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湖南省娄底市冷水江市2025年中考二模数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（　　）
★★★ 型号 3星级
质量 黄色
质量
直径
包装规格 10只/盒
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：，
直径下限是：，
∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的，
∴选项中，直径为的乒乓球不合格，
故选：A．
【分析】本题以乒乓球直径标注“40mm ± 0.05mm”为背景，考查正负数的实际应用以及有理数加减法在判断产品合格范围中的运用。解题的关键是根据标准值40mm和允许误差±0.05mm，计算出直径的合格范围为39.95mm到40.05mm（含端点），再逐一比较各选项中的数据是否在此范围内，超出者即为不合格。
2．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则．
原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以，
那么0.0000000256用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式，其中为正整数，的值为小数点向右移动的位数的相反数，据此解答即可．
3．砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如题3图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 俯视图是 是从上往下看，观察图形，从上往下看到的图形是：一个正方形的中间有一个不内切的圆。
选项C符合题意；
故答案为：C．
【分析】 俯视图是 是从上往下看，观察图形，从上往下看到的图形是：一个正方形的中间有一个不内切的圆，即可得出答案。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项； 由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．一个三角形只有一条中位线
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．等腰三角形顶角最大是
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【解答】A. 一个三角形有三条中位线，故选项是假命题；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项是假命题；
C. 等腰三角形顶角可以是钝角，即可以大于，故选项是假命题；
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项是真命题；
故选：D
【分析】本题以真假命题的判断为背景，综合考查三角形中位线的定义、特殊平行四边形（正方形、矩形）的判定条件以及等腰三角形顶角的取值范围。解题的关键是准确理解各概念：一个三角形有三条中位线；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，再满足相等才是正方形；等腰三角形顶角可以大于90°；对角线互相平分说明是平行四边形，再加上相等则为矩形。据此逐一判断即可。
6．估计的值在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．3和4之间 D．4和5之间
【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴．
即的值在1和2之间．
故选：B
【分析】本题以二次根式的混合运算与无理数估值为背景，考查二次根式的除法运算法则以及算术平方根的大小比较。解题的关键是先将原式化简为- 2，再根据 3 < < 4，得出该结果的范围在 1 到 2 之间。
7．如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵顶点的对应点是，，
∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到，
∵，
∴的坐标是，即，
故答案为：B．
【分析】利用点A和点A1的坐标可得：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到，再结合点B的坐标求出点的坐标即可.
8．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】比例的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题以位似图形为背景，考查位似比与面积比之间的关系。解题的关键是根据 OA：AA' = 1：2 求出位似比 OA：OA' = 1：3，再结合位似图形的性质，其面积比等于位似比的平方，即可得到△ ABC 与 △ A'B'C' 的面积之比为 1：9。
9．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中m的值是（　　）
A．420 B．450 C．464 D．479
【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据表格可得规律：
第个表格中，左上数为，左下数为，右上数为，右下数为，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：C．
【分析】通过观察各个表格中相同位置的数发现：第n个表格中，左上数字为n，左下角的数比左上角的数大1，故左下数为，右上角的书为左下角数的2倍，故右上数为，右下角数为左下角与右上角数的积与左上角数的和，故右下角数为，再由得出，计算即可得解．
10．如图，已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于两点．下列结论中错误的有（　　）
①；②若点和均在抛物线上，则；③；④（m为任意实数）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象开口向上，可知，图象交y轴负半轴，可知，
∵抛物线与轴交于，，
∴对称轴，
∴．
∴，故①错误；
二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，，
该函数的对称轴为直线，
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∵，抛物线开口向上，在抛物线上，点到对称轴距离越远，函数值越大，
则，故②错误；
时，，
；故③正确；
对称轴是直线，，
当，有最小值，
，
，故④错误；
综上所述：错误的有①②④，共3个．
故选：D．
【分析】本题以二次函数图象与 x 轴交点坐标为背景，综合考查二次函数的开口方向、对称轴、与 y 轴交点符号、函数值大小比较以及最值相关的不等式。解题的关键是根据图象判断 a>0、c<0，由交点坐标求出对称轴 x=-并得出 b=a>0，再结合点到对称轴的距离判断函数值大小，利用顶点处取最小值推导不等式，从而逐一判断四个结论的真假。
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．若点在第二象限， 则a的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
解得．
故答案为：
【分析】本题以点在第二象限为背景，考查各象限内点的坐标符号特征以及一元一次不等式组的解法。第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，由此可列出关于 a 的不等式组分别解两个不等式，再取公共解集即可得到 a 的取值范围。
12．一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为　 　．
【答案】4
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：设白球的个数为，
根据题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合要求；
故答案为：4．
【分析】设白球的个数为，根据“ 白球的概率为 ”列出方程，再求解即可.
