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湖南省湖南省株洲市荷塘区方舟兰天中学期末联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号填在下面相应的方框内）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．一名射击运动员，射靶10次，射击成绩分别为（单位：环）：9，10，8，7，7，8，9，10，9，8，则他射中9环及9环以上的频率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
3．已知一次函数 ，当 时，函数值y等于（　　）．
A．0 B．1 C．6 D．7
4．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
5．初二（1）班在学习了一次函数的知识后，对于一次函数的图象经过的象限，大家议论纷纷：小红说：它经过第一、二、三象限；小龙说：它经过第二、三、四象限；小彬说：它经过第一、二、四象限；小航说：它经过第一、三、四象限．其中说法是正确的是（　　）
A．小红 B．小龙 C．小彬 D．小航
6．四边形在进化的过程中，正方形可以由矩形进化而来，下列选项中正方形具有，而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．中心对称图形 D．对角线互相平分
7．如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
8．如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　)
A．3 B． C．2 D．
9．在中，，为斜边的中点．若，，则的长为（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
10．在直角坐标系中，已知点，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案卡内）
11．把点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点的坐标是　 　．
12．在函数中，自变量的取值范围是　 　．
13．写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式　 　．
14．把直线向下平移2个单位，得到的直线解析式是　 　．
15．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为　 　．
16．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是　 　．
17．如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上若，，则的长为　 　．
18．如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为　 　．
三、解答题（19~25每题8分，26题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．如图，点A是x轴上左侧的一点，点在第一象限，直线BA交y轴于点，．
（1）求；
（2）求点A的坐标及m的值．
20．如图，已知是等边三角形，点、分别在线段、上，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，若，，求的长度．
21．2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
比赛项目
关注人数 42 30
（1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点在直线上，且点到轴的距离为2，求点的坐标．
23．填空：如图，在中，平分，垂足分别为且，试说明．
证明：∵平分，
_____（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在与中，
∵，
（_____），
，
（_____）．
24．如图，已知直线分别与x轴、y轴交于D、A两点；直线与y轴交于B点，与直线交于C点．
（1）求点B的坐标；
（2）求三角形的面积．
25．我们知道在任意直角三角形中有一个重量级定理——勾股定理！即如图一，在直角三角形中，，，，则有：．为了论证这个定理，数学家脑洞大开，用四个这样全等的直角三角形拼成图二，请同学们完成下列提问．
（1）求证：四边形和四边形都是正方形；
（2）利用图二，求证：．
26．探索发现一：法国近代数学家笛卡尔是一位勇于探索的人，他石破天惊的创建了代数与几何结合，即数形结合！他的这一天才创举，为微积分的创立奠定了基础，从而推动数学往前进了一大步！在他创建的平面直角坐标系中，我们学到一次函数的图象是一条直线，书本上的描述是：数学上已经证明了正比例函数的图象是一条直线．勇于探索和挑战的小聪一心想证明出函数的图像是一条直线！于是他找了图像上的三个点，，，并且巧妙的论证出这三点在同一条直线上，聪明的你也来论证一下吧！
探索发现二：小慧碰到一道题：在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段绕点O逆时针旋转90°到位置，则点的坐标是什么？
（1）请写出点的坐标______．
（2）小慧通过计算发现所在直线的函数表达式为，所在直线的函数表达式为，而且有．于是她大胆猜想：两个一次函数图象如果互相垂直，则他们的k乘积为，请敢于探索发现的你来完成下面的论证：
如图，已知直线与直线互相垂直，求证：．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意可知，射击总次数为10次，射中9环及9环以上的频数为5，因此列式可得：
，
他射中9环及9环以上的频率为，
故选：C.
【分析】计算频率的核心公式为：频率等于频数除以总次数，依据该公式即可完成本题的计算求解.
3．【答案】D
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当x=3时，y=2×3+1=7.
故答案为：D.
【分析】直接将x=3代入y=2x+1中计算即可.
4．【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 关于轴对称点的坐标是，
故答案为：A．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标变化特征"横坐标互为相反数，纵坐标不变"即可求解．
5．【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在中，，，
直线经过第一、二、四象限．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
6．【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直是正方形都具有的性质，矩形不一定有，符合题意；
B、对角线相等是正方形与矩形都具有的性质，不符合题意；
C、矩形和正方形都是中心对称图形，不符合题意；
D、对角线互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据正方形，矩形性质即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四边形BCMN是正方形，
∴，
∵，
∴，
由此可得正边形的一个内角为150°，因此它的一个外角为，
因为任意正多边形的外角和都为360°，因此边数的值为；
故选：A.
