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四川省成都市金牛区2024-2025年七年级下期末数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列为成都2025年世界运动会相关会徽与图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它含有大量的有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.0.0000025用科学记数法可表示为（　　）
A．2.5×10-5 B．0.25×10-6 C．2.5×10-6 D．25×10-5
3．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
4．如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，将一副直角三角板如图摆放，点落在边上，、则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．下列事件是随机事件的是（　　）
A．清明时节雨纷纷
B．掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6
C．画一个三角形，其内角和为
D．从地面向上踢出的足球会落下
7．如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
8．在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，，则的值是　 　．
10．一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为　 　．
11．若与的乘积中不含的一次项，则的值为　 　．
12．如图，在中，，，垂足分别为，，，交于点，已知，，则的长为　 　．
13．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，，则的面积为　 　．
三、解答题（共48分）
14．计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）先化简，再求值：，其中，．
15．学习完概率知识后，某班的数学兴趣小组利用班会时间组织了一场“积分抽奖”活动．在不透明的抽奖箱中装有若干个写着获奖等级的质地均匀小球，分别是1个“一等奖”、3个“二等奖”、5个“三等奖”．同学们用自己的操行分，每10分获得摸一个球的机会（每人最多兑换5个球），每位同学一次性用完兑换的摸球次数（如甲同学用30分兑换摸3个球的机会，则1次性摸出3个球），记下获奖等级后将摸出的小球放回并摇匀．回答下列问题：
（1）小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率；
（2）兴趣小组往箱子里再次放入个“感谢参与”的小球，小红同学想用20分的操行分参与活动，若她获奖为必然事件，求的值．
16．星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）该情境中的自变量和因变量分别是______，______；
（2）游泳馆距离小刚家______米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了______米；
（3）为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间．
17．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑）；
（2）求的面积．
18．已知，于点，平分，交于点．
（1）如图1，若，，则______；
（2）如图2，点为上一点，连接，，，求的长；
（3）如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．若，，则　 　．
20．一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，则这个角的度数为　 　．
21．已知，，则　 　．
22．如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是　 　．
23．如图，在等腰中，，于点，是上一动点，是射线上一点，且，．当取得最小值时，　 　．（用含的代数式表示）
五、解答题（共30分）
24．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为．
（1）请写出关于的关系式；
（2）当的面积为4时，求点的运动时间．
25．一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题．
（1）如图，一个边长为的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为______；
（2）已知，，求的值；
（3）如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形内作长方形，在长方形外作等腰直角和等腰直角，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积之和．
26．已知，为等腰三角形，，点是边上一点（不与端点重合），作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点．
（1）如图，求证：；
（2）如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：；
（3）如图，若，点是射线上一点（不与点，重合），其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．（注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形）
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】根据轴对称图形得定义，不是轴对称图形，D是轴对称图形．
故选：D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
2．【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法是指a×，且1≤＜10，小数点向右移动几位，则n的相反数就是几．
3．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、是幂的乘方，应满足底数不变、指数相乘，即，但选项结果为，错误；
B、中的和不是同类项，无法合并为，错误；
C、是积的乘方，需将系数和字母分别乘方，即，但选项结果为，错误；
D、是同底数幂相乘，应满足底数不变、指数相加，即，与选项结果一致，正确．
故选：D．
【分析】根据幂的乘方运算法则即可判断A项；根据合并同类项法则即可判断B项；根据积的乘方运算法则即可判断C项；根据同底数幂的乘法计算法则即可判断D项.
4．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、，添加时，根据“”不能判定，故选项A符合题意；
B、，添加时，根据“”判定，故选项B不符合题意；
C、如图，∵，添加时，，得到，根据＂＂判定，故选项C不符合题意；
D、，添加时，根据＂＂判定，故选项D不符合题意．
故选：A．
【分析】依据全等三角形的判定定理（如SAS、AAS、ASA等），对每个选项添加条件后能否判定进行分析，从而找出不能判定全等的选项。
5．【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
6．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类
【解析】【解答】A、清明时节雨纷纷，是随机事件，符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6，是不可能事件，不符合题意；
C、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，不符合题意；
D、从地面向上踢出的足球会落下，是必然事件，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义，对每个选项进行分析判断．
7．【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】证明：在和中，
，
，
．
故选：A．
【分析】
通过“边角边”判定定理，证明≌，再结合全等三角形对应边相等的性质，即可推出.
