 n 的正负与大小。本题中，将357000化为科学记数法，需特别注意指数 n 等于原数整数部分的位数减1。
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A.，原计算错误；
B.，原计算错误；
C.，原计算错误；
D.，计算正确；
故选：D．
【分析】本题主要考查整式运算中的常见法则，包括完全平方公式、积的乘方、同底数幂的除法以及幂的乘方。解题时需逐项验证：完全平方公式结果应为三项；积的乘方要把每个因式分别乘方；同底数幂相除指数相减；幂的乘方底数不变指数相乘。根据这些法则判断各选项的正误即可。
4．【答案】A
【知识点】垂线的概念；三角形外角的概念及性质；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】，
，
，
，
．
故选：A．
【分析】
根据三角形外角的性质可知，结合平行线的性质与垂直的定义，分别求出两个角的度数，进而得到结果．
5．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，故本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，故本选项符合题意；
故选：D．
【分析】本题主要考查轴对称图形与中心对称图形的识别。轴对称图形是指存在一条直线，图形沿该直线对折后两部分完全重合；中心对称图形是指将图形绕某一点旋转180°后能与自身重合。解题时，需要同时满足两个条件：既要找到对称轴，又要找到旋转180°后重合的中心。根据定义逐一判断各选项即可得出答案。
6．【答案】B
【知识点】分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：学生的成绩按照从小到大的顺序排列为6，8，9，10，10，11
∴中位数为（9+10）÷2=9.5
∴众数为10
∴平均数为（6+8+9+10+10+11）÷6=9
方差为（32+12+0+12+12+22）÷6=
故答案为：B.
【分析】根据题意，由中位数、众数、平均数、方差的含义进行计算，分别判断得到答案即可。
7．【答案】B
【知识点】求正弦值
【解析】【解答】解：，
，
故选：B．
【分析】本题以直角三角形为背景，考查了锐角三角函数的定义，重点是对正弦概念的理解与运用。正弦值等于直角三角形中锐角的对边与斜边之比。解题时，先识别∠A的对边BC和斜边AB，再代入已知边长计算比值并化简即可。
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；勾股定理；圆周角定理；扇形面积的计算；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴
，
故选：C．
【分析】本题以圆和扇形为背景，考查了不规则图形面积的求法，涉及圆心角与圆周角的关系、勾股定理、扇形面积公式及三角形面积公式。解题的关键是将阴影部分面积转化为规则图形面积的和差运算：连接辅助线后，阴影面积等于扇形COB的面积加上 AOC的面积再减去扇形CAD的面积。先根据已知条件求出各半径、圆心角和线段长，再代入公式计算即可。
9．【答案】D
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：∵点A（4，1）在反比例函数y＝上，
∴m＝xy＝4×1＝4，
∴y＝．
把B（a，2）代入y＝得
2＝，
∴a＝2，
∴B（2，2）．
∵把A（4，1），B（2，2）代入y＝kx+b
∴，解得，
∴一次函数的解析式为，
∵点C在直线上，
∴当x＝0时，y＝3，
∴C（0，3）
过A作AE⊥x轴于E．
∴S△ACD＝S梯形AEOC﹣S△COD﹣S△DEA＝．
故选：D．
【分析】本题以反比例函数与一次函数相交为背景，考查了待定系数法求函数解析式、函数图象上点的坐标特征以及坐标系中三角形面积的求法。解题的关键是先由点A坐标求出反比例函数中的m，再代入点B求出其横坐标a；接着利用A、B两点坐标确定一次函数解析式，并求出它与x轴的交点C的坐标；最后过点A作x轴的垂线，将△ ACD的面积转化为梯形与两个直角三角形面积之差进行计算。
10．【答案】B
【知识点】一元二次方程的实际应用-传染问题
【解析】【解答】解：初始会做人数为1，
第一节课后，会做人数变为，
第二节课，新教会人数为，
∴会做的总人数为．
故选：B．
【分析】本题以实验技能传播为背景，考查了列一元二次方程解决实际问题，属于典型的传播问题模型。解题的关键是理清每一轮新增会做实验的人数：初始有1人会做；第一节课后，这1人教会了x名同学，此时共有1+x人会做；第二节课时，这1+x人每人再教会x名同学，因此新增人数为(1+x)x。将初始人数、第一轮新增人数和第二轮新增人数相加，即得总人数方程。
