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湖南省株洲市渌口区龙凤中学多校期末联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项字母填到表格对应的题号中）
1．如果当时，分式的值为0，那么可以是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：A．当时，该分式的分母，分式无意义，因此本选项不符合要求；
B．当时，该分式的分母，分式无意义，因此本选项不符合要求；
C．当时，该分式的分子，分母，因此分式的值为0，本选项符合要求；
D．当时，该分式的分母，分式无意义，因此本选项不符合要求．
故选：C．
【分析】本题主要考查分式值为零的条件，熟练掌握分式的相关定义是解此题的关键。只需要结合“分式值为零时，分子为零，同时分母不能为零”这个结论，逐一判断每个选项即可.
2．解分式方程 ，去分母得（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边乘以（x-1）
去分母得： ．
故答案为：A．
【分析】分式方程两边乘以（x-1）去分母即可得到结果．
3．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（　　）
A． B． C．10 D．15
【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，分别连接，，交点为，
在图2中，由题意可知四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在图1中，∵，，
∴是等边三角形，
∴
∵菱形，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要考查菱形、正方形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键在于能够灵活运用相关性质进行推导计算，按照题意辅助作图如下：图1中，连接与，两条对角线的交点记为。可以先在图2中，借助勾股定理计算得到的长度，再回到图1中，只要证明是等边三角形，就可以顺利解决这道题目了.
4．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．75° B．60° C．55° D．45°
【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180° 150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°，
故选：B．
【分析】结合正方形和等边三角形的性质，先推出∠BAE＝150°，同时得到AB＝AE；接下来根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，就能算出∠ABE＝∠AEB＝15°，最后利用三角形的外角性质就可以得到最终需要的结果了.
5．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】已知题目给出反比例函数与一次函数，我们分情况讨论k的符号：当时，反比例函数的图象分布在第一、三象限；此时一次项系数，常数项为2>0，因此一次函数的图象经过第一、二、四象限，据此可以排除选项A、B，选项D符合该情况，是正确的；
当时，反比例函数的图象分布在第二、四象限；此时一次项系数，常数项依然为2>0，因此一次函数的图象经过第一、二、三象限，选项C不符合，是错误的.
故选：D.
【分析】本题给出了反比例函数和一次函数的解析式，通过分类讨论k的取值范围，逐一判断每个选项对应的函数图象是否正确，进而得到最终答案.
6．据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下：
鞋号 20 21 22 23 24
频数 1 8 6 14 1
则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（　　）
A．6，14 B．22.5，14 C．22.5，23 D．22，23
【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列后，处在最中间的两个数为22，23
∴中位数为
23码出现的次数最多，则众数为23
故答案为：C
【分析】根据中位数与众数的定义即可求出答案.
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴原式，
故选：．
【分析】由题意可得，则，化简代数值，再整体代入即可求出答案.
8．从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和.若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），并且它们出现的可能性相等，点A坐标在双曲线上有2种情况：（2，3），（3，2），所以， 点在双曲线上的概率为.
故答案为：A.
【分析】先列出A的坐标的所有可能情况是6种，再根据反比例函数的性质求出A坐标在双曲线上的情况有2种，从而得到点A在双曲线上的概率。
9．若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；有理数的乘法法则；一次函数图象、性质与系数的关系；数形结合
【解析】【解答】解：A、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者一致，但不满足，故此项错误，不符题意；
B、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者不一致，且不满足，故此项错误，不符题意；
C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者一致，且满足，则此项正确，符合题意；
D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者不一致，则此项错误，不符题意.
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；反比例函数中，当k＞0时，图象两支分布在第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，据此结合各个选项给出的大致图象分别判断出k、b的符号，k的符号一致且满足kb＜0的选项就是符合题意的选项.
10．如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（　　）（不包含直角三角形全等）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
，，，，，
结合对顶角相等可得：，，，
根据全等三角形的判定定理可得：，，，
因此不包含直角三角形时，图中共有4对全等三角形.
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质与全等三角形的判定，结合矩形的性质，根据全等三角形的判定定理逐一找出图中的全等三角形，即可得到答案.
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。请将答案填在答题卡的答案卡上）
11．声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为　 　．
【答案】1695
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：当时，
带入关系式
∴（米）．
答：此人与燃放烟花所在地距离是1695米．
故填：1695．
【分析】本题是对一次函数实际应用的考查。解题时先将温度 代入对应关系式，计算得到此时声音在空气中的传播速度，再结合路程、速度、时间之间的关系“路程=速度×时间”，即可计算求出最终结果.
12．将的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：按照平移规则，将的图像向下平移1个单位长度，只需在原解析式的常数项减去1，因此得到新的函数表达式为：
故填：．
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换相关知识，解答时只需依据一次函数图象平移的“上加下减”原则计算即可.
