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湖南省邵阳市新宁县乡镇联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择題（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的．）
1．六边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形的内角和为：，
故选：C．
【分析】多边形内角和公式：n边形内角和=（n 为边数， 且为整数），代入求解.
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一个锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是(　　)
A．5cm B．2.5cm C．10cm D．15cm
【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意画图，∠B=30°，AC=5cm，CD为中线，如图所示：
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=5cm
∴AB=2AC=10cm
∵直角三角形中斜边中线等于斜边的一半
∴CD= AB=5cm.
故答案为：A.
【分析】利用条件找到最短边即为30°角的对边，最长边为斜边，由此作得图形，利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，得到斜边AB的长度，再利用斜边中线等于斜边一半求得中线长度.
3．为热烈庆祝中国共青团成立100周年，某校开展了以“青春心向党，建功新时代”为主题的系列活动，举办了舞蹈、合唱、书法、演讲四个项目的比赛，随机调查了部分参赛学生的参赛项目（每位参赛学生必选且仅选一项），将结果绘制成了如下尚不完整的统计表，则参加合唱比赛的频率是（　　）
类别 舞蹈 合唱 书法 演讲
频数 8 16 10 6
频率 　 　
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表
【解析】【解答】解：由表可知，调查总人数为（人），
∴参加合唱比赛的频率为，
故选：C．
【分析】先根据表中数据求和，得调查总人数40人，进而根据，求参加合唱频率即可．
4．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
5．函数y＝ 的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x>2
【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由被开方数大于等于0，分母不等于0可得x≥0且x 2≠0，即x≥0且x≠2.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于或等于0，分母不为0，即可求出x的范围.
6．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若，，则MN的长为（　　）
A． B．5 C． D．4
【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可知四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝30°+30°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝AB＝10，
∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△BOC的中位线，
∴MN＝OB＝5，
即MN的长为5，
故选：B．
【分析】先结合矩形的性质，推出△ABO是等边三角形，由此得到OB的长度等于AB的长度，即OB＝10，最后借助三角形中位线定理即可得到对应结果.
7．对于函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．值随值的增大而增大
D．当时，
【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A选项：当时，，
图象不经过点，故A选项错误；
B选项：函数的比例系数，，
图象经过第一、二、四象限，而非第一、二、三象限，B选项错误；
C选项：，
随的增大而减小，故C选项错误；
D选项：当时，可得：，
解得：，
的比例系数，
随着的增大而减小，
当时，，故D选项正确．
故选：D．
【分析】对于一次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，判断C选项错误；当，时，图象经过第一、二、四象限，B选项错误；当时，，图象不经过点，故A选项错误；当时，解得：，随着的增大而减小，D选项正确．
8．如图，是的角平分线，且=，则与的面积之比为(　　)
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，作DF⊥AC，
∵是的角平分线，
∴DE=DF，
∵．
故选：C.
【分析】过点D作DE⊥AB，作DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边距离相等，得DE=DF，根据高相等，三角形的面积之比等于底边之比，即可得到，代入求解．
9．若点是第三象限内的一点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点是第三象限内的一点，
∴，
解不等式组得：，
故选：C．
【分析】第三象限点的坐标特征（x，y）（），建立不等式组，解一元一次不等式组求解.
10．如图，在矩形ABCD中，点P从点B出发，沿B→C→D运动，设P点运动的路程为x，则△APB的面积S与x之间的函数关系大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可得，
当点P从点B到点C的过程中，S与x之间的函数关系式为，S与x是正比例关系；
当P从点C到点D的过程中，S与x之间的函数关系式为，这个过程中，S的值保持不变，
故选：A．
【分析】根据题意，可以分别写出点P从B到C和从C到D的过程中S与x的函数关系，当点P从点B到点C的过程中，S与x满足；当P从点C到点D的过程中，S与x满足，S的值保持不变，从而选择A．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 　 　.
【答案】BD＝BC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB，
∴添加BD＝BC或AD＝AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD
故答案为：BD＝BC（或AD＝AC）．
【分析】要利用HL，即“ 斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等 ”判定△ABC≌△ABD，已知∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，需要添加另外一组对边相等，故添加BD＝BC或AD＝AC后可判定三角形全等．
12．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：为中点，
，
由折叠的性质可知：，
设，则，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】由折叠前后两个图形对应边相等可知，设，则，利用勾股定理在中，可以求出的长 ．
13．某校为了了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了频数分布直方图，已知图中第一组至第四组小长方形的高之比为2：3：4：1，那么第三组的频数是　 　．
【答案】16
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意，第三组的频数计算如下：
故填：16．
【分析】本题主要考查频数（频率）分布直方图，解题关键是掌握分布直方图中，矩形的高度对应本组的频数，且所有组的频数之和等于总样本数、频率等于频数除以总样本数，再结合题目给出的比例关系计算即可.
