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广东省江门市蓬江区紫茶中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题
1．下列各组表示运动项目的图标中，能看作由其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
2．在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．若是二元一次方程的解，则的值（　　）．
A． B． C． D．
4．在下列四个数：，，，中，属于无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
5．如图，直线与交于点，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
6．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　）
A． B． C． D．
7．将一摞笔记本分给若干同学，每个同学分5本，则剩下8本；每个同学分8本，又差了7本.设有个同学，本笔记本．根据题意列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，下列①；②；③；④．能判定的条件有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．③④
9．如图，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
10．的算术平方根是　 　
11．如果点 在轴上，则点的坐标为　 　．
12．把二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，则　 　．
13．观察下表，　 　．
x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4
256 259.21 262.44 265.69 268.96
14．如图，边长为的两个正方形拼在一起，则阴影部分的面积为　 　
15．计算：
16．解方程组：．
17．“端午节”是中华民族的传统节日，某社区计划在今年“端午节”期间采购“砂糖馅”和“鲜肉馅”两种粽子到乡镇敬老院慰问老人．已知购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，求“砂糖馅”粽子和“鲜肉馅”粽子的单价．
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上．
（1）写出点的坐标．
（2）将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点的对应点，请在所给坐标系中画出．
（3）若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示点的坐标为___________．
19．已知正数的平方根分别为和的立方根是3，
（1）求的值．
（2）若的整数部分是，小数部分是，求的值．
20．综合与实践：
我们已经学行线的性质与判定，今天我们继续探究，折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线．
（1）知识初探如图1，长条中，，，将长形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．
①若，求的度数 ．
②若，则 （用含α的式子表示）．
（2）类比再探
如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的C'处，点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．
21．在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动．
如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接．
（1）若，，求的度数；
（2）如图2，点是直线上的两点，且．求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由．
22．已知点，点，点，且．
（1）求三点的坐标：
（2）将线段平移到线段，点对应点，点对应点．
①如图1，连接交轴于点，求三角形的面积；
②如图2，点从原点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴正方向运动，过点作的平行线交轴于点，在点运动的过程中始终保持．设点运动时间为秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：选项：两个图形可通过前后、上下平移得到，正确；
选项：两个图形是通过轴对称得到，不符合平移的要求，不正确；
选项：两个图形大小不同，不符合平移的要求，不正确；
选项：两个图形是通过旋转得到，不符合平移的要求，不正确．
故答案为：A
【分析】平移的图形“形状、大小、方向都不变，位置改变”，则符合题意的为A项．
2．【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点的横坐标为正数，纵坐标为负数，符合第四象限的坐标特征．
故答案为：D
【分析】点M的横坐标3为正数，纵坐标-5为负数，则点M在第四象限．
3．【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程得，
整理得，
解得．
故答案为：B
【分析】将 代入原方程 ，解得=6.
4．【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是分数，是整数，是有限小数，三者都属于有理数，
是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数．
故答案为：C.
【分析】根据无理数是无限不循环小数；有限小数和无限循环小数是有理数，四个数中无理数为.
5．【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：因为，，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
故答案为：B
【分析】根据角之间的关系即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当输入的时，取立方根为：，
4是有理数，取算术平方根为：，
2是有理数，取立方根为：，
是无理数，
即，
故答案为：C．
【分析】根据流程图，结合立方根定义（如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根），算术平方根定义（如果一个正数x的平方等于a，则x就是a的算术平方根），由无理数（无限不循环的小数就是无理数）与有理数（整数与分数统称有理数）进行判断即可得到答案．
7．【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有个同学，本笔记本，
第一种情况：每个同学分5本，剩下8本，分出去的笔记本总数加剩余8本等于总笔记本数，
可得，整理得；
第二种情况：每个同学分8本，差了7本，总笔记本数加缺少的7本才够分，
可得，整理得；
∴列出方程组为．
故答案为：A
【分析】根据 每个同学分5本，则剩下8本；每个同学分8本，又差了7本 ，总笔记本数相等，列方程组．
8．【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：①由可根据“同旁内角互补，两直线平行”得到，故符合题意；
②由可根据“内错角相等，两直线平行”得到，故不符合题意；
③由可根据“内错角相等，两直线平行”得到，故符合题意；
④由可根据“同位角相等，两直线平行” 得到，故符合题意；
综上所述：能判定的条件有①③④．
故答案为：B.
【分析】若，根据同旁内角互补，两直线平行，得；若或，根据内错角相等，两直线平行得；若，根据同位角相等，两直线平行，得，则符合题意的为①③④.
9．【答案】A
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意知：每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，，循环出现，得即，
故选：A．
【分析】根据前几个点的坐标变换，总结规律即可求出答案.
10．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=9，
又∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
11．【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点 在轴上，
∴，
解得：，
则，
∴点的坐标为．
【分析】点在x轴上，则纵坐标为0，即m-1=0，解得m=1，m+3=4，则点P（4，0）．
12．【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得．
故答案为：．
【分析】将含x的项移到方程的右边即可.
