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陕西省西安市高新区高新一中教育联合体2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题
1．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用.已知每个光量子的波长约为0.000000698米，将数据“0.000000698”用科学记数法表示为 (　　)
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2． 在下列各数： 0.05005000500005…(相邻两个5之间依次增加一个0)， 0.2， ， ， 中，无理数的个数是(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解： 是无限不循环小数，是无理数；
，是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
中是无限不循环小数，因此是无理数；
开方开不尽，是无理数；
是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
综上，无理数共有个．
故答案为：B.
【分析】先化简 再根据无理数是无限不循环小数逐一判断即可．
3．小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择(　　)
A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm
【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵两根木棒长和，
∴第三边x需满足：，即，
所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足，
故选：C．
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可.
4．当光线从空气射入某液体时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图).已知液面与底面平行， ∠1=80°， ∠2=40°， 则∠3的度数为(　　)
A．30° B．40° C．50° D．70°
【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵，，
∴
故选：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，据此解答即可．
5．如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H.作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M，N，P，Q.作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，可以认为聚成了一点，将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】几何概率；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：是正方形，
，
取正方形各边的四等分点E，F，G，H．作第2个正方形，
，，
，
同理得：，
依此方法一直继续下去，可知阴影区域的面积占正方形面积的，
将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是：，
故选：C．
【分析】根据题意得到，，以此类题得到阴影区域的面积与正方形面积的份数比解答即可．
6． 如图，在等腰△ABC中，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，且( 点P是BC边上一点，过点P作PM⊥AB于点M， PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为(　　)
A．3 B．3 C．6 D．6
【答案】D
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：D.
【分析】连接，根据列关系式求出CD=PM+PN，据此解答即可．
7．某款纯电动汽车采取快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y(电池含电随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是(　　)
A．本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量
B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80%
C．本次充电持续时间是120分钟
D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意；
B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意；
C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意；
D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意，
故选：D.
【分析】由函数图象读取信息，仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可.
8． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， D是AB上一点， 将△BDC沿CD折叠， 点B的对应点E恰好落在AC边上. 已知BC=6， AE=2， 则DE的长为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过作于点，作于点，
∴，，
由折叠性质可知，，，
∴，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
设，点到得距离为，则，
∴，，
∴，，即，，
∴，
解得：，
∴，
故选：．
【分析】过作于点，作于点，由折叠可得，，，再根据角平分线的性质可得，利用勾股定理求出AB长，设，点到得距离为，即可得到，再利用等面积法求得，，然后根据列方程求出x的值解答即可．
9．如图，过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据是　 　.
【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】同位角相等，两直线平行；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】利用同位角相等，两直线平行解答即可．
10． 的平方根为　 　．
【答案】±3
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：8l的平方根为±3．
故答案为：±3．
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
11．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m到一棵树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为12m，那么河的宽度是　 　m.
【答案】12
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
∴，
∴，
故答案为12．
【分析】根据ASA得到解答即可．
12．已知则 xy=　 　.
【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】两个等式利用完全平方公式展开求差解答即可．
13．在△ABC中， AB=AC， D、E分别是边AB、AC的中点， CD和BE相交于点O.如果点O到边BC的距离为2， BC=16， 那么AB的长为　 　.
【答案】10
【知识点】勾股定理；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，
、分别是边、的中点，
、是的中线，
点是的重心，
∴是的中线，
，
，，
点到边的距离为，
，
点是的重心，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得．
故答案为：10.
【分析】根据三角形中线得到点为的重心，即可得到是的中线，根据重心的性质得到AF=6，BF=8，然后根据勾股定理解答即可．
14．如图，点D，点E，点F分别是Rt△ABC的三边上的动点，若AB=5xcm， BC=12xcm，AC=13xcm， 则DE+DF+EF的最小值y与x的关系式为：　 　.
【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；用关系式表示变量间的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
∴．
∵点D，点E，点F分别是的三边上的动点，求的最小值y与x的关系式，
∴点D、E、F有两点重合在的某个顶点处．
①点D、F在点A处，
∵点A到的最小距离为，
∴点E在点B处．
∴．
②点D、E在点B处，作于点M．
∵点B到的最小距离为，
∴点F在点M处．
∴．
③点E、F在点C处，
∵点C到的最小距离为，
∴点D在点B处．
∴．
∵．
∴的最小值为．
∵．
∴．
∴的最小值y与x的关系式为：．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形．根据点D，点E，点F分别是的三边上的动点，可得点D、E、F有两点重合在的某个顶点处．分为三种情况，作图，根据垂线段最短得到当D、E在点B处，作于点M，最短，它的长度即为的最小值．r然后根据面积法求出与x的关系式即可．
15．计算：
（1）
（2）
【答案】（1）解：
=5.