【分析】本题考查正多边形的性质与外角和定理，先求出该正多边形的一个内角度数，再计算出对应的外角度数，最后结合正多边形外角和为360°求解边数即可.
8．【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点，MN=3，
∴MN是△ACD的中位线，
∴.
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴AO=CO=3，BO=DO=4，
∴.
∴Rt△AOD中，
故答案为：D
【分析】根据中位线定理可得AC的长，由菱形的面积可得长，进而可利用勾股定理求出的长，最后再根据直角三角形中斜边上的中线的性质即可求出OM的长．
9．【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】由勾股定理，，
∴；
故选：C．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线即可求出答案.
10．【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，以点A为圆心，OA长为半径画弧，交x轴于一点F，过点A作轴于点B，
由题意可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【分析】以点A为圆心、OA的长度为半径画弧，该弧与x轴交于点F，再过点A作轴，垂足为点B，由此可以推出，进而即可求解本题.
11．【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点向右平移个单位长度，
可得横坐标为：，
再向下平移个单位长度，
可得纵坐标为：，
则得到的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
12．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据函数成立的要求，可以得到：，同时
对不等式求解，最终可得；
故填：．
【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，解题时需要结合两个限制条件计算：一是分式的分母不能等于0，二是二次根式的被开方数必须不小于0，据此列出不等式求解即可.
13．【答案】（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：本题答案不唯一，例如都符合要求，
故填：（答案不唯一）.
【分析】本题需要根据函数的性质写出符合要求的函数，不同类型的函数性质存在区别，因此本题有多个符合要求的答案.
14．【答案】y＝－3x+2
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线y=3x+4向下平移2个单位后所得到直线的解析式为y=3x+4-2=3x+2．
故答案为：y=3x+2．
【分析】 一次函数图象根据常数“上加下减”的平移规律得到解析式为y=3x+2．
15．【答案】米
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过O作，过A作于G，
∵米，，
∴米，
∵，，
∴，
∴在中，米，
∴点A位于最高点时到地面的距离为米，
故答案为：5米．
【分析】过O作，过A作于G，根据题意就饿得OA，再根据角之间的关系可得∠AOM，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
16．【答案】36
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，
则，
，即，
为直角三角形，
四边形的面积，
故答案为：36．
【分析】连接，根据勾股定理“直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 ”求出，已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形，分别求出和的面积和，则四边形面积可求．
17．【答案】4
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可知，，，
设，则，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质可知，，，利用勾股定理求出即可．
18．【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，连接HG'交AB于点E，再在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
由对称的性质可得G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2，
因此CH∥EF，
又∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
由此可得G'H=EG'+EH=EG+CF，即GE+CF的长度等于G'H的长度。
已知AB=4，BC=AD=2，G为AD边的中点，
∴AG=AG'=1，
因此DG'=AD+AG'=2+1=3，DH=CD-CH=4-1=3，
∴，
即的最小值为．
故填：
【分析】利用对称转化线段、构造平行四边形的方法求最短路径：通过作G关于AB的对称点G'，得到GE=G'E；再截取CH=1，可证四边形EFCH是平行四边形，得到CF=EH，因此GE+CF转化为G'H的长度，最后根据勾股定理计算出G'H的长度，即可得到GE+CF的最小值.
