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2023年湖北省荆门市中考数学真题
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．在实数，，，中，无理数是（　　）
A． B． C． D．3.14
2．下列各式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
3．观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（　　）
A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．已知，则与最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
6．为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x10，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　）
A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差
C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数
7．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺 如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
9．如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若，则=　 　．
12．如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　 　．
13．某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有　 　人参与A类运动最多．
14．如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为　 　．
15．如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为　 　．（，结果精确到0.1）
16．如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是　 　．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．先化简，再求值：，其中，．
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
19．如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．
20．首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
组别 身高分组 人数
A 3
B 2
C
D 5
E 4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的___________，扇形统计图中的度数是___________；
（2）若组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
21．如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．
（1）求证：
①是的切线；
②；
（2）若，，求．
22．荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
23．如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
（1）如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．
①确定的形状，并说明理由；
②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）．
24．已知：关于的函数．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据无理数的定义，无理数是无限不循环小数。在给出的实数，，，中，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；只有是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数.
故选：B．
【分析】本题根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的数逐一判断，就可以得到答案.
2．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a2b3-2a2b3=a2b3，故正确；
B、a2·a3=a5，故错误；
C、a6÷a2=a4，故错误；
D、(a2)3=a6，故错误.
故答案为：A.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断D.
3．【答案】C
【知识点】轴对称图形；简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【分析】
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；容易得出该几何体的主视图和左视图都是轴对称图形，俯视图既是中心对称图形也是轴对称图形，再逐项判断即可.
4．【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：反比例函数的图象是双曲线，结合实际物理意义，可得，，
因此该函数的图象是双曲线位于第一象限的一支.
故选：D．
【分析】根据物理知识，电流与电阻满足函数关系，这属于反比例函数，因此它的图象是双曲线；再结合实际意义中I和R都为正数，可知图象只能在第一象限，据此就能选出正确答案.
5．【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：k= =·(5-3)=.
∵()2=8，32=9，42=16，且|-3|<|-4|，
∴与k最接近的整数为3.
故答案为：B.
【分析】首先根据平方差公式可求出k=，然后计算出各个数据的平方，据此进行判断.
6．【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：方差能反映数据的波动情况，故可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是方差.
故答案为：B.
【分析】方差能反映数据的波动情况，平均数反映的是平均程度，中位数是最中间的数据或中间两个数据的平均数，众数是出现次数最多的数据，据此判断.
7．【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如下图，延长，交于点，再延长，交于点，过点作的平行线，
，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
【分析】本题通过作辅助线：延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，再结合平行线的性质即可推导出结果，完成解答．
8．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】 解：设木条长x尺，绳子长y尺，
根据题意可得： .
故答案为：A.
【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，由“用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺”可得y=x+4.5， 由“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，”可得0.5y=x-1，；将两式联立为二元一次方程组即可.
9．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一次函数解析式得到点的坐标，根据旋转得到AC和CD的长，进而得出轴，得到点D的坐标即可．
10．【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理的实际应用；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：，点是这段弧所在圆的圆心，
，
，，
，
.
，，
.
设，则，
在中，，
，
.
，
，
.
故选：B.
【分析】根据垂径定理可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据补角可得，再根据弧长公式即可求出答案.
11．【答案】2
【知识点】算术平方根；偶次方的非负性；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵|a-1|+(b-3)2=0，
∴a-1=0，b-3=0，
∴a=1，b=3，
∴a+b=4，
∴=2.
故答案为：2.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性可得a-1=0，b-3=0，求出a、b的值，然后利用有理数的加法法则求出a+b的值，接下来根据算术平方根的概念进行解答.
12．【答案】3
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
故答案为：3．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出BC的长，最后利用三角形中位线的性质求出DE的长即可.
13．【答案】300
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：×800=300.
故答案为：300.
【分析】利用参与A类运动的人数除以调查的总人数，然后乘以800即可.