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式，乘法分配律展开，然后合并同类二次根式即可；
（2）先运算二次根式的乘除法、化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
16．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
当，时，
原式．
【知识点】多项式除以单项式；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开化简，再代值计算即可.
17．如图，△ABC中，请你用尺规在边AC上找一点P， 使得∠BPC=2∠A.
【答案】解：如图所示，作AB的垂直平分线交AC于点P，则P点即为所求，
∵PB=PA，
∴∠PBA=∠A，
∵∠BPC=∠A+∠ABP=2∠A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线交AC于点P，连接BP，即可求解.
18．如图， AE⊥BD， CF⊥BD， 垂足分别为E， F， AE=CF， DE=BF， 求证：∠A=∠C.
【答案】证明： ∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，
∴DF=BE，
∵AE⊥BD， CF⊥BD，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
又∵∠A=∠C，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠A=∠C.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】根据SAS得到△ABE≌△CDF，即可根据全等三角形的对应角相等证明即可.
19．小南发现操场上有一个不规则的封闭图形ABC，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，(若石子落在图形ABC 以外，则为无效结果，不计次数)，投掷结果记录如下表：
石子落在圆内(含圆周上)的次数m 14 43 96 153 ……
石子落在阴影内(含外边界)的次数n 23 91 186 300 ……
m：n 0.61 0.47 0.52 0.51 ……
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，m/n的值越来越接近　 　(结果精确到0.1)；
（2）若以小石子落在有效区域内的次数为总数(m+n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆周上)的频率稳定在　 　附近(结果用分数表示)；
（3）根据(2)所得的频率值，求出阴影部分的面积(结果保留π).
【答案】（1）0.5
（2）
（3）设封闭图形的面积为a，
根据题意得
解得a=3π，
则 (平方米)
答：阴影部分的面积为2π平方米.
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】（1）解：根据表格数据得，当投掷的次数很大时，的值越来越接近；
故答案为：0.5；
（2）解：观察表格得：；
随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右；
故答案为：；
【分析】（）根据表格中数据，得到m，n的比值接近的数即可；
（）经过大量重复试验时，计算小石子落在圆内(含圆周上)的频率解答即可；
（）利用概率得到圆的面积与总面积的比值，然后求出阴影部分面积即可．
20．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上， 点E在AB边上， 点G在AC边上， EF与GD的延长线交于点H， ∠1=∠B， ∠2+∠3=180°.
（1）求证： EH∥AD；
（2） 若∠DGC=58°， 且∠H-∠4=10°， 求∠H 的度数.
【答案】（1）证明： ∵∠1=∠B，
∴AB∥GD (同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠BAD (两直线平行， 内错角相等)，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠BAD+∠3=180°，
∴EH∥AD；
（2）解： ∵EH∥AD，
∴∠2=∠H (两直线平行，同位角相等)，
∵∠2=∠BAD，
∴∠H=∠BAD，(等量代换)
∴∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°，
∵∠H-∠4=10°，
∴2∠4+10°=58°，
∴∠4=24°，
∴∠H =34°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据同位角相等，两直线平行得到，即可得到∠2=∠BAD，再根据等量代换得到，根据同旁内角互补，两直线平行证明结论即可；
（2）首先根据两直线平行，同位角相等得到，等量代换得到，进而得到，根据解方程组求出∠H的度数即可.
21．阅读并回答问题：为了化简 我们尝试找到两个数m、n，使 且 则可将 化为 即 从而使得 化简.
例如，
所以
请仿照上例化简下列根式.
（1）　 　；　 　；
（2）计算：；
【答案】（1）；
（2）解：原式
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】（1）解：，
解：，
故答案为：，；
【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；
（2）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，利用分母有理化计算，然后加减解答即可．
22．如图，在四边形ABCD中， AB=9， BC=12， CD=17， AD=8， ∠B=90°.
（1）连接AC， 求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积.
【答案】（1）∵AB=9， BC=12， ∠B=90°，
（2）∵CD=17， AD=8， AC=15，
∴△ACD是直角三角形， 且∠CAD=90°，
=114
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得到，再根据列式计算即可．
23．如图， 在△ABC中， ∠BAC=80°， 若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
（1）求∠PAQ的度数
（2）若△APQ的周长为12， BC长为8， 求 PQ的长.