13．已知a是方程的一个根，则的值为　 　．
【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2025．
【分析】本题以一元二次方程的根为背景，考查方程根的定义及整体代入求值的思想。解题的关键是将 a 代入方程得到 a2 - 2a = 1，再将所求代数式 3a2 - 6a + 2022 变形为 3(a2- 2a) + 2022，整体代入计算即可。
14．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为　 　．
【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以仰卧起坐运动中的角度关系为背景，考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等。解题的关键是根据 AB CD 得出DCF =FAB = 98，根据 ACDE 得出 ACE = E = 41，再结合图形可知 DCE = DCF - ACE，代入计算即可。
15．如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：连接，如图，
轴，
∴，
，
∵，
，
∵图像位于第二象限，
∴，
．
故答案为：．
【分析】利用肥比例函数的比例系数k的几何意义求解．反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
16．一圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面展开图的面积等于 　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴圆锥的母线长=，
∴圆锥的侧面展开图的面积=，
故答案为：．
【分析】
首先依据勾股定理求出圆锥的母线长度，由于圆锥的侧面展开图是扇形，再结合“扇形的弧长与圆锥底面周长相等、扇形的半径与圆锥母线长相等”这一性质，使用扇形的面积公式完成计算。
17．阅读作图过程，并解答问题：
①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点；
②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线．
如图，已知，点为射线上一点，过点作于点，点在边上，连接，若，当的长取最小值时，的面积为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由作图可知是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
当时，的值最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】
由角平分线的定义，可得，接下来结合角平分线的性质，以及垂线段最短的性质就可以求解本题.
18．规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为　 　 ．
【答案】（3，0）或（4，0）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。
故答案为：（3，0）或（4，0）.
【分析】分成两种情况①当k=0时，为一次函数，根据新定义得出"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可；
②当k≠0时，，根据图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，根据根的判别式等于0求出此时函数解析式，得出它的顶点坐标，且顶点在x轴上，根据定义求得"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可。
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．计算：．
【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简以及负整数指数幂的运算。解题的关键是分别计算各项：= 1（任何非零数的零次幂为1），2sin 60° = 2 =，|- 2| = 2 -，= 2，再合并同类项即可得出结果。
20．先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】本题以分式的化简求值为背景，考查分式的混合运算，包括括号内的同分母减法、除法化为乘法、因式分解及约分。解题的关键是先将括号内通分合并为，再将除法转化为乘法，利用平方差公式分解后约分，得到最简结果，最后代入 x = -2 计算即可。
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项．为了了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答问题．
（1）这次活动一共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在的扇形圆心角等于 度；
（4）该学校共有1500名学生，估计该校共有多少名学生喜欢羽毛球？
【答案】（1）250
（2）解：样本中喜欢“篮球”的人数（名），补全条形统计图如下：
（3）108
（4）解：（名），
答：该学校共有1500名学生，估计该校约有330名学生喜欢羽毛球．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（名），
故答案为：250；
（3）解：，
故答案为：108；
【分析】本题以条形统计图和扇形统计图为载体，考查频数、频率与总数之间的关系，以及用样本估计总体的思想。
（1）根据喜欢足球的人数为80人，占调查总人数的32%，利用“总数 = 频数 ÷ 频率”求出样本容量。
（2）用样本容量减去足球、乒乓球、羽毛球的人数，得到喜欢篮球的人数，从而补全条形统计图。
（3）根据喜欢篮球的人数所占比例，乘以360°即可求出扇形统计图中篮球项目对应的圆心角度数。
（4）先求出样本中喜欢羽毛球的人数所占比例，再乘以全校总人数1500，即可估计全校喜欢羽毛球的学生人数。
（1）解：（名），
故答案为：250；
（2）解：样本中喜欢“篮球”的人数（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：，
故答案为：108；