13．如果关于的方程无实数根，那么的值为　 　．
【答案】6或14
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
解方程得：，
由题意可知关于的方程无实数根，
或，
或，
解得：或，
的值为6或14．
故填：6或14．
【分析】这道题主要考查了分式方程无解的相关问题，要解决这类题目，熟练掌握分式方程的求解步骤是解题的核心。先给原方程去分母，把它转化为整式方程，解这个整式方程后可以得到，因为这个关于的方程没有实数根，说明得到的整式方程的解是让原分式方程分母为0的增根，也就是或者，把这两个增根分别代入就能得到关于的方程，解这些方程就可以得到最终结果.
14．若一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，则这组数据的众数是　 　．
【答案】2
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，
∴，
解得，
则这组数据的众数即出现最多的数为2．
故填：2．
【分析】本题考查了平均数和众数，熟知一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数是解题关键．
根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
15．在显微镜下测得一个病毒的直径为，该数据用科学记数法表示为　 　m．
【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示，结果为，
故填：．
【分析】本题主要考查科学记数法的表示规则，科学记数法的表示形式为，其中需要满足，是整数。要确定的值，只需要观察把原数改写为时，小数点移动了多少位，的绝对值就和小数点移动的位数相等。当原数的绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数.
16．如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为，
∵反比例函数图象上有点A，
∴
∵轴，平行四边形的面积为4，
∴
∴
∴
∵反比例函数图象在第二，四象限
∴
∴反比例函数表达式．
故答案为：．
【分析】设反比例函数表达式为，，根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于k可得xy=k，根据平行四边形的面积等于底乘以高得到，进而结合反比例函数图象经过二、四象限得k＜0，求解即可．
17．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为　 　．
【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意可知函数与的图象交于点，
∴关于的方程组的解为，
故填： ．
【分析】本题主要考查利用两条直线的交点坐标确定对应的二元一次方程组的解，解题的核心在于正确掌握两条直线交点和对应方程组解之间的关系，理解交点的含义是解决这道题的关键.
根据两条直线交点的信息，直接得到对应二元一次方程组的解.
18．如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】 解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，
∴，，
由题意可知四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，
在中，．
故填：．
【分析】本题主要考查正方形的性质、轴对称最短路径问题、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键在于正确作出辅助线。
作点关于直线的对称点，再连接和。先证明，可得，结合对称性质可知，因此。由此可得，当点、、三点共线时，取得最小值，对应也取得最小值，且最小值就是线段的长度，我们即可据此求出最终结果.
三、解答题（本大题有8个小题，第19~25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的度数．
【答案】（1）解：由题意可知在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又∵，
∴的周长；
（2）解：由题意可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质应用，核心性质为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
（1）根据线段垂直平分线的性质可以得到，由此可推导出的周长恰好等于，据此即可得到结论；
（2）已知，根据三角形内角和定理可得；再结合得到等角对应的关系，即可计算出的度数.
（1）解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．已知，求代数式的值．
【答案】解：
．
∵，
∴，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将分式化简，然后再根据变形得的值，代入求解即可．
21．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天.
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用万元，乙队工作一天的改造费用为万元，如需改造的道路全长为米，改造总费用不超过万元，至少安排甲队工作多少天？
【答案】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米.
根据题意得：
解得，
检验：当时，
原分式方程的解是，
.
答：乙工程队每天能改造道路的长度为米，甲工程队每天能改造道路的长度为米.
（2）设安排甲队工作天，则安排乙队工作天，
根据题意得：
解得
答：至少安排甲队工作天.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合题意，即可得出关于x的分式方程，解得，经检验分式方程必须检验分母不为 0 ，即可得出结论；（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作 天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间，结合题意，即可得出，解之得，“至少” 对应的最小值 ，取最小值即可得出结论．
22．如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点．
（1）求k，a，m，n的值；
（2）反比例函数图象上有两点，，试比较与的大小．
【答案】（1）解：把点代入解得：，
把代入解得：，
把代入得：
，
解得，
．
（2）解：根据题意可得，且该反比例函数在每个象限内，会随着的增大而减小，我们分情况讨论两个点的位置：
第一种情况，当时，点都位于第一象限的反比例函数图象上，由于该象限内y随x增大而减小，因此；
第二种情况，当，也就是时，点都位于第三象限的反比例函数图象上，同理可得；
第三种情况，当，同时，也就是时，点M在第三象限的反比例图象上，点N在第一象限的反比例图象上，第三象限的y值恒小于0，第一象限的y值恒大于0，因此．
整合所有情况的结论可得：当或时，；当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，求出对应函数的解析式是解题的关键.
（1）根据题目给出的已知点坐标，通过待定系数法即可求出对应函数的解析式；
（2）结合的取值范围，运用反比例函数的性质即可求解问题.