11．【答案】C
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：二次函数中，，
则二次函数的图象开口向上，对称轴为直线为，故①正确．
令，
则，
当时，则，
则二次函数的图象与轴有两个交点，故②正确．
点到对称轴直线的距离为，二次函数的图象开口向上，则距离对称轴越远的点，函数值越大，
故若，则，故③错误．
联立与，
则，
整理得：，
则，解得：，
令，对称轴为直线，
∵当时，二次函数的图象与的图象有两个交点，
故当时，，
解得：．
解得：，故④正确，
综上：①②④正确，
故选：C
【分析】本题以二次函数为核心，综合考查了二次函数的图象与性质、判别式与交点个数的关系、函数值大小与点到对称轴距离的联系，以及函数图象交点问题。解题时需逐项分析：①根据二次项系数和对称轴公式直接判断开口方向和对称轴；②令函数值为0，通过判别式 > 0确定与x轴有两个交点的条件；③利用开口向上时“离对称轴越远函数值越大”的规律，由推导距离关系；④联立两个函数方程，转化为一元二次方程根的存在性问题，并结合自变量范围确定参数的取值范围。掌握这些知识是正确判断结论的关键。
12．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；正方形的性质；一次函数的实际应用-几何问题；探索规律-图形的递变规律；正比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵直线l为正比例函数的图象，
∴，
∴，
∴正方形的面积，
由题意得、是等腰直角三角形，
由勾股定理得， ，
∴，
∴正方形的面积，
同理，，
∴正方形的面积， … ，
由规律可知，正方形的面积，
故选：C．
【分析】本题以正比例函数y=x与正方形序列的构建为背景，综合考查了等腰直角三角形的性质、勾股定理、正方形的面积计算以及从特殊到一般的规律探究能力。解题的关键是发现每个正方形的边长与前一图形之间的关系：由直线y=x可知，从而\、等均为等腰直角三角形。依次计算出第一个、第二个、第三个正方形的面积，观察它们构成以为底数的指数形式，指数与序号n的关系为n-1，进而归纳出第n个正方形面积的表达式。掌握这种通过前几项找规律的方法即可正确求解。
13．【答案】
【知识点】因式分解-完全平方公式；整体思想
【解析】【解答】解：
，
故答案为：．
【分析】本题以多项式因式分解为背景，考查了完全平方公式的灵活运用及整体思想。解题的关键是将 (m+n) 视为一个整体，观察多项式符合的结构，其中 a = m+n，b = 3。识别出这种形式后，直接套用完全平方公式即可分解为。整体代入思想是解决此类“复合式”因式分解问题的核心。
14．【答案】x≥2且x≠3
【知识点】二次根式的概念；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】根据题意得：，即，解得：x≥2且x≠3．
故答案为x≥2且x≠3．
【分析】
要确定该式中自变量)的取值范围，需要结合二次根式的性质和分式的意义分析：二次根式中被开方数需要满足大于等于0，因此可得x-20；分式的分母不能为0，因此可得x-20，结合两个条件即可求出自变量x的取值范围.
15．【答案】（1）（4）
【知识点】总体、个体、样本、样本容量
【解析】【解答】解：本题中的个体是每个考生的数学会考成绩，样本是200名考生的数学会考成绩，故（2）和（3）错误，不符合题意；
总体是我市6000名学生参加的初中毕业会考数学考试的成绩情况，样本容量是200．故（1）和（4）正确，符合题意．
故答案为（1）（4）．
【分析】本题以考生数学成绩统计为背景，考查了总体、个体、样本、样本容量这四个统计基本概念的区别与判断。解题的关键是明确考查对象是“成绩”而不是“考生本人”：总体是6000名考生的数学成绩，个体是每名考生的数学成绩，样本是抽取的200名考生的数学成绩，而样本容量是200（只指数目，不带单位）。理解每个概念的具体含义，并注意区分“考生”与“成绩”的不同表述，是正确解答此类题目的核心。
16．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；矩形的性质；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：∵，
∴点E的运动轨迹是以AB的中点O为圆心，AB长为直径的圆，如图所示，
连接OC交圆O于点 ，
