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浙江省宁波市慈溪新世纪实验学校2025-2026学年八年级上学期数学月考试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称.
2．以下列长度的线段为边，不能构成三角形的是（　　）
A．5，12，13 B．3，4，5
C．101，102，103 D．5，7，12
【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A选项：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，满足三边关系要求，可以构成三角形，因此该选项不符合题目要求；
B选项：计算可得，符合三角形三边关系，能够构成三角形，因此该选项不符合题目要求；
C选项：计算得，满足三边关系的条件，可以构成三角形，因此该选项不符合题目要求；
D选项：计算可得，不满足“任意两边之和大于第三边”的要求，因此不能构成三角形，该选项符合题目要求；
故选：D.
【分析】本题主要考查三角形三边关系定理，准确掌握该定理是解决这道题的关键，只需要根据三边关系逐一判断选项即可.
3．下列说法：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形的对称轴有三条．其中正确的个数（　　）
A．0个 B．2个 C．1个 D．3个
【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：①等腰三角形属于轴对称图形，该说法正确；
②等腰三角形的对称轴是一条直线，而顶角平分线是一条线段，因此等腰三角形的对称轴应为顶角平分线所在的直线，原说法错误；
③等边三角形三条边所在的垂直平分线都是它的对称轴，因此等边三角形共有三条对称轴，该说法正确.
综上，正确的说法是①③，
故选：B.
【分析】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，需要结合两类三角形的性质对各个说法逐一进行分析判断，最终得到正确结论.
4．如图，在△ABC中MP、NQ分别垂直平分AB、AC.若BC=20cm，则△APQ的周长是（　　）
A．20cm B．10cm C．5cm D．15cm
【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵MP， NQ分别垂直平分AB， AC，
的周长是AP+QA+PQ=PB+PQ+QC=BC，
的周长是20cm.
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得然后根据三角形的周长计算即可.
5．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，①以O圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E：②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线.在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】如图， 连接EC、DC.
根据作图的过程知，在 与 中.
故答案为：C.
【分析】根据作图的过程知道OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得两三角形全等
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C=1：2：3 B．∠A+∠B=90°
C．α：b：c=2：3：4 D．
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C =180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、设a=2x， b=3x， c=4x，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
符合勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断C、D是否是直角三角形.
7．在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：在 中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是B.
故答案为：B.
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可.
8．如图，给出下列条件：①∠A=∠D，②∠ABC=∠DCB，③AB=DC，④AC=DB，选择其中2个条件，不能判断△ABC≌△DCB的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．⑧④
【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：若选①②.
所以A选项不符合题意；
若选②③.
∴不能判断 ，所以B选项不符合题意；
若选②④.
，所以C选项不符合题意；
若选③④.
所以D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断.
9．如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理
【解析】【解答】解：设，，则，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【分析】本题考查的是由直角三角形三边为边长构造的图形的面积相关问题，解题关键是利用图形的面积关系，结合完全平方公式完成求解.
设，，先梳理得到关于a、b的关系式，再据此计算目标图形的面积即可.
10．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E.下列结论中错误的是：（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解： 的平分线交于点O，
∴根据角平分线的定义得，
∵根据三角形内角和定理可得，
，所以结论A正确，不符合题意；
∵CD平分
所以结论B正确，不符合题意；
取AB的延长线于点M，AC的延长线于点N，如图：
ABC，
∵BE平分 CE平分
∵根据三角形内角和定理可得，
所以结论C正确，不符合题意；
由选项C知
无法得到 所以结论D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义可得 再由三角形的内角和定理可求解∠ 由角平分线的定义可得 结合三角形外角的额性质可判定 由三角形外角的性质可得 ，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定 由 的结果无法推出 解答即可.