19．【答案】（1）解：由题意得
∴的值为2．
（2）解：∵
∴
∴
解得
∴．
∵ 点
∴设直线BA的解析式为
将代入得
解得
∴直线BA的解析式为
将代入中，解得
∴的值为3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式知，计算求解即可；
（2）由，据此求出的值，进而得到点坐标，由点C（0，2），可设直线BA的解析式为，再将A坐标代入可求解析式，最后将B（2，m）代入，即可求m的值．
（1）解：由题意得
∴的值为2．
（2）解：由题意知
∴
解得
∴．
设直线BA的解析式为
将代入得
解得
∴直线BA的解析式为
将代入中，解得
∴的值为3．
20．【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，如图所示：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据等边三角形性质可得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，如图所示：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
21．【答案】（1）a=18，b=60，D所在扇形圆心角的度数为：144度
（2）解：依题意，（人）
答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据两图中A的数据可得总人数为：
（人），
∴（人），
∴（人），
∴D所在扇形圆心角的度数为：
，
答：a和b的值为18和60人；D所在扇形圆心角度数为144度。
【分析】（1）用比赛A项目的关注人数除以其占比28%，求出关注比赛的总人数；然后再用总人数乘以比赛C的占比，即可求出a值；然后再用总人数减去比赛A、比赛B、比赛C的关注人数，即可求出b的值；用比赛D的人数除以总人数，求出其占比，然后再乘以360度，即可求出D所在扇形的圆心角的度数。
（2）根据题意，可知，D选项代表的是3000米绕表赛，因此，用D比赛项目的关注人数除以总人数，然后再乘以当天观看比赛的市民总人数，即可求解。
（3）根据根据“2男2女对该路段进行值守”，画出树状图，然后根据题干中可能存在的12种情况，再根据“恰好抽到的两名交警性别相同”，从树状图中找到性别相同的情况即可，再利用概率的公式进行求解即可。
（1）解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人），
∴（人），
∴（人），
∴D所在扇形圆心角的度数为：，
（2）解：依题意，（人）
答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
22．【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，
得，解得，
∴直线AB的解析式为；

（2）∵点在直线上，且点到轴的距离为2，
∴点C的纵坐标为2或-2，
当y=2时，=2，解得x=2，∴C（2，2）；
当y=-2时，=-2，解得x=-6，∴C（-6，-2），
综上，点的坐标为（2，2）或（-6，-2）．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据直线方程的定义y=kx+b。利用已知的两点A（-2，0）和B（0，1）求解斜率k和截距b即可求解；
（2）根据点到轴的距离为2，确定点C的纵坐标为2或-2，然后代入直线AB的解析式求解得到点C的坐标即可．
23．【答案】证明：∵平分，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在与中，
∵，
，
，
（等角对等边）．
故答案为：；；；；C；等角对等边．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】由平分，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，即可证明.
24．【答案】（1）解：在直线中，
当时，，则；
（2）解：在直线中，
当时，，则；
联立解方程组，
解得：，
则点坐标为；
则的面积．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征令，代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，联立两直线解析式，解方程组可得点坐标为，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：在直线中，
当时，，则；
（2）解：在直线中，
当时，，则；
联立解方程组，
解得：，
则点坐标为；
则的面积．
25．【答案】（1）证明：∵，
∴，，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；正方形的判定；“赵爽弦图”模型；等积变换
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，根据角之间的关系可得，则四边形是正方形；根据全等三角形判定定理可得，，则，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，根据角之间的关系可得，则四边形是正方形.
（2）根据等面积法即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，
∴，
∴.
26．【答案】（1）
（2）解：在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上，
设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为，
∴，，
解得，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】（1）如图，过点P作轴于点A，过点作轴于点B，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵点在第二象限，
∴点的坐标为；
【分析】（1）过点P作轴于点A，过点作轴于点B，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据第二象限点的坐标特征即可求出答案.
（2）在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上，设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为，分别代入解析式可得，，结合分式乘法即可求出答案.
1 / 1湖南省湖南省株洲市荷塘区方舟兰天中学期末联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题共10个小题，每小题3分，共计30分．每小题只有一个正确答案，请将正确答案的选项代号填在下面相应的方框内）
1．中国“二十四节气”已被列入联合国教科文组织人类非物质文化遗产代表作名录，下列四幅作品分别代表“立春”、“立夏”、“芒种”、“大雪”，其中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
B、是轴对称图形，但不是中心对称图形，本选项不符合题意；
C、不是中心对称图形，也不是轴对称图形，本选项不符合题意；
D、既是轴对称图形又是中心对称图形，本选项符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义，逐项进行判断，即可得出答案。
2．一名射击运动员，射靶10次，射击成绩分别为（单位：环）：9，10，8，7，7，8，9，10，9，8，则他射中9环及9环以上的频率为（　　）
A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6
【答案】C
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意可知，射击总次数为10次，射中9环及9环以上的频数为5，因此列式可得：
，
他射中9环及9环以上的频率为，
故选：C.
【分析】计算频率的核心公式为：频率等于频数除以总次数，依据该公式即可完成本题的计算求解.
