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陕西省安康市汉阴县涧池镇九年制学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．当时，二次根式的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
3．对于函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图像必经过点
B．它的图像经过第一、二、三象限
C．当时，
D．y的值随x值的增大而增大
4．如图，在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
5．某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（　　）
A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定
C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小
6．如图，直线和与x轴分别交于点，，则的解集为（　　）
A． B．
C．或 D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
7．使得有意义的x的取值范围是　 　．
8．若点，都在直线上，则　 　（填“>”“<”“=”）
9．如图，投壶是中国古代一种宴会时的礼节性游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，，若，，，则成绩更稳定的是　 　（填“甲”或“乙”）
10．如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点A，B，C都在格点上，点O为边的中点，则线段的长为 　 　．
11．如图，正方形的边长为8，点E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是　 　．
12．已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，点P在y轴上（点P在点B下方且不与原点重合），并且使以点A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形，则点P到原点的距离为　 　．
三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13．（1）计算：；
（2）已知点在直线上，求代数式的值．
14．如表是交警在一个路口统计的某个时段来往电动车的车速情况．
车速 10 15 20 25 30
车辆数 2 6 11 9 2
（1）求统计的电动车的平均车速；
（2）求统计的电动车车速的众数和中位数．
15．某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯到高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面、与宿舍外墙的距离是．云梯够长吗？请说明理由．
16．如图，在中，点E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图1，在边上找一点O，使平分的面积；
（2）如图2，分别在边上找点P，M，N，作
17．如图，已知函数的图像为直线，函数的图像为直线，直线，分别交x轴于点B，，分别交y轴于点D，E，和相交于点
（1）求m，k，b的值；
（2）若点P在x轴上且在点C的右侧，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点P的坐标．
18．2025年世界泳联跳水世界杯北京站女子单人10米跳台决赛在2025年5月3日举行，曾获东京奥运会女子单人10米跳台冠军的全红婵收获全场首个10分，出色地完成了自己的跳水比赛．如表是7名裁判对全红婵决赛第一跳的打分情况：
难度系数 裁判 1 2 3 4 5 6 7
打分/分 10
（1）写出7名裁判打分的众数和中位数；
（2）跳水比赛计分规则规定，在7个得分中去掉1个最高分和1个最低分，剩下5个得分的平均值为这一跳的完成分，根据“最后得分难度系数完成分”，那么全红婵第一跳的最后得分是多少？
19．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得，
，
原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
20．如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点
（1）若点P在y轴上，且，求点P的坐标；
（2）若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，与直线交于点N，且，求点M的坐标．
21．某游泳馆推出了两种收费方式：
方式一：顾客先办理会员卡，每张会员卡150元，仅限本人使用，限期一年，凭卡游泳，每次游泳再付费35元．
方式二：顾客不办理会员卡，每次游泳付费45元．
设聪聪在一年内来此游泳馆的次数为，选择方式一的总费用为元，选择方式二总费用为元．
（1）请分别写出，与之间的函数解析式；
（2）聪聪如何选择更划算？
22．【课本再现】
（1）如图1，点O是正方形对角线的交点，同时，点O是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，两个正方形重叠的部分为四边形，则______， ______（填“>”“=”或“<”）；
【拓展延伸】
（2）如图2，正方形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，过点O作，交于点．若四边形的面积是4，求线段的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，过轴正半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．
（1）求出直线对应的函数解析式；
（2）点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）若点为直线上的点，点为轴上的点．请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】二次根式的概念；求二次根式的值
【解析】【解答】解：把代入二次根式可得：
故选：C．
【分析】本题考查的是二次根式的求值计算，解题方法就是将给定的代入待求的二次根式，先算出被开方数的结果，再化简得到算术平方根即可.
2．【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知点，，
∴，
由题意得，，
又∵点在轴的正半轴上，
∴点的坐标是
故选：．
【分析】本题主要考查勾股定理与点的坐标的相关知识，先通过勾股定理计算出的长度，再进一步推出的长度即可得到结果，解题的核心是掌握勾股定理的正确应用.
3．【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于选项A：把点代入解析式，计算得，和该点的纵坐标一致，因此点 在函数图象上，故A正确，符合题意；
对于选项B：该一次函数的斜率k=-4<0，截距b=1>0，因此y随x的增大而减小，函数图象与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B错误，不符合题意；
对于选项C：令-4x+1=0，解得，结合函数的增减性可知，当时，，所以当x>1时，y<0恒成立，故C错误，不符合题意；
对于选项D：一次函数的斜率k=-4<0，因此y随x的增大而减小，故D错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，可以结合一次函数的图象与性质，逐一判断每个选项的正误.
4．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知四边形是平行四边形，
∴，，
，
又，
，
故选：C．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，解决这道题的关键在于牢记平行四边形对边平行、对角相等的性质。根据平行四边形的性质，可以得出，，再结合平行线同旁内角互补的性质，得到，由此计算出，最后结合平行四边形对角相等的性质，即可求出的度数.