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11．直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为　 　
【答案】5或4
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当6和8都为直角三角形的直角边时，根据勾股定理可得，直角三角形的斜边为 =10，
∴斜边上的中线长为10÷2=5；
当8为直角三角形的斜边，6为直角三角形的直角边时，
∴斜边上的中线长为8÷2=4，综上所述，斜边中线长为5或4，
故答案为：5或4.
【分析】根据两种情况：6和8都为直角边；8为斜边，6为直角边，得到斜边长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答.
12．已知命题“等腰三角形的两个底角相等”。这个命题的逆命题是　 　
【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形的两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”.
故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形.
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题.
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E.若DE=7，AC=16，则AD的长度为 　 　
【答案】9
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： BD平分 交AC于点D， DE
故答案为：9.
【分析】由角平分线的性质得出DE=DC=7，则可得出答案.
14．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是　 　尺．
【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：由题意可知：尺，尺，
∴（尺），
设绳索尺，则有尺，
根据题意得：，
即，
解得．
即绳索的长为10尺．
故答案为：10．
【分析】设绳索的长为x尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可解答．
15．如图是一块面积为 的三角形纸板，其中点D，E，F分别是线段AF，BD，EC的中点，则阴影部分的面积是　 　cm2.
【答案】4
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图， 连接AE、BF、CD.
∵点D是AF的中点，
∵点E是BD的中点，
同理可得， 影，根据题意，得
解得
∴阴影部分的面积是
故答案为：4.
【分析】连接AE、BF、CD，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”分别将各三角形的面积用含的代数式表示出来，再根据总面积列关于，S阴影的方程并求解即可.
16．如图，已知直角△ABC，∠ABC=90°，AB=1，AC=2，E为AC中点，∠BAC的角平分线交BC于点D，F，G分别是AD和AC上的动点，则EF+FG的最小值为　 　.
【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等积变换
【解析】【解答】解：连接BF，BG，
∵AC=2，点E是AC的中点，
∴AE=1=AB，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AF=AF，
∴△ABF≌△AEF，
∴BF=FE，
∴EF+FG=BF+FG≥BG，
当BG⊥AC时，取得最小值，
，
又∵，
∴，即最小值为，
故答案为：.
【分析】连接BF，BG，即可得到△ABF≌△AEF，进而得到BF=FE，可以得到EF+FG=BF+FG≥BG，然后得到当BG⊥AC时，取得最小值，然后根据勾股定理和三角形的面积解答即可.
三、解答题(本题有8小题，共66分)
17．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：DQ∥AB
【答案】证明：
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据SAS可知 从而得出. 根据内错角相等两直线平行的判定可得结论.
18．如图，在中，BD为AC边上的中线，已知的周长为20，求△ABD的周长.
【答案】解：∵BD为AC边上的中线，
，
的周长为20，BC=8，
，
的周长为AD+BD+AB=12+5=17.
【知识点】三角形的中线
【解析】【分析】根据三角形的中线可得AD=CD，然后根据△BCD的周长求出AD+BD，然后求出△ABD的周长即可.
19．已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点B、点C都在格点(正方形的顶点)上.
（1）的面积等于　 　个平方单位；
（2）画出关于直线l的对称图形；
（3）在直线l上找一点P，使.PB+PA的长最短.
【答案】（1）3
（2）解：如图，即为所求.
（3）解：如图， 连接BD， 交直线l于点P， 连接AP，此时PB+PA=PB+PD=BD，为最小值，
∴点P即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：×4=3.
故答案为：3.
【分析】（1）利用割补法求出△ABC的面积即可；
（2）作出点A，B关于直线l的对称点D，E，然后连接得到△CDE即可；
（3）连接BD ，交直线l于点P，点P即为所作.
20．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.
（1）求证：AC＝BD；
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数.
【答案】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴AC＝BD；
（2）解：在Rt△ACB中，∠ABC＝35°，
∴∠CAB＝90°-35°＝55°，
由（1）可知△ACB≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ABC＝35°，
∴∠CAO＝∠CAB-∠BAD＝55°-35°＝20°.