3．已知一次函数 ，当 时，函数值y等于（　　）．
A．0 B．1 C．6 D．7
【答案】D
【知识点】函数值
【解析】【解答】解：当x=3时，y=2×3+1=7.
故答案为：D.
【分析】直接将x=3代入y=2x+1中计算即可.
4．在平面直角坐标系中，点的坐标为，则点关于轴对称点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】关于坐标轴对称的点的坐标特征
【解析】【解答】解：点 关于轴对称点的坐标是，
故答案为：A．
【分析】根据关于y轴对称的点的坐标变化特征"横坐标互为相反数，纵坐标不变"即可求解．
5．初二（1）班在学习了一次函数的知识后，对于一次函数的图象经过的象限，大家议论纷纷：小红说：它经过第一、二、三象限；小龙说：它经过第二、三、四象限；小彬说：它经过第一、二、四象限；小航说：它经过第一、三、四象限．其中说法是正确的是（　　）
A．小红 B．小龙 C．小彬 D．小航
【答案】C
【知识点】一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：在中，，，
直线经过第一、二、四象限．
故答案为：C．
【分析】根据一次函数的性质即可求出答案.
6．四边形在进化的过程中，正方形可以由矩形进化而来，下列选项中正方形具有，而矩形不具有的性质是（　　）
A．对角线互相垂直 B．对角线相等
C．中心对称图形 D．对角线互相平分
【答案】A
【知识点】矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：A、对角线互相垂直是正方形都具有的性质，矩形不一定有，符合题意；
B、对角线相等是正方形与矩形都具有的性质，不符合题意；
C、矩形和正方形都是中心对称图形，不符合题意；
D、对角线互相平分是矩形和正方形都具有的性质，不符合题意；
故选：A．
【分析】根据正方形，矩形性质即可求出答案.
7．如图，已知，，是正边形的三条边，在同一平面内，以为边在该正边形的外部作正方形．若，则的值为（　　）
A．12 B．10 C．8 D．6
【答案】A
【知识点】多边形内角与外角
【解析】【解答】解：∵四边形BCMN是正方形，
∴，
∵，
∴，
由此可得正边形的一个内角为150°，因此它的一个外角为，
因为任意正多边形的外角和都为360°，因此边数的值为；
故选：A.
【分析】本题考查正多边形的性质与外角和定理，先求出该正多边形的一个内角度数，再计算出对应的外角度数，最后结合正多边形外角和为360°求解边数即可.
8．如图，在菱形中，对角线相交于点，点，分别是边的中点，连接，若，，则的长为(　　)
A．3 B． C．2 D．
【答案】D
【知识点】勾股定理；菱形的性质；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵点M，N分别是边AD，CD的中点，MN=3，
∴MN是△ACD的中位线，
∴.
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴AO=CO=3，BO=DO=4，
∴.
∴Rt△AOD中，
故答案为：D
【分析】根据中位线定理可得AC的长，由菱形的面积可得长，进而可利用勾股定理求出的长，最后再根据直角三角形中斜边上的中线的性质即可求出OM的长．
9．在中，，为斜边的中点．若，，则的长为（　　）
A．10 B．6 C．5 D．4
【答案】C
【知识点】直角三角形斜边上的中线；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】由勾股定理，，
∴；
故选：C．
【分析】根据勾股定理可得AB，再根据直角三角形斜边上的中线即可求出答案.
10．在直角坐标系中，已知点，在x轴上确定点P，使为等腰三角形，则符合条件的点P的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形性质；等腰三角形的性质
【解析】【解答】解：如图，以点A为圆心，OA长为半径画弧，交x轴于一点F，过点A作轴于点B，
由题意可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
故选B．
【分析】以点A为圆心、OA的长度为半径画弧，该弧与x轴交于点F，再过点A作轴，垂足为点B，由此可以推出，进而即可求解本题.
二、填空题（本大题共8个小题，每小题3分，共24分．请将答案填在答题卡的答案卡内）
11．把点先向右平移个单位长度，再向下平移个单位长度得到的点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；沿着坐标轴方向平移的点的坐标特征
【解析】【解答】解：把点向右平移个单位长度，
可得横坐标为：，
再向下平移个单位长度，
可得纵坐标为：，
则得到的点的坐标是，
故答案为：．
【分析】利用点坐标平移的特征（上加下减、左减右加）分析求解即可.