（4）解：（名），
答：该学校共有1500名学生，估计该校约有330名学生喜欢羽毛球．
22．如图，在中，、分别是、上的一点，，．
（1）证明：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
。
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】本题以平行四边形为背景，综合考查平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理以及等腰直角三角形的性质。
（1）由平行四边形 ABCD 得 ABCD 且 AB = CD，结合 BE = DF 可证 AE = CF，从而四边形 AECF 为平行四边形；再根据已知 EF = AC，对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得结论。
（2）由矩形 AECF 得 CEAB，在 Rt ACE 中利用勾股定理求出 CE = 4；再由 B = 45 且 CE AB 得 CEB 为等腰直角三角形，故 BE = CE = 4，最后在 Rt CEB 中利用勾股定理（或等腰直角三角形的斜边公式）求得 BC = 4。
（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
。
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．列方程解应用题：
某商场用4000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量是第一次的2倍还多25件．
（1）这种服装的第一次进价是每件多少元？
（2）若该种服装均以每件100元的售价销售，则全部售完这种服装商场可以盈利多少元？
【答案】（1）解：设这种服装的第一次进价是每件x元．
根据题意列方程，得
解方程，得，
经检验，是原方程的解，
所以这种服装的第一次进价是每件80元．
（2）解：（元）
所以全部售完这种服装商场可以盈利4500元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以商场两次购进同种服装为背景，考查分式方程的应用以及利润的计算。
（1）设第一次进价为每件 x 元，则第二次进价为 (1 - 10%)x = 0.9x 元。根据“第二次购进数量是第一次的 2 倍还多 25 件”列出方程+ 25，解方程并检验后得到第一次进价。
（2）分别求出第一次和第二次购进的数量，再根据“利润 = (售价 - 进价) × 数量”分别计算两次的利润，相加即可得到总盈利。
（1）解：设这种服装的第一次进价是每件x元．
根据题意列方程，得
解方程，得，
经检验，是原方程的解，
所以这种服装的第一次进价是每件80元．
（2）解：（元）
所以全部售完这种服装商场可以盈利4500元．
24．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格．
课题 设计遮阳棚前挡板
模型抽象示意图 正定某景点游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度．
测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图3．
任务1 求出遮阳棚前端B到墙面的距离．
任务2 当为时，求线段的长度．
（结果精确到0.01m，参考数据：，，，）
【答案】解：任务1：过点B作，垂足为G，延长交于点H，
由题意得：，，，
在中，，，
，
答：遮阳棚前端B到墙面的距离为；
任务2：
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题以设计遮阳棚前挡板的实际应用为背景，考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数的定义、线段的和差关系以及近似计算。
任务1：过点 B 作 BG AD，垂足为 G，在 Rt ABG 中，已知斜边 AB = 3.5m 和 BAG = 70，利用正弦函数 BG = ABsin 70即可求出遮阳棚前端 B 到墙面 AD 的距离。
任务2：先利用余弦函数求出 AG，结合 AD = 4m 得到 BH = DG = AD - AG；再根据 DF = 2.29m 和 DH = BG 求出 FH = DH - DF；在 Rt CFH 中，已知 CFH = 60，利用正切函数求出 CH = FHtan 60；最后通过 BC = BH - CH 计算出前挡板 BC 的长度，结果精确到 0.01m。
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
（3）若抛物线上有一点M，使，求M点坐标点．
【答案】（1）解：把点A，C的坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线线的解析式为：；
（2）解：∵点C的坐标为，∴．
如图，过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N．
∵抛物线线的解析式为，
当，则，
解得：或，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
故直线的解析式为：．
设，
则，
当时，有最大值，此时四边形面积有最大值为；
（3）解：如图，过A作交于点K，作轴于点H，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为
，
，
∴直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查待定系数法求解析式、坐标系中四边形面积的最值问题以及构造等腰直角三角形求点的坐标。
（1）将点 A(-1，0) 和点 C(0，-3) 代入抛物线解析式 y = ax2 - 2ax + c，利用待定系数法求出 a 和 c 的值，即可得到抛物线解析式。
（2）先求出点 B(3，0)，将四边形 ABDC 的面积分解为△ABC 与△BCD 的面积之和。过点 D 作 DMy 轴交 BC 于点 M，则DM OB。设出 D 和 M 的坐标，表示出 DM 的长度，利用二次函数的性质求出 DM 的最大值，进而得到四边形面积的最大值。
（3）过点 A 作 AK AC 交 CM 于点 K，构造等腰直角三角形 ACK，利用全等三角形求出点 K 的坐标，再求出直线 CK 的解析式，与抛物线联立即可求得点 M 的坐标。