14．【答案】1
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】如图所示，
由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【分析】
如图所示，由尺规作图痕迹知OP平分，PQ垂直平分OC，则由角平分线的性质定理知点P到OA的距离等于PQ的长度，则解直角三角形OPQ即可．
15．【答案】13.8
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题目的条件可以得到：
在中，由正切的定义可知，
，
在中，同理可得，
，
，
故填：
【分析】本题通过分别对两个含公共直角边的直角三角形利用三角函数关系，计算得到BD和CD的长度，再将两段相加即可得到BC的长度，完成解答.
16．【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，
，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
，
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
【分析】点带入解析式求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答．
17．【答案】解：
，
原式．
故答案为：，2．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先按照分式的运算法则对原式进行化简，再把和的数值代入化简后的式子，就可以计算出最终结果.
18．【答案】（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可；
（2）当k=1时，原方程为x2-6x-5=0，利用配方法求解时，将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
19．【答案】证明：∵是等边的中线，
根据等边三角形三线合一的性质可得，且
由此可得
又因为题目给出，
根据等边对等角，可得
由三角形外角的性质可知，
代入可算出
最后根据等角对等边，可得，得证.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】本题可结合等边三角形的中线性质，也就是三线合一，得到角的度数，再结合已知边相等推导出角相等，最终利用等角对等边完成证明.
20．【答案】（1）20，6，
（2）解：从4名优秀志愿者中随机抽取两人，画树状图如下：
也可以通过列表列举所有情况：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
由列举结果可得，一共有12种等可能的抽取结果，其中抽到两名女志愿者的结果有2种
（抽中两名女志愿者）．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：
∵
解得
因此调查的总人数为：
扇形统计图中D组对应的圆心角
故填：20， 6，
【分析】（1）根据C组的百分比建立方程，即可解出m的值，进一步计算得到调查总人数；再用扇形统计图的周角360°乘以D组的占比，就能得到圆心角α的度数；
（2）通过画树状图或者列表，得到所有等可能的抽取结果，再从中找出符合“抽到两名女志愿者”条件的结果数量，最后代入概率公式计算即可得到所求概率．
21．【答案】（1）证明：①四边形是菱形，
，
，可得
又因为在上，是半径的外端点，
是的切线．
②连接，
根据同弧所对的圆周角相等可得：
是的直径，
，结合已知
，
又
．
（2）连接交于点，如下图所示：
四边形是菱形，且对角线，
，，，
在中，由勾股定理可得，
，
，
，
在中，，
根据相似三角形的对应角相等，由可得：，
．
【知识点】菱形的性质；切线的判定；求正弦值；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①首先根据菱形的性质，可以得到，结合已知条件与平行线的性质，可推出，由此即可证明结论；
②连接，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可以得到；再根据“直径所对的圆周角为直角”，得到，结合菱形的性质可推出，最后结合已知条件，即可证明三角形相似；
（2）连接交于点．先利用菱形的性质和勾股定理，计算得到，再利用菱形的等面积法求出的长度；之后结合（1）②中得到的，推出对应角相等，最后在中，即可计算得到所求的结果.
22．【答案】（1）解：设A种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为
由题意得： 解得：
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元
（2）解：①根据题意得： 解得：
购进A种饰品件数的取值范围为：
②设采购A种饰品件时的总利润为元.
当时， 即
，随的增大而减小. 当时，有最大值3480.
当时，
整理得： 3>0，随的增大而增大.
当时，有最大值3630.
，w的最大值为3630，此时.