【答案】（1）设∠PAQ=x，∠CAP=y，∠BAQ=z，
∵MP 和NQ分别垂直平分AB 和AC，
∴AP=PB， AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP=x+z， ∠C=∠CAQ=x+y，
∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=100°，
即x+y+z=80°， x+z+x+y=100°，
∴x=20°，
∴∠PAQ=20°
（2）∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP=12，
∵AQ=CQ， AP=PB，
∴CQ+PQ+PB=12，
即CQ+BQ+2PQ=12，
BC+2PQ=12，
∵BC=8，
∴PQ=2
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，利用线段垂直平分线的性质可得AP＝PB，AQ＝CQ，然后根据等边对等角得到∠B＝x+z，∠C＝x+y，然后根据三角形内角和解答即可；
（2）根据△APQ的周长得到CQ+PQ+PB=12，即可得到BC+2PQ＝12，求出PQ的长即可．
24．某市采用分档计费的方式计算电费.下表是户月用电量及分档计费标准：
计费档 户月用电量x/(kW·h) 单价/[元/(kW·h)]
第一档 0＜x≤170 0.5
第二档 170第三档 x>260 0.8
（1）当170（2）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量.
【答案】（1）由题意得， 当170y=0.5×170+0.6(x-170)=0.6x-17，
（2）∵170×0.5+0.6×(260-170)=85+54=139>127，
∴170设用电量为xkW·h，由题意得，
170×0.5+0.6×(x-170)=127，
解得x=240，
答： 某户12月的电费是127元， 该户12月的用电量为240kW·h.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）根据总电费为前170kW·h的费用和第二档超出的用电量费用的和解答即可；
（2）先得到127元落在第二档，然后令y=127，解方程求出x的值解答即可．
25．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8m，将秋千AD往前推送3m(即CB=3m)，如图1到达AB的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.8m，秋千的绳索始终保持拉直的状态.
（1）求秋千AD的长度；
（2）当秋千静止后，如果将秋千AD往前推送4m (即CM=4m)，如图2求此时踏板离地的垂直高度MN为多少
【答案】（1）解：由题意知BF=1.8m， BC=3m， DE=0.8m，
∵BF⊥EF， AE⊥EF， BC⊥AE，
∴四边形BCEF 是矩形，
∴CE=BF=1.8m，
∴CD=CE-DE=1.8-0.8=1(m)，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
设秋千的长度为 xm， 则AB=AD= xm， AC=AD-CD=(x-1)m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
即
解得x=5，
即秋千AD的长度是5m；
（2）在Rt△ABC中， BC=4m， AB=5m，
∴由勾股定理得AC=3m，
∵AD=5m，
∴CD=AD-AC=5-3=2m，
∴CE=CD+DE=2+0.8=2.8m，
∴BF=2.8m，
即此时踏板离地的垂直高度为2.8m.
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设秋千的长度为，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可；
（2）在中，根据勾股定理即可求出的长，然后根据线段的和差解答即可.
26．问题发现：
（1）如图①，线段AB=5，点P为平面内任意一点，连接PA，PB，则|PA-PB|的最大值为　 　.
（2）问题探究：如图②，△ACB和△BDE均为直角三角形， ∠ACB=∠BDE=90°， AC=BC=6，BD=DE=2， 点E在AB上，连接CD，点M、N分别为AE、CD的中点， 求MN的长度.
（3）问题解决：在(2)的条件下，兴趣小组为研究需要，将△BDE绕点B顺时针旋转一周，在这个过程中，连接AE，取AE的中点M，连接CM.请问 是否能取得最大值 如果能，请求出最大值，并求出此时△ABE的面积.若不能，请说明理由.
【答案】（1）5
（2）解：如上图所示，连接DM并延长使D'M=DM，连接CD'，
∵M是AE中点
∴AM=EM
在△DEM和△D'AM中
∴△DEM≌△D'AM (SAS)
∴DE=AD'， ∠DEM=∠D'AM，
∵△BDE 和△ABC为等腰直角三角形
∴∠DEB=∠DBE=∠BAC=∠CBA=45°
∴∠DEM=∠D'AM=135°
∴∠D'AC=∠DBC=90°
∵DE=DB
∴AD'=BD
在△D'AC 和△DBC中
△D' AC≌△DBC (SAS)
∴DC=CD'， ∠DCB=∠D'CA
∵∠ACB=90°
∴∠DCB+∠ACD=90°
∴∠D'CA+∠ACD=90°
即∠D'CD=90°
∴△D’CD为等腰直角三角形
∵M为DD’中点
∴∠CMD=90°，
∴△MCD 为等腰直角三角形
∵N为CD中点
同理△MCN为等腰直角三角形
在Rt△BCD中
∵∠CBD=90°
（3）解：如图所示，连接并延长使，连接，，
M是中点，
，
在和中
，
，
，，
，
在五边形中，，
∴，
∴，
，
，
，
在和中
，
∴
，，
，
，
，
即，
为等腰直角三角形，
M为中点，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
∴当M在延长线上时，最大，此时，即最大值为，如图，
在中，，
在中，，
，
，
∴.