8．【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，
即高度h先越来越大，再越来越小，
故选：A．
【分析】
根据题意，踢出去的足球的运动过程是：先向上运动，到达最高点之后再向下运动，结合这个运动过程就可以选出正确答案.
9．【答案】
【知识点】同底数幂除法的逆用
10．【答案】8
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的第三边长度是，
由三角形三边关系定理得到：，
∵三角形的三边长均为整数，
∴第三边长度的最大值为8．
故答案为：8．
【分析】根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出不等式，计算即可.
11．【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
12．【答案】4
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：，，
，
在，中，，
，
在和中，
．
故答案为：4．
【分析】根据同角的余角相等得出，证明得出，再由计算即可得出答案．
13．【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵在中，，
∴，
由题意可知，平分，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：5．
【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式求解即可得．
14．【答案】（1）解：
（2）解：

（3）解：
将，代入可得：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；负整数指数幂；多项式除以单项式
15．【答案】（1）解：抽奖箱中小球总数：1（一等奖）+ 3（二等奖）+ 5（三等奖）= 9 个．
小明有 10 分操行分，可摸一个球．故抽中二等奖的概率为
答∶ 小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率为．
（2）解：当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件；
小红用 20 分操行分，可摸 2 个球．
要确保不可能摸到两个“感谢参与”小球，则“感谢参与”小球数量 必须小于 2．
的值为1．
【知识点】事件的分类；概率公式
【解析】【分析】（1）先根据题意得到小球总数为10个，然后根据他得了10分的操作分则可以摸一个球，最后根据概率计算公式计算即可；
（2）当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件，进而即可求解；
（1）解：抽奖箱中小球总数：1（一等奖）+ 3（二等奖）+ 5（三等奖）= 9 个．
小明有 10 分操行分，可摸一个球．故抽中二等奖的概率为
答∶ 小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率为．
（2）解：当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件；
小红用 20 分操行分，可摸 2 个球（每 10 分摸一个球）．
要确保不可能摸到两个“感谢参与”小球，则“感谢参与”小球数量 必须小于 2．
的值为1．
16．【答案】（1）时间，离家的距离；
（2）2000，4000
（3）解：由图象可知：最初速度：（米/分钟），
∵小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，
∴拿装备后速度为（米/分钟）．
∴从家重新出发到游泳馆用时：（分钟）．
∴（分钟）．
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）由题意知，小刚骑车的时间自己变，带动离家距离变化，
所以自变量是时间，因变量是离家的距离．
故答案为：时间，离家的距离；
（2）由图象可知，游泳馆距离小刚家米．
行程：先骑1000米，返回1000米，再从家到游泳馆2000米，一共骑行米．
故答案为：2000；4000.