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a-1)元， 1400元采购A种的件数为，630元采购B种件数为，然后根据1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍建立方程，求解即可；
（2）①由题意可得：采购B种(600-x)件，根据采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍可得关于x的不等式组，联立即可求出x的范围；
②设采购A种饰品x件时的总利润为W元，当120≤x≤150时，根据售价×总件数-A的进价×件数-B的进价×件数=总利润可得W与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；当15023．【答案】（1）解：如图所示（方法不唯一）
（2）解：①是等腰直角三角形．理由为：如图，过点作交的延长线于．
由折叠得，，
，，
四边形为正方形
又，
，而，
是等腰直角三角形．
②过点作于，交的延长线于，则．
，
，
由是等腰直角三角形知：，
，
，，而，
，
在中，，，
，
，
，
由，，
∴四边形为正方形，，
由，得：，
∴，
，而，
即，解得：，
由①知：，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）开放性命题，利用方格纸的特点及等联角的定义，结合正方形性质及全等三角形性质作图即可；
（2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于；由折叠得，，，由有三个内角为直角的四边形是矩形及有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形ABNC为正方形，由正方形四边相等得出CN=AC=CM，从而利用“HL”证Rt△CNE≌Rt△CME，由全等三角形的对应角相等得出∠3=∠4，从而根据角的构成推出，然后根据等腰直角是哪些定义可得结论；
②过点作于，交的延长线于，则；由同角的余角相等得∠1=∠6，由①结论得出PC=PF，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等可推出，在中，利用勾股定理建立方程可求出AP=BR=FR=k；推出PB=2k，AB=3k， 由有三个内角为直角的四边形是矩形及有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形BRFQ为正方形， 由正方形四边相等得，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出FQ∥CN，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△QEF∽△NEC，由相似三角形对应边成比例得出，根据即可求解．
（1）解：如图所示（方法不唯一）
（2）①是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点作交的延长线于．
由折叠得，，
，，
四边形为正方形
又，
，而，
是等腰直角三角形．
②过点作于，交的延长线于，则．
，
，
由是等腰直角三角形知：，
，
，，而，
，
在中，，，
，
，
，
由，，
∴四边形为正方形，，
由，得：，
∴，
，而，
即，解得：，
由①知：，，
．
24．【答案】（1）0或2或
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．
依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）
解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
【分析】
（1）由于题目未指明函数类型，因此可分类讨论，即函数为一次函数或二次函数时对应的情况，若函数为一次函数，则二次项系数为0，可得出的值；当函数为二次函数时，再分两种情况讨论，即当抛物线经过原点时，或抛物线顶点在x轴上时，显然当抛物线经过原点时，一次项系数为0；当抛物线的顶点在x轴上时，，可分别求出对应情况下的的值．
（2）
①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点，根据和的坐标可利用待定系数法先求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，即直线为抛物线的对称轴，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，则长度可得，则的面积等于PF与OB乘积的一半．
②设点，则、，由于PH//OD，可根据平行线分线段成比例求出长度，再利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
1 / 12023年湖北省荆门市中考数学真题
一、选择题（本大题共有10个小题，每小题只有唯一正确答案，每小题3分，共30分）
1．在实数，，，中，无理数是（　　）
A． B． C． D．3.14
【答案】B
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：根据无理数的定义，无理数是无限不循环小数。在给出的实数，，，中，是整数，属于有理数；是分数，属于有理数；是有限小数，属于有理数；只有是开方开不尽的数，属于无限不循环小数，是无理数.
故选：B．
【分析】本题根据无理数的定义，即无限不循环小数是无理数，对给出的数逐一判断，就可以得到答案.
2．下列各式运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、3a2b3-2a2b3=a2b3，故正确；
B、a2·a3=a5，故错误；
C、a6÷a2=a4，故错误；
D、(a2)3=a6，故错误.
故答案为：A.
【分析】合并同类项法则：同类项的系数相加减，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变，据此判断A；同底数幂相乘，底数不变，指数相加，据此判断B；同底数幂相除，底数不变，指数相减，据此判断C；幂的乘方：底数不变，指数相乘，据此判断D.