（1）解：把点A，C的坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线线的解析式为：；
（2）解：∵点C的坐标为，
∴．
如图，过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N．
∵抛物线线的解析式为，
当，则，
解得：或，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
故直线的解析式为：．
设，
则，
当时，有最大值，此时四边形面积有最大值为；
（3）解：如图，过A作交于点K，作轴于点H，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为
，
，
∴直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
．
26．如图，在中，，点是外接圆上的一点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接．点为上一点，过作于点，求证：；
（3）如图3，点是上一动点（不与重合），连．求的值．
【答案】（1）证明：，
为直径，
，
，
，
，
；
（2）证明：作，交的延长线于，如图2，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
在和中，
，
，
，
四边形为正方形，
，
；
（3）解：作于，如图3，
由（2）得，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆的综合题
【解析】【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（2）作，交的延长线于，如图2，证明，由全等三角形的性质可得出，证出四边形为正方形，得出，则可得出结论；
（3）作于，如图3，由（2）得，证出为等腰直角三角形，得出，则可得出答案．
（1）证明：，
为直径，
，
，
，
，
；
（2）证明：作，交的延长线于，如图2，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
在和中，
，
，
，
四边形为正方形，
，
；
（3）解：作于，如图3，
由（2）得，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
1 / 1湖南省娄底市冷水江市2025年中考二模数学试题
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．如图，某品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径是，下列乒乓球的尺寸中，不合格的是（　　）
★★★ 型号 3星级
质量 黄色
质量
直径
包装规格 10只/盒
A． B． C． D．
2．在中国科研团队的努力下，氮化镓量子光源芯片问世，将芯片输出波长最大值从0.0000000256m扩展至原来的4倍左右．将0.0000000256用科学记数法表示应为（　　）
A． B．
C． D．
3．砚台与笔、墨、纸是传统的文房四宝．如题3图是一方寓意“规矩方圆”的砚台，它的俯视图是（　　）
A． B．
C． D．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．下列命题是真命题的是（　　）
A．一个三角形只有一条中位线
B．对角线互相垂直平分的四边形是正方形
C．等腰三角形顶角最大是
D．对角线互相平分且相等的四边形是矩形
6．估计的值在（　　）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．3和4之间 D．4和5之间
7．如图，在平面直角坐标系中，平移至的位置．若顶点的对应点是，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
8．如图，和是以点O为位似中心的位似图形，点A在线段上．若，则和的面积之比为（　　）
A． B． C． D．
9．下列表格中的四个数都是按照规律填写的，则表中m的值是（　　）
A．420 B．450 C．464 D．479
10．如图，已知二次函数（a、b、c为常数，）的图象与x轴交于两点．下列结论中错误的有（　　）
①；②若点和均在抛物线上，则；③；④（m为任意实数）．
A．0个 B．1个 C．2个 D．3个
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，满分24分）
11．若点在第二象限， 则a的取值范围是　 　．
12．一个不透明的袋中装有只有颜色不同的6个红球、2个黄球和若干个白球．从袋中任意摸出一个球，是白球的概率为，则白球的个数为　 　．
13．已知a是方程的一个根，则的值为　 　．
14．仰卧起坐是增加躯干肌肉力量和伸张性的一种运动，能够很好地锻炼腹部的肌肉．小美同学正在做仰卧起坐运动，如图，，，，，则的度数为　 　．
15．如图，点A是反比例函数的图象上一点，轴于点B，C为y轴上一点，若的面积为3，则的值为 　 　．
16．一圆锥的底面半径为3，高为4，则圆锥的侧面展开图的面积等于 　 　．
17．阅读作图过程，并解答问题：
①以点为圆心，以任意长为半径画弧，分别交于点；
②分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧在内交于点；
③作射线．
如图，已知，点为射线上一点，过点作于点，点在边上，连接，若，当的长取最小值时，的面积为　 　．
18．规定：如果两个函数的图象关于轴对称，那么称这两个函数互为“函数”例如：函数与互为“函数”若函数的图象与轴只有一个交点，则它的“函数”图象与轴的交点坐标为　 　 ．
三、解答题（本大题共2小题，每小题6分，共12分）
19．计算：．
20．先化简，再求值：，其中．
四、解答题（本大题共2小题，每小题8分，共16分）
21．某学校准备开展“阳光体育活动”，决定开设以下活动项目：足球、乒乓球、篮球和羽毛球，要求每位学生必须且只能选择一项．为了了解选择各种体育活动项目的学生人数，随机抽取了部分学生进行调查，并将通过调查获得的数据进行整理，绘制出以下两幅不完整的统计图．请根据统计图回答问题．
（1）这次活动一共调查了 名学生；
（2）补全条形统计图；
（3）在扇形统计图中，选择篮球项目的人数所在的扇形圆心角等于 度；