【知识点】角的运算；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）由题意可得△ACB和△BDA都是直角三角形，AD=BC，AB=BA，利用HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA，据此可得结论；
（2）根据余角的性质可得∠CAB＝90°-∠ABC＝55°，由全等三角形的性质可得∠BAD＝∠ABC＝35°，然后根据∠CAO＝∠CAB-∠BAD进行计算.
21．如图，AB⊥BC，AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，
（1）判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD的面积.
【答案】（1）解： 是直角三角形.
理由如下： 连接AC， ∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
由勾股定理，得
是直角三角形；
（2）解：在 中，
3×4=6，
在 中， ×5=30，
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)根据勾股定理得出AC，根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形即可；
(2)根据三角形的面积公式解答即可.
22．如图，在△ABC中，CE⊥BA的延长线于E，BF⊥CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF.
（1）若EF=3，BC=8，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC=28°，∠ACB=48°，求∠EMF的度数.
【答案】（1）解：∵CE⊥BA， BF⊥CA，
∴∠BFC=∠BEC=90°，
∵M为BC的中点， BC=8，
∵EF=3，
∴△EFM的周长=EF+FM+EM=3+4+4=11，
∴△EFM的周长为11；
（2）解：∵∠BEC=90°， M为BC的中点，
∴∠ABC=∠BEM=28°，
∴∠EMC=∠ABC+∠BEM=56°，
∵∠BFC=90°， M为BC的中点，
∴∠ACB=∠CFM=48°，
∴∠BMF=∠ACB+∠CFM=96°，
∴∠EMF=180°-∠EMC-∠BMF=28°，
∴∠EMF的度数为28°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1) 根据垂直定义可得∠BFC=∠BEC=90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得 从而进行计算即可解答；
(2)先利用直角三角形斜边上的中线性质得出BM=EM，FM=CM.从而利用等腰三角形的性质可得∠ABC=∠BEM=28°， ∠ACB=∠CFM=48°， 然后利用三角形外角的性质求出∠EMC和∠BMF的度数，从而利用平角定义进行计算即可解答.
23．如图，分别以三角形ABC的边AB，AC为边向外作等边和等边△ACE，CF交BE于点O，交AB于M，BE与AC交于点N.
（1）求证：△AFC≌△BAE
（2）连接AO，求证：AO平分∠EOF；
【答案】（1）证明：∵△ABF、△ACE均为等边三角形，
∴AF=AB， AC= AE， ∠FAB=∠CAE =∠AFB=∠ABF=60°，
∴∠FAB+∠ABC =∠CAE+∠ABC， 即∠FAC =∠BAE，
∴△FAC≌△BAE(SAS)；
（2）证明： 如图， 作AG⊥CF于G， AH⊥BE于H，
由(1)可得△FAC ≌ △BAE(SAS)，
∴AG=AH，
∵AG⊥CF， AH⊥BE，
∴点A在∠EOF的角平分线上， 即AO平分∠EOF；
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可，根据SAS证明两三角形全等即可；
(2)作 于G， AH⊥BE于H， 由(1)可得 ，由全等三角形的性质可得 结合三角形面积公式可得.AG=AH，再由角平分线的判定定理即可得证.
24．如图，已知△ABC中，∠B=90°、AB=8cm、BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动.且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.
（1）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形
（2）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
【答案】（1）解：根据题意得： BQ=BP， 即2t=8-t， 解得：
∴ 出发时间为秒时， △PQB 是等腰三角形；
（2）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1，
则
秒；
②当CQ=BC时，如图2，
则BC+CQ=12cm，
秒；
③当BC=BQ时，如图3，过B点作 于点E，则CE=EQ，
则
即CE=3.6cm，
秒.