3．观察如图所示的几何体，下列关于其三视图的说法正确的是（　　）
A．主视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
B．左视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
C．俯视图既是中心对称图形，又是轴对称图形
D．主视图、左视图、俯视图都是中心对称图形
【答案】C
【知识点】轴对称图形；简单几何体的三视图；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A选项：主视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
B选项：左视图是上下两个等腰三角形，不是中心对称图形，是轴对称图形，故不符合题意；
C选项：俯视图是圆（带圆心），既是中心对称图形，又是轴对称图形，故符合题意；
D选项：由A和B选项可知，主视图和左视图都不是中心对称图形，故不符合题意.
故选：C.
【分析】
如果一个平面图形沿着一条直线折叠后，直线两旁的部分能够互相重合，那么这个图形叫做轴对称图形；中心对称是指把一个图形绕着某一点旋转，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这个点对称或中心对称；容易得出该几何体的主视图和左视图都是轴对称图形，俯视图既是中心对称图形也是轴对称图形，再逐项判断即可.
4．已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流（单位：A）与电阻（单位：）是反比例函数关系．下列反映电流与电阻之间函数关系的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：反比例函数的图象是双曲线，结合实际物理意义，可得，，
因此该函数的图象是双曲线位于第一象限的一支.
故选：D．
【分析】根据物理知识，电流与电阻满足函数关系，这属于反比例函数，因此它的图象是双曲线；再结合实际意义中I和R都为正数，可知图象只能在第一象限，据此就能选出正确答案.
5．已知，则与最接近的整数为（　　）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】B
【知识点】平方差公式及应用
【解析】【解答】解：k= =·(5-3)=.
∵()2=8，32=9，42=16，且|-3|<|-4|，
∴与k最接近的整数为3.
故答案为：B.
【分析】首先根据平方差公式可求出k=，然后计算出各个数据的平方，据此进行判断.
6．为评估一种水稻的种植效果，选了10块地作试验田．这10块地的亩产量（单位：kg）分别为x1，x2，…，x10，下面给出的统计量中可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是（　　）
A．这组数据的平均数 B．这组数据的方差
C．这组数据的众数 D．这组数据的中位数
【答案】B
【知识点】常用统计量的选择
【解析】【解答】解：方差能反映数据的波动情况，故可以用来评估这种水稻亩产量稳定程度的是方差.
故答案为：B.
【分析】方差能反映数据的波动情况，平均数反映的是平均程度，中位数是最中间的数据或中间两个数据的平均数，众数是出现次数最多的数据，据此判断.
7．如图所示的“箭头”图形中，，，，则图中的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质；三角形外角的概念及性质；平行线的应用-求角度
【解析】【解答】解：如下图，延长，交于点，再延长，交于点，过点作的平行线，
，
，，
，
，
，，
，
故选：C．
【分析】本题通过作辅助线：延长交于点，延长交于点，过点作的平行线，再结合平行线的性质即可推导出结果，完成解答．
8．我国古代数学名著《孙子算经》中记载：“今有木，不知长短，引绳度之，余绳四尺五寸；屈绳量之，不足一尺，木长几何 ”意思是：用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，问木条长多少尺 如果设木条长x尺，绳子长y尺，那么可列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】 解：设木条长x尺，绳子长y尺，
根据题意可得： .
故答案为：A.
【分析】设木条长x尺，绳子长y尺，由“用一根绳子去量一根木条，绳子还剩余4.5尺”可得y=x+4.5， 由“将绳子对折再量木条，木条剩余1尺，”可得0.5y=x-1，；将两式联立为二元一次方程组即可.
9．如图，直线分别与轴，轴交于点，，将绕着点顺时针旋转得到，则点的对应点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣旋转；一次函数图象与坐标轴交点问题
【解析】【解答】解：∵直线分别与轴，轴交于点，，
∴当时，，即，则，
当时，，即，则，
∵将绕着点顺时针旋转得到，
又∵
∴，，，
∴，
延长交轴于点，则，，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据一次函数解析式得到点的坐标，根据旋转得到AC和CD的长，进而得出轴，得到点D的坐标即可．
10．如图，一条公路的转弯处是一段圆弧（），点是这段弧所在圆的圆心，为上一点，于．若，，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；垂径定理的实际应用；弧长的计算；解直角三角形
【解析】【解答】解：，点是这段弧所在圆的圆心，
，
，，
，
.