【分析】（1）根据函数的定义可得自变量与因变量；
（2）从图象获取信息，直接得到游泳馆距家距离为2000米．计算先骑行、折返、再前往游泳馆的路程和，得出总行程4000米．
（3）从图象得最初骑行1000米用时4分钟，算出最初速度．求出拿装备后速度，用游泳馆距家距离除以拿装备后速度，得重新出发后用时，加上之前的时间，得到答案．
（1）解：由题意知，小刚骑车的时间自己变，带动离家距离变化，
所以自变量是时间，因变量是离家的距离．
故答案为：时间，离家的距离；
（2）由图象可知，游泳馆距离小刚家米．
行程：先骑1000米，返回1000米，再从家到游泳馆2000米，一共骑行米．
故答案为：2000；4000
（3）解：由图象可知：
最初速度：（米/分钟），
∵小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，
∴拿装备后速度为（米/分钟）．
∴从家重新出发到游泳馆用时：（分钟）．
∴（分钟）．
17．【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积为．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（1）解：如图，即为所求．
（2）的面积为．
18．【答案】（1）
（2）解：过点作于点，如图所示∶
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，于点，于点，
，，
在和中，
，
；
（3）解：在上截取，连接，如图所示∶
，
，
即，
平分，于点，于点，
，，
在和中，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）依据角平分线定义得，用证，由全等性质得，代入求出．
（2）作，由得，结合推出，再用证，得．
（3）截，用证，得，再用证，推导．
（1）解：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：过点作于点，如图所示∶
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，于点，于点，
，，
在和中，
，
；
（3），，这三个角之间的数量关系是∶，理由如下∶
在上截取，连接，如图所示∶
，
，
即，
平分，于点，于点，
，，
在和中，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
19．【答案】5
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
故答案为：．
【分析】根据题意得到，，进而求出、的值，然后计算即可．
20．【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，
由题意可得：，
解得：，
∴这个角的度数为．
故答案为：．
【分析】设这个角的度数为x，由题意可得：，解一元一次方程即可得出答案．
21．【答案】0
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：将代入得：
，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：0．
【分析】将代入得，求出，，求出．
22．【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：取的中点，连接，，
，
∵是中线，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，，利用直角三角形斜边中线定理得到，然后分局等腰三角形的性质以及平行的性质求解角度．
23．【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：作，且，连接，，如图：
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴当G，E，C共线时，最小，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作，且，连接，，利用"SAS"证明，则可将转化为，根据两点之间线段最短得出此时E点位置，然后根据三角形内角和定理求解即可．
24．【答案】（1）解：如图，过点C作于点D．
∵，
∴，
当时，，
当时，，
∴S关于t的关系式为．
（2）解：当时，解得，
当时，
解得，
∴当的面积为4时，点P的运动时间t为秒或6秒．
【知识点】三角形的面积；一次函数中的动态几何问题；一元一次方程的实际应用-几何问题
25．【答案】（1）；
（2）解：∵，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，，
∵长方形的面积为，
∴，
设，，则，，
∴
，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，图中阴影部分也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即，
所以有，
故答案为：；
【分析】（）用两种方法，分别用代数式表示图中阴影部分的面积即可；
（）根据（）的结论代入计算即可；
（）由题意得，，根据长方形的面积为可得，可设设，，则，，根据代入计算即可．
（1）解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，图中阴影部分也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即，
所以有，
故答案为：；
（2）解：∵，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，，
∵长方形的面积为，
∴，
设，，则，，
∴
，
∴阴影部分的面积为．
26．【答案】（1）证明：由对称的性质可知又∵，
∴，
∴；
（2）证明： 连接，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
由对称的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，
理由如下：当在线段上时，设交于，连接，如图，
由对称的性质可知，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在延长线上时，设交于，如图：
同理可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
综上所述，．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；分类讨论
【解析】【分析】（）根据对称的性质以及等腰三角形的性质求证即可；
（）连接，由为等边三角形，得，，通过对称的性质可知，，然后证明，则，再证明为等边三角形，所以，最后证明，通过全等三角形性质即可；
（）根据所在位置分类讨论，当在线段上时，当在延长线上时，利用三角形全等和等腰直角三角形的性质得出结论即可.