∴当点E位于点 位置时，线段CE取最小值，
在矩形中，∠ABC=90°，
∵，
∴OA=OB= =1，
∵，
∴ ，
∴
故答案为：
【分析】本题以矩形中的动点及垂直关系为背景，考查了圆周角定理的推论（直径所对圆周角为直角）及利用圆外一点到圆上点的距离最值（点与圆的位置关系）求线段最小值。由AE⊥BE得点E在以AB为直径的圆上运动。连接圆心O与点C，线段OC与圆的交点即为使CE最小的点E'，利用勾股定理求OC，再减去半径即得CE的最小值。
17．【答案】解：
．
【知识点】二次根式的性质与化简；有理数的乘方法则；实数的绝对值；特殊角的三角函数的混合运算
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查了绝对值、乘方、二次根式的化简以及特殊角的三角函数值。解题的关键是分别准确计算出每一部分的值：|-4|=4，=4，，tan，再按照实数的运算顺序（先乘方和化简，再加减）进行合并计算，注意同类二次根式的合并。
18．【答案】（1）证明：如图，
∵，
∴，
即．
在和中，
∵，
∴≌（）；
（2）证明：∵≌，
∴，．
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴≌（）．
∴．
∴．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；角平分线的概念；等腰三角形的性质-三线合一
【解析】【分析】（1）因为∠BAC和∠FAG相等，等式两边同时减去公共角∠DAC后，可得∠1=∠2，结合已知的AB=AC、AF=AG，即可证明△ABF≌△ACG；
（2）根据（1）中三角形全等的结论，可以得到对应边相等，即AF=AG，BF=CG。又已知AB=AC，且AD平分∠BAC，所以可以推出∠2=∠3，再结合AE是公共边，即可证明△AEF≌△AEG，由此可以推出BE=CG，同时能得到AE⊥FG的结论.
（1）如图，
∵，
∴，
即．
在和中，
∵，
∴≌（）；
（2）∵≌，
∴，．
∵，平分，
∴．
∵，
∴．
在和中，
∵，
∴≌（）．
∴．
∴．
19．【答案】（1）60，
C：数理的人数为：人，
补全条形统计图如图；
（2）
（3）解：（人），
答：估计九年级选择科技书的人数为120人；
（4）解：列表如下：
男1 男2 男3 男4 女1 女2
男1
男2男1 男3男1 男4男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2
男3男2 男4男2 女1男2 女2男2
男3 男1男3 男2男3
男4男3 女1男3 女2男3
男4 男1男4 男2男4 男3男4
女1男4 女2男4
女1 男1女1 男2女1 男3女1 男4女1
女2女1
女2 男1女2 男2女2 男3女2 男4女2 女1女2
由列表可得，共有30种等可能的结果，其中一男一女的结果有16种．
∴P（一男一女）．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所在的频率区间估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：人，
∴参与调查的学生共有60人，
（2）解：，
∴“D：历史类”对应的圆心角的度数是
【分析】本题以校园阅读活动为背景，综合考查了扇形统计图与条形统计图的关联分析、用样本估计总体、以及列表法（或树状图法）求概率。
（1）根据A类的人数和百分比求出总人数，再由C类的百分比求出C类人数，从而补全条形图；
（2）用D类人数占总人数的比例乘以360得到扇形圆心角；
（3）用样本中B类的比例乘以九年级总人数进行估计；
（4）用列表法列举所有等可能结果，再数出一男一女的组合数，最后用概率公式计算。掌握从统计图表中提取数据、进行比例运算以及列举求概率的方法是解决本题的核心。
（1）解：人，
∴参与调查的学生共有60人，
∴C：数理的人数为：人，
补全条形统计图如图；
（2）解，
∴“D：历史类”对应的圆心角的度数是
（3）解：（人），
答：估计九年级选择科技书的人数为120人；
（4）解：列表如下：
男1 男2 男3 男4 女1 女2
男1
男2男1 男3男1 男4男1 女1男1 女2男1
男2 男1男2
男3男2 男4男2 女1男2 女2男2
男3 男1男3 男2男3
男4男3 女1男3 女2男3
男4 男1男4 男2男4 男3男4
女1男4 女2男4
女1 男1女1 男2女1 男3女1 男4女1
女2女1
女2 男1女2 男2女2 男3女2 男4女2 女1女2
由列表可得，共有30种等可能的结果，其中一男一女的结果有16种．
∴P（一男一女）．