，，
.
设，则，
在中，，
，
.
，
，
.
故选：B.
【分析】根据垂径定理可得，根据全等三角形判定定理可得，则，根据边之间的关系可得，设，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据正弦定义，结合特殊角的三角函数值可得，根据补角可得，再根据弧长公式即可求出答案.
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）
11．若，则=　 　．
【答案】2
【知识点】算术平方根；偶次方的非负性；绝对值的非负性；非负数之和为0
【解析】【解答】解：∵|a-1|+(b-3)2=0，
∴a-1=0，b-3=0，
∴a=1，b=3，
∴a+b=4，
∴=2.
故答案为：2.
【分析】根据绝对值以及偶次幂的非负性可得a-1=0，b-3=0，求出a、b的值，然后利用有理数的加法法则求出a+b的值，接下来根据算术平方根的概念进行解答.
12．如图，为斜边上的中线，为的中点．若，，则　 　．
【答案】3
【知识点】勾股定理；三角形的中位线定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵在中，为斜边上的中线，，
∴，
∴，
∵为的中点，
∴，
故答案为：3．
【分析】先利用直角三角形斜边上中线的性质可得，再利用勾股定理求出BC的长，最后利用三角形中位线的性质求出DE的长即可.
13．某校为了解学生对A，B，C，D四类运动的参与情况，随机调查了本校80名学生，让他们从中选择参与最多的一类，得到对应的人数分别是30，20，18，12．若该校有800名学生，则估计有　 　人参与A类运动最多．
【答案】300
【知识点】用样本估计总体
【解析】【解答】解：×800=300.
故答案为：300.
【分析】利用参与A类运动的人数除以调查的总人数，然后乘以800即可.
14．如图，，点在上，，为内一点．根据图中尺规作图痕迹推断，点到的距离为　 　．
【答案】1
【知识点】角平分线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理；尺规作图-作角的平分线；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】如图所示，
由尺规作图痕迹可得，是的垂直平分线，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∴，
由尺规作图痕迹可得，是的平分线，
∴点到的距离等于点P到的距离，即的长度，
∴点到的距离为1．
故答案为：1 ．
【分析】
如图所示，由尺规作图痕迹知OP平分，PQ垂直平分OC，则由角平分线的性质定理知点P到OA的距离等于PQ的长度，则解直角三角形OPQ即可．
15．如图，无人机在空中处测得某校旗杆顶部的仰角为，底部的俯角为，无人机与旗杆的水平距离为，则该校的旗杆高约为　 　．（，结果精确到0.1）
【答案】13.8
【知识点】含30°角的直角三角形；解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【解答】解：根据题目的条件可以得到：
在中，由正切的定义可知，
，
在中，同理可得，
，
，
故填：
【分析】本题通过分别对两个含公共直角边的直角三角形利用三角函数关系，计算得到BD和CD的长度，再将两段相加即可得到BC的长度，完成解答.
16．如图，点在双曲线上，将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，交双曲线于点．若，则点的坐标是　 　．
【答案】
【知识点】反比例函数与一次函数的交点问题；解直角三角形—边角关系
【解析】【解答】解：把代入，可得，解得，
反比例函数解析式，
如图，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，
，
，
，
，
将直线向上平移若干个单位长度交轴于点，
，
在中，，
，
即点C的横坐标为，
把代入，可得，
，
故答案为：．
【分析】点带入解析式求出反比例函数解析式，证明，过点作轴的垂线段交轴于点，过点作轴的垂线段交轴于点，通过平行线的性质得到，解直角三角形求点的横坐标，结合反比例函数解析式求出的坐标，即可解答．
三、解答题（本大题共有8个小题，共72分）
17．先化简，再求值：，其中，．
【答案】解：
，
原式．
故答案为：，2．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】先按照分式的运算法则对原式进行化简，再把和的数值代入化简后的式子，就可以计算出最终结果.