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵，
∵，
∴的最大值为5；
故答案为：5.
【分析】（1）根据三角形的两边之差小于第三边解答即可；
（2）连接并延长使，连接，根据SAS得到，即可得到DE=AD'， ∠DEM=∠D'AM，然后得到，即可得到为等腰直角三角形，进而可得，根据勾股定理求出的长，即可得到MN的长；
（3）连接并延长使，连接，先根据SAS得到△DEM≌△D'AM，△D'AC≌△DBC，即可得到为等腰直角三角形，进而可得，可得，当M在延长线上时，最大，最大值为，然后根据勾股定理求得，利用三角形的面积公式计算即可．
1 / 1陕西省西安市高新区高新一中教育联合体2025-2026学年七年级下学期期末考试数学试题
1．绿色植物靠吸收光量子来进行光合作用.已知每个光量子的波长约为0.000000698米，将数据“0.000000698”用科学记数法表示为 (　　)
A． B．
C． D．
2． 在下列各数： 0.05005000500005…(相邻两个5之间依次增加一个0)， 0.2， ， ， 中，无理数的个数是(　　)
A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
3．小亮有两根长度为5cm和9cm的木棒，他想钉一个三角形木框，现桌子上有如下长度的4根木棒，你认为他应该选择(　　)
A．3cm B．4cm C．9cm D．16cm
4．当光线从空气射入某液体时，光线的传播方向发生了改变，这就是光的折射现象(如图).已知液面与底面平行， ∠1=80°， ∠2=40°， 则∠3的度数为(　　)
A．30° B．40° C．50° D．70°
5．如图所示阴影部分是一个美丽的螺旋线型的图案，它的画法是这样的：正方形ABCD的边长为4，取正方形ABCD各边的四等分点E，F，G，H.作第2个正方形EFGH，然后再取正方形EFGH 各边的四等分点M，N，P，Q.作第3个正方形MNPQ，依此方法一直继续下去，可以认为聚成了一点，将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是(　　)
A． B． C． D．
6． 如图，在等腰△ABC中，过点C作CD⊥AB，交BA的延长线于点D，且( 点P是BC边上一点，过点P作PM⊥AB于点M， PN⊥AC于点N，则PM+PN的值为(　　)
A．3 B．3 C．6 D．6
7．某款纯电动汽车采取快速充电模式进行充电，当充电量达到电池容量的80%时，为保护电池，充电速度会明显降低.如图是该款电动汽车某次充电时，汽车电池含电率y(电池含电随充电时间x(分钟)变化的函数图象，下列说法错误的是(　　)
A．本次充电开始时汽车电池内仅剩10%的电量
B．本次充电40分钟，汽车电池含电率达到80%
C．本次充电持续时间是120分钟
D．若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，则本次充电耗电63千瓦时
8． 如图，在Rt△ABC中， ∠ACB=90°， D是AB上一点， 将△BDC沿CD折叠， 点B的对应点E恰好落在AC边上. 已知BC=6， AE=2， 则DE的长为(　　)
A． B． C． D．
9．如图，过直线外一点画已知直线的平行线，这种画法依据是　 　.
10． 的平方根为　 　．
11．某段河流的两岸是平行的，数学兴趣小组在老师的带领下不用涉水过河就测得河的宽度，他们是这样做的：①在河流的一条岸边B点，选对岸正对的一棵树A；②沿河岸直走20m到一棵树C，继续前行20m到达D处；③从D处沿河岸垂直的方向行走，当到达A树正好被C树遮挡住的E处停止行走；④测得DE的长为12m，那么河的宽度是　 　m.
12．已知则 xy=　 　.
13．在△ABC中， AB=AC， D、E分别是边AB、AC的中点， CD和BE相交于点O.如果点O到边BC的距离为2， BC=16， 那么AB的长为　 　.
14．如图，点D，点E，点F分别是Rt△ABC的三边上的动点，若AB=5xcm， BC=12xcm，AC=13xcm， 则DE+DF+EF的最小值y与x的关系式为：　 　.