（1）证明：由对称的性质可知
又∵，
∴，
∴；
（2）证明： 连接，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
由对称的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
当在线段上时，设交于，连接，如图，
由对称的性质可知，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在延长线上时，设交于，如图：
同理可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
综上所述，．
1 / 1四川省成都市金牛区2024-2025年七年级下期末数学试题
一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有四个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上）
1．下列为成都2025年世界运动会相关会徽与图标，其中是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】根据轴对称图形得定义，不是轴对称图形，D是轴对称图形．
故选：D．
【分析】根据如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，据此进行判断即可．
2．PM2.5是指大气中直径小于或等于0.0000025m的颗粒物，也称为可入肺颗粒物，它含有大量的有害物质，对人体健康和大气环境质量有很大危害.0.0000025用科学记数法可表示为（　　）
A．2.5×10-5 B．0.25×10-6 C．2.5×10-6 D．25×10-5
【答案】C
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：
故答案为：C。
【分析】根据科学记数法是指a×，且1≤＜10，小数点向右移动几位，则n的相反数就是几．
3．下列运算中，正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；合并同类项法则及应用；积的乘方运算；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、是幂的乘方，应满足底数不变、指数相乘，即，但选项结果为，错误；
B、中的和不是同类项，无法合并为，错误；
C、是积的乘方，需将系数和字母分别乘方，即，但选项结果为，错误；
D、是同底数幂相乘，应满足底数不变、指数相加，即，与选项结果一致，正确．
故选：D．
【分析】根据幂的乘方运算法则即可判断A项；根据合并同类项法则即可判断B项；根据积的乘方运算法则即可判断C项；根据同底数幂的乘法计算法则即可判断D项.
4．如图，，若要使，则添加的一个条件不能是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】A、，添加时，根据“”不能判定，故选项A符合题意；
B、，添加时，根据“”判定，故选项B不符合题意；
C、如图，∵，添加时，，得到，根据＂＂判定，故选项C不符合题意；
D、，添加时，根据＂＂判定，故选项D不符合题意．
故选：A．
【分析】依据全等三角形的判定定理（如SAS、AAS、ASA等），对每个选项添加条件后能否判定进行分析，从而找出不能判定全等的选项。
5．如图，将一副直角三角板如图摆放，点落在边上，、则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度；平行线的应用-三角尺问题；两直线平行，同位角相等
6．下列事件是随机事件的是（　　）
A．清明时节雨纷纷
B．掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6
C．画一个三角形，其内角和为
D．从地面向上踢出的足球会落下
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；事件的分类
【解析】【解答】A、清明时节雨纷纷，是随机事件，符合题意；
B、掷一枚质地均匀的正方体骰子，正面朝上的数字大于6，是不可能事件，不符合题意；
C、画一个三角形，其内角和为，是必然事件，不符合题意；
D、从地面向上踢出的足球会落下，是必然事件，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据随机事件、必然事件和不可能事件的定义，对每个选项进行分析判断．
7．如图，有一池塘，要测池塘两端，的距离，可先在地上取一个点，从点不经过池塘可以直接到达点和．连接并延长到点，使．连接并延长到点，使．连接，根据两个三角形全等，那么量出的长就是，的距离．判断图中两个三角形全等的依据是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】证明：在和中，
，
，
．
故选：A．
【分析】
通过“边角边”判定定理，证明≌，再结合全等三角形对应边相等的性质，即可推出.
8．在足球比赛中，门将大脚开出去的球的高度与球在空中运行时间的关系，用图象描述大致可以是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】用图象表示变量间的关系
【解析】【解答】解：门将大脚开出去的球，踢出去的足球先上向上运动，到达最高点后向下运动，
即高度h先越来越大，再越来越小，
故选：A．
【分析】
根据题意，踢出去的足球的运动过程是：先向上运动，到达最高点之后再向下运动，结合这个运动过程就可以选出正确答案.
二、填空题（每小题4分，共20分）
9．已知，，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】同底数幂除法的逆用
10．一个三角形的三边长均为整数，已知两边长为4和5，则第三边长度的最大值为　 　．
【答案】8
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：设三角形的第三边长度是，
由三角形三边关系定理得到：，
∵三角形的三边长均为整数，
∴第三边长度的最大值为8．
故答案为：8．
【分析】根据三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，据此列出不等式，计算即可.