18．已知关于的一元二次方程有两个不相等的实数根．
（1）求的取值范围；
（2）当时，用配方法解方程．
【答案】（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
【知识点】配方法解一元二次方程；一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【分析】（1）对于一元二次方程“ax2+bx+c=0（a、b、c是常数，且a≠0）”中，当b2-4ac＞0时方程有两个不相等的实数根，当b2-4ac=0时方程有两个相等的实数根，当b2-4ac＜0时方程没有实数根，据此结合题意列出关于字母k的不等式组，求解即可；
（2）当k=1时，原方程为x2-6x-5=0，利用配方法求解时，将常数项移到方程的右边，方程的两边都加上一次项系数一半的平方“9”，左边利用完全平方公式分解因式，右边合并同类项，然后利用直接开平方法将方程降次为两个一元一次方程，解两个一元一次方程即可求出原方程的解.
（1）解：依题意得：，
解得且；
（2）解：当时，原方程变为：，
则有：，
，
，
方程的根为，．
19．如图，是等边的中线，以为圆心，的长为半径画弧，交的延长线于，连接．求证：．
【答案】证明：∵是等边的中线，
根据等边三角形三线合一的性质可得，且
由此可得
又因为题目给出，
根据等边对等角，可得
由三角形外角的性质可知，
代入可算出
最后根据等角对等边，可得，得证.
【知识点】等腰三角形的判定与性质；等边三角形的性质
【解析】【分析】本题可结合等边三角形的中线性质，也就是三线合一，得到角的度数，再结合已知边相等推导出角相等，最终利用等角对等边完成证明.
20．首届楚文化节在荆州举办前，主办方为使参与服务的志愿者队伍整齐，随机抽取了部分志愿者，对其身高进行调查，将身高（单位：）数据分A，B，C，D，E五组制成了如下的统计图表（不完整）．
组别 身高分组 人数
A 3
B 2
C
D 5
E 4
根据以上信息回答：
（1）这次被调查身高的志愿者有___________人，表中的___________，扇形统计图中的度数是___________；
（2）若组的4人中，男女各有2人，以抽签方式从中随机抽取两人担任组长．请列表或画树状图，求刚好抽中两名女志愿者的概率．
【答案】（1）20，6，
（2）解：从4名优秀志愿者中随机抽取两人，画树状图如下：
也可以通过列表列举所有情况：
男1 男2 女1 女2
男1 （男1，男2） （男1，女1） （男1，女2）
男2 （男2，男1） （男2，女1） （男2，女2）
女1 （女1，男1） （女1，男2） （女1，女2）
女2 （女2，男1） （女2，男2） （女2，女1）
由列举结果可得，一共有12种等可能的抽取结果，其中抽到两名女志愿者的结果有2种
（抽中两名女志愿者）．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：（1）根据题意可得：
∵
解得
因此调查的总人数为：
扇形统计图中D组对应的圆心角
故填：20， 6，
【分析】（1）根据C组的百分比建立方程，即可解出m的值，进一步计算得到调查总人数；再用扇形统计图的周角360°乘以D组的占比，就能得到圆心角α的度数；
（2）通过画树状图或者列表，得到所有等可能的抽取结果，再从中找出符合“抽到两名女志愿者”条件的结果数量，最后代入概率公式计算即可得到所求概率．
21．如图，在菱形中，于，以为直径的分别交，于点，，连接．
（1）求证：
①是的切线；
②；
（2）若，，求．
【答案】（1）证明：①四边形是菱形，
，
，可得
又因为在上，是半径的外端点，
是的切线．
②连接，
根据同弧所对的圆周角相等可得：
是的直径，
，结合已知
，
又
．
（2）连接交于点，如下图所示：
四边形是菱形，且对角线，
，，，
在中，由勾股定理可得，
，
，
，
在中，，
根据相似三角形的对应角相等，由可得：，
．
【知识点】菱形的性质；切线的判定；求正弦值；相似三角形的判定-AA；圆周角定理的推论
【解析】【分析】（1）①首先根据菱形的性质，可以得到，结合已知条件与平行线的性质，可推出，由此即可证明结论；
②连接，根据圆周角定理：同弧所对的圆周角相等，可以得到；再根据“直径所对的圆周角为直角”，得到，结合菱形的性质可推出，最后结合已知条件，即可证明三角形相似；
（2）连接交于点．先利用菱形的性质和勾股定理，计算得到，再利用菱形的等面积法求出的长度；之后结合（1）②中得到的，推出对应角相等，最后在中，即可计算得到所求的结果.