（1）解：把点代入得：，
把代入得：，
把代入得：
，
解得，
．
（2）由题意可知，，且反比例函数在每一象限上随增大而减小．
①当时，点在第一象限反比例函数图象上，故；
②当时，即，点在第三象限反比例函数图象上，故；
③当，且时，即，点分别在第三象限，第一象限反比例函数图象上，故．
综上所述，当或时，，当时，．
23．山西某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表所示：
（参考公式）
　 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均成绩 中位数 众数 方差
甲 83 85 90 80 85 87 85 a 85 b
乙 86 86 83 84 85 86 c 85.5 d
根据表中提供的数据，解答下列问题：
（1）a的值为______，d的值为______．
（2）求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定．
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
【答案】（1）85，86
（2）解：根据平均数的定义计算乙的平均成绩：
；
根据题中给出的方差公式，计算甲成绩的方差：
。
甲和乙的平均成绩相等，而甲成绩的方差大于乙成绩的方差，方差越小说明成绩波动越小，因此乙同学的成绩更稳定.
（3）解：选择乙同学参赛.
理由：甲和乙的平均成绩相同，同时乙的成绩中位数更大，方差更小，说明乙的成绩更稳定，因此选择乙同学.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）解：将甲同学的成绩按从小到大顺序排列为：80，83，85，85，87，90
因此中位数；观察乙同学的测试成绩可以发现，成绩86出现的次数最多，因此众数.
故填：85，86.
【分析】（1）先把甲的测试成绩从小到大重新排序，再根据中位数的计算方法求出a的值，接着根据众数的定义，找出乙成绩中出现次数最多的数得到d的值.
（2）根据平均数的计算公式求出乙成绩的平均数c，再利用题目给出的方差公式计算出甲成绩的方差b，最后结合两人成绩的平均数、中位数、众数和方差，判断谁的成绩更稳定.
（3）当两人平均成绩相同时，优先选择中位数更大、成绩更稳定的同学参赛.
24．在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE＝CF，
∴AB-AE＝CD-CF，即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，DE∥BF，
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF=5，
又∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，由等式性质推出DF=BE，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出四边形DEBF是平行四边形 ；
（2）由平行四边形对边平行且相等得DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，DE∥BF；根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，由等角对等边得AD＝DF=5，根据勾股定理的逆定理判断出△ADE是直角三角形，由二直线平行，同位角相等得∠ABF＝∠AED＝90°，最后由勾股定理算出AF即可.
25．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．
【答案】（1）证明：由折叠性质得∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠CEB，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，
∴∠BAF=∠FDE=90°，AD=BC=BF=10，
∴AF=8，
∴DF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
在Rt△DEF中，∵DF2+DE2=EF2，
∴22+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴CE=，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF=×2=．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由折叠性质得∠BEC=∠BEF，FE=CE，由二直线平行，内错角相等可推出∠FGE=∠CEB=∠FEG，由等角对等边得FG=FE=CE，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形CEFG是平行四边形，进而根据“有一组邻边相等得平行四边形是菱形”可得结论；
（2）由矩形性质及折叠性质得∠BAF=∠FDE=90°，AD=BC=BF=10，从而利用勾股定理算出AF，进而利用线段和差求出DF的值，在Rt△DEF中，利用勾股定理建立方程求出CE的长，最后根据菱形面积公式计算可得答案.
（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠CEB，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，
∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，
∴AF=8，
∴DF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
∵∠FDE=90°，
∴22+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴CE=，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF=×2=．
26．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，PA与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
【答案】（1）解：作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为（1，-4）；
（2）解：相等和垂直，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ，
∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，
∴∠OAB=∠CBH=∠QCB，
∴CQOH，
∵CH⊥OA，
∴PA⊥CQ；
（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）作CH⊥y轴于H，由同角的余角相等得∠ABO=∠BCH，从而用AAS证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形对应边相等得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C点坐标；
