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福建省泉州市永春县2025-2026学年八年级下学期期末考试数学试卷
一、单选题
1．若分式有意义，则x的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．如图，小手盖住的点的坐标可能是（ ）
A． B． C． D．
3．如图，平行四边形中，，，平分交边于点E，则等于（ 　）
A．1 B．2 C．3 D．4
4．若把分式中，x、y都扩大到原来的3倍，则分式的值（ ）
A．不变 B．扩大3倍 C．扩大9倍 D．不确定
5．古有衡木相嬉，今见跷跷板起落．儿时游乐常见的跷跷板，起落之间藏着几何之趣．当跷跷板保持水平静止时，可简化为平面几何模型．如图，为跷跷板，垂直地面于，支撑杆的端点分别是，的中点，若末端离地面的高度为，则支撑杆的长度为（ ）
A． B． C． D．
6．小明记录了自己10次1分钟跳绳时的心跳次数，并绘制了如图所示的统计图，下列结论错误的是（ ）
A．下四分位数是80 B．平均数是79
C．中位数是80 D．众数是80
7．在正比例函数（为常数，且）中，随的增大而减小，则函数的大致图象为（ ）
A． B． C． D．
8．酒精会麻痹人的神经系统，酒后驾车极易造成重大交通事故，我国法律严厉禁止酒驾、醉驾行为．在交通执法中，呼气式酒精检测仪是排查酒驾的常用设备，它内部利用了特殊的气敏电阻——酒精气体传感器．这类电阻的阻值会跟随空气中酒精气体的浓度变化而变化，其阻值与呼气酒精浓度之间的关系如图所示．下列说法中不正确的是（ ）
A．当时， B．随的增大而减小
C．是的函数 D．图中曲线是反比例函数的图象
9．如图，在矩形中，是的中点，是边上一点，连接、、，且，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
10．两条直线和，a为常数，且．当a变化时，这两条直线的最大距离为（ ）
A．1 B． C．2 D．
二、填空题
11．2026年，我国单原子灵敏探测技术取得重大突破．经测算，大气中氩的同位素丰度极低，实测强度数值约为，该数值用科学记数法可表示为________．
12．点在双曲线上，若点B也在此双曲线上，则点B的坐标可以是________（写出一个即可）．
13．如图，在平行四边形 中，若 ，则 的度数是 _________________ ．
14．一组数据：，，，…，，在这一组数据的方差计算式中，2025表示该组数据的________．
15．中国结是我国经典的传统手工艺品，承载着平安顺遂、团圆美满、吉祥纳福的美好寓意，是蕴含中式浪漫与温情的文化符号．小华家中悬挂着一枚精致的菱形中国结装点居室，氛围感满满，其平面示意图如图所示，测得，，则该菱形的面积为________．
16．在正方形中，点E，F分别在边，上，连接，，分别交对角线于点G，H．当时，若，，则的值为________．
三、解答题
17．计算：
18．先化简，再求值：，其中．
19．如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．

20．如图，平面直角坐标系中，反比例函数（）的图象经过矩形的顶点，与边交于其中点，边在轴上，点坐标为．
(1)求反比例函数解析式；
(2)求由，，三点组成的三角形的面积．
21．2026年福建省“闽超”城市足球联赛火热开展，泉州市积极联动推进校园足球建设，打造班级、校级、县级三级运动联赛体系，大力推动全员体育锻炼．为了解学校学生日常体育锻炼情况，某校八年级以“逐梦闽超绿茵，乐享青春运动”为主题开展调查研究．该年级随机抽取了甲、乙两个班，通过问卷收集了甲、乙两个班学生的平均每周锻炼时长数据．现从这两个班级中分别随机抽取10名学生的平均每周锻炼时长（单位：小时）进行整理和分析．下面给出部分信息．
【数据收集】
甲班10名学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图如下：
乙班10名学生平均每周锻炼时长数据：8，7，12，8，7，5，6，8，6，13；
【数据整理与分析】
班级 平均数 中位数 众数 方差
甲班 8 8.5 b 1.8
乙班 8 a 8 6
根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________；
(2)小明和小华来自甲、乙两个不同班级，小明对小华说：“我们两个班级都按平均每周锻炼时长进行排名，时长更多者排名更靠前．虽然我俩的平均每周锻炼时长都是8小时，但我在我们班中的排名比你在你们班的排名靠前．”根据以上信息，可知小明是________班的学生．（填“甲”或“乙”）；
你认为甲、乙这两个班中，哪个班的学生体育锻炼情况的总体水平较好？请写出理由．
22．侨批，是独属于闽南侨乡的珍贵文化瑰宝，被称作“跨国的家书、立体的史书”．一代代闽南籍海外华侨远渡重洋、谋生立业，一纸侨批跨越山海，承载着游子对故土的眷恋、对家人的牵挂，沉淀出厚重质朴的闽南侨乡文化．随着电影《给阿嬷的情书》热播，为传承弘扬闽南侨批非遗文化、厚植侨乡情怀，南安市某校文创小组深挖本土侨乡文化内核，定制侨批家书复刻文创、侨乡纪念书签两种特色产品，开展校园爱心义卖活动，助力本土文化传播，相关信息如下：定制份侨批家书比定制份纪念书签成本多元；用元可定制侨批家书的数量与用元定制纪念书签的数量一样．义卖时，每份侨批家书售价元，每份纪念书签售价元．