（4）该学校共有1500名学生，估计该校共有多少名学生喜欢羽毛球？
22．如图，在中，、分别是、上的一点，，．
（1）证明：四边形是矩形；
（2）若，，，求的长．
五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分）
23．列方程解应用题：
某商场用4000元购进某种服装销售，由于销售状况良好，超市又调拨9000元资金购进该种服装，但这次的进价比第一次的进价降低了10%，购进的数量是第一次的2倍还多25件．
（1）这种服装的第一次进价是每件多少元？
（2）若该种服装均以每件100元的售价销售，则全部售完这种服装商场可以盈利多少元？
24．数学综合实践小组进行了项目式学习的实践探究，并绘制了如下记录表格．
课题 设计遮阳棚前挡板
模型抽象示意图 正定某景点游客服务中心，为了方便旅游高峰期间游客遮阳，在服务窗口外安装了遮阳棚，结果发现旅游高峰期正午时纳凉面积不够，现在为使服务窗口外的纳凉区域增加到宽，计划在遮阳棚前端加装一块前挡板（前挡板垂直于地面），抽象模型如图1，现在要计算所需前挡板的宽度．
测量数据 实地测得相关数据，并画出了侧面示意图，如图2，遮阳棚长为，其与墙面的夹角，其靠墙端离地面高为．通过实地勘察，该服务窗口在每年的旅游高峰期间正午的太阳高度角（太阳光线与地面夹角）约为，若加装前挡板后，此时服务窗口前恰好有宽的阴影，如图3．
任务1 求出遮阳棚前端B到墙面的距离．
任务2 当为时，求线段的长度．
（结果精确到0.01m，参考数据：，，，）
六、综合题（本大题共2小题，每小题10分，共20分）
25．已知，如图，抛物线与y轴交于点C，与x轴交于A，B两点，点A在点B左侧．点A的坐标为，点C的坐标为．
（1）求抛物线的解析式；
（2）若点D是线段下方抛物线上的动点，求四边形面积的最大值；
（3）若抛物线上有一点M，使，求M点坐标点．
26．如图，在中，，点是外接圆上的一点，且．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，连接．点为上一点，过作于点，求证：；
（3）如图3，点是上一动点（不与重合），连．求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】正数、负数的实际应用
【解析】【解答】解：由题意可得：
该品牌乒乓球的产品参数中标明球的直径上限是：，
直径下限是：，
∴只要乒乓球直径在和之间都是合格的，
∴选项中，直径为的乒乓球不合格，
故选：A．
【分析】本题以乒乓球直径标注“40mm ± 0.05mm”为背景，考查正负数的实际应用以及有理数加减法在判断产品合格范围中的运用。解题的关键是根据标准值40mm和允许误差±0.05mm，计算出直径的合格范围为39.95mm到40.05mm（含端点），再逐一比较各选项中的数据是否在此范围内，超出者即为不合格。
2．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】科学记数法的表示形式为，对于0.0000000256，要使，则．
原数中左起第一个非零数2前面有8个0，所以，
那么0.0000000256用科学记数法表示为，
故选：B．
【分析】科学记数法的表示形式，其中为正整数，的值为小数点向右移动的位数的相反数，据此解答即可．
3．【答案】C
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解： 俯视图是 是从上往下看，观察图形，从上往下看到的图形是：一个正方形的中间有一个不内切的圆。
选项C符合题意；
故答案为：C．
【分析】 俯视图是 是从上往下看，观察图形，从上往下看到的图形是：一个正方形的中间有一个不内切的圆，即可得出答案。
4．【答案】C
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，该选项不符合题意；
B、，该选项不符合题意；
C、，该选项符合题意；
D、，该选项不符合题意.
故答案为：C．
【分析】整式加法的实质就是合并同类项，所谓同类项就是所含字母相同，而且相同字母的指数也分别相同的项，同类项与字母的顺序没有关系，与系数也没有关系，合并同类项的时候，只需要将系数相加减，字母和字母的指数不变，但不是同类项的一定就不能合并，从而即可判断A选项；根据同底数幂的乘法，底数不变，指数相加即可判断B选项；根据幂的乘方，底数不变，指数相乘，可判断C选项； 由积的乘方，等于把积中的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘即可判断D选项.
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；矩形的判定；正方形的判定；三角形的中位线定理；真命题与假命题
【解析】【解答】A. 一个三角形有三条中位线，故选项是假命题；
B. 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，故选项是假命题；
C. 等腰三角形顶角可以是钝角，即可以大于，故选项是假命题；
D. 对角线互相平分且相等的四边形是矩形，故选项是真命题；
故选：D
【分析】本题以真假命题的判断为背景，综合考查三角形中位线的定义、特殊平行四边形（正方形、矩形）的判定条件以及等腰三角形顶角的取值范围。解题的关键是准确理解各概念：一个三角形有三条中位线；对角线互相垂直平分的四边形是菱形，再满足相等才是正方形；等腰三角形顶角可以大于90°；对角线互相平分说明是平行四边形，再加上相等则为矩形。据此逐一判断即可。
6．【答案】B
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算
【解析】【解答】解：，
∵，
∴．
即的值在1和2之间．
故选：B
【分析】本题以二次根式的混合运算与无理数估值为背景，考查二次根式的除法运算法则以及算术平方根的大小比较。解题的关键是先将原式化简为- 2，再根据 3 < < 4，得出该结果的范围在 1 到 2 之间。
7．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣平移
【解析】【解答】解：∵顶点的对应点是，，
∴平移至的规律为：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到，
∵，
∴的坐标是，即，
故答案为：B．
【分析】利用点A和点A1的坐标可得：将向右平移5个单位，再向上平移1个单位即可得到，再结合点B的坐标求出点的坐标即可.