20．【答案】解：过点作于，
如图2所示：
在中，，
由，
解得，
在中，，
解得，
∴，
答：大树CD的高为米．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题；已知正切值求边长
【解析】【分析】本题以智能手机测高为背景，考查了解直角三角形的实际应用，涉及仰角、俯角的概念以及正切函数的运用。解题的关键是过点A作AE CD于点E，将大树高度CD拆分为CE与DE两部分，其中CE = AB。先在 Rt△CEA中，利用俯角的正切值求出水平距离AE；再在Rt△ ADE中，利用仰角的正切值求出DE；最后将两部分相加即可得到大树高度。理解将实际问题转化为直角三角形模型，并正确选用三角函数是解决此类问题的核心。
21．【答案】（1）解：将代入，
解得：，
∴反比例函数表达式为，
将代入，解得：，
∴，
将，代入，
得，
解得：，
∴一次函数的表达式为：；
（2）
（3）解：∵，令，解得：，
∴，
设，
则，
∵的面积为9，
∴，
解得：或，
∴或．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题；三角形的面积；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】
（2）∵，
根据函数图象可得：当时，；
【分析】
（1）利用待定系数法，首先将点B的坐标代入反比例函数解析式求出k2，进而确定反比例函数解析式；再将点A的坐标代入求出m，最后利用点A、B的坐标建立方程组求出一次函数解析式。
（2）利用数形结合的思想，不等式>kx+b>0的几何意义是反比例函数图象在一次函数图象上方，且一次函数图象在x轴上方，通过观察图象中两函数图象的交点及与坐标轴的交点位置，确定x的取值范围。
（3）利用三角形面积公式，先求出一次函数与x轴的交点C的坐标，设点P的坐标，以PC为底，点A的纵坐标绝对值为高，根据面积列方程求解.
22．【答案】4
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【解答】解：∵，
∴，即，
∴原式．
故答案为：4
【分析】本题以分式的恒等变形为背景，考查了代数式的整体代入求值技巧。解题的关键是先由已知条件= 3 通分得到= 3，进而得出 x - y = -3xy。然后将所求分式的分子和分母分别用 x-y 表示，即分子为 2(x-y) - 14xy，分母为 (x-y) - 2xy。最后将 x-y = -3xy 整体代入，通过约分消去 xy（注意 xy0）即可求出值。掌握这种“整体代换”的策略是解决此类问题的核心。
23．【答案】3567
【知识点】一元一次方程的实际应用-数字、日历、年龄问题
【解析】【解答】解∶ 根据题意， 四位自然数是“博文数”，
，，
解得，，
因此这个数是，符合“博文数”的定义．
故答案为：3567
【分析】本题以新定义“博文数”为背景，考查了阅读理解能力及一元一次方程的应用。解题的关键是根据定义中的两个条件将文字描述转化为数学等式：十位数字（6）等于千位数字（x）的2倍，即6 = 2x；个位数字（y）比百位数字（5）多2，即y - 5 = 2。分别解出x和y后，代入原数得到3567，再验证各位数字不同且均不为0，符合定义要求。理解新定义并准确列出方程是正确解答的核心。
24．【答案】4
【知识点】角平分线的性质；矩形的性质；矩形的判定；等腰直角三角形
【解析】【解答】解：过点P作于点G，交于点F，作于点H，
∵四边形是矩形，
∴，
∴四边形是矩形，
∴，，
∴四边形是矩形，，
∵，
∴是等腰直角三角形，
∴，
∴平分，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴当与重合且与重合时，取得最小值4，
故答案为：4．
【分析】过点P作PG⊥CD于点G，交AB于点F，作PH⊥BC于点H，由矩形性质及垂直定义得，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形是矩形，由矩形对边相等，四个角都是直角得，，由三个角是直角的四边形是矩形得四边形BHPF是矩形，根据矩形对边相等得CD=AB=DE，可判断出△DEC是等腰直角三角形，由角平分线上的点到角两边的距离相等得PH=PG，由，，得，可知当与重合且与重合时，取得最小值4，于是得到问题的答案．
25．【答案】16
【知识点】分式方程的解及检验；分式方程的增根；一元一次不等式组的特殊解；已知分式方程的解求参数
【解析】【解答】解：，
解①得：，
解②得：，
关于的一元一次不等式组有且仅有3个整数解，