综上，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， 为等腰三角形.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形-动点问题；等腰三角形的概念；等积变换
【解析】【分析】(1)由题意得出BQ=BP， 列方程解答即可；
(2)当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时(如图1)， 则∠C=∠CBQ， 可证明∠A=∠ABQ， 则BQ=AQ，则CQ=AQ， 从而求得t； ②当CQ=BC时(如图2)， 则BC+CQ=12(cm)， 易求得t； ③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E， 则求出BE， CE， 即可得出t.
1 / 1浙江省宁波市慈溪新世纪实验学校2025-2026学年八年级上学期数学月考试卷
一、选择题(本题有10小题，每小题3分，共30分)
1．在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．以下列长度的线段为边，不能构成三角形的是（　　）
A．5，12，13 B．3，4，5
C．101，102，103 D．5，7，12
3．下列说法：①等腰三角形是轴对称图形；②等腰三角形的对称轴是顶角的平分线；③等边三角形的对称轴有三条．其中正确的个数（　　）
A．0个 B．2个 C．1个 D．3个
4．如图，在△ABC中MP、NQ分别垂直平分AB、AC.若BC=20cm，则△APQ的周长是（　　）
A．20cm B．10cm C．5cm D．15cm
5．如图，下面是利用尺规作∠AOB的角平分线OC的作法，①以O圆心，适当长为半径画弧，分别交OA，OB于点D，E：②分别以D，E为圆心，大于的长为半径画弧，两弧在∠AOB内交于一点C；③画射线OC，射线OC就是∠AOB的角平分线.在用尺规作角平分线过程中，用到的三角形全等的判定方法是（　　）
A．ASA B．SAS C．SSS D．AAS
6．在△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别是a，b，c，下列条件中，不能判定△ABC是直角三角形的是（　　）
A．∠A：∠B：∠C=1：2：3 B．∠A+∠B=90°
C．α：b：c=2：3：4 D．
7．在△ABC中，画出边AC上的高，画法正确的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，给出下列条件：①∠A=∠D，②∠ABC=∠DCB，③AB=DC，④AC=DB，选择其中2个条件，不能判断△ABC≌△DCB的是（　　）
A．①② B．②③ C．②④ D．⑧④
9．如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，面积分别是和，两正方形的面积和，已知，则图中阴影部分面积为（　　）
A．20 B．22 C．24 D．26
10．在△ABC中，∠ABC，∠ACB的平分线交于点O，∠ACB的外角平分线所在直线与∠ABC的平分线交于点D，与∠ABC的外角平分线交于点E.下列结论中错误的是：（　　）
A． B．
C． D．
二、填空题(本题有6小题，每小题4分，共24分)
11．直角三角形两边长为6和8，则斜边中线长为　 　
12．已知命题“等腰三角形的两个底角相等”。这个命题的逆命题是　 　
13．如图，在△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC交AC于点D，过点D作DE⊥AB，垂足为点E.若DE=7，AC=16，则AD的长度为 　 　
14．我国古代数学名著《算法统宗》有一道“荡秋千”的问题：“平地秋千未起，踏板一尺离地．送行8尺与人齐，5尺人高曾记，仕女家人争蹴．良工高士素好奇，算出索长有几？”此问题可理解为：“如图，有一架秋千，当它静止时，踏板离地距离的长为1尺，将它向前水平推送8尺时，即尺．秋千踏板离地的距离和身高5尺的人一样高，秋千的绳索始终拉得很直，试问绳索有多长？”请运用所学知识求出秋千的长是　 　尺．
15．如图是一块面积为 的三角形纸板，其中点D，E，F分别是线段AF，BD，EC的中点，则阴影部分的面积是　 　cm2.
16．如图，已知直角△ABC，∠ABC=90°，AB=1，AC=2，E为AC中点，∠BAC的角平分线交BC于点D，F，G分别是AD和AC上的动点，则EF+FG的最小值为　 　.
三、解答题(本题有8小题，共66分)
17．如图，AC和BD相交于点O，OA=OC，OB=OD，求证：DQ∥AB
18．如图，在中，BD为AC边上的中线，已知的周长为20，求△ABD的周长.