5．【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：因为补测这名同学的成绩和原来44人的平均成绩相等，所以全班45人的平均成绩不会发生改变；
原来44个成绩的中位数，是排序后第22位和第23位成绩的平均数，计算得中位数为86，加入90分的补测成绩后，总人数变为45，此时中位数是排序后第23位的成绩，
如果原来的第22位、第23位成绩都是86，加入补测成绩后，新的第23位成绩还是86，因此中位数不变；
如果原来第22位成绩为85，第23位成绩为87，二者平均数为86，加入补测成绩后，新的第23位成绩变为87，中位数相比原来变大；
因此中位数可能不变，也可能变大，没办法确定最终的结果；
综上，平均数不变，中位数无法确定，
故选：B．
【分析】本题主要考查平均数与中位数的定义，掌握两个统计量的概念是解题的关键.
原来班级共有44名学生，原平均成绩为90，后来补测的成绩同样为90，加入补测成绩后总人数变为45，经过计算平均数不会发生改变；原44人的中位数是排序后第22和第23位数据的平均数，为86，现在加入一个90分的成绩，会改变原有数据的排序位置，需要结合原数据的具体分布分析中位数的变化.
6．【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察给定的函数图象可以得到：不等式组的解集是，
故选：D．
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式组的关系，解题的关键是结合函数图象与交点坐标分析不等式组的解集，根据给出的图象以及两个交点、的坐标，就可以推导出不等式组的解集.
7．【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：若要有意义，
则成立，
解不等式得，
故填：
【分析】本题考查的是确定函数自变量的取值范围，涉及二次根式、分式有意义的条件，掌握相关的要求是解决这道题的关键.
要让二次根式有意义，需要二次根式的被开方数是一个非负数；要让分式有意义，需要分式的分母不等于0，结合这两个要求列出条件，求解就能得到结果.
8．【答案】>
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由题意可知k=-3<0
随x的增大而减小
又点，都在直线上，且
故填：>
【分析】本题考查一次函数的增减性规律，对于一次函数，当比例系数时，根据一次函数的性质可以得到，函数值y会随着自变量x的增大而减小.比较题目中给出的两个自变量，满足，结合y随x增大而减小的性质，就可以推出对应的函数值满足.
9．【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，
，
因此成绩更稳定的是甲，
故填：甲．
【分析】本题可依据方差的意义直接求解.
本题核心考查方差的相关知识，解题的关键在于掌握方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量。方差越大，说明数据相对于平均值的离散程度越大，数据的稳定性也就越差；反之，方差越小，数据相对于平均值的离散程度越小，数据的稳定性就越好.
10．【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：通过勾股定理得到：，，，
∴，，
∴是直角三角形，，
又∵点O为边的中点，
∴，
故填：．
【分析】本题主要涉及勾股定理、勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质这几个知识点.先根据勾股定理计算得到，，，由此可得，接下来就可以利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，最后结合直角三角形斜边上的中线的性质，就能推导出最终结论.
11．【答案】32
【知识点】二次根式的乘除混合运算；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接交于点O，如图所示：
由题意可知四边形是正方形，且边长为8，
，，，，，
在中，由勾股定理得：，
，，
又，
，，
，，
，
，
，，
故填：32.
【分析】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形对角线互相垂直平分的性质、勾股定理以及三角形面积公式的应用.
连接AC，与BD交于点O，根据正方形的性质结合勾股定理，可计算得出，因此正方形对角线一半的长度，结合题中给出的条件，可以推出。再根据三角形的面积公式，可以计算得到，将两个三角形的面积相加，即可得到四边形AECF的面积.
12．【答案】4或或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由题意可知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，
，，
，
当时，由等腰三角形的三线合一可得，，
∴，
当时，，
又∵点P在点B下方且不与原点重合，
∴可以看作点向下平移个单位长度所得，
∴，
当垂直平分线段时，设长为，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
∴，
点P到原点的距离为：4或或．
故填：4或或．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质.
解题步骤为：先求出点A和点B的坐标，绘制出对应图形，再结合等腰三角形的性质计算，最终得到点P的坐标.
13．【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：由题意可知点在直线上，
，
，
【知识点】二次根式的混合运算；一次函数的概念
【解析】【分析】本题主要涉及二次根式的混合运算，以及一次函数图象上点的坐标特征
（1）先对原式中的各个二次根式进行化简，再按照二次根式的加法和减法运算法则计算最终结果；
（2）将点代入一次函数解析式，整理后即可得到关系式
14．【答案】（1）解：，
统计的电动车的平均车速为．
（2）解：出现的次数最多，所以这些车的车速的众数为20；
共有30个，从小到大排列，排在最中间的两个数都是20，所以这些车的车速的中位数为．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】本题的解题关键是掌握中位数、众数的定义以及加权平均数的计算公式，这道题围绕这三个统计量进行考查.
（1）按照加权平均数的计算公式列出算式计算，即可得到对应结果；
（2）结合众数和中位数的定义进行判断，即可得到对应结果.