13．【答案】
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【分析】本题考查算术平方根的性质，一个数的小数点向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动一位，先从表格中找到时的值为16.2，再根据小数点的移动规律计算的值。
14．【答案】25
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：观察图形可以发现，左侧大正方形左上角的空白区域，和右侧正方形左上角的阴影区域形状大小完全相等，可以把右侧这块阴影平移到左侧的空白区域，此时所有分散的阴影就正好拼成了一个完整的正方形，这个正方形的边长为，
因此阴影部分的面积为，
故填：．
【分析】本题考查平移的性质在求解面积中的应用.
结合图形的特点，利用平移不改变图形大小和形状的性质，可将不规则的阴影部分转化为规则图形，再计算面积即可.
15．【答案】解：原式=9-2+(-3)+-1-
=3．
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】分别计算（-3）2=9，，再计算结果为3.
16．【答案】解：，
①×8+②得：33x=33，即x=1，
把x=1代入①得：y=1，
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
17．【答案】解：设“砂糖馅”粽子的单价为元，“鲜肉馅”粽子的单价为元．根据题意得：，
解得，
答：“砂糖馅”粽子的单价为5元，“鲜肉馅”粽子的单价为6元．
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设“砂糖馅”粽子的单价为元，“鲜肉馅”粽子的单价为元．根据“购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，”，列出方程组，解得，．
18．【答案】（1）
（2）解：所作如图所示：
（3）(x+5，y-4)
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：由坐标系可知：；
（3）解：由（2）可知：点的坐标为(x+5，y-4)
【分析】（1）根据坐标系点A，B在第二象限， 点C在第三象限，即；
（2）三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度 ，则点（0，-3），（1，0），（4，-5）；
（3）根据（2）中的平移 向右平移5个单位长度 ，横坐标减5， 再向下平移4个单位长度，纵坐标减4．
（1）解：由坐标系可知：；
（2）解：所作如图所示：
（3）解：由（2）可知：点的坐标为．
19．【答案】（1）解：∵正数的平方根分别为和的立方根是3，∴，，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）可知：，∴，即，
∴，
∴．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；平方根的概念与表示；平方根的性质；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据题意，得，，解得a=5，b=2，则m=16；
（2）由题意得，则有，y-x=．
（1）解：∵正数的平方根分别为和的立方根是3，
∴，，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，即，
∴，
∴．
20．【答案】（1）①；②
（2）解：，理由如下：
根据折叠性质得出，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：①由折叠性质得出，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：（1）；（2）．
【分析】（1）①根据折叠性质得出，从而计算出，结合“两直线平行、内错角相等”得出，最后由平角的定义计算即可得出；
②结合①的计算步骤，首先依据折叠性质得出，并计算得出，结合“两直线平行、内错角相等”得出，最后由平角的定义计算即可得出；
（2）结合折叠的性质首先得出，由“两直线平行、内错角相等”得出，利用等式的性质得出，从而推出，最后根据“内错角相等、两直线平行”得出．
（1）解：①由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为；
②由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，理由如下：
由题意得：∠CGE，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．【答案】（1）解：过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，∴，
∴；
（3）解：与之间的数量关系为，理由如下：设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）如图，过点作，
则有，然后可得，； ；
（2）由题意易得，由同角的余角相等，得 ；
（3）设，则，由，得，得，.
（1）解：过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴；
（3）解：与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
22．【答案】（1）
（2）（2）①如图，过点D作轴于点H．利用面积法求解；
②首先证明，再构建方程求解．
（2）
解：①如图，过点D作轴于点H，
由线段平移到线段，且点可知：点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，所以点，
∵，
∴，
∴
；
②由题意可得如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵三角形的面积等于三角形面积的两倍，
∴，
整理得：，
当时，则有，解得：；
当时，则有，解得：；
综上所述：当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，的值为2或10．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
【分析】（1）利用非负数的性质得，解得，则；
（2）①如图，过点D作轴于点H，
则 ，=6；
②由题意可得如图所示：
，，，由三角形的面积等于三角形面积的两倍，则，当时，t=2；当时，则t=10.
（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①过点D作轴于点H，
由线段平移到线段，且点可知：点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，所以点，
∵，
∴，
∴
；
②由题意可得如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵三角形的面积等于三角形面积的两倍，
∴，
整理得：，
当时，则有，解得：；
当时，则有，解得：；
综上所述：当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，的值为2或10．
1 / 1广东省江门市蓬江区紫茶中学2025-2026学年七年级下学期期中考试数学试题
1．下列各组表示运动项目的图标中，能看作由其中一个图形平移得到另一个图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】平移的性质；图形的平移
【解析】【解答】解：选项：两个图形可通过前后、上下平移得到，正确；
选项：两个图形是通过轴对称得到，不符合平移的要求，不正确；
选项：两个图形大小不同，不符合平移的要求，不正确；
选项：两个图形是通过旋转得到，不符合平移的要求，不正确．
故答案为：A
【分析】平移的图形“形状、大小、方向都不变，位置改变”，则符合题意的为A项．
2．在平面直角坐标系中，点位于（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：在平面直角坐标系中，点的横坐标为正数，纵坐标为负数，符合第四象限的坐标特征．
故答案为：D
【分析】点M的横坐标3为正数，纵坐标-5为负数，则点M在第四象限．
3．若是二元一次方程的解，则的值（　　）．
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】已知二元一次方程的解求参数
【解析】【解答】解：将代入方程得，
整理得，
解得．
故答案为：B
【分析】将 代入原方程 ，解得=6.