（2）由同角的余角相等得∠PBA=∠QBC，从而用SAS证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的对应边相等得到PA=CQ，由全等三角形的对应角相等得∠OAB=∠CBH=∠QCB，从而根据内错角相等，两直线平行得CQOH，即可证垂直；
（3）由等腰直角三角形性质得∠BQP=45°，由邻补角得∠BQC=135°，根据全等三角形的对应角相等得∠BPA=∠BQC=135°，再根据邻补角可得∠OPB=45°，从而根据等腰直角三角形的性质求出OP，得到P点坐标．
（1）解：作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为（1，-4）；
（2）解：相等和垂直，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ，
∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，
∴∠OAB=∠BCH=∠QCB，
∴CQOH，
∵CH⊥OA，
∴PA⊥CQ；
（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
1 / 1湖南省株洲市渌口区龙凤中学多校期末联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择题（本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请将你认为正确的选项字母填到表格对应的题号中）
1．如果当时，分式的值为0，那么可以是（　　）
A． B． C． D．
2．解分式方程 ，去分母得（　　）
A． B．
C． D．
3．小明用四根长度相等的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图（1）所示的菱形，并测得，接着活动学具成为图（2）所示的正方形，并测得对角线，则图（1）中菱形的对角线长为（　　）
A． B． C．10 D．15
4．如图，在正方形ABCD外侧，作等边三角形ADE，AC，BE相交于点F，则∠BFC为（　　）
A．75° B．60° C．55° D．45°
5．函数和在同一平面直角坐标系中的大致图象可能是（　　）
A． B．
C． D．
6．据调查，某班30名学生所穿鞋子鞋号统计如下：
鞋号 20 21 22 23 24
频数 1 8 6 14 1
则该班学生所穿鞋子鞋号的中位数和众数分别是（　　）
A．6，14 B．22.5，14 C．22.5，23 D．22，23
7．已知，则（　　）
A． B． C． D．
8．从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，分别记作和.若点的坐标记作，则点在双曲线上的概率是（　　）
A． B． C． D．
9．若，则一次函数与反比例函数在同一坐标系内的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
10．如图，在矩形中，点O为对角线、的交点，点E为上一点，连接，并延长交于点F，则图中全等三角形共有（　　）（不包含直角三角形全等）
A．3对 B．4对 C．5对 D．6对
二、填空题（本题共8小题，每题3分，共24分。请将答案填在答题卡的答案卡上）
11．声音在空气中传播的速度与气温（）之间的关系式为．当时，某人看到烟花燃放后才听到声音，则此人与燃放烟花所在地的距离为　 　．
12．将的图象向下平移1个单位长度，所得图象对应的函数表达式为　 　．
13．如果关于的方程无实数根，那么的值为　 　．
14．若一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，则这组数据的众数是　 　．
15．在显微镜下测得一个病毒的直径为，该数据用科学记数法表示为　 　m．
16．如图，反比例函数图象上有点A，轴交y轴于点B，点D，C在x轴上，平行四边形的面积为4，则反比例函数的表达式为　 　．
17．如图，在平面直角坐标系中，函数与的图象交于点，则关于的方程组的解为　 　．
18．如图，边长为4的正方形中，E，F分别为边，上的点，连接，．若，则的最小值是　 　．
三、解答题（本大题有8个小题，第19~25题每小题8分，第26题10分，共66分，解答应写出必要的文字说明，证明过程或演算步骤）
19．如图，在中，边的垂直平分线分别交于D、E．
（1）若，求的周长；
（2）若，求的度数．
20．已知，求代数式的值．
21．市政府计划对城区道路进行改造，现安排甲、乙两个工程队共同完成.已知甲队的工作效率是乙队工作效率的倍，甲队改造米的道路比乙队改造同样长的道路少用天.
（1）甲、乙两个工程队每天能改造道路的长度分别是多少米？
（2）若甲队工作一天的改造费用万元，乙队工作一天的改造费用为万元，如需改造的道路全长为米，改造总费用不超过万元，至少安排甲队工作多少天？
22．如图，一次函数的图象与x轴，y轴交于点A，B，与反比例函数的图象交于点．
（1）求k，a，m，n的值；
（2）反比例函数图象上有两点，，试比较与的大小．
23．山西某中学王老师为了选拔一名优秀的学生参加市内的数学比赛，对两名备赛选手进行了6次测验，两位同学的测验成绩如表所示：
（参考公式）
　 第1次 第2次 第3次 第4次 第5次 第6次 平均成绩 中位数 众数 方差
甲 83 85 90 80 85 87 85 a 85 b
乙 86 86 83 84 85 86 c 85.5 d
根据表中提供的数据，解答下列问题：
（1）a的值为______，d的值为______．
（2）求b和c的值，并直接指出哪位同学的成绩更稳定．
（3）根据以上信息，你认为王老师应该选哪位同学参加比赛，请说明理由．
24．在平行四边形ABCD中，E，F分别是AB，DC上的点，且AE＝CF，连接DE，BF，AF．
（1）求证：四边形DEBF是平行四边形；
（2）若AF平分∠DAB，AE＝3，DE＝4，BE＝5，求AF的长．
25．如图，矩形ABCD中，点E在边CD上，将△BCE沿BE折叠，点C落在AD边上的点F处，过点F作FG∥CD交BE于点G，连接CG．
（1）求证：四边形CEFG是菱形；
（2）若AB=6，AD=10，求四边形CEFG的面积．
26．如图，已知A（3，0），B（0，﹣1），连接AB，过B点作AB的垂线段BC，使BA＝BC，连接AC．
（1）如图1，求C点坐标；
（2）如图2，若P点从A点出发沿x轴向左平移，连接BP，作等腰直角△BPQ，连接CQ，当点P在线段OA上，PA与CQ有何位置和数量关系，猜想并证明；
（3）在（2）的条件下若C、P，Q三点共线，求此时∠APB的度数及P点坐标．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：A．当时，该分式的分母，分式无意义，因此本选项不符合要求；
B．当时，该分式的分母，分式无意义，因此本选项不符合要求；
C．当时，该分式的分子，分母，因此分式的值为0，本选项符合要求；
D．当时，该分式的分母，分式无意义，因此本选项不符合要求．
故选：C．
【分析】本题主要考查分式值为零的条件，熟练掌握分式的相关定义是解此题的关键。只需要结合“分式值为零时，分子为零，同时分母不能为零”这个结论，逐一判断每个选项即可.