（1）解：，
答：统计的电动车的平均车速为．
（2）解：出现的次数最多，则这些车的车速的众数为20；
共有30个，从小到大排列，排在最中间的两个数都是20，故中位数为．
15．【答案】解：云梯够长．理由如下：
如图，连接．
，，
，
在中利用勾股定理，得，
又，
云梯够长．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】这道题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是正确解题的核心.
连接，先借助勾股定理计算出的长度，再将计算结果和云梯的长度进行比较，就可以得到最终结论.
16．【答案】（1）解：连接交于点O，
则点O即为所求．
（2）解：做辅助线，连接交于点O，连接并延长，交于点M，
在上任取一点P，连接并延长，交于点N，连接，
则即为所求．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查复杂作图，以及平行四边形的判定与性质相关知识.
（1）依据平行四边形的性质作图：连接BD，交于点O，得到的点O就是要求作的点.
（2）结合平行四边形的判定与性质作图：连接，交于点O，连接并延长，与交于点M；之后在边上任意取一点P，连接并延长，与交于点N，最后依次连接，即可得到所求的平行四边形.
（1）如图1，连接交于点O，
则点O即为所求．
（2）如图2，连接交于点O，连接并延长，交于点M，在上任取一点P，连接并延长，交于点N，连接，
则即为所求．
17．【答案】（1）解：由题意可知函数的图象过、，
即
解得，
，，
又函数的图象过点，
，
解得，
故，，.
（2）P(20，0)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）可知：的解析式为，的解析式为，
由函数可知，由函数可知，
，
又的面积是面积的2倍时，
，
．
【分析】本题是一次函数与几何结合的两条直线相交问题，掌握相关解题方法是解答本题的关键.
（1）解题时可以先通过待定系数法计算出m、k、b的取值，得到对应参数的值；
（2）可以先结合两个直线的解析式分别得到点B和点C的坐标，再结合题目给出的条件推导出，最终就可以求出点P的坐标.
（1）解：∵函数的图象过、，
，
解得，
，，
函数的图象过点，
，
解得，
故，，；
（2）解：由（1）可知：的解析式为，的解析式为，
由函数可知，由函数可知，
，
的面积是面积的2倍时，
，
．
18．【答案】（1）解：将打分从小到大排列为：，，，，，，10，
所以众数（分），中位数（分）
（2）解：去掉1个最高分10分和1个最低分分，
完成分（分），
最后得分（分），
即全红婵第一跳的最后得分是分．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】本题考查了众数、算术平均数和中位数的相关知识，解题的关键在于先去掉1个10分与1个9分，再进行对应计算.
（1）先把所有打分按照从小到大的顺序排列，出现次数最多的打分就是这组数据的众数，排在最中间位置的打分就是这组数据的中位数；
（2）先去掉最高分1个10分和最低分1个9分，计算剩余打分的算术平均数，即可得到选手的完成分，最后再根据公式“最后得分难度系数完成分”计算，就能得出最终结果.
（1）解：将打分从小到大排列为：，，，，，，10，
众数（分），中位数（分）；
（2）解：去掉1个10分和1个分，
完成分（分），
最后得分（分），
答：全红婵第一跳的最后得分是分．
19．【答案】（1）解：由题意可得隐含条件，
解得，
，
；
（2）解：通过数轴可得，，，
，，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】这道题主要考查二次根式的性质与化简，以及实数与数轴的相关知识.
（1）先根据二次根式有意义的隐含条件，确定x的取值范围，再利用二次根式的性质对原式进行化简即可；
（2）首先根据数轴上点的位置得到，，且，由此可以推断出，，最后再根据二次根式的性质化简待求式即可.
20．【答案】（1）解：由题意可知直线与坐标轴分别交于A，B两点，
令，解得，
，
又，，
，
又点P在y轴上，可设，
，
，
，
解得，
，
即或；
（2）解：由题意可知点M在直线上，点M横坐标为m，
，，
又，
在N点的上方，
又，
即，
解得，
．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查两直线交点坐标的求解、直线围成三角形的面积计算以及线段长度的计算问题.
（1）先根据题目条件计算得到，设点P的坐标为，再结合的面积条件列出方程，求解方程就能得到点P的坐标；
（2）已知点M在直线上，若点M的横坐标为m，那么点M的坐标就是，点N和点M横坐标相同，因此点N坐标为 .结合条件可以判断出M位于N点上方，再根据线段长度条件建立方程，求解方程即可得到m的值.
（1）解：直线与坐标轴分别交于A，B两点，
令，解得，
，
，，
，
由点P在y轴上，可设，
，
，
，
解得，
，
即或；
（2）解：∵点M在直线上，点M横坐标为m，
，，
，
在N点的上方，
，
即，
解得，
．
21．【答案】（1）解：由题意可得，，
与之间的函数解析式为，与之间的函数解析式为
（2）解：当时，即，解不等式得，
当时，即，解不等式得，
当时，即，解不等式得，
当一年游泳超过15次时，选择方式一更划算；当一年游泳15次时，两种方式总费用相等；当一年游泳不足15次时，选择方式二更划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题是一次函数的实际应用题，解题的核心是先按照两种不同的收费标准，分别列出费用、和上网时长的函数关系式，再通过解一元一次不等式比较两种方案费用的大小.