14．如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是　 　．
【答案】x=2
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点坐标为 （2，0） ，
∴当y=0时，对应的自变量x的值为2，也就是方程ax+b=0的解为x=2，
故填：x=2．
【分析】方程ax+b=0的解，就是一次函数y=ax+b的图象和x轴交点的横坐标，据此即可求解.
15．已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为　 　．
【答案】16
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别为和，∴这个菱形的面积．
故答案为：16．
【分析】根据菱形的面积= 两条对角线乘积的一半 ，将对角线长分别为和，代入求解即可．
16．一次函数的图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，根据一次函数图象的性质可得不等式组：
解这个不等式组，可得，
故填：．
【分析】
一次函数中，斜率k决定直线的倾斜方向，截距b决定直线与y轴的交点位置：图象经过第一、三象限说明斜率大于0，经过第四象限说明与y轴的交点在y轴负半轴，即截距小于0，因此可列出不等式组，解该不等式组即可得到k的取值范围.
17．已知点，关于y轴对称，则　 　．
【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点，关于y轴对称，
，，
，
故答案为：．
【分析】关于y轴对称的点的坐标满足“纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得，，即可求解．
18．如图，在中，，，，P为边上一点；且于D，于E，则的最小值为　 　．
【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的高
【解析】【解答】解：如图所示，连接：
由题意可知，
∴，
∵在中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵当时，最短，即最小，
∴．
故填：．
【分析】已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点P在斜边AB上，PD垂直AC于点D，PE垂直BC于点E，根据矩形的判定，四个角都是直角的四边形是矩形，不难推出四边形CDPE是矩形。连接PC之后，根据矩形的对角线相等，即可得到DE=PC.因此要求DE长度的最小值，只需求出PC长度的最小值即可.根据“垂线段最短”的性质，当PC垂直AB时，PC的长度取得最小值，由此再进一步计算即可得出最终结果.
三、解答题（本大题共8小题、共66分．其中19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分，解签时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．如图，在平面直角坐标系内，以，，三点为顶点画平行四边形．
（1）分别画出这些平行四边形？
（2）写出每个平行四边形第四个顶点D的坐标．
【答案】（1）解.：如图所示：
（2）解：由，得，①如上图，四边形是平行四边形，
∴，
则点可由点A向左平移3个单位得到，
∴，即
②如上图，四边形是平行四边形，
∴，
则点可由点A向右平移3个单位得到，
∴，即
③如上图，四边形是平行四边形，
∴，
∴点平移至点的方式与点A平移至点的方式相同，
∵，
∴将点A先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
∴将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
∵，
∴，即
综上所述：
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质分两种情况画出图形：为平行四边形的对角线的ABCD，；为平行四边形的边的两种情况，；
（2）根据点的坐标平移规律、平行四边形的性质得三种情况：1、点可由点A向左平移3个单位得到：；2、可由点A向右平移3个单位得到：；3、将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点：.
（1）解.：如图所示：
（2）由，得，
①如上图，四边形是平行四边形，
∴，
则点可由点A向左平移3个单位得到，
∴，即
②如上图，四边形是平行四边形，
∴，
则点可由点A向右平移3个单位得到，
∴，即
③如上图，四边形是平行四边形，
∴，
∴点平移至点的方式与点A平移至点的方式相同，
∵，
∴将点A先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
∴将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
∵，
∴，即
综上所述：
20．已知与成正比例，且时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当时，求的值．
【答案】解：（1）设（是常数且），
把x＝2，y＝1代入得2k＝1+3，
解得k＝2，
所以y+3＝2x，
所以y与x的函数表达式为y＝2x﹣3；
（2）当x＝﹣时，y＝2×（﹣）﹣3＝﹣4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据正比例的意义，设y+3＝kx（是常数且），然后把时， 代入求出k＝2，即可得到y与x的函数表达式y+3＝2x；
（2）把x＝﹣代入y+3＝2x计算对应的函数值即可.
21．在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
（1）求证：；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形．
【答案】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴.
