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内蒙古自治区呼和浩特市新城区实验集团 2025-2026学年七年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．如图，点、在射线上，直线，，那么的度数为（ ）
A． B． C． D．
2．淇淇一家要到革命圣地西柏坡参观．如图，西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，则淇淇家位于西柏坡的（ ）

A．南偏西方向 B．南偏东方向
C．北偏西方向 D．北偏东方向
3．下列结论中，正确的是（ ）
A．的立方根是 B．没有平方根
C．算术平方根等于它本身的数是0，1， D．
4．若，，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
5．已知轴，且点的坐标为．点的坐标为，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6．如果点P（m，1+2m）在第三象限内，那么m的取值范围是( )
A． B． C． D．
7．《孙子算经》是中国古代重要的数学著作，纸书大约在一千五百年前，其中一道题，原文是：“今三人共车，两车空；二人共车，九人步．问人与车各几何？”意思是：现有若干人和车，若每辆车乘坐3人，则空余两辆车：若每辆车乘坐2人，则有9人步行，问人与车各多少？设有x人，y辆车，可列方程组为（ ）
A． B． C． D．
8．若关于x的不等式组有且只有4个整数解，则a的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．用一张等宽的纸条折成如图所示的图案，若，则∠2的度数为________．

10．已知实数的两个不同的平方根是和，则的值为___________________________．
11．若关于，的二元一次方程组的解也是二元一次方程的解，则的值为________．
12．酥梨酥脆爽口，山竹酸甜可口，都广受顾客喜爱，某水果商店计划购进山竹和酥梨共200千克，已知山竹和酥梨的进价和售价如下表所示：
进价（元/千克） 售价（元/千克）
山竹 12 20
酥梨 4 7
若想要此次山竹和酥梨全部售完的利润不低于1000元，则最多可购进酥梨______千克．
三、解答题
13．（1）计算：；
（2）解方程组．
14．解不等式组：，并将其解集在数轴上表示出来．
15．如图，把三角形向上平移个单位，再向右平移个单位，得到三角形．
(1)画出三角形，并写出点，，的坐标；
(2)求三角形的面积；
(3)若点在轴上，且三角形与三角形的面积相等，求点的坐标．
16．如图，在中，平分，．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由．
(2)若，且，求的度数．
17．某商场购进，两种商品，已知购进件商品比购进件商品费用多元；购进件商品和件商品总费用为元．
(1)求，两种商品每件进价各为多少元．
(2)该商场计划购进，两种商品共件，且购进商品的件数不少于商品件数的倍．若商品按每件元销售，商品按每件元销售，为满足销售完，两种商品后获得的总利润不低于元，则购进商品的件数最多为多少？
18．已知如图，直线EF与AB、CD分别相交于点E、F．
（1）如图1，若∠1=120°，∠2=60°，求证AB∥CD；
（2）在（1）的情况下，若点P是平面内的一个动点，连结PE、PF，探索∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系；
①当点P在图2的位置时，可得∠EPF=∠PEB+∠PFD；
请阅读下面的解答过程，并填空（理由或数学式）
解：如图2，过点P作MN∥AB，
则∠EPM=∠PEB_____．
∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图）
∴MN∥CD_____．
∴∠MPF=∠PFD
∴∠_____+∠_____=∠PEB+∠PFD（等式的性质）
即∠EPF=∠PEB+∠PFD
②当点P在图3的位置时，∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间有何关系并证明．
③当点P在图4的位置时，请直接写出∠EPF、∠PEB、∠PFD三个角之间的关系：_____．
参考答案
1．D
【详解】解：∵，
∴，
∵，
∴．
2．D
【详解】解：如图：∵西柏坡位于淇淇家南偏西的方向，
∴淇淇家位于西柏坡的北偏东方向．