12．在函数中，自变量的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：根据函数成立的要求，可以得到：，同时
对不等式求解，最终可得；
故填：．
【分析】本题考查函数自变量取值范围的求解，解题时需要结合两个限制条件计算：一是分式的分母不能等于0，二是二次根式的被开方数必须不小于0，据此列出不等式求解即可.
13．写出一个当时，y随x的增大而减小的函数表达式　 　．
【答案】（答案不唯一）
【知识点】反比例函数的性质；一次函数的性质
【解析】【解答】解：本题答案不唯一，例如都符合要求，
故填：（答案不唯一）.
【分析】本题需要根据函数的性质写出符合要求的函数，不同类型的函数性质存在区别，因此本题有多个符合要求的答案.
14．把直线向下平移2个单位，得到的直线解析式是　 　．
【答案】y＝－3x+2
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：把直线y=3x+4向下平移2个单位后所得到直线的解析式为y=3x+4-2=3x+2．
故答案为：y=3x+2．
【分析】 一次函数图象根据常数“上加下减”的平移规律得到解析式为y=3x+2．
15．桔槔俗称“吊杆”“称杆”（如图1），是我国古代农用工具，是一种利用杠杆原理的取水机械，桔槔示意图如图2所示，是垂直于水平地面的支撑杆，米，是杠杆，米，，当点A位于最高点时，，此时，点A到地面的距离为　 　．
【答案】米
【知识点】含30°角的直角三角形
【解析】【解答】解：过O作，过A作于G，
∵米，，
∴米，
∵，，
∴，
∴在中，米，
∴点A位于最高点时到地面的距离为米，
故答案为：5米．
【分析】过O作，过A作于G，根据题意就饿得OA，再根据角之间的关系可得∠AOM，再根据含30°角的直角三角形性质即可求出答案.
16．如图，在四边形中，，，，，且，则四边形的面积是　 　．
【答案】36
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：连接，
则，
，即，
为直角三角形，
四边形的面积，
故答案为：36．
【分析】连接，根据勾股定理“直角三角形中，两条直角边的平方和等于斜边的平方 ”求出，已知得其符合勾股定理的逆定理从而得到是一个直角三角形，分别求出和的面积和，则四边形面积可求．
17．如图，将矩形沿折叠，使顶点恰好落在边的中点上若，，则的长为　 　．
【答案】4
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：根据折叠的性质可知，，，
设，则，
，
，
解得：，
，
故答案为：．
【分析】根据折叠的性质可知，，，利用勾股定理求出即可．
18．如图，矩形中，，是的中点，线段在边上左右滑动；若，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【解答】解：如图，作点G关于AB的对称点G'，在CD上截取CH=1，连接HG'交AB于点E，再在EB上截取EF=1，此时GE+CF的值最小，
由对称的性质可得G'E=GE，AG=AG'，
∵四边形ABCD是矩形，
∴AB∥CD，AD=BC=2，
因此CH∥EF，
又∵CH=EF=1，
∴四边形EFCH是平行四边形，
∴EH=CF，
由此可得G'H=EG'+EH=EG+CF，即GE+CF的长度等于G'H的长度。
已知AB=4，BC=AD=2，G为AD边的中点，
∴AG=AG'=1，
因此DG'=AD+AG'=2+1=3，DH=CD-CH=4-1=3，
∴，
即的最小值为．
故填：
【分析】利用对称转化线段、构造平行四边形的方法求最短路径：通过作G关于AB的对称点G'，得到GE=G'E；再截取CH=1，可证四边形EFCH是平行四边形，得到CF=EH，因此GE+CF转化为G'H的长度，最后根据勾股定理计算出G'H的长度，即可得到GE+CF的最小值.