不等式组的解集为：，其整数解为：3、2、1，
∴，
解得：，
解方程，得，
关于的分式方程的解为的解为非负数，
且，
解得且，
且，
则所有满足条件的整数m的值之和是，
故答案为：．
【分析】本题以不等式组和分式方程的综合应用为背景，考查了由整数解个数确定参数范围、分式方程的求解及解的限定条件（非负数且分母不为零）。解题的关键是分两步进行：先解不等式组，根据“有且仅有3个整数解”确定解集为< 4，整数解为1、2、3，从而得到0 <，解得0 < m 6；再解分式方程，化为整式方程得y = m - 2，要求解为非负数且y 2，即m 2且m 4。综合两部分得到26且m 4，最后求出所有符合条件的整数m（2、3、5、6）之和。注意分式方程验根是易错点。
26．【答案】（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，由题意可得：
，解得
答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元；
（2）解：①设购买A型器材套，则购买B型器材为套，
由题意可得：
解得，
答：A型器材最多购买套；
②设购买A型器材套，则购买B型器材为套，
由①可得：
根据题意可得：，解得
∴
又∵为正整数，
∴的取值为，即有三种购买方案，
具体为：A型器材为套，B型器材套，
A型器材为套，B型器材套，
A型器材为套，B型器材套．
【知识点】一元一次不等式的应用；二元一次方程组的实际应用-方案选择问题
【解析】【分析】（1）先设购买1套A型器材需要x元，购买1套B型器材需要y元，再结合题目给出的条件列出二元一次方程组，最终解这个方程组就能得到对应结果；
（2）①设购买A型器材的数量为a套，结合题目给出的总费用限制列出一元一次不等式，解不等式就能得到对应结果；②同样根据题目的条件列出相关不等式，求解不等式就能得到最终结果.
（1）解：设购买1套A型器材和1套B型器材各需，元，由题意可得：
，解得
答：购买1套A型器材和1套B型器材各需、元；
（2）解：①设购买A型器材套，则购买B型器材为套，
由题意可得：
解得，
答：A型器材最多购买套；
②设购买A型器材套，则购买B型器材为套，
由①可得：
根据题意可得：，解得
∴
又∵为正整数，
∴的取值为，即有三种购买方案，
具体为：A型器材为套，B型器材套，
A型器材为套，B型器材套，
A型器材为套，B型器材套．
27．【答案】（1）证明：如图，连接，
直线是的切线，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
平分．
（2）解：，理由如下：
直线是的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
由（1）得，
，
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
半径为，
，
，
图中阴影部分面积
．

【知识点】等边三角形的判定与性质；含30°角的直角三角形；切线的性质；几何图形的面积计算-割补法；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）连接，根据切线性质可得，即，根据直线平行判定定理可得，则，根据等边对等角可得，则，根据角平分线判定定理即可求出答案.
（2）根据切线性质可得，根据直角三角形两锐角互余可得∠FOD，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，根据直线平行性质可得，再根据直角三角形两锐角互余可得∠EDM，再根据含30°角的直角三角形性质即可就出答案.
（3）根据含30°角的直角三角形性质可得DF，再根据勾股定理可得DF，再根据割补法，结合三角形，扇形面积即可求出答案.
（1）证明：如图，连接，
直线是的切线，
，
，
又，
，
，
，
又，
，
，
平分．
（2）解：，理由如下：
直线是的切线，
，
，
，
，
是等边三角形，
，
由（1）得，
，
又，
，
，
．
（3）解：由（2）得，，
半径为，
，
，
图中阴影部分面积．
28．【答案】（1）解：∵直线与轴、轴分别交于A、B两点，
∴A( 4，0)，B(0，4)．
∵抛物线经过A、B两点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）解：如图，过点E作EH⊥PD于点H，则EH∥OA．
∵OA=OB=4，
∴∠OAB=45°．
∴∠HDE=45°，且DE=．
∴HE=HD=2．
设点P的坐标为(，--3+4)，
则点D为(，+4)，点E为(+2，+6)，点F为(+2，--7-6)．