22．荆州古城旁“荆街”某商铺打算购进A，B两种文创饰品对游客销售．已知1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍，A种的进价比B种的进价每件多1元，两种饰品的售价均为每件15元；计划采购这两种饰品共600件，采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍．
（1）求A，B饰品每件的进价分别为多少元？
（2）若采购这两种饰品只有一种情况可优惠，即一次性采购A种超过150件时，A种超过的部分按进价打6折．设购进A种饰品x件，①求x的取值范围；②设计能让这次采购的饰品获利最大的方案，并求出最大利润．
【答案】（1）解：设A种饰品每件的进价为元，则B种饰品每件的进价为
由题意得： 解得：
经检验，是所列方程的根，且符合题意.
A种饰品每件进价为10元，B种饰品每件进价为9元
（2）解：①根据题意得： 解得：
购进A种饰品件数的取值范围为：
②设采购A种饰品件时的总利润为元.
当时， 即
，随的增大而减小. 当时，有最大值3480.
当时，
整理得： 3>0，随的增大而增大.
当时，有最大值3630.
，w的最大值为3630，此时.
即当采购A种饰品210件，B种饰品390件时，商铺获利最大，最大利润为3630元.
【知识点】分式方程的实际应用；一元一次不等式组的应用；一次函数的实际应用
【解析】【分析】（1）设A种饰品每件的进价为a元，则B种饰品每件的进价为(a-1)元， 1400元采购A种的件数为，630元采购B种件数为，然后根据1400元采购A种的件数是630元采购B种件数的2倍建立方程，求解即可；
（2）①由题意可得：采购B种(600-x)件，根据采购B种的件数不低于390件，不超过A种件数的4倍可得关于x的不等式组，联立即可求出x的范围；
②设采购A种饰品x件时的总利润为W元，当120≤x≤150时，根据售价×总件数-A的进价×件数-B的进价×件数=总利润可得W与x的关系式，然后利用一次函数的性质进行解答；当15023．如图1，点是线段上与点，点不重合的任意一点，在的同侧分别以，，为顶点作，其中与的一边分别是射线和射线，的两边不在直线上，我们规定这三个角互为等联角，点为等联点，线段为等联线．
（1）如图2，在个方格的纸上，小正方形的顶点为格点、边长均为1，为端点在格点的已知线段．请用三种不同连接格点的方法，作出以线段为等联线、某格点为等联点的等联角，并标出等联角，保留作图痕迹；
（2）如图3，在中，，，延长至点，使，作的等联角和．将沿折叠，使点落在点处，得到，再延长交的延长线于，连接并延长交的延长线于，连接．
①确定的形状，并说明理由；
②若，，求等联线和线段的长（用含的式子表示）．
【答案】（1）解：如图所示（方法不唯一）
（2）解：①是等腰直角三角形．理由为：如图，过点作交的延长线于．
由折叠得，，
，，
四边形为正方形
又，
，而，
是等腰直角三角形．
②过点作于，交的延长线于，则．
，
，
由是等腰直角三角形知：，
，
，，而，
，
在中，，，
，
，
，
由，，
∴四边形为正方形，，
由，得：，
∴，
，而，
即，解得：，
由①知：，，
．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的判定与性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）开放性命题，利用方格纸的特点及等联角的定义，结合正方形性质及全等三角形性质作图即可；
（2）①是等腰直角三角形，过点作交的延长线于；由折叠得，，，由有三个内角为直角的四边形是矩形及有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形ABNC为正方形，由正方形四边相等得出CN=AC=CM，从而利用“HL”证Rt△CNE≌Rt△CME，由全等三角形的对应角相等得出∠3=∠4，从而根据角的构成推出，然后根据等腰直角是哪些定义可得结论；