三、解答题（19~25每题8分，26题10分，共66分．解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．如图，点A是x轴上左侧的一点，点在第一象限，直线BA交y轴于点，．
（1）求；
（2）求点A的坐标及m的值．
【答案】（1）解：由题意得
∴的值为2．
（2）解：∵
∴
∴
解得
∴．
∵ 点
∴设直线BA的解析式为
将代入得
解得
∴直线BA的解析式为
将代入中，解得
∴的值为3．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【分析】（1）利用三角形的面积公式知，计算求解即可；
（2）由，据此求出的值，进而得到点坐标，由点C（0，2），可设直线BA的解析式为，再将A坐标代入可求解析式，最后将B（2，m）代入，即可求m的值．
（1）解：由题意得
∴的值为2．
（2）解：由题意知
∴
解得
∴．
设直线BA的解析式为
将代入得
解得
∴直线BA的解析式为
将代入中，解得
∴的值为3．
20．如图，已知是等边三角形，点、分别在线段、上，，．
（1）求证：四边形是平行四边形．
（2）连结，若，，求的长度．
【答案】（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，如图所示：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；等边三角形的判定与性质；平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）根据等边三角形性质可得，再根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接，根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，，再根据等边三角形性质可得，，则，根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
（1）证明：是等边三角形，
，
，
，
，
，
四边形是平行四边形；
（2）解：连接，如图所示：
，，
是等边三角形，
，，
，
，
是等边三角形，
，，
，
在和中，
，
，
．
21．2024年第四届国际龙舟联合会世界杯在汨罗市汨罗江国际龙舟竞渡中心开赛，预计来自全国各地1000余名选手将参赛．汨罗江两岸高颜值的绿色生态景观绿化带“汨罗之窗”将迎接汨罗市民以及来自全国各地的朋友近距离的观看比赛．比赛设置男子组、女子组、本地组三个组别，其中男子组将进行：100米直道竞速赛，：200米直道竞速赛，：500米直道竞速赛，：3000米绕标赛．为了了解汨罗市民对于这四个比赛项目的关注程度，随机对部分市民进行了问卷调查（参与问卷调查的每位市民只能选择其中一个项目），将调查得到的数据绘制成数据统计表和扇形统计图（表、图都未完全制作完成）：
市民最关注的比赛项目人数统计表
比赛项目
关注人数 42 30
（1）直接写出、的值和所在扇形圆心角的度数；
（2）若当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有多少人？
（3）为了缓解比赛当天城市交通压力，维护交通秩序，汨罗交警支队派出4名交警（2男2女）对该路段进行值守，若在4名交警中任意抽取2名交警安排在同一路口执勤，请用列举法（画树状图或列表）求出恰好抽到的两名交警性别相同的概率．
【答案】（1）a=18，b=60，D所在扇形圆心角的度数为：144度
（2）解：依题意，（人）
答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
【知识点】统计表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）根据两图中A的数据可得总人数为：
（人），
∴（人），
∴（人），
∴D所在扇形圆心角的度数为：
，
答：a和b的值为18和60人；D所在扇形圆心角度数为144度。
【分析】（1）用比赛A项目的关注人数除以其占比28%，求出关注比赛的总人数；然后再用总人数乘以比赛C的占比，即可求出a值；然后再用总人数减去比赛A、比赛B、比赛C的关注人数，即可求出b的值；用比赛D的人数除以总人数，求出其占比，然后再乘以360度，即可求出D所在扇形的圆心角的度数。
（2）根据题意，可知，D选项代表的是3000米绕表赛，因此，用D比赛项目的关注人数除以总人数，然后再乘以当天观看比赛的市民总人数，即可求解。
（3）根据根据“2男2女对该路段进行值守”，画出树状图，然后根据题干中可能存在的12种情况，再根据“恰好抽到的两名交警性别相同”，从树状图中找到性别相同的情况即可，再利用概率的公式进行求解即可。
（1）解：根据两图中A的数据可得总人数为：（人），
∴（人），
∴（人），
∴D所在扇形圆心角的度数为：，
（2）解：依题意，（人）
答：当天观看比赛的市民有10000人，试估计当天观看3000米绕标赛的市民有人．
（3）解：根据题意，画出树状图如下图：
根据树状图可得，共有12种等可能的结果，其中恰好抽到的两名交警性别相同的结果有4种等可能的结果，
其中恰好抽到的两名交警性别相同的概率为：．
22．如图，在平面直角坐标系中，已知点，点．
（1）求直线的解析式；
（2）若点在直线上，且点到轴的距离为2，求点的坐标．
【答案】（1）解：设直线AB的解析式为y=kx+b，将点A，B的坐标代入，
得，解得，
∴直线AB的解析式为；

（2）∵点在直线上，且点到轴的距离为2，
∴点C的纵坐标为2或-2，
当y=2时，=2，解得x=2，∴C（2，2）；
当y=-2时，=-2，解得x=-6，∴C（-6，-2），
综上，点的坐标为（2，2）或（-6，-2）．
【知识点】点的坐标；待定系数法求一次函数解析式
【解析】【分析】（1）根据直线方程的定义y=kx+b。利用已知的两点A（-2，0）和B（0，1）求解斜率k和截距b即可求解；
（2）根据点到轴的距离为2，确定点C的纵坐标为2或-2，然后代入直线AB的解析式求解得到点C的坐标即可．
23．填空：如图，在中，平分，垂足分别为且，试说明．
证明：∵平分，
_____（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在与中，
∵，
（_____），
，
（_____）．
【答案】证明：∵平分，
（角平分线上的点到角两边的距离相等）．
在与中，
∵，
，
，
（等角对等边）．
故答案为：；；；；C；等角对等边．
【知识点】直角三角形全等的判定-HL；角平分线的性质；等腰三角形的判定
【解析】【分析】由平分，即可根据直角三角形全等的判定定理“”证明，得，即可证明.