19．已知：如图，由边长均为1个单位的小正方形组成的网格图中，点A、点B、点C都在格点(正方形的顶点)上.
（1）的面积等于　 　个平方单位；
（2）画出关于直线l的对称图形；
（3）在直线l上找一点P，使.PB+PA的长最短.
20．如图，AD，BC相交于点O，AD＝BC，∠C＝∠D＝90°.
（1）求证：AC＝BD；
（2）若∠ABC＝35°，求∠CAO的度数.
21．如图，AB⊥BC，AB=4，BC=3，DC=12，AD=13，
（1）判断△ACD的形状并说明理由；
（2）计算四边形ABCD的面积.
22．如图，在△ABC中，CE⊥BA的延长线于E，BF⊥CA的延长线于F，M为BC的中点，分别连接ME、MF、EF.
（1）若EF=3，BC=8，求△EFM的周长；
（2）若∠ABC=28°，∠ACB=48°，求∠EMF的度数.
23．如图，分别以三角形ABC的边AB，AC为边向外作等边和等边△ACE，CF交BE于点O，交AB于M，BE与AC交于点N.
（1）求证：△AFC≌△BAE
（2）连接AO，求证：AO平分∠EOF；
24．如图，已知△ABC中，∠B=90°、AB=8cm、BC=6cm，P、Q是△ABC边上的两个动点，其中点P从点A开始沿A→B方向运动.且速度为每秒1cm，点Q从点B开始沿B→C方向运动，且速度为每秒2cm，它们同时出发，设出发的时间为t秒.
（1）求出发时间为几秒时，△PQB是等腰三角形
（2）若Q沿B→C→A方向运动，则当点Q在边CA上运动时，求能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间.
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】轴对称图形
【解析】【解答】解：A.是轴对称图形，故本选项符合题意；
B.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
C.不是轴对称图形，故本选项不合题意；
D.不是轴对称图形，故本选项不合题意.
故答案为：A.
【分析】根据轴对称图形的概念对各选项分析判断利用排除法求解.如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线成轴对称.
2．【答案】D
【知识点】三角形三边关系
【解析】【解答】解：A选项：根据三角形三边关系，任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边，可得，满足三边关系要求，可以构成三角形，因此该选项不符合题目要求；
B选项：计算可得，符合三角形三边关系，能够构成三角形，因此该选项不符合题目要求；
C选项：计算得，满足三边关系的条件，可以构成三角形，因此该选项不符合题目要求；
D选项：计算可得，不满足“任意两边之和大于第三边”的要求，因此不能构成三角形，该选项符合题目要求；
故选：D.
【分析】本题主要考查三角形三边关系定理，准确掌握该定理是解决这道题的关键，只需要根据三边关系逐一判断选项即可.
3．【答案】B
【知识点】等腰三角形的性质；等边三角形的性质；轴对称图形
【解析】【解答】解：①等腰三角形属于轴对称图形，该说法正确；
②等腰三角形的对称轴是一条直线，而顶角平分线是一条线段，因此等腰三角形的对称轴应为顶角平分线所在的直线，原说法错误；
③等边三角形三条边所在的垂直平分线都是它的对称轴，因此等边三角形共有三条对称轴，该说法正确.
综上，正确的说法是①③，
故选：B.
【分析】本题主要考查等边三角形与等腰三角形的性质，需要结合两类三角形的性质对各个说法逐一进行分析判断，最终得到正确结论.
4．【答案】A
【知识点】线段垂直平分线的性质
【解析】【解答】∵MP， NQ分别垂直平分AB， AC，
的周长是AP+QA+PQ=PB+PQ+QC=BC，
的周长是20cm.
故答案为：A.
【分析】根据线段垂直平分线的性质可得然后根据三角形的周长计算即可.