（1）根据给定的收费规则，分别推导、关于的函数解析式；
（2）通过比较和的大小，得到不同情况下更优惠的方案即可.
（1）解：由题意可得，，，
与之间的函数解析式为，与之间的函数解析式为；
（2）解：当时，即，解得，
当时，即，解得，
当时，即，解得，
当一年游泳超过15次时，选择方式一更划算；当一年游泳15次时，两种方式总费用相等；当一年游泳不足15次时，选择方式二更划算．
22．【答案】（1），=
（2）解：连接，如图2所示：
点O是正方形的对角线的交点，，
同证明：，
，
，
，，
，
，不合题意，舍去，
线段的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）解：连接，如图1所示：
由题意可知点O是正方形对角线的交点，
，，，，
又点O是正方形的一个顶点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故填：，=
【分析】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质.
（1）做辅助线连接，由正方形性质可得，，，，证明和全等得， ，进而得，由此即可得出故答案；
（2）做辅助线连接，同证明和全等可得，进而可得，再根据，得，由此可以得到线段的长．
23．【答案】（1）解：由题意可知当时，，则，
，
当时，，则，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得，
直线的解析式为
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
，
，
，
又，
，
又，，
，
，
是等腰直角三角形
（3）解：存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
为直线上的点，
，
，
设，当点在点上方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示：
又，
，
又，
，
又，
，，
令，
则点到轴距离为，点到轴距离为，
，
点在直线上，
，
解得，
；
当P点在E点下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，，
令，
则点到轴距离为，点到轴距离为，
，
点在直线上，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，同时涉及待定系数法求解析式、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识.
（1）先利用三角形全等求出点和点的坐标，再通过待定系数法计算得到直线的解析式；
（2）先证明，即可推出为等腰直角三角形；
（3）先设点，再分两种情况讨论：
当点在点上方时，过点作平行于轴的直线，过点作，交点记为，再过点作，交点记为，可证得，得到点，再结合点在直线上，代入得到方程，求解即可得到；
当点在点下方时，按照相同的方法推导，同样可得到.
（1）解：当时，，则，
，
当时，，则，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
理由如下：
为直线上的点，
，
，
设，
当点在点上方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，，
令，
则点到轴距离为，点到轴距离为，
，
点在直线上，
，
解得，
；
当P点在E点下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，，
令，
则点到轴距离为，点到轴距离为，
，
点在直线上，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为．
1 / 1陕西省安康市汉阴县涧池镇九年制学校2024-2025学年八年级下学期期末数学试卷
一、选择题：本题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．当时，二次根式的值为（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】二次根式的概念；求二次根式的值
【解析】【解答】解：把代入二次根式可得：
故选：C．
【分析】本题考查的是二次根式的求值计算，解题方法就是将给定的代入待求的二次根式，先算出被开方数的结果，再化简得到算术平方根即可.
2．如图，在平面直角坐标系中，已知点，，以点为圆心，长为半径画弧，交轴的正半轴于点，则点的坐标是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；勾股定理
【解析】【解答】解：由题意可知点，，
∴，
由题意得，，
又∵点在轴的正半轴上，
∴点的坐标是
故选：．
【分析】本题主要考查勾股定理与点的坐标的相关知识，先通过勾股定理计算出的长度，再进一步推出的长度即可得到结果，解题的核心是掌握勾股定理的正确应用.
3．对于函数，下列结论正确的是（　　）
A．它的图像必经过点
B．它的图像经过第一、二、三象限
C．当时，
D．y的值随x值的增大而增大
【答案】A
【知识点】一次函数的图象；一次函数的性质；一次函数图象、性质与系数的关系；一次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：对于选项A：把点代入解析式，计算得，和该点的纵坐标一致，因此点 在函数图象上，故A正确，符合题意；
对于选项B：该一次函数的斜率k=-4<0，截距b=1>0，因此y随x的增大而减小，函数图象与y轴交于正半轴，图象经过第一、二、四象限，不经过第三象限，故B错误，不符合题意；
对于选项C：令-4x+1=0，解得，结合函数的增减性可知，当时，，所以当x>1时，y<0恒成立，故C错误，不符合题意；
对于选项D：一次函数的斜率k=-4<0，因此y随x的增大而减小，故D错误，不符合题意；
故选：A．
【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，可以结合一次函数的图象与性质，逐一判断每个选项的正误.
4．如图，在中，若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：由题意可知四边形是平行四边形，
∴，，
，
又，
，
故选：C．
【分析】本题主要考查平行四边形的性质，解决这道题的关键在于牢记平行四边形对边平行、对角相等的性质。根据平行四边形的性质，可以得出，，再结合平行线同旁内角互补的性质，得到，由此计算出，最后结合平行四边形对角相等的性质，即可求出的度数.