11．若与的乘积中不含的一次项，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】多项式乘多项式；多项式的项、系数与次数
12．如图，在中，，，垂足分别为，，，交于点，已知，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】垂线的概念；三角形全等的判定-AAS
【解析】【解答】解：，，
，
在，中，，
，
在和中，
．
故答案为：4．
【分析】根据同角的余角相等得出，证明得出，再由计算即可得出答案．
13．如图，在中，，以为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，，再分别以，为圆心，大于长为半径画弧，两弧交于点，作射线，交于点，已知，，则的面积为　 　．
【答案】5
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：如图，过点作于点，
∵在中，，
∴，
由题意可知，平分，
∴，
∵，
∴的面积为，
故答案为：5．
【分析】过点作于点，先根据角平分线的性质定理可得，再根据三角形的面积公式求解即可得．
三、解答题（共48分）
14．计算下列各式：
（1）；
（2）；
（3）先化简，再求值：，其中，．
【答案】（1）解：
（2）解：

（3）解：
将，代入可得：原式
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；整式的混合运算；负整数指数幂；多项式除以单项式
15．学习完概率知识后，某班的数学兴趣小组利用班会时间组织了一场“积分抽奖”活动．在不透明的抽奖箱中装有若干个写着获奖等级的质地均匀小球，分别是1个“一等奖”、3个“二等奖”、5个“三等奖”．同学们用自己的操行分，每10分获得摸一个球的机会（每人最多兑换5个球），每位同学一次性用完兑换的摸球次数（如甲同学用30分兑换摸3个球的机会，则1次性摸出3个球），记下获奖等级后将摸出的小球放回并摇匀．回答下列问题：
（1）小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率；
（2）兴趣小组往箱子里再次放入个“感谢参与”的小球，小红同学想用20分的操行分参与活动，若她获奖为必然事件，求的值．
【答案】（1）解：抽奖箱中小球总数：1（一等奖）+ 3（二等奖）+ 5（三等奖）= 9 个．
小明有 10 分操行分，可摸一个球．故抽中二等奖的概率为
答∶ 小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率为．
（2）解：当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件；
小红用 20 分操行分，可摸 2 个球．
要确保不可能摸到两个“感谢参与”小球，则“感谢参与”小球数量 必须小于 2．
的值为1．
【知识点】事件的分类；概率公式
【解析】【分析】（1）先根据题意得到小球总数为10个，然后根据他得了10分的操作分则可以摸一个球，最后根据概率计算公式计算即可；
（2）当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件，进而即可求解；
（1）解：抽奖箱中小球总数：1（一等奖）+ 3（二等奖）+ 5（三等奖）= 9 个．
小明有 10 分操行分，可摸一个球．故抽中二等奖的概率为
答∶ 小明同学有10分的操行分，求他抽中二等奖的概率为．
（2）解：当袋子中“感谢参与”的小球数量小于摸球的机会时，获奖才是必然事件；
小红用 20 分操行分，可摸 2 个球（每 10 分摸一个球）．
要确保不可能摸到两个“感谢参与”小球，则“感谢参与”小球数量 必须小于 2．
的值为1．
16．星期天小刚从家里出发，骑车去游泳馆训练，当他骑了一段路时，想起没有带装备，于是又折返回家，拿好装备后继续骑车去游泳馆．如图，是小刚离家的距离与所用时间的关系示意图．根据图中提供的信息回答下列问题：
（1）该情境中的自变量和因变量分别是______，______；
（2）游泳馆距离小刚家______米，本次去游泳馆的行程小刚一共骑行了______米；
（3）为了节约时间，小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，求出小刚到达游泳馆所用的时间．
【答案】（1）时间，离家的距离；
（2）2000，4000
（3）解：由图象可知：最初速度：（米/分钟），
∵小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，
∴拿装备后速度为（米/分钟）．
∴从家重新出发到游泳馆用时：（分钟）．
∴（分钟）．
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息；用图象表示变量间的关系；自变量、因变量
【解析】【解答】解：（1）由题意知，小刚骑车的时间自己变，带动离家距离变化，
所以自变量是时间，因变量是离家的距离．
故答案为：时间，离家的距离；
（2）由图象可知，游泳馆距离小刚家米．
行程：先骑1000米，返回1000米，再从家到游泳馆2000米，一共骑行米．
故答案为：2000；4000.