15．计算：
（1）
（2）
16．先化简，再求值：，其中，．
17．如图，△ABC中，请你用尺规在边AC上找一点P， 使得∠BPC=2∠A.
18．如图， AE⊥BD， CF⊥BD， 垂足分别为E， F， AE=CF， DE=BF， 求证：∠A=∠C.
19．小南发现操场上有一个不规则的封闭图形ABC，如图，为了知道它的面积，他在封闭图形内画出了一个半径为1m的圆，在投掷点处向封闭图形ABC内掷石子，(若石子落在图形ABC 以外，则为无效结果，不计次数)，投掷结果记录如下表：
石子落在圆内(含圆周上)的次数m 14 43 96 153 ……
石子落在阴影内(含外边界)的次数n 23 91 186 300 ……
m：n 0.61 0.47 0.52 0.51 ……
请根据以上信息，解答以下问题：
（1）通过以上信息，可以发现当投掷的次数很大时，m/n的值越来越接近　 　(结果精确到0.1)；
（2）若以小石子落在有效区域内的次数为总数(m+n)，则随着投掷次数的增大，小石子落在圆内(含圆周上)的频率稳定在　 　附近(结果用分数表示)；
（3）根据(2)所得的频率值，求出阴影部分的面积(结果保留π).
20．如图，在三角形ABC中，点D、F在BC边上， 点E在AB边上， 点G在AC边上， EF与GD的延长线交于点H， ∠1=∠B， ∠2+∠3=180°.
（1）求证： EH∥AD；
（2） 若∠DGC=58°， 且∠H-∠4=10°， 求∠H 的度数.
21．阅读并回答问题：为了化简 我们尝试找到两个数m、n，使 且 则可将 化为 即 从而使得 化简.
例如，
所以
请仿照上例化简下列根式.
（1）　 　；　 　；
（2）计算：；
22．如图，在四边形ABCD中， AB=9， BC=12， CD=17， AD=8， ∠B=90°.
（1）连接AC， 求AC的长；
（2）求四边形ABCD的面积.
23．如图， 在△ABC中， ∠BAC=80°， 若MP和NQ分别垂直平分AB和AC.
（1）求∠PAQ的度数
（2）若△APQ的周长为12， BC长为8， 求 PQ的长.
24．某市采用分档计费的方式计算电费.下表是户月用电量及分档计费标准：
计费档 户月用电量x/(kW·h) 单价/[元/(kW·h)]
第一档 0＜x≤170 0.5
第二档 170第三档 x>260 0.8
（1）当170（2）某户12月的电费是127元，求该户12月的用电量.
25．如图，有一架秋千，当它静止在AD的位置时，踏板离地的垂直高度为0.8m，将秋千AD往前推送3m(即CB=3m)，如图1到达AB的位置时，秋千的踏板离地的垂直高度BF为1.8m，秋千的绳索始终保持拉直的状态.
（1）求秋千AD的长度；
（2）当秋千静止后，如果将秋千AD往前推送4m (即CM=4m)，如图2求此时踏板离地的垂直高度MN为多少
26．问题发现：
（1）如图①，线段AB=5，点P为平面内任意一点，连接PA，PB，则|PA-PB|的最大值为　 　.
（2）问题探究：如图②，△ACB和△BDE均为直角三角形， ∠ACB=∠BDE=90°， AC=BC=6，BD=DE=2， 点E在AB上，连接CD，点M、N分别为AE、CD的中点， 求MN的长度.
（3）问题解决：在(2)的条件下，兴趣小组为研究需要，将△BDE绕点B顺时针旋转一周，在这个过程中，连接AE，取AE的中点M，连接CM.请问 是否能取得最大值 如果能，请求出最大值，并求出此时△ABE的面积.若不能，请说明理由.
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：．
故答案为：B.
【分析】科学记数法的表现形式为的形式，其中，n为整数，确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同，当原数绝对值大于等于10时，n是正数，当原数绝对值小于1时n是负数；由此进行求解即可得到答案．
2．【答案】B
【知识点】无理数的概念；求算术平方根
【解析】【解答】解： 是无限不循环小数，是无理数；
，是分数，属于有理数；
是有限小数，属于有理数；
中是无限不循环小数，因此是无理数；
开方开不尽，是无理数；
是分数，属于有理数；
是整数，属于有理数；
综上，无理数共有个．
故答案为：B.