8．【答案】A
【知识点】比例的性质；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∵和是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，，
∴，
∴．
故选：A．
【分析】本题以位似图形为背景，考查位似比与面积比之间的关系。解题的关键是根据 OA：AA' = 1：2 求出位似比 OA：OA' = 1：3，再结合位似图形的性质，其面积比等于位似比的平方，即可得到△ ABC 与 △ A'B'C' 的面积之比为 1：9。
9．【答案】C
【知识点】探索数与式的规律
【解析】【解答】解：根据表格可得规律：
第个表格中，左上数为，左下数为，右上数为，右下数为，
∴，
解得：，
∴，
故答案为：C．
【分析】通过观察各个表格中相同位置的数发现：第n个表格中，左上数字为n，左下角的数比左上角的数大1，故左下数为，右上角的书为左下角数的2倍，故右上数为，右下角数为左下角与右上角数的积与左上角数的和，故右下角数为，再由得出，计算即可得解．
10．【答案】D
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由图象开口向上，可知，图象交y轴负半轴，可知，
∵抛物线与轴交于，，
∴对称轴，
∴．
∴，故①错误；
二次函数（为常数，）的图象与轴交于点，，
该函数的对称轴为直线，
点到对称轴的距离为，点到对称轴的距离为，
∵，抛物线开口向上，在抛物线上，点到对称轴距离越远，函数值越大，
则，故②错误；
时，，
；故③正确；
对称轴是直线，，
当，有最小值，
，
，故④错误；
综上所述：错误的有①②④，共3个．
故选：D．
【分析】本题以二次函数图象与 x 轴交点坐标为背景，综合考查二次函数的开口方向、对称轴、与 y 轴交点符号、函数值大小比较以及最值相关的不等式。解题的关键是根据图象判断 a>0、c<0，由交点坐标求出对称轴 x=-并得出 b=a>0，再结合点到对称轴的距离判断函数值大小，利用顶点处取最小值推导不等式，从而逐一判断四个结论的真假。
11．【答案】
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点在第二象限，
∴，
解得．
故答案为：
【分析】本题以点在第二象限为背景，考查各象限内点的坐标符号特征以及一元一次不等式组的解法。第二象限内点的横坐标为负、纵坐标为正，由此可列出关于 a 的不等式组分别解两个不等式，再取公共解集即可得到 a 的取值范围。
12．【答案】4
【知识点】概率公式；概率的简单应用
【解析】【解答】解：设白球的个数为，
根据题意得，，
解得，，
经检验，是分式方程的解，且符合要求；
故答案为：4．
【分析】设白球的个数为，根据“ 白球的概率为 ”列出方程，再求解即可.
13．【答案】2025
【知识点】一元二次方程的根；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵a是方程的一个根，
∴，
∴，
∴，
故答案为：2025．
【分析】本题以一元二次方程的根为背景，考查方程根的定义及整体代入求值的思想。解题的关键是将 a 代入方程得到 a2 - 2a = 1，再将所求代数式 3a2 - 6a + 2022 变形为 3(a2- 2a) + 2022，整体代入计算即可。
14．【答案】
【知识点】角的运算；平行线的性质
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
故答案为：．
【分析】本题以仰卧起坐运动中的角度关系为背景，考查平行线的性质：两直线平行，同位角相等。解题的关键是根据 AB CD 得出DCF =FAB = 98，根据 ACDE 得出 ACE = E = 41，再结合图形可知 DCE = DCF - ACE，代入计算即可。
15．【答案】
【知识点】反比例函数系数k的几何意义；反比例函数的一点一垂线型
【解析】【解答】解：连接，如图，
轴，
∴，
，
∵，
，
∵图像位于第二象限，
∴，
．
故答案为：．
【分析】利用肥比例函数的比例系数k的几何意义求解．反比例函数的比例系数的几何意义：在反比例函数图象中任取一点，过这一个点向轴和轴分别作垂线，与坐标轴围成的矩形的面积是定值．
16．【答案】
【知识点】圆锥的计算；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：∵圆锥的底面半径为3，高为4，
∴圆锥的母线长=，
∴圆锥的侧面展开图的面积=，
故答案为：．
【分析】
首先依据勾股定理求出圆锥的母线长度，由于圆锥的侧面展开图是扇形，再结合“扇形的弧长与圆锥底面周长相等、扇形的半径与圆锥母线长相等”这一性质，使用扇形的面积公式完成计算。
17．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；角平分线的概念；尺规作图-作角的平分线；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：由作图可知是的角平分线，
∴，
∵，
∴，
当时，的值最小，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴；
故答案为．
【分析】
由角平分线的定义，可得，接下来结合角平分线的性质，以及垂线段最短的性质就可以求解本题.