【分析】（1）根据函数的定义可得自变量与因变量；
（2）从图象获取信息，直接得到游泳馆距家距离为2000米．计算先骑行、折返、再前往游泳馆的路程和，得出总行程4000米．
（3）从图象得最初骑行1000米用时4分钟，算出最初速度．求出拿装备后速度，用游泳馆距家距离除以拿装备后速度，得重新出发后用时，加上之前的时间，得到答案．
（1）解：由题意知，小刚骑车的时间自己变，带动离家距离变化，
所以自变量是时间，因变量是离家的距离．
故答案为：时间，离家的距离；
（2）由图象可知，游泳馆距离小刚家米．
行程：先骑1000米，返回1000米，再从家到游泳馆2000米，一共骑行米．
故答案为：2000；4000
（3）解：由图象可知：
最初速度：（米/分钟），
∵小刚在拿好装备后以最初速度的两倍赶往游泳馆，
∴拿装备后速度为（米/分钟）．
∴从家重新出发到游泳馆用时：（分钟）．
∴（分钟）．
17．如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，按要求作图，并保留作图痕迹．
（1）在图中，请以直线为对称轴，画出与成轴对称的图形（提示：作图时，先用2B铅笔作图，确定不再修改后用签字笔描黑）；
（2）求的面积．
【答案】（1）解：如图，即为所求．
（2）解：的面积为．
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称
【解析】【分析】（1）根据轴对称的性质作图即可；
（2）利用割补法求三角形的面积即可．
（1）解：如图，即为所求．
（2）的面积为．
18．已知，于点，平分，交于点．
（1）如图1，若，，则______；
（2）如图2，点为上一点，连接，，，求的长；
（3）如图3，过点作于点，点在上，点在上，，试判断，，这三个角之间的数量关系，并说明理由．
【答案】（1）
（2）解：过点作于点，如图所示∶
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，于点，于点，
，，
在和中，
，
；
（3）解：在上截取，连接，如图所示∶
，
，
即，
平分，于点，于点，
，，
在和中，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：（1）平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
【分析】（1）依据角平分线定义得，用证，由全等性质得，代入求出．
（2）作，由得，结合推出，再用证，得．
（3）截，用证，得，再用证，推导．
（1）解：平分，
，
在和中，
，
，
，
，
故答案为：；
（2）解：过点作于点，如图所示∶
，
，
，
，
，
又，
，
，
平分，于点，于点，
，，
在和中，
，
；
（3），，这三个角之间的数量关系是∶，理由如下∶
在上截取，连接，如图所示∶
，
，
即，
平分，于点，于点，
，，
在和中，
，
，，
，
在和中，
，
，
．
四、填空题（每小题4分，共20分）
19．若，，则　 　．
【答案】5
【知识点】同底数幂的乘法
【解析】【解答】解：∵，，
∴，，
∴
故答案为：．
【分析】根据题意得到，，进而求出、的值，然后计算即可．
20．一个角的余角的3倍比它的补角的2倍少，则这个角的度数为　 　．
【答案】
【知识点】一元一次方程的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：设这个角的度数为x，
由题意可得：，
解得：，
∴这个角的度数为．
故答案为：．
【分析】设这个角的度数为x，由题意可得：，解一元一次方程即可得出答案．
21．已知，，则　 　．
【答案】0
【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算
【解析】【解答】解：将代入得：
，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故答案为：0．
【分析】将代入得，求出，，求出．
22．如图，在中，，是中线，若，，于点，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线；同位角相等，两直线平行
【解析】【解答】解：取的中点，连接，，
，
∵是中线，是的中点，
∴是的中位线，
∴，
故答案为：．
【分析】取的中点，连接，，利用直角三角形斜边中线定理得到，然后分局等腰三角形的性质以及平行的性质求解角度．
23．如图，在等腰中，，于点，是上一动点，是射线上一点，且，．当取得最小值时，　 　．（用含的代数式表示）
【答案】
【知识点】轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】解：作，且，连接，，如图：
∵，
∴，
∵，，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
∴当G，E，C共线时，最小，
∵，，
∴，
∵，，
∴，
∴．
故答案为：．
【分析】作，且，连接，，利用"SAS"证明，则可将转化为，根据两点之间线段最短得出此时E点位置，然后根据三角形内角和定理求解即可．