5．【答案】C
【知识点】三角形全等的判定-SSS；尺规作图-作角的平分线
【解析】【解答】如图， 连接EC、DC.
根据作图的过程知，在 与 中.
故答案为：C.
【分析】根据作图的过程知道OE=OD，OC=OC，CE=CD，所以由全等三角形的判定定理SSS可以证得两三角形全等
6．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵∠A：∠B：∠C=1：2：3，
∴∠A+∠B=∠C，
∵∠A+∠B+∠C =180°，
∴∠C=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
B、∵∠A+∠B=90°，
∴∠C=180°-90°=90°，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意；
C、设a=2x， b=3x， c=4x，
∴△ABC不是直角三角形，符合题意；
符合勾股定理逆定理，
∴△ABC是直角三角形，不符合题意.
故答案为：C.
【分析】根据三角形内角和定理可判断A、B是否是直角三角形；根据勾股定理逆定理可判断C、D是否是直角三角形.
7．【答案】B
【知识点】尺规作图-作高
【解析】【解答】解：在 中，画出边AC上的高，即是过点B作AC边的垂线段，正确的是B.
故答案为：B.
【分析】作哪一条边上的高，即从所对的顶点向这条边或这条边的延长线作垂线段即可.
8．【答案】B
【知识点】三角形全等的判定
【解析】【解答】解：若选①②.
所以A选项不符合题意；
若选②③.
∴不能判断 ，所以B选项不符合题意；
若选②④.
，所以C选项不符合题意；
若选③④.
所以D选项不符合题意.
故答案为：B.
【分析】根据全等三角形的判定方法对各选项进行判断.
9．【答案】C
【知识点】完全平方公式的几何背景；勾股定理
【解析】【解答】解：设，，则，，，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴阴影部分的面积．
故选：C．
【分析】本题考查的是由直角三角形三边为边长构造的图形的面积相关问题，解题关键是利用图形的面积关系，结合完全平方公式完成求解.
设，，先梳理得到关于a、b的关系式，再据此计算目标图形的面积即可.
10．【答案】D
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；角平分线的性质；三角形的一内一外角平分线模型
【解析】【解答】解： 的平分线交于点O，
∴根据角平分线的定义得，
∵根据三角形内角和定理可得，
，所以结论A正确，不符合题意；
∵CD平分
所以结论B正确，不符合题意；
取AB的延长线于点M，AC的延长线于点N，如图：
ABC，
∵BE平分 CE平分
∵根据三角形内角和定理可得，
所以结论C正确，不符合题意；
由选项C知
无法得到 所以结论D错误，符合题意.
故答案为：D.
【分析】由角平分线的定义可得 再由三角形的内角和定理可求解∠ 由角平分线的定义可得 结合三角形外角的额性质可判定 由三角形外角的性质可得 ，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定 由 的结果无法推出 解答即可.
11．【答案】5或4
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：当6和8都为直角三角形的直角边时，根据勾股定理可得，直角三角形的斜边为 =10，
∴斜边上的中线长为10÷2=5；
当8为直角三角形的斜边，6为直角三角形的直角边时，
∴斜边上的中线长为8÷2=4，综上所述，斜边中线长为5或4，
故答案为：5或4.
【分析】根据两种情况：6和8都为直角边；8为斜边，6为直角边，得到斜边长度，再利用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，即可解答.
12．【答案】两个角相等的三角形是等腰三角形
【知识点】逆命题
【解析】【解答】解：因为原命题的题设是：“一个三角形是等腰三角形”，结论是“这个三角形的两底角相等”，
所以命题“等腰三角形的两个底角相等”的逆命题是“两个角相等的三角形是等腰三角形”.
故答案为：两个角相等的三角形是等腰三角形.
【分析】先找到原命题的题设和结论，再将题设和结论互换，即可而得到原命题的逆命题.
13．【答案】9
【知识点】角平分线的性质
【解析】【解答】解： BD平分 交AC于点D， DE
故答案为：9.