(1)求每份侨批家书、每份纪念书签的成本价分别是多少元？
(2)该校文创小组计划购进两种文创产品共份，其中侨批家书的数量不超过纪念书签的数量的一半．全部售出后，求获得利润的最大值是多少元？
23．数学来源于生活，用日常生活中的淡盐水做实验，也能发现一些数学结论．
现有两杯质量均为a克的盐水，每杯中均含有b克盐，盐水的浓度（即盐与盐水的质量比值）均为．
实验一：在第一杯盐水中，再加入m克水（盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水变淡了，我们发现盐水浓度会随加水量增加而降低，可用不等式表达为：．
实验二：在第二杯盐水中，再加入m克盐（盐完全溶解于水，盐水未溢出），则盐水的浓度变为．根据生活经验，这杯盐水更咸了，我们发现盐水浓度会随加盐量增加而升高，可用不等式表达为：________．
(1)写出实验二中的不等式：________，并证明该不等式的正确性；
(2)请运用以上的结论，完成以下证明：若a，b，c是三边的长，求证：．
24．学习《三角形》这一章后，我们知道：三角形的中线可平分三角形面积．学行四边形》这一章后，在探索图形的等分数学活动中，我们曾总结出结论：过平行四边形对角线交点的任意一条直线可平分平行四边形面积．学习《矩形、菱形、正方形》这一章后，我们知道矩形、菱形、正方形都是特殊的平行四边形．根据所学知识，完成以下任务：
(1)如图①，已知平行四边形，点在其内部．请在图①中过点画一条直线，使这条直线能将平行四边形分成面积相等的两部分；
(2)如图②，把矩形放在平面直角坐标系中，点与坐标原点重合，，分别位于轴，轴正半轴，已知，，矩形内有一点．请在图②中过点画一条直线，使这条直线能将矩形分成面积相等的两部分，并求所画直线的解析式；
(3)如图③，已知四边形．请在图③中过点画一条直线，使这条直线能将四边形分成两个面积相等的部分，并说明画法；若把图③中的四边形放在平面直角坐标系中，，，，，求所画直线的解析式．
25．如图，已知矩形，，．
(1)请用不同的方法分别在图①、图②的矩形内，作菱形，使点E，F，G，H分别在边上；（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）
(2)选择（1）中的图①或图②的作法，证明其作法的正确性（即证明所作四边形是菱形）；
(3)通过操作，可发现满足条件的菱形并不唯一，继续探究：
①如图③，当点H在边上靠近点A的四等分点上，是否存在四边形是菱形？若存在，请画出菱形，并求它的周长；若不存在，请说明理由；
②若点H在边的某些位置上，必存在满足条件的菱形，请直接写出满足条件的线段的取值范围．
参考答案
1．A
【详解】解：∵分式有意义时，分式的分母不能为0，
∴，
解得．
2．D
【详解】解：小手盖住的点在第一象限，所以点的坐标可能是．
3．B
【详解】解：∵平行四边形，
∴，，
，
平分，
，
，
，
．
4．B
【详解】解：根据题意，把分式中的x，y都扩大为原来的3倍，可得，
与原分式相比，扩大倍．
5．C
【详解】解：末端离地面的高度为，
∴，
∵，，
∴，
∵，是，的中点，
连接，为的中位线，
∴，
∴．
6．A
【详解】解：A．由统计图知，将数据按照从小到大的顺序排列为，
法一：下四分位数是前半部分的中位数，即，
法二：先计算位置，，向上取整，第3个数据为79，
故下四分位数是，
故本选项结论错误，符合题意；
B．平均数为（次），故本选项结论正确，不符合题意；
C．将10个数据按从小到大排列后，第5、第6个数据都是80，
∴中位数是80次，故本选项结论正确，不符合题意；
D．80次出现的次数最多，故众数为80，故本选项结论正确，不符合题意；
7．A
【详解】解：∵正比例函数的函数值随的增大而减小，
∴，
∴，
∴函数的图象大致是
，
故选项A符合题意．
8．D
【详解】解：A、由图象得，当时，，故A正确；
B、图象整体呈下降趋势，随的增大而减小，故B正确；
C、图象中每一个值都有唯一确定的值与之对应；是的函数，故C正确；
D、当、时，；当、时，，不为定值，该曲线不是反比例函数的图象，故D不正确．
9．B
【详解】解：∵四边形是矩形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵是的中点，
∴．
10．B
【详解】解：如图所示，直线:和:的图象大致如下：
则直线:经过定点，:经过定点，
，
依题意，这两条直线图象可分别绕着点、点旋转，当这两条直线与互相垂直时，两直线之间的距离有最大值，且为，
当这两条直线与不垂直时，两直线之间的距离（垂线段最短），
当变化时，两条直线:和:的最大距离为．
11．
【详解】．
12．（答案不唯一，横纵坐标乘积等于即可）
【详解】解：点在双曲线上，
，
解得，
∴双曲线的解析式为，
∴在双曲线上的点的横纵坐标的乘积为，
点的坐标可以是．
13．/70度
【详解】解：∵四边形是平行四边形，
∴，
∵，
∴，
∴．
故答案为：．
14．平均数
【详解】解： 根据题意可得2025表示该组数据的平均数．
15．12
【详解】解：该菱形的面积为.