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段中点的性质可得BF=AF，再利用“SAS”证出即可；
（2）先利用线段中点的性质可得AD=DC，再利用全等三角形的性质可得，，利用等量代换可得，，从而可证出四边形BCDE是平行四边形．
22．如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
【答案】解：由题意可知C，D两村到E站的距离相等，
∴．
∵于A，于B，
∴，
∴，
∴，
设，则．
∵，，
∴，
解方程得：，
∴．
即E站应建在离A站处．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】这道题的核心是勾股定理的实际应用，根据勾股定理得到 这个关系式，是解出本题的关键。解题时可以先设 ，再通过这个设定分别把和的长度用含x的式子表示出来，最后建立方程就能完成求解.
23．【问题背景】
书法展现人文修养、道德追求和精神气度．书法特别强调书品与人品的统一，“苟非其人，虽工不贵”（苏轼）；“高韵深情，坚质浩气，缺一不可为书”（刘熙载）．某校重视中学生的书法养成教育，为了检测效果，从全校学生中随机抽取20%的学生进行测评．
【评分标准】评委会依据书写、结构、字形、效果等方面制定了标准：90分及以上为优秀；80﹣89分为良好；60﹣79分为及格：60分以下为不及格，并将测评成绩制成图表．
【图表信息】
成绩 频数 频率
优秀 16 m
良好 n 0.24
及格 18 0.36
不及格 4 0.08
【数据分析】
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）参加本次测试学生的平均成绩为 　 　；
（3）已知“80﹣89”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，82，85，则所抽取的这些学生测试成绩的中位数是 　 　．
（4）请估计该校书法测评成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数．
【答案】（1）0.32，12
（2）78.4分
（3）81.5
（4）解：（人）．答：估计该校书法测试成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数大约是140人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
被调查总人数为：（人），
∴；
（2）解：参加本次测试学生的平均成绩（分）；
（3）解：将80﹣89这组的学生测试成绩重新排列为80，81，81，82，83，84，85，85，85，86，87，88，
∴所抽取的50名学生测试成绩从高到低位于第25、26位的是82、81，
∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是．
【分析】（1）根据频率之和等于1.列式求解得m=0.32，先根据样本总数=频数频率求出被调查总人数，根据频数=样本总数×频率，即可求出n；
（2）根据平均数的公式：加权平均数=（相加每个数×对应权重）所有权重相加求解即可；
（3）将数据按照从小到大的顺序排列 0，81，81，82，83，84，85，85，85，86，87，88， ，将第25、26位的数相加÷2即可；
（4）根据样本总数=频数频率，求解即可.
（1）解：由题意得：，
被调查总人数为：（人），
∴；
（2）解：参加本次测试学生的平均成绩（分）；
（3）解：将80﹣89这组的学生测试成绩重新排列为80，81，81，82，83，84，85，85，85，86，87，88，
∴所抽取的50名学生测试成绩从高到低位于第25、26位的是82、81，
∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是．
（4）解：（人）．
答：估计该校书法测试成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数大约是140人．
24．亿联华超市在端午节来临之际，以10元/千克的价格调进一批水果，根据前期销售情况，每天销售量y（千克）与该水果定价x（元/千克）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该水果的销售价定为13元/千克，不考虑其它因素，求超市每天销售这种水果所获得的利润．
【答案】（1）解：设销售量y和定价x之间的函数关系式为： y＝kx+b ，
从图象中可以得到方程组：，
解方程组得：，
因此销售量y与定价x之间的函数关系式为；
（2）解：当定价x=13元时，代入函数关系式得y＝﹣20×13+320＝60，也就是每日的销售量为60千克，
每千克水果的进价为10元，因此每千克的利润为13-10=3元，总利润为60×(13﹣10)＝180（元），
答：超市每天销售这种水果获得的利润为180元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可以判断y和x满足一次函数关系，结合函数图象经过(11，100)和(15，20)这两个点，通过待定系数法就可以求出y和x的函数解析式；
（2）先根据第一问得到的函数关系式，计算定价为13元/千克时对应的每日销售量，再算出每千克水果的销售利润，总利润等于每千克利润乘销售量，即可得到最终结果．
25．如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明．
（3）在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．
【答案】（1）证明：由题意可知，，
∴，，
又∵是外角的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形
（2）当满足时，四边形是一个正方形；
证明：由（1）可知四边形为矩形，
又∵，，
∴点D是的中点，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：，
∴，
设点P到的距离为h，则，
解得，
∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点C关于点P所在平行于的直线的对称点F，连接，此时的值最小为的长，
∴，
∴，
即的最小值为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；正方形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）结合等腰三角形三线合一的性质与角平分线的定义，可以推算出，再结合已有直角，依据矩形的判定定理即可证明四边形ADCE是矩形；
（2）若矩形成为正方形，需要满足邻边相等，即，变形可得，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可添加满足要求的条件；
（3）先根据题目给出的条件计算出的面积，再推导出边上高的长度，由此确定点P的位置，最后借助轴对称求最短路径的方法，即可得到PF+PD的最小值.