【分析】先化简 再根据无理数是无限不循环小数逐一判断即可．
3．【答案】C
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：∵两根木棒长和，
∴第三边x需满足：，即，
所以，选项中，A、B、D不满足，只有C满足，
故选：C．
【分析】根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边解答即可.
4．【答案】B
【知识点】两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】解：依题意，水面与容器底面平行，
∴
∵，，
∴
故选：B．
【分析】根据两直线平行，内错角相等可得，据此解答即可．
5．【答案】C
【知识点】几何概率；探索规律-图形的递变规律
【解析】【解答】解：是正方形，
，
取正方形各边的四等分点E，F，G，H．作第2个正方形，
，，
，
同理得：，
依此方法一直继续下去，可知阴影区域的面积占正方形面积的，
将一飞镖随机投掷到大正方形纸板上，则飞镖落在阴影区域的概率是：，
故选：C．
【分析】根据题意得到，，以此类题得到阴影区域的面积与正方形面积的份数比解答即可．
6．【答案】D
【知识点】三角形的面积；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：连接，
，，，
，，，
，
，
，
，
，
，
．
故答案为：D.
【分析】连接，根据列关系式求出CD=PM+PN，据此解答即可．
7．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息
【解析】【解答】解：A、由函数图象可知，本次充电开始时汽车电池内仅剩的电量，正确，不符合题意；
B、由函数图象可知，本次充电40分钟，汽车电池含电率达到，正确，不符合题意；
C、由函数图象可知，本次充电持续时间是120分钟，正确，不符合题意；
D、若汽车电池从无电状态到充满电需要耗电70千瓦时，那么从到的电量变化对应的耗电量是70千瓦时，
到的电量变化对应的耗电量为千瓦，错误，符合题意，
故选：D.
【分析】由函数图象读取信息，仔细观察函数图象，正确读取信息逐项进行分析解答即可.
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质；勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：如图，过作于点，作于点，
∴，，
由折叠性质可知，，，
∴，
∴，，，
在中，由勾股定理得：，
设，点到得距离为，则，
∴，，
∴，，即，，
∴，
解得：，
∴，
故选：．
【分析】过作于点，作于点，由折叠可得，，，再根据角平分线的性质可得，利用勾股定理求出AB长，设，点到得距离为，即可得到，再利用等面积法求得，，然后根据列方程求出x的值解答即可．
9．【答案】同位角相等，两直线平行
【知识点】同位角相等，两直线平行；三角板（直尺）画图-平行线
【解析】【解答】解：在图中画两个相等的同位角，则可判断所画直线与原直线平行．
故答案为：同位角相等，两直线平行．
【分析】利用同位角相等，两直线平行解答即可．
10．【答案】±3
【知识点】平方根
【解析】【解答】解：8l的平方根为±3．
故答案为：±3．
【分析】根据平方根的定义即可得出答案．
11．【答案】12
【知识点】全等三角形的实际应用；三角形全等的判定-ASA；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：由题意可知，，，
∴，
∴，
故答案为12．
【分析】根据ASA得到解答即可．
12．【答案】6
【知识点】完全平方公式及运用
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴，
∴，
故答案为：6．
【分析】两个等式利用完全平方公式展开求差解答即可．
13．【答案】10
【知识点】勾股定理；三角形的重心及应用
【解析】【解答】解：连接并延长交于点，
、分别是边、的中点，
、是的中线，
点是的重心，
∴是的中线，
，
，，
点到边的距离为，
，
点是的重心，
，
，
，
，
在中，由勾股定理得．
故答案为：10.
【分析】根据三角形中线得到点为的重心，即可得到是的中线，根据重心的性质得到AF=6，BF=8，然后根据勾股定理解答即可．
14．【答案】
【知识点】三角形的面积；勾股定理的逆定理；用关系式表示变量间的关系；分类讨论
【解析】【解答】解：∵，，，
∴．
∴．
∵点D，点E，点F分别是的三边上的动点，求的最小值y与x的关系式，
∴点D、E、F有两点重合在的某个顶点处．
①点D、F在点A处，
∵点A到的最小距离为，
∴点E在点B处．
∴．
②点D、E在点B处，作于点M．
∵点B到的最小距离为，
∴点F在点M处．
∴．
③点E、F在点C处，
∵点C到的最小距离为，
∴点D在点B处．
∴．
∵．
∴的最小值为．
∵．
∴．
∴的最小值y与x的关系式为：．
故答案为：.