5．某班级共有45人，在一次体质测试中，有1人未参加集体测试，老师对集体测试的成绩按44人进行了统计，得到测试成绩分数的平均数是90，中位数是．缺席集体测试的同学后面进行了补测，成绩为90分，关于该班级45人的体质测试成绩，下列说法正确的是（　　）
A．平均数不变，中位数变大 B．平均数不变，中位数无法确定
C．平均数变大，中位数变小 D．平均数不变，中位数变小
【答案】B
【知识点】平均数及其计算；中位数
【解析】【解答】解：因为补测这名同学的成绩和原来44人的平均成绩相等，所以全班45人的平均成绩不会发生改变；
原来44个成绩的中位数，是排序后第22位和第23位成绩的平均数，计算得中位数为86，加入90分的补测成绩后，总人数变为45，此时中位数是排序后第23位的成绩，
如果原来的第22位、第23位成绩都是86，加入补测成绩后，新的第23位成绩还是86，因此中位数不变；
如果原来第22位成绩为85，第23位成绩为87，二者平均数为86，加入补测成绩后，新的第23位成绩变为87，中位数相比原来变大；
因此中位数可能不变，也可能变大，没办法确定最终的结果；
综上，平均数不变，中位数无法确定，
故选：B．
【分析】本题主要考查平均数与中位数的定义，掌握两个统计量的概念是解题的关键.
原来班级共有44名学生，原平均成绩为90，后来补测的成绩同样为90，加入补测成绩后总人数变为45，经过计算平均数不会发生改变；原44人的中位数是排序后第22和第23位数据的平均数，为86，现在加入一个90分的成绩，会改变原有数据的排序位置，需要结合原数据的具体分布分析中位数的变化.
6．如图，直线和与x轴分别交于点，，则的解集为（　　）
A． B．
C．或 D．
【答案】D
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：观察给定的函数图象可以得到：不等式组的解集是，
故选：D．
【分析】本题主要考查一次函数与一元一次不等式组的关系，解题的关键是结合函数图象与交点坐标分析不等式组的解集，根据给出的图象以及两个交点、的坐标，就可以推导出不等式组的解集.
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分．
7．使得有意义的x的取值范围是　 　．
【答案】
【知识点】分式有无意义的条件；二次根式有无意义的条件；函数自变量的取值范围
【解析】【解答】解：若要有意义，
则成立，
解不等式得，
故填：
【分析】本题考查的是确定函数自变量的取值范围，涉及二次根式、分式有意义的条件，掌握相关的要求是解决这道题的关键.
要让二次根式有意义，需要二次根式的被开方数是一个非负数；要让分式有意义，需要分式的分母不等于0，结合这两个要求列出条件，求解就能得到结果.
8．若点，都在直线上，则　 　（填“>”“<”“=”）
【答案】>
【知识点】比较一次函数值的大小
【解析】【解答】解：由题意可知k=-3<0
随x的增大而减小
又点，都在直线上，且
故填：>
【分析】本题考查一次函数的增减性规律，对于一次函数，当比例系数时，根据一次函数的性质可以得到，函数值y会随着自变量x的增大而减小.比较题目中给出的两个自变量，满足，结合y随x增大而减小的性质，就可以推出对应的函数值满足.
9．如图，投壶是中国古代一种宴会时的礼节性游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，，若，，，则成绩更稳定的是　 　（填“甲”或“乙”）
【答案】甲
【知识点】方差；分析数据的波动程度
【解析】【解答】解：，，
，
因此成绩更稳定的是甲，
故填：甲．
【分析】本题可依据方差的意义直接求解.
本题核心考查方差的相关知识，解题的关键在于掌握方差的意义：方差是用来衡量一组数据波动大小的统计量。方差越大，说明数据相对于平均值的离散程度越大，数据的稳定性也就越差；反之，方差越小，数据相对于平均值的离散程度越小，数据的稳定性就越好.
10．如图，在的网格中每个小正方形的边长都为1，的顶点A，B，C都在格点上，点O为边的中点，则线段的长为 　 　．
【答案】
【知识点】勾股定理的逆定理；直角三角形斜边上的中线；运用勾股定理解决网格问题
【解析】【解答】解：通过勾股定理得到：，，，
∴，，
∴是直角三角形，，
又∵点O为边的中点，
∴，
故填：．
【分析】本题主要涉及勾股定理、勾股定理的逆定理，以及直角三角形斜边上的中线的性质这几个知识点.先根据勾股定理计算得到，，，由此可得，接下来就可以利用勾股定理的逆定理，证明是直角三角形，最后结合直角三角形斜边上的中线的性质，就能推导出最终结论.
11．如图，正方形的边长为8，点E，F是对角线上的两点，且，则四边形的面积是　 　．
【答案】32
【知识点】二次根式的乘除混合运算；正方形的性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接交于点O，如图所示：
由题意可知四边形是正方形，且边长为8，
，，，，，
在中，由勾股定理得：，
，，
又，
，，
，，
，
，
，，
故填：32.