2．【答案】A
【知识点】解分式方程
【解析】【解答】解：方程两边乘以（x-1）
去分母得： ．
故答案为：A．
【分析】分式方程两边乘以（x-1）去分母即可得到结果．
3．【答案】A
【知识点】勾股定理；菱形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：如图1中，分别连接，，交点为，
在图2中，由题意可知四边形是正方形，
∴，，
∵，，
∴，
在图1中，∵，，
∴是等边三角形，
∴
∵菱形，
∴，，，
∴，
∴，
故选：A．
【分析】本题主要考查菱形、正方形的性质以及勾股定理的应用，解题的关键在于能够灵活运用相关性质进行推导计算，按照题意辅助作图如下：图1中，连接与，两条对角线的交点记为。可以先在图2中，借助勾股定理计算得到的长度，再回到图1中，只要证明是等边三角形，就可以顺利解决这道题目了.
4．【答案】B
【知识点】三角形外角的概念及性质；等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知四边形ABCD是正方形，
∴∠BAD＝90°，AB＝AD，∠BAF＝45°，
∵△ADE是等边三角形，
∴∠DAE＝60°，AD＝AE，
∴∠BAE＝90°＋60°＝150°，AB＝AE，
∴∠ABE＝∠AEB＝（180° 150°）＝15°，
∴∠BFC＝∠BAF＋∠ABE＝45°＋15°＝60°，
故选：B．
【分析】结合正方形和等边三角形的性质，先推出∠BAE＝150°，同时得到AB＝AE；接下来根据等腰三角形的性质以及三角形内角和定理，就能算出∠ABE＝∠AEB＝15°，最后利用三角形的外角性质就可以得到最终需要的结果了.
5．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】已知题目给出反比例函数与一次函数，我们分情况讨论k的符号：当时，反比例函数的图象分布在第一、三象限；此时一次项系数，常数项为2>0，因此一次函数的图象经过第一、二、四象限，据此可以排除选项A、B，选项D符合该情况，是正确的；
当时，反比例函数的图象分布在第二、四象限；此时一次项系数，常数项依然为2>0，因此一次函数的图象经过第一、二、三象限，选项C不符合，是错误的.
故选：D.
【分析】本题给出了反比例函数和一次函数的解析式，通过分类讨论k的取值范围，逐一判断每个选项对应的函数图象是否正确，进而得到最终答案.
6．【答案】C
【知识点】中位数；众数
【解析】【解答】解：将数据从小到大排列后，处在最中间的两个数为22，23
∴中位数为
23码出现的次数最多，则众数为23
故答案为：C
【分析】根据中位数与众数的定义即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】分式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
即，
∴原式，
故选：．
【分析】由题意可得，则，化简代数值，再整体代入即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】反比例函数的性质；概率公式
【解析】【解答】解：从1，2，3这三个数中随机抽取两个不同的数，点A的坐标共有6种情况：（1，2），（2，1），（1，3），（3，1），（2，3），（3，2），并且它们出现的可能性相等，点A坐标在双曲线上有2种情况：（2，3），（3，2），所以， 点在双曲线上的概率为.
故答案为：A.
【分析】先列出A的坐标的所有可能情况是6种，再根据反比例函数的性质求出A坐标在双曲线上的情况有2种，从而得到点A在双曲线上的概率。
9．【答案】C
【知识点】反比例函数的图象；有理数的乘法法则；一次函数图象、性质与系数的关系；数形结合
【解析】【解答】解：A、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者一致，但不满足，故此项错误，不符题意；
B、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者不一致，且不满足，故此项错误，不符题意；
C、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者一致，且满足，则此项正确，符合题意；
D、由一次函数的图象可知，由反比例函数的图象可知，两者不一致，则此项错误，不符题意.
故答案为：C．
【分析】一次函数y=ax+b（a≠0），当a>0，b>0时，图象过一、二、三象限；当a>0，b<0时，图象过一、三、四象限；当a>0，b=0时，图象过一、三象限；当a<0，b>0时，图象过一、二、四象限；当a<0，b<0时，图象过二、三、四象限，当a＜0，b=0时，图象过二、四象限；反比例函数中，当k＞0时，图象两支分布在第一、三象限，当k＜0时，图象的两支分布在第二、四象限，据此结合各个选项给出的大致图象分别判断出k、b的符号，k的符号一致且满足kb＜0的选项就是符合题意的选项.