【分析】根据勾股定理的逆定理可得是直角三角形．根据点D，点E，点F分别是的三边上的动点，可得点D、E、F有两点重合在的某个顶点处．分为三种情况，作图，根据垂线段最短得到当D、E在点B处，作于点M，最短，它的长度即为的最小值．r然后根据面积法求出与x的关系式即可．
15．【答案】（1）解：
=5.
（2）解：
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【分析】（1）先根据完全平方公式，乘法分配律展开，然后合并同类二次根式即可；
（2）先运算二次根式的乘除法、化简二次根式，然后合并同类二次根式即可.
16．【答案】解：
当，时，
原式．
【知识点】多项式除以单项式；利用整式的加减运算化简求值
【解析】【分析】先根据完全平方公式和多项式除以单项式法则展开化简，再代值计算即可.
17．【答案】解：如图所示，作AB的垂直平分线交AC于点P，则P点即为所求，
∵PB=PA，
∴∠PBA=∠A，
∵∠BPC=∠A+∠ABP=2∠A
【知识点】尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】作线段AB的垂直平分线交AC于点P，连接BP，即可求解.
18．【答案】证明： ∵DE=BF，
∴DE+EF=BF+EF，
∴DF=BE，
∵AE⊥BD， CF⊥BD，
∴∠CFD=∠AEB=90°，
又∵∠A=∠C，
∴△ABE≌△CDF(SAS)，
∴∠A=∠C.
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系
【解析】【分析】根据SAS得到△ABE≌△CDF，即可根据全等三角形的对应角相等证明即可.
19．【答案】（1）0.5
（2）
（3）设封闭图形的面积为a，
根据题意得
解得a=3π，
则 (平方米)
答：阴影部分的面积为2π平方米.
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】（1）解：根据表格数据得，当投掷的次数很大时，的值越来越接近；
故答案为：0.5；
（2）解：观察表格得：；
随着投掷次数的增大，小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右，即小石子落在圆内（含圆上）的频率值稳定在左右；
故答案为：；
【分析】（）根据表格中数据，得到m，n的比值接近的数即可；
（）经过大量重复试验时，计算小石子落在圆内(含圆周上)的频率解答即可；
（）利用概率得到圆的面积与总面积的比值，然后求出阴影部分面积即可．
20．【答案】（1）证明： ∵∠1=∠B，
∴AB∥GD (同位角相等，两直线平行)，
∴∠2=∠BAD (两直线平行， 内错角相等)，
∵∠2+∠3=180°，
∴∠BAD+∠3=180°，
∴EH∥AD；
（2）解： ∵EH∥AD，
∴∠2=∠H (两直线平行，同位角相等)，
∵∠2=∠BAD，
∴∠H=∠BAD，(等量代换)
∴∠BAC=∠BAD+∠4=∠H+∠4=58°，
∵∠H-∠4=10°，
∴2∠4+10°=58°，
∴∠4=24°，
∴∠H =34°
【知识点】平行线的判定与性质
【解析】【分析】（1）首先根据同位角相等，两直线平行得到，即可得到∠2=∠BAD，再根据等量代换得到，根据同旁内角互补，两直线平行证明结论即可；
（2）首先根据两直线平行，同位角相等得到，等量代换得到，进而得到，根据解方程组求出∠H的度数即可.
21．【答案】（1）；
（2）解：原式
【知识点】分母有理化；二次根式的混合运算；复合二次根式概念、性质与运算
【解析】【解答】（1）解：，
解：，
故答案为：，；
【分析】（1）先将被开方数化为完全平方数，再利用二次根式的性质化简；
（2）先将被开方数化为完全平方数，然后利用二次根式的性质化简，利用分母有理化计算，然后加减解答即可．
22．【答案】（1）∵AB=9， BC=12， ∠B=90°，
（2）∵CD=17， AD=8， AC=15，
∴△ACD是直角三角形， 且∠CAD=90°，
=114
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【分析】（1）利用勾股定理求出AC长即可；
（2）利用勾股定理的逆定理得到，再根据列式计算即可．
23．【答案】（1）设∠PAQ=x，∠CAP=y，∠BAQ=z，
∵MP 和NQ分别垂直平分AB 和AC，
∴AP=PB， AQ=CQ，
∴∠B=∠BAP=x+z， ∠C=∠CAQ=x+y，
∵∠BAC=80°，
∴∠B+∠C=100°，
即x+y+z=80°， x+z+x+y=100°，
∴x=20°，
∴∠PAQ=20°
（2）∵△APQ周长为12，
∴AQ+PQ+AP=12，
∵AQ=CQ， AP=PB，
∴CQ+PQ+PB=12，
即CQ+BQ+2PQ=12，
BC+2PQ=12，
∵BC=8，
∴PQ=2
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）设∠PAQ＝x，∠CAP＝y，∠BAQ＝z，利用线段垂直平分线的性质可得AP＝PB，AQ＝CQ，然后根据等边对等角得到∠B＝x+z，∠C＝x+y，然后根据三角形内角和解答即可；
（2）根据△APQ的周长得到CQ+PQ+PB=12，即可得到BC+2PQ＝12，求出PQ的长即可．
24．【答案】（1）由题意得， 当170y=0.5×170+0.6(x-170)=0.6x-17，
（2）∵170×0.5+0.6×(260-170)=85+54=139>127，
∴170设用电量为xkW·h，由题意得，
170×0.5+0.6×(x-170)=127，
解得x=240，
答： 某户12月的电费是127元， 该户12月的用电量为240kW·h.