【分析】由角平分线的性质得出DE=DC=7，则可得出答案.
14．【答案】10
【知识点】勾股定理的实际应用-其他问题；古代诗中的数学
【解析】【解答】解：由题意可知：尺，尺，
∴（尺），
设绳索尺，则有尺，
根据题意得：，
即，
解得．
即绳索的长为10尺．
故答案为：10．
【分析】设绳索的长为x尺，根据勾股定理列出方程，解方程即可解答．
15．【答案】4
【知识点】利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】解：如图， 连接AE、BF、CD.
∵点D是AF的中点，
∵点E是BD的中点，
同理可得， 影，根据题意，得
解得
∴阴影部分的面积是
故答案为：4.
【分析】连接AE、BF、CD，根据“同高的两个三角形，其面积比等于底边长之比”分别将各三角形的面积用含的代数式表示出来，再根据总面积列关于，S阴影的方程并求解即可.
16．【答案】
【知识点】勾股定理；轴对称的应用-最短距离问题；三角形全等的判定-SAS；将军饮马模型-一线两点（一动两定）；等积变换
【解析】【解答】解：连接BF，BG，
∵AC=2，点E是AC的中点，
∴AE=1=AB，
又∵AD是∠BAC的平分线，
∴∠BAD=∠CAD，
又∵AF=AF，
∴△ABF≌△AEF，
∴BF=FE，
∴EF+FG=BF+FG≥BG，
当BG⊥AC时，取得最小值，
，
又∵，
∴，即最小值为，
故答案为：.
【分析】连接BF，BG，即可得到△ABF≌△AEF，进而得到BF=FE，可以得到EF+FG=BF+FG≥BG，然后得到当BG⊥AC时，取得最小值，然后根据勾股定理和三角形的面积解答即可.
17．【答案】证明：
【知识点】三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；内错角相等，两直线平行
【解析】【分析】根据SAS可知 从而得出. 根据内错角相等两直线平行的判定可得结论.
18．【答案】解：∵BD为AC边上的中线，
，
的周长为20，BC=8，
，
的周长为AD+BD+AB=12+5=17.
【知识点】三角形的中线
【解析】【分析】根据三角形的中线可得AD=CD，然后根据△BCD的周长求出AD+BD，然后求出△ABD的周长即可.
19．【答案】（1）3
（2）解：如图，即为所求.
（3）解：如图， 连接BD， 交直线l于点P， 连接AP，此时PB+PA=PB+PD=BD，为最小值，
∴点P即为所求.
【知识点】作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【解答】（1）解：×4=3.
故答案为：3.
【分析】（1）利用割补法求出△ABC的面积即可；
（2）作出点A，B关于直线l的对称点D，E，然后连接得到△CDE即可；
（3）连接BD ，交直线l于点P，点P即为所作.
20．【答案】（1）证明：∵∠C＝∠D＝90°，
∴△ACB和△BDA都是直角三角形，
在Rt△ACB和Rt△BDA中，
，
∴Rt△ACB≌Rt△BDA（HL），
∴AC＝BD；
（2）解：在Rt△ACB中，∠ABC＝35°，
∴∠CAB＝90°-35°＝55°，
由（1）可知△ACB≌△BDA，
∴∠BAD＝∠ABC＝35°，
∴∠CAO＝∠CAB-∠BAD＝55°-35°＝20°.
【知识点】角的运算；直角三角形全等的判定-HL
【解析】【分析】（1）由题意可得△ACB和△BDA都是直角三角形，AD=BC，AB=BA，利用HL证明Rt△ACB≌Rt△BDA，据此可得结论；
（2）根据余角的性质可得∠CAB＝90°-∠ABC＝55°，由全等三角形的性质可得∠BAD＝∠ABC＝35°，然后根据∠CAO＝∠CAB-∠BAD进行计算.
21．【答案】（1）解： 是直角三角形.