18．【答案】（3，0）或（4，0）
【知识点】二次函数图象的几何变换；二次函数图象与坐标轴的交点问题；关于坐标轴对称的点的坐标特征；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：因为函数的图象与x轴只有一个交点，所以可以分成两种情况讨论：①当k=0时，为一次函数，它的解析式为：y=-x-3，∴它的"Y函数"为：y=x-3，令y=0，则：x-3=0，∴x=3，此时它的"Y函数"图象与x轴的交点坐标为：（3，0）；②当k≠0时，是二次函数，因为图象与x轴只有一个交点，所以方程有两个相等的实数根，，∴k=-1，所以此时二次函数解析式为：，它的顶点坐标为：（-4，0），所以它的"Y函数"图象的顶点坐标为（4，0），即与x轴的交点坐标为（4，0）。综上所述，"Y函数"图象与x轴的交点坐标为（3，0）或（4，0）。
故答案为：（3，0）或（4，0）.
【分析】分成两种情况①当k=0时，为一次函数，根据新定义得出"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可；
②当k≠0时，，根据图象与x轴只有一个交点，得出方程有两个相等实数根，根据根的判别式等于0求出此时函数解析式，得出它的顶点坐标，且顶点在x轴上，根据定义求得"Y函数"图象与x轴的交点坐标即可。
19．【答案】解：
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】本题以实数的混合运算为背景，考查零指数幂、特殊角的三角函数值、绝对值的化简以及负整数指数幂的运算。解题的关键是分别计算各项：= 1（任何非零数的零次幂为1），2sin 60° = 2 =，|- 2| = 2 -，= 2，再合并同类项即可得出结果。
20．【答案】解：原式
，
当时，原式．
【知识点】分式的化简求值
【解析】【分析】本题以分式的化简求值为背景，考查分式的混合运算，包括括号内的同分母减法、除法化为乘法、因式分解及约分。解题的关键是先将括号内通分合并为，再将除法转化为乘法，利用平方差公式分解后约分，得到最简结果，最后代入 x = -2 计算即可。
21．【答案】（1）250
（2）解：样本中喜欢“篮球”的人数（名），补全条形统计图如下：
（3）108
（4）解：（名），
答：该学校共有1500名学生，估计该校约有330名学生喜欢羽毛球．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：（名），
故答案为：250；
（3）解：，
故答案为：108；
【分析】本题以条形统计图和扇形统计图为载体，考查频数、频率与总数之间的关系，以及用样本估计总体的思想。
（1）根据喜欢足球的人数为80人，占调查总人数的32%，利用“总数 = 频数 ÷ 频率”求出样本容量。
（2）用样本容量减去足球、乒乓球、羽毛球的人数，得到喜欢篮球的人数，从而补全条形统计图。
（3）根据喜欢篮球的人数所占比例，乘以360°即可求出扇形统计图中篮球项目对应的圆心角度数。
（4）先求出样本中喜欢羽毛球的人数所占比例，再乘以全校总人数1500，即可估计全校喜欢羽毛球的学生人数。
（1）解：（名），
故答案为：250；
（2）解：样本中喜欢“篮球”的人数（名），
补全条形统计图如下：
（3）解：，
故答案为：108；
（4）解：（名），
答：该学校共有1500名学生，估计该校约有330名学生喜欢羽毛球．
22．【答案】（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）解：四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
。
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定与性质；矩形的判定与性质；等腰直角三角形
【解析】【分析】本题以平行四边形为背景，综合考查平行四边形的性质、矩形的判定、勾股定理以及等腰直角三角形的性质。
（1）由平行四边形 ABCD 得 ABCD 且 AB = CD，结合 BE = DF 可证 AE = CF，从而四边形 AECF 为平行四边形；再根据已知 EF = AC，对角线相等的平行四边形是矩形，即可证得结论。
（2）由矩形 AECF 得 CEAB，在 Rt ACE 中利用勾股定理求出 CE = 4；再由 B = 45 且 CE AB 得 CEB 为等腰直角三角形，故 BE = CE = 4，最后在 Rt CEB 中利用勾股定理（或等腰直角三角形的斜边公式）求得 BC = 4。
（1）证明：四边形为平行四边形，
，，
，
，
四边形为平行四边形，
，
四边形是矩形；
（2）四边形是矩形，
，
，，
，
，
，
。
23．【答案】（1）解：设这种服装的第一次进价是每件x元．
根据题意列方程，得
解方程，得，
经检验，是原方程的解，
所以这种服装的第一次进价是每件80元．
（2）解：（元）
所以全部售完这种服装商场可以盈利4500元．
【知识点】有理数混合运算的实际应用；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】本题以商场两次购进同种服装为背景，考查分式方程的应用以及利润的计算。