（1）证明：∵，，
∴，，
∵是外角的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）当满足时，四边形是一个正方形；
证明：由（1）知四边形为矩形，
∵，，
∴点D是的中点，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：，
∴，
设点P到的距离为h，则，
解得，
∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点C关于点P所在平行于的直线的对称点F，连接，此时的值最小为的长，
∴，
∴，
∴的最小值为．
26．如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，点在直线上，过点的直线交轴于点．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）求的面积
（3）若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
【答案】（1）解：将代入，得：；∴，
∵，
∴设直线：，将，代入，得：，
∴；
（2）解：∵，当时，，∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵点在线段上，点在直线上，∴，，，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将代入，求出，设直线：，将代入求出直线的函数表达式；
（2）根据x=0求出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可；
（3）将转化为的一次函数，进行求解即可．
（1）解：将代入，得：；
∴，
∵，
∴设直线：，将，代入，得：，
∴；
（2）∵，当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）∵点在线段上，点在直线上，
∴，，，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为．
1 / 1湖南省邵阳市新宁县乡镇联考2024-2025学年八年级下学期6月期末数学试题
一、选择題（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是特合题目要求的．）
1．六边形的内角和为（　　）
A． B． C． D．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，其中一个锐角为30°，最短边长为5cm，则最长边上的中线是(　　)
A．5cm B．2.5cm C．10cm D．15cm
3．为热烈庆祝中国共青团成立100周年，某校开展了以“青春心向党，建功新时代”为主题的系列活动，举办了舞蹈、合唱、书法、演讲四个项目的比赛，随机调查了部分参赛学生的参赛项目（每位参赛学生必选且仅选一项），将结果绘制成了如下尚不完整的统计表，则参加合唱比赛的频率是（　　）
类别 舞蹈 合唱 书法 演讲
频数 8 16 10 6
频率 　 　
A． B． C． D．
4．如图，已知四边形是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当时，它是菱形 B．当时，它是菱形
C．当时，它是矩形 D．当时，它是正方形
5．函数y＝ 的自变量x的取值范围是（　　）
A．x≥0且x≠2 B．x≥0 C．x≠2 D．x>2
6．如图，矩形ABCD中，AC、BD交于点O，M、N分别为BC、OC的中点．若，，则MN的长为（　　）
A． B．5 C． D．4
7．对于函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图象必经过点
B．它的图象经过第一、二、三象限
C．值随值的增大而增大
D．当时，
8．如图，是的角平分线，且=，则与的面积之比为(　　)
A． B． C． D．
9．若点是第三象限内的一点，则a的取值范围是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，在矩形ABCD中，点P从点B出发，沿B→C→D运动，设P点运动的路程为x，则△APB的面积S与x之间的函数关系大致是（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分）
11．如图，在△ABC和△ABD中，∠C＝∠D＝90°，若利用“HL”证明△ABC≌△ABD，则需要加条件 　 　.
12．如图，将长为，宽为的长方形纸片折叠，使点B落在边的中点E处，压平后得到折痕．则线段的长为　 　．
13．某校为了了解七年级学生参加课外兴趣小组的情况，随机调查了40名学生，将结果绘制成了频数分布直方图，已知图中第一组至第四组小长方形的高之比为2：3：4：1，那么第三组的频数是　 　．
14．如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是　 　．
15．已知一个菱形的两条对角线长分别为和，则这个菱形的面积为　 　．
16．一次函数的图象经过第一、三、四象限，则k的取值范围是　 　．
17．已知点，关于y轴对称，则　 　．