【分析】本题主要考查正方形的性质，解题的关键是掌握正方形对角线互相垂直平分的性质、勾股定理以及三角形面积公式的应用.
连接AC，与BD交于点O，根据正方形的性质结合勾股定理，可计算得出，因此正方形对角线一半的长度，结合题中给出的条件，可以推出。再根据三角形的面积公式，可以计算得到，将两个三角形的面积相加，即可得到四边形AECF的面积.
12．已知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，点P在y轴上（点P在点B下方且不与原点重合），并且使以点A，B，P为顶点的三角形为等腰三角形，则点P到原点的距离为　 　．
【答案】4或或
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；一次函数图象与坐标轴交点问题；等腰三角形的概念
【解析】【解答】解：由题意可知一次函数的图像与x轴、y轴分别交于点A，B，
，，
，
当时，由等腰三角形的三线合一可得，，
∴，
当时，，
又∵点P在点B下方且不与原点重合，
∴可以看作点向下平移个单位长度所得，
∴，
当垂直平分线段时，设长为，则，
由勾股定理得，，
即，
解得，
∴，
点P到原点的距离为：4或或．
故填：4或或．
【分析】本题考查了一次函数图象上点的坐标特征、勾股定理、等腰三角形的性质与线段垂直平分线的性质.
解题步骤为：先求出点A和点B的坐标，绘制出对应图形，再结合等腰三角形的性质计算，最终得到点P的坐标.
三、解答题：本题共11小题，共84分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
13．（1）计算：；
（2）已知点在直线上，求代数式的值．
【答案】（1）解：原式=
；
（2）解：由题意可知点在直线上，
，
，
【知识点】二次根式的混合运算；一次函数的概念
【解析】【分析】本题主要涉及二次根式的混合运算，以及一次函数图象上点的坐标特征
（1）先对原式中的各个二次根式进行化简，再按照二次根式的加法和减法运算法则计算最终结果；
（2）将点代入一次函数解析式，整理后即可得到关系式
14．如表是交警在一个路口统计的某个时段来往电动车的车速情况．
车速 10 15 20 25 30
车辆数 2 6 11 9 2
（1）求统计的电动车的平均车速；
（2）求统计的电动车车速的众数和中位数．
【答案】（1）解：，
统计的电动车的平均车速为．
（2）解：出现的次数最多，所以这些车的车速的众数为20；
共有30个，从小到大排列，排在最中间的两个数都是20，所以这些车的车速的中位数为．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】本题的解题关键是掌握中位数、众数的定义以及加权平均数的计算公式，这道题围绕这三个统计量进行考查.
（1）按照加权平均数的计算公式列出算式计算，即可得到对应结果；
（2）结合众数和中位数的定义进行判断，即可得到对应结果.
（1）解：，
答：统计的电动车的平均车速为．
（2）解：出现的次数最多，则这些车的车速的众数为20；
共有30个，从小到大排列，排在最中间的两个数都是20，故中位数为．
15．某校在一次消防演练中，消防队员需要通过攀爬长的云梯到高的宿舍楼顶营救“被困”学生．已知消防车按如图停放，云梯的底端A离地面、与宿舍外墙的距离是．云梯够长吗？请说明理由．
【答案】解：云梯够长．理由如下：
如图，连接．
，，
，
在中利用勾股定理，得，
又，
云梯够长．
【知识点】勾股定理的实际应用-梯子滑动问题
【解析】【分析】这道题主要考查勾股定理的应用，掌握勾股定理是正确解题的核心.
连接，先借助勾股定理计算出的长度，再将计算结果和云梯的长度进行比较，就可以得到最终结论.
16．如图，在中，点E是边的中点，是对角线，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹，不写作法）
（1）如图1，在边上找一点O，使平分的面积；
（2）如图2，分别在边上找点P，M，N，作
【答案】（1）解：连接交于点O，
则点O即为所求．
（2）解：做辅助线，连接交于点O，连接并延长，交于点M，
在上任取一点P，连接并延长，交于点N，连接，
则即为所求．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】本题主要考查复杂作图，以及平行四边形的判定与性质相关知识.
（1）依据平行四边形的性质作图：连接BD，交于点O，得到的点O就是要求作的点.
（2）结合平行四边形的判定与性质作图：连接，交于点O，连接并延长，与交于点M；之后在边上任意取一点P，连接并延长，与交于点N，最后依次连接，即可得到所求的平行四边形.
（1）如图1，连接交于点O，
则点O即为所求．
（2）如图2，连接交于点O，连接并延长，交于点M，在上任取一点P，连接并延长，交于点N，连接，
则即为所求．
17．如图，已知函数的图像为直线，函数的图像为直线，直线，分别交x轴于点B，，分别交y轴于点D，E，和相交于点
（1）求m，k，b的值；
（2）若点P在x轴上且在点C的右侧，连接，当的面积是面积的2倍时，直接写出符合条件的点P的坐标．
【答案】（1）解：由题意可知函数的图象过、，
即
解得，
，，
又函数的图象过点，
，
解得，
故，，.