故选D．
3．D
【详解】选项A：，
的立方根是，
选项A错误，不符合题意；
选项B：正数都有平方根，，
有平方根，
选项B错误，不符合题意；
选项C：负数没有算术平方根，是负数，
算术平方根等于它本身的数只有和，
选项C错误，不符合题意；
选项D：，
，
选项D正确，符合题意．
4．A
【详解】解：，，，，
则被开方数的小数点向左移动两位，算术平方根的小数点向左移动一位，
，
．
5．A
【详解】解：∵直线轴，
∴点与点的横坐标相同，
，
，
，
故选：A．
6．D
【详解】解：∵点P（m，1+2m）在第三象限内，
∴，
解不等式①得：，
解不等式②得：，
∴不等式组的解集为：，
故选D．
7．B
【详解】解：设有x人，y辆车，
依题意得： ，
故选B．
8．B
【详解】解：解不等式得，；
解不等式得，；
原不等式组有4个整数解，
，
解得，
故选：
9．/度
【详解】解：如图，先标注点与角，

由对折可得：，
∴，
∵，
∴；
故答案为：
10．49
【详解】解：由题意得，，
解得，，
．
11．
【详解】解：，
①+②得：，即，
将代入①得：，即，
将，代入得：
解得：．
12．120
【详解】设购进酥梨千克，则购进山竹千克，
根据题意，得，
解得
∴最多可购进酥梨120千克．
故答案为：120．
13．（1）；（2）
【详解】（1）计算：
（2）解方程组：
由①得：③
②＋③得
把代入②得：
∴原方程组的解
14．，
解集在数轴上表示为：
【详解】解：，
由①得：x≤1，
由②得，x＞﹣4，
∴不等式组的解集为﹣4＜x≤1，
解集在数轴上表示为：
15．(1)解：如图所示，
点的坐标为，点的坐标为，点的坐标为
(2)6
(3)点P的坐标为或
【详解】（1）略
（2）解：；
（3）解：设点P坐标为，
，点P到的距离为，，
得，，
解得，或，
点P的坐标为或．
16．(1)与平行，理由见解答
(2)
【详解】（1）解：与平行．
理由：平分，
，
则，
，
，
．
（2）解：．
，
，
，
，
，
．
17．(1)商品的进价是100元/件，商品的进价是60元/件
(2)购进商品的件数最多为20件
【详解】（1）解：设A商品的进价是元/件，B商品的进价是元/件．
根据题意，
解得，
故A商品的进价是100元/件，B商品的进价是60元/件；
（2）解：设购进件A商品，则购进件B商品，
根据题意得，
解得，
的最大值为20．
故购进A商品的件数最多为20件．
18． 两直线平行，内错角相等 如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行 ∠EPM ∠MPF ∠EPF+∠PFD=∠PEB
【详解】（1）∵∠1=120°，
∴∠BEF=120°，
又∵∠2=60°，
∴∠2+∠BEF=180°，
∴AB∥CD；
（2）①如图2，过点P作MN∥AB，则∠EPM=∠PEB（两直线平行，内错角相等）．
∵AB∥CD（已知），MN∥AB（作图），
∴MN∥CD（平行于同一条直线的两条直线互相平行）．
∴∠MPF=∠PFD，
∴∠EPM+∠FPM=∠PEB+∠PFD（等式的性质），
即∠EPF=∠PEB+∠PFD，
故答案为两直线平行，内错角相等；平行于同一条直线的两条直线互相平行；∠EPM，∠MPF；
②∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；
证明：如图3，过作PM∥AB，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴MP∥CD，
∴∠BEP+∠EPM=180°，∠DFP+∠FPM=180°，
∴∠BEP+∠EPM+∠FPM+∠PFD=360°，
即∠EPF+∠PEB+∠PFD=360°；
③∠EPF+∠PFD=∠PEB．
理由：如图4，过作PM∥AB，
∵AB∥CD，MP∥AB，
∴MP∥CD，
∴∠PEB=∠MPE，∠PFD=∠MPF，
∵∠EPF+∠FPM=∠MPE，
∴∠EPF+∠PFD=∠PEB．

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