16．
【详解】解：如图，过点作，且使得，连接，，
∵四边形是正方形，
∴，，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
17．
【详解】解：原式
.
18．，
【详解】解：原式
当时，原式．
19．见解析
【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
20．(1)
(2)
【详解】（1）根据题意可知，点的坐标为．
因为点在反比例函数（）的图象上，可得
．
解得：．
所以反比例函数解析式为．
（2）将代入，得
．
解得
．
所以点的坐标为．
可知．
所以．
21．(1)，
(2)乙，甲班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由如下：甲班的中位数大于乙班的中位数，说明甲班有一半以上学生的锻炼时长超过小时，整体锻炼时长更长； 甲班的方差小于乙班的方差，说明甲班学生的锻炼时长波动更小，数据更稳定，故甲班的学生体育锻炼情况的总体水平较好．
【详解】（1）解：根据甲班10名学生平均每周锻炼时长数据的条形统计图可知，锻炼时长9小时的人数最多为4人，
故，
将乙班10名学生平均每周锻炼时长按从小到大排列为：5，6，6，7，7，8，8，8，12，13；
∴．
（2）解：小明是乙班的学生，
甲班中位数是8.5，乙班中位数是7.5，两人锻炼时间都是8小时，
在甲班，说明小明排在中位数之后，即排名靠后，
在乙班，，说明小明排在中位数之前，即排名靠前，
∴小明是乙班的学生．
甲班的学生体育锻炼情况的总体水平较好，理由略．
22．(1)每份侨批家书成本元，每份纪念书签成本元
(2)获得利润的最大值是元
【详解】（1）解：设每份侨批家书成本为元，每份纪念书签成本为元，
根据题意列方程得：，
解得，
经检验，是原分式方程的解，且符合题意，
∴；
答：每份侨批家书成本元，每份纪念书签成本元．
（2）解：设购进侨批家书份，则购进纪念书签份，为正整数，
根据题意列不等式得，
解得，
最大值为，
设全部售出后的总利润为元， 每份侨批家书的利润为（元），每份纪念书签的利润为（元），
总利润，
∵，
∴随的增大而增大，
∴当取最大值时，取得最大值，最大利润（元）；
答：获得利润的最大值是元．
23．(1)解：；
证明：∵
，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
即．
(2)证明：∵是三边的长，
∴，，，
∴，，，
∴，
∵，，，
∴，
∴．
【详解】（1）略
（2）略
24．(1)
(2)，
所画直线的解析式为．
(3)如图所示，连接，过点作，交延长线于点，连接，交于点，取中点，过点，作直线即为所求作的直线．
，
所画直线的解析式为．
【详解】（1）略
（2）解：四边形为矩形，点与坐标原点重合，，，
，，
，，，．
四边形是矩形，
，
矩形的对称中心为对角线交点，即．
点、经过直线，设直线的解析式为，
将点、代入直线，得，
解得，
所画直线的解析式为．
（3）解：①，，
，
，
(同底等高)，
，
．
是的中线，平分的面积，
，
平分四边形的面积．
直线即为所求作的直线．
②由题意知，，，，，
、两点经过直线，设直线的解析式为，
将、两点代入得，解得，
的解析式为．
∵，设直线的解析式为，
．
点经过直线，
将点代入，
的解析式为．
点在轴上，令，
将点代入得，即．
是线段的中点，
．
、两点经过直线，设直线的解析式为，
将、代入得，解得，
的解析式为．
25．(1)如图，四边形即为所求作的菱形，
(2)图①的作法，证明：
在矩形中，，，，
∴，
由作图可得：，，，，
∴，，，，
∴，
∴四边形是菱形；
图②的作法，证明如下：
在矩形中，，
∴，
由作图知垂直平分，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵垂直平分，
∴，
∴四边形是菱形；
(3)①存在，，，②
【详解】（1）略；
（2）略；
（3）解：①如图所示：
理由如下：
在矩形中，，
∴，
∵点是的中点，
∴，
∴，
∴，，
∵垂直平分，
∴，
∴四边形是菱形；
设，
∵矩形中，，，，
∴，，
∵点H在边上靠近点A的四等分点上，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
解得，
∴；
∴；
∴四边形的周长；
②的取值范围为．
如图，连接，
∵，
∴当两点重合时，即，此时，菱形的边长有最大值，最大值为的长，
∵为定值，，
∴此时，有最小值，
如图，此时两点重合，两点重合，
设，则，
∴，
∵，
∴，
解得，即；
如图，当两点重合，两点重合时，
同理，得此时，有最小值，即有最大值；
∴的取值范围为．

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