理由如下： 连接AC， ∵AB⊥BC， AB=4， BC=3，
由勾股定理，得
是直角三角形；
（2）解：在 中，
3×4=6，
在 中， ×5=30，
.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】(1)根据勾股定理得出AC，根据勾股定理的逆定理得出 是直角三角形即可；
(2)根据三角形的面积公式解答即可.
22．【答案】（1）解：∵CE⊥BA， BF⊥CA，
∴∠BFC=∠BEC=90°，
∵M为BC的中点， BC=8，
∵EF=3，
∴△EFM的周长=EF+FM+EM=3+4+4=11，
∴△EFM的周长为11；
（2）解：∵∠BEC=90°， M为BC的中点，
∴∠ABC=∠BEM=28°，
∴∠EMC=∠ABC+∠BEM=56°，
∵∠BFC=90°， M为BC的中点，
∴∠ACB=∠CFM=48°，
∴∠BMF=∠ACB+∠CFM=96°，
∴∠EMF=180°-∠EMC-∠BMF=28°，
∴∠EMF的度数为28°.
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；直角三角形斜边上的中线；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】(1) 根据垂直定义可得∠BFC=∠BEC=90°，然后利用直角三角形斜边上的中线性质可得 从而进行计算即可解答；
(2)先利用直角三角形斜边上的中线性质得出BM=EM，FM=CM.从而利用等腰三角形的性质可得∠ABC=∠BEM=28°， ∠ACB=∠CFM=48°， 然后利用三角形外角的性质求出∠EMC和∠BMF的度数，从而利用平角定义进行计算即可解答.
23．【答案】（1）证明：∵△ABF、△ACE均为等边三角形，
∴AF=AB， AC= AE， ∠FAB=∠CAE =∠AFB=∠ABF=60°，
∴∠FAB+∠ABC =∠CAE+∠ABC， 即∠FAC =∠BAE，
∴△FAC≌△BAE(SAS)；
（2）证明： 如图， 作AG⊥CF于G， AH⊥BE于H，
由(1)可得△FAC ≌ △BAE(SAS)，
∴AG=AH，
∵AG⊥CF， AH⊥BE，
∴点A在∠EOF的角平分线上， 即AO平分∠EOF；
【知识点】等边三角形的性质；角平分线的判定；三角形全等的判定-SAS；手拉手全等模型；全等三角形中对应边的关系
【解析】【分析】(1)由等边三角形的性质可，根据SAS证明两三角形全等即可；
(2)作 于G， AH⊥BE于H， 由(1)可得 ，由全等三角形的性质可得 结合三角形面积公式可得.AG=AH，再由角平分线的判定定理即可得证.
24．【答案】（1）解：根据题意得： BQ=BP， 即2t=8-t， 解得：
∴ 出发时间为秒时， △PQB 是等腰三角形；
（2）解：分三种情况：
①当CQ=BQ时，如图1，
则
秒；
②当CQ=BC时，如图2，
则BC+CQ=12cm，
秒；
③当BC=BQ时，如图3，过B点作 于点E，则CE=EQ，
则
即CE=3.6cm，
秒.
综上，当t为5.5秒或6秒或6.6秒时， 为等腰三角形.
【知识点】三角形的面积；勾股定理；三角形-动点问题；等腰三角形的概念；等积变换
【解析】【分析】(1)由题意得出BQ=BP， 列方程解答即可；
(2)当点Q在边CA上运动时，能使△BCQ成为等腰三角形的运动时间有三种情况：①当CQ=BQ时(如图1)， 则∠C=∠CBQ， 可证明∠A=∠ABQ， 则BQ=AQ，则CQ=AQ， 从而求得t； ②当CQ=BC时(如图2)， 则BC+CQ=12(cm)， 易求得t； ③当BC=BQ时(如图3)，过B点作BE⊥AC于点E， 则求出BE， CE， 即可得出t.
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