18．如图，在中，，，，P为边上一点；且于D，于E，则的最小值为　 　．
三、解答题（本大题共8小题、共66分．其中19、20题各6分，21、22题各8分，23、24题各9分，25、26题各10分，解签时应写出必要的文字说明、演算步骤或证明过程）
19．如图，在平面直角坐标系内，以，，三点为顶点画平行四边形．
（1）分别画出这些平行四边形？
（2）写出每个平行四边形第四个顶点D的坐标．
20．已知与成正比例，且时，．
（1）求关于的函数表达式；
（2）当时，求的值．
21．在中，点D，F分别为边AC，AB的中点．延长DF到点E，使，连接BE．
（1）求证：；
（2）求证：四边形BCDE是平行四边形．
22．如图，铁路上A、B两点相距，C、D为两村庄，于A，于B，已知，，现在要在铁路上建一个土特产品收购站E，使得C、D两村到E站的距离相等，则E站应建在距A站多少千米处？
23．【问题背景】
书法展现人文修养、道德追求和精神气度．书法特别强调书品与人品的统一，“苟非其人，虽工不贵”（苏轼）；“高韵深情，坚质浩气，缺一不可为书”（刘熙载）．某校重视中学生的书法养成教育，为了检测效果，从全校学生中随机抽取20%的学生进行测评．
【评分标准】评委会依据书写、结构、字形、效果等方面制定了标准：90分及以上为优秀；80﹣89分为良好；60﹣79分为及格：60分以下为不及格，并将测评成绩制成图表．
【图表信息】
成绩 频数 频率
优秀 16 m
良好 n 0.24
及格 18 0.36
不及格 4 0.08
【数据分析】
（1）m＝　 　，n＝　 　；
（2）参加本次测试学生的平均成绩为 　 　；
（3）已知“80﹣89”这组的数据如下：81，83，84，85，85，81，80，86，87，88，82，85，则所抽取的这些学生测试成绩的中位数是 　 　．
（4）请估计该校书法测评成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数．
24．亿联华超市在端午节来临之际，以10元/千克的价格调进一批水果，根据前期销售情况，每天销售量y（千克）与该水果定价x（元/千克）是一次函数关系，如图所示．
（1）求销售量y与定价x之间的函数关系式；
（2）如果超市将该水果的销售价定为13元/千克，不考虑其它因素，求超市每天销售这种水果所获得的利润．
25．如图，已知在中，，，垂足为点D，是外角的平分线，，垂足为点E，，．
（1）求证：四边形为矩形．
（2）当满足什么条件时，四边形是一个正方形？并证明．
（3）在矩形内部有一动点P，满足，求的最小值．
26．如图，在直角坐标系中，直线的解析式为，与轴交于点，点在直线上，过点的直线交轴于点．
（1）求的值和直线的函数表达式；
（2）求的面积
（3）若点在线段上，点在直线上，求的最大值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：六边形的内角和为：，
故选：C．
【分析】多边形内角和公式：n边形内角和=（n 为边数， 且为整数），代入求解.
2．【答案】A
【知识点】含30°角的直角三角形；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据题意画图，∠B=30°，AC=5cm，CD为中线，如图所示：
在Rt△ABC中，∵∠B=30°，AC=5cm
∴AB=2AC=10cm
∵直角三角形中斜边中线等于斜边的一半
∴CD= AB=5cm.
故答案为：A.
【分析】利用条件找到最短边即为30°角的对边，最长边为斜边，由此作得图形，利用直角三角形中30°所对的直角边是斜边的一半，得到斜边AB的长度，再利用斜边中线等于斜边一半求得中线长度.
3．【答案】C
【知识点】频数与频率；频数（率）分布表
【解析】【解答】解：由表可知，调查总人数为（人），
∴参加合唱比赛的频率为，
故选：C．
【分析】先根据表中数据求和，得调查总人数40人，进而根据，求参加合唱频率即可．
4．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】解：A、根据邻边相等的平行四边形是菱形可知：四边形是平行四边形，当时，它是菱形，故A选项正确，不符合题意；
B、四边形是平行四边形，，四边形是菱形，故B选项正确，不符合题意；
C、有一个角是直角的平行四边形是矩形，故C选项正确，不符合题意；
D、根据对角线相等的平行四边形是矩形可知当时，它是矩形，不是正方形，故D选项错误，符合题意．
故答案为：D．
【分析】利用菱形的判定方法（①四条边相等的四边形是菱形；②对角线互相垂直的平行四边形是菱形；③有一组邻边相等的平行四边形是菱形）、矩形的判定方法（①有三个角是直角的四边形是矩形；②对角线相等的平行四边形是矩形；③有一个角是直角的平行四边形是矩形）和正方形的判定方法（①对角线相等且垂直的平行四边形是正方形；②对角线相等的菱形是正方形；③对角线垂直的矩形是正方形）分析求解即可.
5．【答案】A
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件
【解析】【解答】解：由被开方数大于等于0，分母不等于0可得x≥0且x 2≠0，即x≥0且x≠2.
故答案为：A．
【分析】根据二次根式和分式有意义的条件，被开方数大于或等于0，分母不为0，即可求出x的范围.