10．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定；矩形的性质
【解析】【解答】解：四边形是矩形，矩形的对角线相等且互相平分，
，，，，，
结合对顶角相等可得：，，，
根据全等三角形的判定定理可得：，，，
因此不包含直角三角形时，图中共有4对全等三角形.
故选：B．
【分析】本题考查矩形的性质与全等三角形的判定，结合矩形的性质，根据全等三角形的判定定理逐一找出图中的全等三角形，即可得到答案.
11．【答案】1695
【知识点】一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：当时，
带入关系式
∴（米）．
答：此人与燃放烟花所在地距离是1695米．
故填：1695．
【分析】本题是对一次函数实际应用的考查。解题时先将温度 代入对应关系式，计算得到此时声音在空气中的传播速度，再结合路程、速度、时间之间的关系“路程=速度×时间”，即可计算求出最终结果.
12．【答案】
【知识点】一次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：按照平移规则，将的图像向下平移1个单位长度，只需在原解析式的常数项减去1，因此得到新的函数表达式为：
故填：．
【分析】本题考查一次函数图象与几何变换相关知识，解答时只需依据一次函数图象平移的“上加下减”原则计算即可.
13．【答案】6或14
【知识点】分式方程的增根；分式方程的无解问题
【解析】【解答】解：，
去分母得：，
解方程得：，
由题意可知关于的方程无实数根，
或，
或，
解得：或，
的值为6或14．
故填：6或14．
【分析】这道题主要考查了分式方程无解的相关问题，要解决这类题目，熟练掌握分式方程的求解步骤是解题的核心。先给原方程去分母，把它转化为整式方程，解这个整式方程后可以得到，因为这个关于的方程没有实数根，说明得到的整式方程的解是让原分式方程分母为0的增根，也就是或者，把这两个增根分别代入就能得到关于的方程，解这些方程就可以得到最终结果.
14．【答案】2
【知识点】平均数及其计算；众数
【解析】【解答】解：∵一组数据1，2，3，7，x的平均数是3，
∴，
解得，
则这组数据的众数即出现最多的数为2．
故填：2．
【分析】本题考查了平均数和众数，熟知一组数据中出现次数最多的数叫做这组数据的众数是解题关键．
根据平均数的定义可以先求出x的值，再根据众数的定义求出这组数的众数即可．
15．【答案】
【知识点】科学记数法表示大于0且小于1的数
【解析】【解答】解：将用科学记数法表示，结果为，
故填：．
【分析】本题主要考查科学记数法的表示规则，科学记数法的表示形式为，其中需要满足，是整数。要确定的值，只需要观察把原数改写为时，小数点移动了多少位，的绝对值就和小数点移动的位数相等。当原数的绝对值大于等于10时，是正整数；当原数的绝对值小于1时，是负整数.
16．【答案】
【知识点】反比例函数的图象；平行四边形的性质；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设反比例函数表达式为，
∵反比例函数图象上有点A，
∴
∵轴，平行四边形的面积为4，
∴
∴
∴
∵反比例函数图象在第二，四象限
∴
∴反比例函数表达式．
故答案为：．
【分析】设反比例函数表达式为，，根据反比例函数图象上任意一点横纵坐标的乘积都等于k可得xy=k，根据平行四边形的面积等于底乘以高得到，进而结合反比例函数图象经过二、四象限得k＜0，求解即可．
17．【答案】
【知识点】一次函数的图象；一次函数与二元一次方程（组）的关系
【解析】【解答】解：由题意可知函数与的图象交于点，
∴关于的方程组的解为，
故填： ．
【分析】本题主要考查利用两条直线的交点坐标确定对应的二元一次方程组的解，解题的核心在于正确掌握两条直线交点和对应方程组解之间的关系，理解交点的含义是解决这道题的关键.
根据两条直线交点的信息，直接得到对应二元一次方程组的解.
18．【答案】
【知识点】两点之间线段最短；勾股定理；正方形的性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【解答】 解：如图所示，作D关于直线的对称点，连接，，
∴，，
由题意可知四边形是正方形，
∴，，
又∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当C、F、三点共线时，有最小值，即有最小值，最小值为，
在中，．
故填：．
【分析】本题主要考查正方形的性质、轴对称最短路径问题、勾股定理以及全等三角形的判定与性质，解题的关键在于正确作出辅助线。
作点关于直线的对称点，再连接和。先证明，可得，结合对称性质可知，因此。由此可得，当点、、三点共线时，取得最小值，对应也取得最小值，且最小值就是线段的长度，我们即可据此求出最终结果.
19．【答案】（1）解：由题意可知在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又∵，
∴的周长；
（2）解：由题意可知，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】三角形内角和定理；线段垂直平分线的性质；等腰三角形的判定与性质
【解析】【分析】本题考查线段垂直平分线的性质应用，核心性质为：线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等.