（2）P(20，0)
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【解答】解：（2）解：由（1）可知：的解析式为，的解析式为，
由函数可知，由函数可知，
，
又的面积是面积的2倍时，
，
．
【分析】本题是一次函数与几何结合的两条直线相交问题，掌握相关解题方法是解答本题的关键.
（1）解题时可以先通过待定系数法计算出m、k、b的取值，得到对应参数的值；
（2）可以先结合两个直线的解析式分别得到点B和点C的坐标，再结合题目给出的条件推导出，最终就可以求出点P的坐标.
（1）解：∵函数的图象过、，
，
解得，
，，
函数的图象过点，
，
解得，
故，，；
（2）解：由（1）可知：的解析式为，的解析式为，
由函数可知，由函数可知，
，
的面积是面积的2倍时，
，
．
18．2025年世界泳联跳水世界杯北京站女子单人10米跳台决赛在2025年5月3日举行，曾获东京奥运会女子单人10米跳台冠军的全红婵收获全场首个10分，出色地完成了自己的跳水比赛．如表是7名裁判对全红婵决赛第一跳的打分情况：
难度系数 裁判 1 2 3 4 5 6 7
打分/分 10
（1）写出7名裁判打分的众数和中位数；
（2）跳水比赛计分规则规定，在7个得分中去掉1个最高分和1个最低分，剩下5个得分的平均值为这一跳的完成分，根据“最后得分难度系数完成分”，那么全红婵第一跳的最后得分是多少？
【答案】（1）解：将打分从小到大排列为：，，，，，，10，
所以众数（分），中位数（分）
（2）解：去掉1个最高分10分和1个最低分分，
完成分（分），
最后得分（分），
即全红婵第一跳的最后得分是分．
【知识点】平均数及其计算；中位数；众数
【解析】【分析】本题考查了众数、算术平均数和中位数的相关知识，解题的关键在于先去掉1个10分与1个9分，再进行对应计算.
（1）先把所有打分按照从小到大的顺序排列，出现次数最多的打分就是这组数据的众数，排在最中间位置的打分就是这组数据的中位数；
（2）先去掉最高分1个10分和最低分1个9分，计算剩余打分的算术平均数，即可得到选手的完成分，最后再根据公式“最后得分难度系数完成分”计算，就能得出最终结果.
（1）解：将打分从小到大排列为：，，，，，，10，
众数（分），中位数（分）；
（2）解：去掉1个10分和1个分，
完成分（分），
最后得分（分），
答：全红婵第一跳的最后得分是分．
19．阅读下面的解题过程，体会如何发现隐含条件并回答下面的问题．
化简：
解：隐含条件，解得，
，
原式
【启发应用】
（1）按照上面的解法，试化简：；
【类比迁移】
（2）实数a，b在数轴上的位置如图所示，化简
【答案】（1）解：由题意可得隐含条件，
解得，
，
；
（2）解：通过数轴可得，，，
，，
．
【知识点】二次根式的性质与化简；判断数轴上未知数的数量关系
【解析】【分析】这道题主要考查二次根式的性质与化简，以及实数与数轴的相关知识.
（1）先根据二次根式有意义的隐含条件，确定x的取值范围，再利用二次根式的性质对原式进行化简即可；
（2）首先根据数轴上点的位置得到，，且，由此可以推断出，，最后再根据二次根式的性质化简待求式即可.
20．如图，已知直线与坐标轴分别交于A，B两点，与直线交于点
（1）若点P在y轴上，且，求点P的坐标；
（2）若点M在直线上，点M的横坐标为m，且，过点M作直线平行于y轴，与直线交于点N，且，求点M的坐标．
【答案】（1）解：由题意可知直线与坐标轴分别交于A，B两点，
令，解得，
，
又，，
，
又点P在y轴上，可设，
，
，
，
解得，
，
即或；
（2）解：由题意可知点M在直线上，点M横坐标为m，
，，
又，
在N点的上方，
又，
即，
解得，
．
【知识点】一次函数与二元一次方程（组）的关系；一次函数图象与坐标轴交点问题；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查两直线交点坐标的求解、直线围成三角形的面积计算以及线段长度的计算问题.
（1）先根据题目条件计算得到，设点P的坐标为，再结合的面积条件列出方程，求解方程就能得到点P的坐标；
（2）已知点M在直线上，若点M的横坐标为m，那么点M的坐标就是，点N和点M横坐标相同，因此点N坐标为 .结合条件可以判断出M位于N点上方，再根据线段长度条件建立方程，求解方程即可得到m的值.