6．【答案】B
【知识点】等边三角形的判定与性质；矩形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：由题意可知四边形ABCD是矩形，
∴AC＝BD，AO＝OC，OB＝OD，
∴AO＝BO，∠AOB＝∠ACB+∠OBC＝30°+30°＝60°，
∴△ABO是等边三角形，
∴OB＝AB＝10，
∵M、N分别为BC、OC的中点，
∴MN是△BOC的中位线，
∴MN＝OB＝5，
即MN的长为5，
故选：B．
【分析】先结合矩形的性质，推出△ABO是等边三角形，由此得到OB的长度等于AB的长度，即OB＝10，最后借助三角形中位线定理即可得到对应结果.
7．【答案】D
【知识点】一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A选项：当时，，
图象不经过点，故A选项错误；
B选项：函数的比例系数，，
图象经过第一、二、四象限，而非第一、二、三象限，B选项错误；
C选项：，
随的增大而减小，故C选项错误；
D选项：当时，可得：，
解得：，
的比例系数，
随着的增大而减小，
当时，，故D选项正确．
故选：D．
【分析】对于一次函数，当时，随着的增大而增大，当时，随着的增大而减小，判断C选项错误；当，时，图象经过第一、二、四象限，B选项错误；当时，，图象不经过点，故A选项错误；当时，解得：，随着的增大而减小，D选项正确．
8．【答案】C
【知识点】三角形的面积；角平分线的性质
【解析】【解答】解：过点D作DE⊥AB，作DF⊥AC，
∵是的角平分线，
∴DE=DF，
∵．
故选：C.
【分析】过点D作DE⊥AB，作DF⊥AC，根据角平分线上的点到角两边距离相等，得DE=DF，根据高相等，三角形的面积之比等于底边之比，即可得到，代入求解．
9．【答案】C
【知识点】解一元一次不等式组；点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点是第三象限内的一点，
∴，
解不等式组得：，
故选：C．
【分析】第三象限点的坐标特征（x，y）（），建立不等式组，解一元一次不等式组求解.
10．【答案】A
【知识点】矩形的性质；动点问题的函数图象
【解析】【解答】解：由题意可得，
当点P从点B到点C的过程中，S与x之间的函数关系式为，S与x是正比例关系；
当P从点C到点D的过程中，S与x之间的函数关系式为，这个过程中，S的值保持不变，
故选：A．
【分析】根据题意，可以分别写出点P从B到C和从C到D的过程中S与x的函数关系，当点P从点B到点C的过程中，S与x满足；当P从点C到点D的过程中，S与x满足，S的值保持不变，从而选择A．
11．【答案】BD＝BC
【知识点】直角三角形全等的判定-HL
【解析】【解答】解：∵∠C＝∠D，AB＝AB，
∴添加BD＝BC或AD＝AC后可利用HL判定△ABC≌△ABD
故答案为：BD＝BC（或AD＝AC）．
【分析】要利用HL，即“ 斜边和一条直角边对应相等，两直角三角形全等 ”判定△ABC≌△ABD，已知∠C＝∠D＝90°，AB＝AB，需要添加另外一组对边相等，故添加BD＝BC或AD＝AC后可判定三角形全等．
12．【答案】
【知识点】勾股定理；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：为中点，
，
由折叠的性质可知：，
设，则，
在中，，
，
解得：，
故答案为：．
【分析】由折叠前后两个图形对应边相等可知，设，则，利用勾股定理在中，可以求出的长 ．
13．【答案】16
【知识点】频数与频率
【解析】【解答】解：根据题意，第三组的频数计算如下：
故填：16．
【分析】本题主要考查频数（频率）分布直方图，解题关键是掌握分布直方图中，矩形的高度对应本组的频数，且所有组的频数之和等于总样本数、频率等于频数除以总样本数，再结合题目给出的比例关系计算即可.
14．【答案】x=2
【知识点】一次函数与一元一次方程的关系
【解析】【解答】∵一次函数y=ax+b的图象与x轴的交点坐标为 （2，0） ，
∴当y=0时，对应的自变量x的值为2，也就是方程ax+b=0的解为x=2，
故填：x=2．
【分析】方程ax+b=0的解，就是一次函数y=ax+b的图象和x轴交点的横坐标，据此即可求解.
15．【答案】16
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵一个菱形的两条对角线长分别为和，∴这个菱形的面积．
故答案为：16．
【分析】根据菱形的面积= 两条对角线乘积的一半 ，将对角线长分别为和，代入求解即可．
16．【答案】
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：已知一次函数的图象经过第一、三、四象限，根据一次函数图象的性质可得不等式组：
解这个不等式组，可得，
故填：．
【分析】
一次函数中，斜率k决定直线的倾斜方向，截距b决定直线与y轴的交点位置：图象经过第一、三象限说明斜率大于0，经过第四象限说明与y轴的交点在y轴负半轴，即截距小于0，因此可列出不等式组，解该不等式组即可得到k的取值范围.