（1）根据线段垂直平分线的性质可以得到，由此可推导出的周长恰好等于，据此即可得到结论；
（2）已知，根据三角形内角和定理可得；再结合得到等角对应的关系，即可计算出的度数.
（1）解：在中，边的垂直平分线分别交于D、E，
∴，
又，
∴的周长；
（2）解：∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
20．【答案】解：
．
∵，
∴，
∴原式.
【知识点】分式的化简求值-整体代入
【解析】【分析】先将分式化简，然后再根据变形得的值，代入求解即可．
21．【答案】解：（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为米，则甲工程队每天能改造道路的长度为米.
根据题意得：
解得，
检验：当时，
原分式方程的解是，
.
答：乙工程队每天能改造道路的长度为米，甲工程队每天能改造道路的长度为米.
（2）设安排甲队工作天，则安排乙队工作天，
根据题意得：
解得
答：至少安排甲队工作天.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】（1）设乙工程队每天能改造道路的长度为x米，则甲工程队每天能改造道路的长度为1.5x米，根据工作时间=工作总量÷工作效率结合题意，即可得出关于x的分式方程，解得，经检验分式方程必须检验分母不为 0 ，即可得出结论；（2）设安排甲队工作m天，则安排乙队工作 天，根据总费用=甲队每天所需费用×甲队工作时间+乙队每天所需费用×乙队工作时间，结合题意，即可得出，解之得，“至少” 对应的最小值 ，取最小值即可得出结论．
22．【答案】（1）解：把点代入解得：，
把代入解得：，
把代入得：
，
解得，
．
（2）解：根据题意可得，且该反比例函数在每个象限内，会随着的增大而减小，我们分情况讨论两个点的位置：
第一种情况，当时，点都位于第一象限的反比例函数图象上，由于该象限内y随x增大而减小，因此；
第二种情况，当，也就是时，点都位于第三象限的反比例函数图象上，同理可得；
第三种情况，当，同时，也就是时，点M在第三象限的反比例图象上，点N在第一象限的反比例图象上，第三象限的y值恒小于0，第一象限的y值恒大于0，因此．
整合所有情况的结论可得：当或时，；当时，．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数与一次函数的交点问题
【解析】【分析】本题考查一次函数与反比例函数的交点问题，以及反比例函数的图象与性质，求出对应函数的解析式是解题的关键.
（1）根据题目给出的已知点坐标，通过待定系数法即可求出对应函数的解析式；
（2）结合的取值范围，运用反比例函数的性质即可求解问题.
（1）解：把点代入得：，
把代入得：，
把代入得：
，
解得，
．
（2）由题意可知，，且反比例函数在每一象限上随增大而减小．
①当时，点在第一象限反比例函数图象上，故；
②当时，即，点在第三象限反比例函数图象上，故；
③当，且时，即，点分别在第三象限，第一象限反比例函数图象上，故．
综上所述，当或时，，当时，．
23．【答案】（1）85，86
（2）解：根据平均数的定义计算乙的平均成绩：
；
根据题中给出的方差公式，计算甲成绩的方差：
。
甲和乙的平均成绩相等，而甲成绩的方差大于乙成绩的方差，方差越小说明成绩波动越小，因此乙同学的成绩更稳定.
（3）解：选择乙同学参赛.
理由：甲和乙的平均成绩相同，同时乙的成绩中位数更大，方差更小，说明乙的成绩更稳定，因此选择乙同学.
【知识点】平均数及其计算；中位数；方差；分析数据的波动程度；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】解：（1）解：将甲同学的成绩按从小到大顺序排列为：80，83，85，85，87，90
因此中位数；观察乙同学的测试成绩可以发现，成绩86出现的次数最多，因此众数.
故填：85，86.
【分析】（1）先把甲的测试成绩从小到大重新排序，再根据中位数的计算方法求出a的值，接着根据众数的定义，找出乙成绩中出现次数最多的数得到d的值.
（2）根据平均数的计算公式求出乙成绩的平均数c，再利用题目给出的方差公式计算出甲成绩的方差b，最后结合两人成绩的平均数、中位数、众数和方差，判断谁的成绩更稳定.
（3）当两人平均成绩相同时，优先选择中位数更大、成绩更稳定的同学参赛.