【知识点】一元一次方程的实际应用-计费问题
【解析】【分析】（1）根据总电费为前170kW·h的费用和第二档超出的用电量费用的和解答即可；
（2）先得到127元落在第二档，然后令y=127，解方程求出x的值解答即可．
25．【答案】（1）解：由题意知BF=1.8m， BC=3m， DE=0.8m，
∵BF⊥EF， AE⊥EF， BC⊥AE，
∴四边形BCEF 是矩形，
∴CE=BF=1.8m，
∴CD=CE-DE=1.8-0.8=1(m)，
∵BC⊥AC，
∴∠ACB=90°，
设秋千的长度为 xm， 则AB=AD= xm， AC=AD-CD=(x-1)m，
在Rt△ABC中，由勾股定理得
即
解得x=5，
即秋千AD的长度是5m；
（2）在Rt△ABC中， BC=4m， AB=5m，
∴由勾股定理得AC=3m，
∵AD=5m，
∴CD=AD-AC=5-3=2m，
∴CE=CD+DE=2+0.8=2.8m，
∴BF=2.8m，
即此时踏板离地的垂直高度为2.8m.
【知识点】勾股定理的应用；矩形的判定与性质
【解析】【分析】（1）设秋千的长度为，在中，根据勾股定理列方程求出x的值即可；
（2）在中，根据勾股定理即可求出的长，然后根据线段的和差解答即可.
26．【答案】（1）5
（2）解：如上图所示，连接DM并延长使D'M=DM，连接CD'，
∵M是AE中点
∴AM=EM
在△DEM和△D'AM中
∴△DEM≌△D'AM (SAS)
∴DE=AD'， ∠DEM=∠D'AM，
∵△BDE 和△ABC为等腰直角三角形
∴∠DEB=∠DBE=∠BAC=∠CBA=45°
∴∠DEM=∠D'AM=135°
∴∠D'AC=∠DBC=90°
∵DE=DB
∴AD'=BD
在△D'AC 和△DBC中
△D' AC≌△DBC (SAS)
∴DC=CD'， ∠DCB=∠D'CA
∵∠ACB=90°
∴∠DCB+∠ACD=90°
∴∠D'CA+∠ACD=90°
即∠D'CD=90°
∴△D’CD为等腰直角三角形
∵M为DD’中点
∴∠CMD=90°，
∴△MCD 为等腰直角三角形
∵N为CD中点
同理△MCN为等腰直角三角形
在Rt△BCD中
∵∠CBD=90°
（3）解：如图所示，连接并延长使，连接，，
M是中点，
，
在和中
，
，
，，
，
在五边形中，，
∴，
∴，
，
，
，
在和中
，
∴
，，
，
，
，
即，
为等腰直角三角形，
M为中点，
，，
为等腰直角三角形，
，
，
∴当M在延长线上时，最大，此时，即最大值为，如图，
在中，，
在中，，
，
，
∴.
【知识点】三角形三边关系；勾股定理；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】（1）解：∵，
∵，
∴的最大值为5；
故答案为：5.
【分析】（1）根据三角形的两边之差小于第三边解答即可；
（2）连接并延长使，连接，根据SAS得到，即可得到DE=AD'， ∠DEM=∠D'AM，然后得到，即可得到为等腰直角三角形，进而可得，根据勾股定理求出的长，即可得到MN的长；
（3）连接并延长使，连接，先根据SAS得到△DEM≌△D'AM，△D'AC≌△DBC，即可得到为等腰直角三角形，进而可得，可得，当M在延长线上时，最大，最大值为，然后根据勾股定理求得，利用三角形的面积公式计算即可．
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