（1）设第一次进价为每件 x 元，则第二次进价为 (1 - 10%)x = 0.9x 元。根据“第二次购进数量是第一次的 2 倍还多 25 件”列出方程+ 25，解方程并检验后得到第一次进价。
（2）分别求出第一次和第二次购进的数量，再根据“利润 = (售价 - 进价) × 数量”分别计算两次的利润，相加即可得到总盈利。
（1）解：设这种服装的第一次进价是每件x元．
根据题意列方程，得
解方程，得，
经检验，是原方程的解，
所以这种服装的第一次进价是每件80元．
（2）解：（元）
所以全部售完这种服装商场可以盈利4500元．
24．【答案】解：任务1：过点B作，垂足为G，延长交于点H，
由题意得：，，，
在中，，，
，
答：遮阳棚前端B到墙面的距离为；
任务2：
在中，，，
∴，
∵，
∴，
∵，，
∴，
在中，，
∴，
∴，
∴的长度约为．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】本题以设计遮阳棚前挡板的实际应用为背景，考查解直角三角形的应用，涉及锐角三角函数的定义、线段的和差关系以及近似计算。
任务1：过点 B 作 BG AD，垂足为 G，在 Rt ABG 中，已知斜边 AB = 3.5m 和 BAG = 70，利用正弦函数 BG = ABsin 70即可求出遮阳棚前端 B 到墙面 AD 的距离。
任务2：先利用余弦函数求出 AG，结合 AD = 4m 得到 BH = DG = AD - AG；再根据 DF = 2.29m 和 DH = BG 求出 FH = DH - DF；在 Rt CFH 中，已知 CFH = 60，利用正切函数求出 CH = FHtan 60；最后通过 BC = BH - CH 计算出前挡板 BC 的长度，结果精确到 0.01m。
25．【答案】（1）解：把点A，C的坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线线的解析式为：；
（2）解：∵点C的坐标为，∴．
如图，过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N．
∵抛物线线的解析式为，
当，则，
解得：或，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
故直线的解析式为：．
设，
则，
当时，有最大值，此时四边形面积有最大值为；
（3）解：如图，过A作交于点K，作轴于点H，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为
，
，
∴直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数-面积问题；二次函数-角度的存在性问题
【解析】【分析】本题以二次函数为背景，综合考查待定系数法求解析式、坐标系中四边形面积的最值问题以及构造等腰直角三角形求点的坐标。
（1）将点 A(-1，0) 和点 C(0，-3) 代入抛物线解析式 y = ax2 - 2ax + c，利用待定系数法求出 a 和 c 的值，即可得到抛物线解析式。
（2）先求出点 B(3，0)，将四边形 ABDC 的面积分解为△ABC 与△BCD 的面积之和。过点 D 作 DMy 轴交 BC 于点 M，则DM OB。设出 D 和 M 的坐标，表示出 DM 的长度，利用二次函数的性质求出 DM 的最大值，进而得到四边形面积的最大值。
（3）过点 A 作 AK AC 交 CM 于点 K，构造等腰直角三角形 ACK，利用全等三角形求出点 K 的坐标，再求出直线 CK 的解析式，与抛物线联立即可求得点 M 的坐标。
（1）解：把点A，C的坐标代入，
得，
解得，
∴抛物线线的解析式为：；
（2）解：∵点C的坐标为，
∴．
如图，过点D作轴分别交线段和x轴于点M，N．
∵抛物线线的解析式为，
当，则，
解得：或，
，
，
，
设直线的解析式为，
，
，
解得，
故直线的解析式为：．
设，
则，
当时，有最大值，此时四边形面积有最大值为；
（3）解：如图，过A作交于点K，作轴于点H，
，
，
，
，
，
，
设直线的解析式为
，
，
∴直线的解析式为，
联立，
解得（舍去），或，
．
26．【答案】（1）证明：，
为直径，
，
，
，
，
；
（2）证明：作，交的延长线于，如图2，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
在和中，
，
，
，
四边形为正方形，
，
；
（3）解：作于，如图3，
由（2）得，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；圆周角定理；圆的综合题
【解析】【分析】
（1）由等腰直角三角形的性质可得出结论；
（2）作，交的延长线于，如图2，证明，由全等三角形的性质可得出，证出四边形为正方形，得出，则可得出结论；
（3）作于，如图3，由（2）得，证出为等腰直角三角形，得出，则可得出答案．
（1）证明：，
为直径，
，
，
，
，
；
（2）证明：作，交的延长线于，如图2，
，
，
为直径，
，
，
四边形为矩形，
在和中，
，
，
，
四边形为正方形，
，
；
（3）解：作于，如图3，
由（2）得，
，
，
，
为等腰直角三角形，
，
．
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