24．【答案】（1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AB=CD，
∵AE＝CF，
∴AB-AE＝CD-CF，即DF＝BE，
∴四边形DEBF是平行四边形；
（2）解：∵四边形DEBF是平行四边形，
∴DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，DE∥BF，
∵AB∥CD，
∴∠DFA＝∠BAF，
∵AF平分∠DAB，
∴∠DAF＝∠BAF，
∴∠DAF＝∠AFD，
∴AD＝DF=5，
又∵AE＝3，DE＝4，
∴AE2+DE2＝AD2，
∴∠AED＝90°，
∵DE∥BF，
∴∠ABF＝∠AED＝90°，
∴AF＝
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行且相等得AB∥CD，AB=CD，由等式性质推出DF=BE，由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”即可得出四边形DEBF是平行四边形 ；
（2）由平行四边形对边平行且相等得DF＝BE＝5，BF＝DE＝4，DE∥BF；根据平行线的性质和角平分线的定义得到∠DAF＝∠AFD，由等角对等边得AD＝DF=5，根据勾股定理的逆定理判断出△ADE是直角三角形，由二直线平行，同位角相等得∠ABF＝∠AED＝90°，最后由勾股定理算出AF即可.
25．【答案】（1）证明：由折叠性质得∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠CEB，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，
∴∠BAF=∠FDE=90°，AD=BC=BF=10，
∴AF=8，
∴DF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
在Rt△DEF中，∵DF2+DE2=EF2，
∴22+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴CE=，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF=×2=．
【知识点】勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）；平行四边形的面积
【解析】【分析】（1）由折叠性质得∠BEC=∠BEF，FE=CE，由二直线平行，内错角相等可推出∠FGE=∠CEB=∠FEG，由等角对等边得FG=FE=CE，从而由“一组对边平行且相等的四边形是平行四边形”得出四边形CEFG是平行四边形，进而根据“有一组邻边相等得平行四边形是菱形”可得结论；
（2）由矩形性质及折叠性质得∠BAF=∠FDE=90°，AD=BC=BF=10，从而利用勾股定理算出AF，进而利用线段和差求出DF的值，在Rt△DEF中，利用勾股定理建立方程求出CE的长，最后根据菱形面积公式计算可得答案.
（1）证明：由题意可得，
△BCE≌△BFE，
∴∠BEC=∠BEF，FE=CE，
∵FG∥CE，
∴∠FGE=∠CEB，
∴∠FGE=∠FEG，
∴FG=FE，
∴FG=EC，
∴四边形CEFG是平行四边形，
又∵CE=FE，
∴四边形CEFG是菱形；
（2）解：∵矩形ABCD中，AB=6，AD=10，BC=BF，
∴∠BAF=90°，AD=BC=BF=10，
∴AF=8，
∴DF=2，
设EF=x，则CE=x，DE=6-x，
∵∠FDE=90°，
∴22+（6-x）2=x2，
解得，x=，
∴CE=，
∴四边形CEFG的面积是：CE DF=×2=．
26．【答案】（1）解：作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为（1，-4）；
（2）解：相等和垂直，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ，
∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，
∴∠OAB=∠CBH=∠QCB，
∴CQOH，
∵CH⊥OA，
∴PA⊥CQ；
（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
【知识点】坐标与图形性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；同侧一线三垂直全等模型
【解析】【分析】（1）作CH⊥y轴于H，由同角的余角相等得∠ABO=∠BCH，从而用AAS证明△ABO≌△BCH，根据全等三角形对应边相等得到BH=OA=3，CH=OB=1，求出OH，得到C点坐标；
（2）由同角的余角相等得∠PBA=∠QBC，从而用SAS证明△PBA≌△QBC，根据全等三角形的对应边相等得到PA=CQ，由全等三角形的对应角相等得∠OAB=∠CBH=∠QCB，从而根据内错角相等，两直线平行得CQOH，即可证垂直；
（3）由等腰直角三角形性质得∠BQP=45°，由邻补角得∠BQC=135°，根据全等三角形的对应角相等得∠BPA=∠BQC=135°，再根据邻补角可得∠OPB=45°，从而根据等腰直角三角形的性质求出OP，得到P点坐标．
（1）解：作CH⊥y轴于H，
则∠BCH+∠CBH=90°，
∵AB⊥BC，
∴∠ABO+∠CBH=90°，
∴∠ABO=∠BCH，
在△ABO和△BCH中，，
∴△ABO≌△BCH，
∴BH=OA=3，CH=OB=1，
∴OH=OB+BH=4，
∴C点坐标为（1，-4）；
（2）解：相等和垂直，
∵∠PBQ=∠ABC=90°，
∴∠PBQ-∠ABQ=∠ABC-∠ABQ，即∠PBA=∠QBC，
在△PBA和△QBC中，，
∴△PBA≌△QBC，
∴PA=CQ，
∵△ABO≌△BCH，△PBA≌△QBC，
∴∠OAB=∠BCH=∠QCB，
∴CQOH，
∵CH⊥OA，
∴PA⊥CQ；
（3）解：∵△BPQ是等腰直角三角形，
∴∠BQP=45°，
当C、P，Q三点共线时，∠BQC=135°，
由（2）可知，△PBA≌△QBC，
∴∠BPA=∠BQC=135°，
∴∠OPB=45°，
∴OP=OB=1，
∴P点坐标为（1，0）．
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