17．【答案】
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：点，关于y轴对称，
，，
，
故答案为：．
【分析】关于y轴对称的点的坐标满足“纵坐标相同，横坐标互为相反数”，可得，，即可求解．
18．【答案】
【知识点】垂线段最短及其应用；勾股定理；矩形的判定与性质；三角形的高
【解析】【解答】解：如图所示，连接：
由题意可知，
∴，
∵在中，，
∴四边形是矩形，
∴，
∵，，
∴，
∵当时，最短，即最小，
∴．
故填：．
【分析】已知△ABC是直角三角形，∠ACB=90°，点P在斜边AB上，PD垂直AC于点D，PE垂直BC于点E，根据矩形的判定，四个角都是直角的四边形是矩形，不难推出四边形CDPE是矩形。连接PC之后，根据矩形的对角线相等，即可得到DE=PC.因此要求DE长度的最小值，只需求出PC长度的最小值即可.根据“垂线段最短”的性质，当PC垂直AB时，PC的长度取得最小值，由此再进一步计算即可得出最终结果.
19．【答案】（1）解.：如图所示：
（2）解：由，得，①如上图，四边形是平行四边形，
∴，
则点可由点A向左平移3个单位得到，
∴，即
②如上图，四边形是平行四边形，
∴，
则点可由点A向右平移3个单位得到，
∴，即
③如上图，四边形是平行四边形，
∴，
∴点平移至点的方式与点A平移至点的方式相同，
∵，
∴将点A先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
∴将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
∵，
∴，即
综上所述：
【知识点】平行四边形的性质；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【分析】（1）根据平行四边形对边平行的性质分两种情况画出图形：为平行四边形的对角线的ABCD，；为平行四边形的边的两种情况，；
（2）根据点的坐标平移规律、平行四边形的性质得三种情况：1、点可由点A向左平移3个单位得到：；2、可由点A向右平移3个单位得到：；3、将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点：.
（1）解.：如图所示：
（2）由，得，
①如上图，四边形是平行四边形，
∴，
则点可由点A向左平移3个单位得到，
∴，即
②如上图，四边形是平行四边形，
∴，
则点可由点A向右平移3个单位得到，
∴，即
③如上图，四边形是平行四边形，
∴，
∴点平移至点的方式与点A平移至点的方式相同，
∵，
∴将点A先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
∴将点先向左平移2个单位，再向下平移4个单位可得到点，
∵，
∴，即
综上所述：
20．【答案】解：（1）设（是常数且），
把x＝2，y＝1代入得2k＝1+3，
解得k＝2，
所以y+3＝2x，
所以y与x的函数表达式为y＝2x﹣3；
（2）当x＝﹣时，y＝2×（﹣）﹣3＝﹣4
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；正比例函数的概念
【解析】【分析】（1）根据正比例的意义，设y+3＝kx（是常数且），然后把时， 代入求出k＝2，即可得到y与x的函数表达式y+3＝2x；
（2）把x＝﹣代入y+3＝2x计算对应的函数值即可.
21．【答案】（1）证明：∵点F为边AB的中点，
∴，
在与中，
，
∴.
（2）证明：∵点D为边AC的中点，
∴，
由（1）得，
∴，，
∴，，
∴四边形BCDE是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）先利用线段中点的性质可得BF=AF，再利用“SAS”证出即可；
（2）先利用线段中点的性质可得AD=DC，再利用全等三角形的性质可得，，利用等量代换可得，，从而可证出四边形BCDE是平行四边形．
22．【答案】解：由题意可知C，D两村到E站的距离相等，
∴．
∵于A，于B，
∴，
∴，
∴，
设，则．
∵，，
∴，
解方程得：，
∴．
即E站应建在离A站处．
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】这道题的核心是勾股定理的实际应用，根据勾股定理得到 这个关系式，是解出本题的关键。解题时可以先设 ，再通过这个设定分别把和的长度用含x的式子表示出来，最后建立方程就能完成求解.