②过点作于，交的延长线于，则；由同角的余角相等得∠1=∠6，由①结论得出PC=PF，从而利用“AAS”证明，由全等三角形的对应边相等可推出，在中，利用勾股定理建立方程可求出AP=BR=FR=k；推出PB=2k，AB=3k， 由有三个内角为直角的四边形是矩形及有一组邻边相等的矩形是正方形得出四边形BRFQ为正方形， 由正方形四边相等得，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出FQ∥CN，由平行于三角形一边得直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△QEF∽△NEC，由相似三角形对应边成比例得出，根据即可求解．
（1）解：如图所示（方法不唯一）
（2）①是等腰直角三角形．理由为：
如图，过点作交的延长线于．
由折叠得，，
，，
四边形为正方形
又，
，而，
是等腰直角三角形．
②过点作于，交的延长线于，则．
，
，
由是等腰直角三角形知：，
，
，，而，
，
在中，，，
，
，
，
由，，
∴四边形为正方形，，
由，得：，
∴，
，而，
即，解得：，
由①知：，，
．
24．已知：关于的函数．
（1）若函数的图象与坐标轴有两个公共点，且，则的值是___________；
（2）如图，若函数的图象为抛物线，与轴有两个公共点，，并与动直线交于点，连接，，，，其中交轴于点，交于点．设的面积为，的面积为．
①当点为抛物线顶点时，求的面积；
②探究直线在运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出这个最大值；若不存在，说明理由．
【答案】（1）0或2或
（2）解：①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点．
依题意得：，解得：
抛物线的解析式为：．
点为抛物线顶点时，，，
，，
由，得直线的解析式为，
在直线上，且在直线上，则的横坐标等于的横坐标，
，
，，
，
．
故答案为：6．
②存在最大值，理由如下：
如图，设直线交轴于．
由①得：，，，，，
，
，，
，
，
即，
，，
，
，
，，
当时，有最大值，最大值为．
故答案为：．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数-面积问题
【解析】【解答】（1）
解：函数的图象与坐标轴有两个公共点，
，
，
，
当函数为一次函数时，，
．
当函数为二次函数时，
，
若函数的图象与坐标轴有两个公共点，即与轴，轴分别只有一个交点时，
，
．
当函数为二次函数时，函数的图象与坐标轴有两个公共点， 即其中一点经过原点，
，
，
．
综上所述，或0．
故答案为：0或2或．
【分析】
（1）由于题目未指明函数类型，因此可分类讨论，即函数为一次函数或二次函数时对应的情况，若函数为一次函数，则二次项系数为0，可得出的值；当函数为二次函数时，再分两种情况讨论，即当抛物线经过原点时，或抛物线顶点在x轴上时，显然当抛物线经过原点时，一次项系数为0；当抛物线的顶点在x轴上时，，可分别求出对应情况下的的值．
（2）
①如图所示，设直线与交于点，直线与交于点，根据和的坐标可利用待定系数法先求出抛物线的解析式，即可求出顶点坐标，即直线为抛物线的对称轴，从而求出长度，再利用和的坐标点即可求出的直线解析式，则长度可得，则的面积等于PF与OB乘积的一半．
②设点，则、，由于PH//OD，可根据平行线分线段成比例求出长度，再利用割补法表示出和，将二者相减转化成关于的二次函数的顶点式，利用取值范围即可求出的最小值．
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