五、解答题（共30分）
24．如图，在中，，，，，动点从点出发，以每秒1个单位的速度沿方向运动，到达点时停止运动，连接（或）．设点运动的时间为，的面积为．
（1）请写出关于的关系式；
（2）当的面积为4时，求点的运动时间．
【答案】（1）解：如图，过点C作于点D．
∵，
∴，
当时，，
当时，，
∴S关于t的关系式为．
（2）解：当时，解得，
当时，
解得，
∴当的面积为4时，点P的运动时间t为秒或6秒．
【知识点】三角形的面积；一次函数中的动态几何问题；一元一次方程的实际应用-几何问题
25．一个图形通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式，利用这种方法解答下列问题．
（1）如图，一个边长为的大正方形被分割成两个较小正方形和两个长方形，通过计算图中阴影部分的面积可以得到的数学等式为______；
（2）已知，，求的值；
（3）如图，在长方形中，，，点，分别是，上的点，且，分别以，为边在长方形内作长方形，在长方形外作等腰直角和等腰直角，若长方形的面积为，求图中阴影部分的面积之和．
【答案】（1）；
（2）解：∵，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，，
∵长方形的面积为，
∴，
设，，则，，
∴
，
∴阴影部分的面积为．
【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】解：（1）图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，图中阴影部分也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即，
所以有，
故答案为：；
【分析】（）用两种方法，分别用代数式表示图中阴影部分的面积即可；
（）根据（）的结论代入计算即可；
（）由题意得，，根据长方形的面积为可得，可设设，，则，，根据代入计算即可．
（1）解：图中阴影部分是边长为的正方形，因此面积为，图中阴影部分也可以看作大正方形的面积与空白部分的面积差，即，
所以有，
故答案为：；
（2）解：∵，，，
∴，
∴；
（3）解：∵，，，
∴，，
∵长方形的面积为，
∴，
设，，则，，
∴
，
∴阴影部分的面积为．
26．已知，为等腰三角形，，点是边上一点（不与端点重合），作直线，点关于直线的对称点为点，连接，直线与交于点．
（1）如图，求证：；
（2）如图，若为等边三角形，点在边上，且，连接交于点，求证：；
（3）如图，若，点是射线上一点（不与点，重合），其余条件不变，过点作于点，连接，猜想线段，，之间的数量关系，并说明理由．（注：有一个角为的直角三角形是等腰直角三角形）
【答案】（1）证明：由对称的性质可知又∵，
∴，
∴；
（2）证明： 连接，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
由对称的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，
理由如下：当在线段上时，设交于，连接，如图，
由对称的性质可知，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在延长线上时，设交于，如图：
同理可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
综上所述，．
【知识点】三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的判定与性质；轴对称的性质；分类讨论
【解析】【分析】（）根据对称的性质以及等腰三角形的性质求证即可；
（）连接，由为等边三角形，得，，通过对称的性质可知，，然后证明，则，再证明为等边三角形，所以，最后证明，通过全等三角形性质即可；
（）根据所在位置分类讨论，当在线段上时，当在延长线上时，利用三角形全等和等腰直角三角形的性质得出结论即可.
（1）证明：由对称的性质可知
又∵，
∴，
∴；
（2）证明： 连接，如图，
∵为等边三角形，
∴，，
由对称的性质可知，，
∴，
∵，
∴，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴为等边三角形，
∴，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴；
（3）解：，理由如下：
当在线段上时，设交于，连接，如图，
由对称的性质可知，，
∵，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
由（）知，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴；
当在延长线上时，设交于，如图：
同理可得，，，
∴，
∵，，
∴，
∵点与点关于对称，
∴，
∴，
∴，
∴，
，
综上所述，．
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