23．【答案】（1）0.32，12
（2）78.4分
（3）81.5
（4）解：（人）．答：估计该校书法测试成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数大约是140人．
【知识点】频数（率）分布表；频数（率）分布直方图；加权平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）
【解析】【解答】（1）解：由题意得：，
被调查总人数为：（人），
∴；
（2）解：参加本次测试学生的平均成绩（分）；
（3）解：将80﹣89这组的学生测试成绩重新排列为80，81，81，82，83，84，85，85，85，86，87，88，
∴所抽取的50名学生测试成绩从高到低位于第25、26位的是82、81，
∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是．
【分析】（1）根据频率之和等于1.列式求解得m=0.32，先根据样本总数=频数频率求出被调查总人数，根据频数=样本总数×频率，即可求出n；
（2）根据平均数的公式：加权平均数=（相加每个数×对应权重）所有权重相加求解即可；
（3）将数据按照从小到大的顺序排列 0，81，81，82，83，84，85，85，85，86，87，88， ，将第25、26位的数相加÷2即可；
（4）根据样本总数=频数频率，求解即可.
（1）解：由题意得：，
被调查总人数为：（人），
∴；
（2）解：参加本次测试学生的平均成绩（分）；
（3）解：将80﹣89这组的学生测试成绩重新排列为80，81，81，82，83，84，85，85，85，86，87，88，
∴所抽取的50名学生测试成绩从高到低位于第25、26位的是82、81，
∴所抽取的50名学生测试成绩的中位数应该是．
（4）解：（人）．
答：估计该校书法测试成绩达到“良好”及“优秀”级别的学生数大约是140人．
24．【答案】（1）解：设销售量y和定价x之间的函数关系式为： y＝kx+b ，
从图象中可以得到方程组：，
解方程组得：，
因此销售量y与定价x之间的函数关系式为；
（2）解：当定价x=13元时，代入函数关系式得y＝﹣20×13+320＝60，也就是每日的销售量为60千克，
每千克水果的进价为10元，因此每千克的利润为13-10=3元，总利润为60×(13﹣10)＝180（元），
答：超市每天销售这种水果获得的利润为180元．
【知识点】一次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据题意可以判断y和x满足一次函数关系，结合函数图象经过(11，100)和(15，20)这两个点，通过待定系数法就可以求出y和x的函数解析式；
（2）先根据第一问得到的函数关系式，计算定价为13元/千克时对应的每日销售量，再算出每千克水果的销售利润，总利润等于每千克利润乘销售量，即可得到最终结果．
25．【答案】（1）证明：由题意可知，，
∴，，
又∵是外角的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形
（2）当满足时，四边形是一个正方形；
证明：由（1）可知四边形为矩形，
又∵，，
∴点D是的中点，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：，
∴，
设点P到的距离为h，则，
解得，
∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点C关于点P所在平行于的直线的对称点F，连接，此时的值最小为的长，
∴，
∴，
即的最小值为．
【知识点】勾股定理；矩形的判定；正方形的判定；轴对称的应用-最短距离问题
【解析】【分析】（1）结合等腰三角形三线合一的性质与角平分线的定义，可以推算出，再结合已有直角，依据矩形的判定定理即可证明四边形ADCE是矩形；
（2）若矩形成为正方形，需要满足邻边相等，即，变形可得，结合直角三角形斜边中线等于斜边一半的性质，即可添加满足要求的条件；
（3）先根据题目给出的条件计算出的面积，再推导出边上高的长度，由此确定点P的位置，最后借助轴对称求最短路径的方法，即可得到PF+PD的最小值.
（1）证明：∵，，
∴，，
∵是外角的平分线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形为矩形；
（2）当满足时，四边形是一个正方形；
证明：由（1）知四边形为矩形，
∵，，
∴点D是的中点，
∴，
∴四边形是正方形；
（3）解：，
∴，
设点P到的距离为h，则，
解得，
∴点P在平行于且到的距离为的直线上，如图，作点C关于点P所在平行于的直线的对称点F，连接，此时的值最小为的长，
∴，
∴，
∴的最小值为．
26．【答案】（1）解：将代入，得：；∴，
∵，
∴设直线：，将，代入，得：，
∴；
（2）解：∵，当时，，∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）解：∵点在线段上，点在直线上，∴，，，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形的面积；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将代入，求出，设直线：，将代入求出直线的函数表达式；
（2）根据x=0求出点坐标，利用三角形的面积公式进行求解即可；
（3）将转化为的一次函数，进行求解即可．
（1）解：将代入，得：；
∴，
∵，
∴设直线：，将，代入，得：，
∴；
（2）∵，当时，，
∴，
∵，，
∴，
∴；
（3）∵点在线段上，点在直线上，
∴，，，
∴，
∵，
∴随着的增大而减小，
∵，
∴当时，有最大值为．
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