（1）解：直线与坐标轴分别交于A，B两点，
令，解得，
，
，，
，
由点P在y轴上，可设，
，
，
，
解得，
，
即或；
（2）解：∵点M在直线上，点M横坐标为m，
，，
，
在N点的上方，
，
即，
解得，
．
21．某游泳馆推出了两种收费方式：
方式一：顾客先办理会员卡，每张会员卡150元，仅限本人使用，限期一年，凭卡游泳，每次游泳再付费35元．
方式二：顾客不办理会员卡，每次游泳付费45元．
设聪聪在一年内来此游泳馆的次数为，选择方式一的总费用为元，选择方式二总费用为元．
（1）请分别写出，与之间的函数解析式；
（2）聪聪如何选择更划算？
【答案】（1）解：由题意可得，，
与之间的函数解析式为，与之间的函数解析式为
（2）解：当时，即，解不等式得，
当时，即，解不等式得，
当时，即，解不等式得，
当一年游泳超过15次时，选择方式一更划算；当一年游泳15次时，两种方式总费用相等；当一年游泳不足15次时，选择方式二更划算．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】本题是一次函数的实际应用题，解题的核心是先按照两种不同的收费标准，分别列出费用、和上网时长的函数关系式，再通过解一元一次不等式比较两种方案费用的大小.
（1）根据给定的收费规则，分别推导、关于的函数解析式；
（2）通过比较和的大小，得到不同情况下更优惠的方案即可.
（1）解：由题意可得，，，
与之间的函数解析式为，与之间的函数解析式为；
（2）解：当时，即，解得，
当时，即，解得，
当时，即，解得，
当一年游泳超过15次时，选择方式一更划算；当一年游泳15次时，两种方式总费用相等；当一年游泳不足15次时，选择方式二更划算．
22．【课本再现】
（1）如图1，点O是正方形对角线的交点，同时，点O是正方形的一个顶点，且这两个正方形的边长相等，两个正方形重叠的部分为四边形，则______， ______（填“>”“=”或“<”）；
【拓展延伸】
（2）如图2，正方形的对角线相交于点O，点E是边上一点，连接，过点O作，交于点．若四边形的面积是4，求线段的长．
【答案】（1），=
（2）解：连接，如图2所示：
点O是正方形的对角线的交点，，
同证明：，
，
，
，，
，
，不合题意，舍去，
线段的长为．
【知识点】三角形全等及其性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：（1）解：连接，如图1所示：
由题意可知点O是正方形对角线的交点，
，，，，
又点O是正方形的一个顶点，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
故填：，=
【分析】本题主要考查正方形的性质以及全等三角形的判定与性质.
（1）做辅助线连接，由正方形性质可得，，，，证明和全等得， ，进而得，由此即可得出故答案；
（2）做辅助线连接，同证明和全等可得，进而可得，再根据，得，由此可以得到线段的长．
23．如图，在平面直角坐标系中，直线交坐标轴于两点，过轴正半轴上一点作直线交轴正半轴于点，且．
（1）求出直线对应的函数解析式；
（2）点是线段上一动点（不与点重合），交于点，连接，判断的形状，并说明理由；
（3）若点为直线上的点，点为轴上的点．请问：直线上是否存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，若存在，请求出此时点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：由题意可知当时，，则，
，
当时，，则，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式可得，
解得，
直线的解析式为
（2）解： 是等腰直角三角形，理由如下：
，
，
，
又，
，
又，，
，
，
是等腰直角三角形
（3）解：存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，理由如下：
为直线上的点，
，
，
设，当点在点上方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示：
又，
，
又，
，
又，
，，
令，
则点到轴距离为，点到轴距离为，
，
点在直线上，
，
解得，
；
当P点在E点下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，，
令，
则点到轴距离为，点到轴距离为，
，
点在直线上，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；等腰三角形的判定与性质；一次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】本题主要考查一次函数的图象与性质，同时涉及待定系数法求解析式、三角形全等的判定与性质、等腰直角三角形的判定与性质等知识.
（1）先利用三角形全等求出点和点的坐标，再通过待定系数法计算得到直线的解析式；
（2）先证明，即可推出为等腰直角三角形；
（3）先设点，再分两种情况讨论：
当点在点上方时，过点作平行于轴的直线，过点作，交点记为，再过点作，交点记为，可证得，得到点，再结合点在直线上，代入得到方程，求解即可得到；
当点在点下方时，按照相同的方法推导，同样可得到.
（1）解：当时，，则，
，
当时，，则，
，
，
，，
，，
设直线的解析式为，
将，代入解析式得：
，
解得，
直线的解析式为；
（2）解：，
，
，
，
，
，，
，
，
是等腰直角三角形；
（3）解：存在点，使得是以点为直角顶点的等腰直角三角形，
理由如下：
为直线上的点，
，
，
设，
当点在点上方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，，
令，
则点到轴距离为，点到轴距离为，
，
点在直线上，
，
解得，
；
当P点在E点下方时，过点作轴，过点作交于点，过点作交于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，，
令，
则点到轴距离为，点到轴距离为，
，
点在直线上，
，
解得，
；
综上所述：点坐标为．
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