∴|PD|=- 3+4-(+4)=--4， |EF|=--7-6-(+6)=--8-12．
∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF)
=×2(--4--8-12)
=-2-12-12
=-2(+3)2+6．
∴当=-3时，S四边形PDEF有最大值6．
此时点P的坐标为( 3，4)．
（3）存在，点M的坐标为：，，
【知识点】二次函数的最值；待定系数法求二次函数解析式；一次函数图象与坐标轴交点问题；二次函数-面积问题；二次函数-特殊三角形存在性问题
【解析】【解答】解：满足条件的点M的坐标为：，，．理由如下：∵OG=2，
∴点G的坐标为(0，-2)，且A(-4，0)．
设直线AG的方程为，把A、G坐标代入可得，解得．
∴直线AG的方程为．
∴可设直线的方程为-2=-+-2．（＞0）
令=0可得 +-2=0，解得=-4，
∴点M的坐标为(-4，0)．
联立直线与直线AB方程可得，解得．
∴点N的坐标为(，)．
∵F为OA的中点，∴OF=2，即F(-2，0)．
∴MF2=(-4+2)2=-4+4，
MN2=(-4-)2+(0 )2=()2+()2=，
NF2=(+2)2+()2=．
当△FMN为等腰三角形时，分以下三种情况讨论：
①当MN=MF时，即=-4+4，
解得=或=．
此时点M的坐标为或．
②当MN=NF时，即=，
解得=-6(舍去)或=2．
此时点M的坐标为(-2，0)． (点M与点F重合，舍去)．
③当MF=NF时，即-4+4=，
解得=0(舍去)或=．
此时点M的坐标为(，0)．
综上所述，平移后点M的坐标为，，
【分析】本题以二次函数综合题为背景，考查了以下知识点：待定系数法求抛物线解析式、一次函数与坐标轴的交点、坐标系中动点坐标的表示、等腰直角三角形的性质、梯形面积公式、二次函数的最值问题、平行线平移过程中直线方程的表示、两点间距离公式、等腰三角形的存在性及分类讨论思想。
（1）利用待定系数法。先由直线y=x+4求出A(-4，0)、B(0，4)，代入抛物线y=-x2+bx+c得到方程组，解出b，c即可。
（2）先过E作EH PD，由直线y=x+4得∠OAB=45°，结合DE=2求出EH=HD=2。设P点横坐标为a，依次表示D、E、F的纵坐标，用梯形面积公式表示四边形PDEF的面积，得到关于a的二次函数，通过配方求最大值及对应P点坐标。
（3）先求F(-2，0)、G(0，-2)及直线AG的方程。设平移后的直线为y=-x+m-2，用m表示M(m-4，0)和N的坐标。分别计算MF2、MN2、NF2，分MN=MF、MN=NF、MF=NF三种情况列方程求解，舍去重合点等不合题意的解，得到所有满足条件的M点坐标。
（1）∵直线与轴、轴分别交于A、B两点，∴A( 4，0)，B(0，4)．
∵抛物线经过A、B两点，
∴．
解得．
∴抛物线的解析式为．
（2）如图，过点E作EH⊥PD于点H，则EH∥OA．
∵OA=OB=4，
∴∠OAB=45°．
∴∠HDE=45°，且DE=．
∴HE=HD=2．
设点P的坐标为(，--3+4)，
则点D为(，+4)，点E为(+2，+6)，点F为(+2，--7-6)．
∴|PD|=- 3+4-(+4)=--4， |EF|=--7-6-(+6)=--8-12．
∴S四边形PDEF=HE×(PD+EF)
=×2(--4--8-12)
=-2-12-12
=-2(+3)2+6．
∴当=-3时，S四边形PDEF有最大值6．
此时点P的坐标为( 3，4)．
（3）满足条件的点M的坐标为：，，．理由如下：
∵OG=2，
∴点G的坐标为(0，-2)，且A(-4，0)．
设直线AG的方程为，把A、G坐标代入可得，解得．
∴直线AG的方程为．
∴可设直线的方程为-2=-+-2．（＞0）
令=0可得 +-2=0，解得=-4，
∴点M的坐标为(-4，0)．
联立直线与直线AB方程可得，解得．
∴点N的坐标为(，)．
∵F为OA的中点，∴OF=2，即F(-2，0)．
∴MF2=(-4+2)2=-4+4，
MN2=(-4-)2+(0 )2=()2+()2=，
NF2=(+2)2+()2=．
当△FMN为等腰三角形时，分以下三种情况讨论：
①当MN=MF时，即=-4+4，
解得=或=．
此时点M的坐标为或．
②当MN=NF时，即=，
解得=-6(舍去)或=2．
此时点M的坐标为(-2，0)． (点M与点F重合，舍去)．
③当MF=NF时，即-4+4=，
解得=0(舍去)或=．
此时点M的坐标为(，0)．
综上所述，平移后点M的坐标为，，
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