24．如图，已知直线分别与x轴、y轴交于D、A两点；直线与y轴交于B点，与直线交于C点．
（1）求点B的坐标；
（2）求三角形的面积．
【答案】（1）解：在直线中，
当时，，则；
（2）解：在直线中，
当时，，则；
联立解方程组，
解得：，
则点坐标为；
则的面积．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）根据y轴上点的坐标特征令，代入解析式即可求出答案.
（2）根据y轴上点的坐标特征可得，联立两直线解析式，解方程组可得点坐标为，再根据三角形面积即可求出答案.
（1）解：在直线中，
当时，，则；
（2）解：在直线中，
当时，，则；
联立解方程组，
解得：，
则点坐标为；
则的面积．
25．我们知道在任意直角三角形中有一个重量级定理——勾股定理！即如图一，在直角三角形中，，，，则有：．为了论证这个定理，数学家脑洞大开，用四个这样全等的直角三角形拼成图二，请同学们完成下列提问．
（1）求证：四边形和四边形都是正方形；
（2）利用图二，求证：．
【答案】（1）证明：∵，
∴，，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，
∴，
∴.
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理的证明；正方形的判定；“赵爽弦图”模型；等积变换
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，根据角之间的关系可得，则四边形是正方形；根据全等三角形判定定理可得，，则，再根据菱形判定定理可得四边形是菱形，根据角之间的关系可得，则四边形是正方形.
（2）根据等面积法即可求出答案.
（1）证明：∵，
∴，，，
∴四边形是菱形，
∵，
∴，
∴四边形是正方形；
∵，
∴，，
∴，
∴四边形是菱形，
∵，
∴四边形是正方形；
（2）解：∵，
∴，
∴.
26．探索发现一：法国近代数学家笛卡尔是一位勇于探索的人，他石破天惊的创建了代数与几何结合，即数形结合！他的这一天才创举，为微积分的创立奠定了基础，从而推动数学往前进了一大步！在他创建的平面直角坐标系中，我们学到一次函数的图象是一条直线，书本上的描述是：数学上已经证明了正比例函数的图象是一条直线．勇于探索和挑战的小聪一心想证明出函数的图像是一条直线！于是他找了图像上的三个点，，，并且巧妙的论证出这三点在同一条直线上，聪明的你也来论证一下吧！
探索发现二：小慧碰到一道题：在平面直角坐标系中，线段的两个端点坐标分别为，，将线段绕点O逆时针旋转90°到位置，则点的坐标是什么？
（1）请写出点的坐标______．
（2）小慧通过计算发现所在直线的函数表达式为，所在直线的函数表达式为，而且有．于是她大胆猜想：两个一次函数图象如果互相垂直，则他们的k乘积为，请敢于探索发现的你来完成下面的论证：
如图，已知直线与直线互相垂直，求证：．
【答案】（1）
（2）解：在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上，
设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为，
∴，，
解得，，
∴．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；旋转的性质；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】（1）如图，过点P作轴于点A，过点作轴于点B，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，，
又∵点在第二象限，
∴点的坐标为；
【分析】（1）过点P作轴于点A，过点作轴于点B，根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，再根据第二象限点的坐标特征即可求出答案.
（2）在直线上取一点P，把绕点O逆时针旋转90°到位置，则点在直线上，设点P的坐标为，根据（1）可得点的坐标为，分别代入解析式可得，，结合分式乘法即可求出答案.
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