4．在下列四个数：，，，中，属于无理数的是（　　）
A． B．0 C． D．
【答案】C
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：是分数，是整数，是有限小数，三者都属于有理数，
是开方开不尽的数，是无限不循环小数，属于无理数．
故答案为：C.
【分析】根据无理数是无限不循环小数；有限小数和无限循环小数是有理数，四个数中无理数为.
5．如图，直线与交于点，．若，则的度数为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】角的运算；垂线的概念；邻补角
【解析】【解答】解：因为，，
所以．
因为，
所以．
因为，
所以．
故答案为：B
【分析】根据角之间的关系即可求出答案.
6．按如图所示的程序计算，若开始输入的x的值是64，则输出的y的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】求代数式的值-程序框图
【解析】【解答】解：当输入的时，取立方根为：，
4是有理数，取算术平方根为：，
2是有理数，取立方根为：，
是无理数，
即，
故答案为：C．
【分析】根据流程图，结合立方根定义（如果一个数x的立方等于a，则x就是a的立方根），算术平方根定义（如果一个正数x的平方等于a，则x就是a的算术平方根），由无理数（无限不循环的小数就是无理数）与有理数（整数与分数统称有理数）进行判断即可得到答案．
7．将一摞笔记本分给若干同学，每个同学分5本，则剩下8本；每个同学分8本，又差了7本.设有个同学，本笔记本．根据题意列方程组为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列二元一次方程组
【解析】【解答】解：设有个同学，本笔记本，
第一种情况：每个同学分5本，剩下8本，分出去的笔记本总数加剩余8本等于总笔记本数，
可得，整理得；
第二种情况：每个同学分8本，差了7本，总笔记本数加缺少的7本才够分，
可得，整理得；
∴列出方程组为．
故答案为：A
【分析】根据 每个同学分5本，则剩下8本；每个同学分8本，又差了7本 ，总笔记本数相等，列方程组．
8．如图，下列①；②；③；④．能判定的条件有（　　）
A．①②③ B．①③④ C．①②④ D．③④
【答案】B
【知识点】同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行
【解析】【解答】解：①由可根据“同旁内角互补，两直线平行”得到，故符合题意；
②由可根据“内错角相等，两直线平行”得到，故不符合题意；
③由可根据“内错角相等，两直线平行”得到，故符合题意；
④由可根据“同位角相等，两直线平行” 得到，故符合题意；
综上所述：能判定的条件有①③④．
故答案为：B.
【分析】若，根据同旁内角互补，两直线平行，得；若或，根据内错角相等，两直线平行得；若，根据同位角相等，两直线平行，得，则符合题意的为①③④.
9．如图，点A从依次跳动到，，，，，，，，，，…，按此规律，则点的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】点的坐标；用代数式表示图形变化规律；探索规律-点的坐标规律
【解析】【解答】解：由题意知：每跳动10次，点的横坐标增加4，纵坐标按0，1，1，0，0，3，3，0，，，循环出现，得即，
故选：A．
【分析】根据前几个点的坐标变换，总结规律即可求出答案.
10．的算术平方根是　 　
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵=9，
又∵（±3）2=9，
∴9的平方根是±3，
∴9的算术平方根是3．
即的算术平方根是3．
故答案为：3．
【分析】首先根据算术平方根的定义求出的值，然后即可求出其算术平方根．
11．如果点 在轴上，则点的坐标为　 　．
【答案】
【知识点】点的坐标与象限的关系
【解析】【解答】解：∵点 在轴上，
∴，
解得：，
则，
∴点的坐标为．
【分析】点在x轴上，则纵坐标为0，即m-1=0，解得m=1，m+3=4，则点P（4，0）．
12．把二元一次方程改写成用含x的式子表示y的形式，则　 　．
【答案】
【知识点】解二元一次方程
【解析】【解答】解：，
移项，得．
故答案为：．
【分析】将含x的项移到方程的右边即可.
13．观察下表，　 　．
x 16.0 16.1 16.2 16.3 16.4
256 259.21 262.44 265.69 268.96
【答案】
【知识点】无理数的估值；求算术平方根
【解析】【解答】解：，
∴，
∴，
，
故答案为：．
【分析】本题考查算术平方根的性质，一个数的小数点向左移动两位，其算术平方根的小数点向左移动一位，先从表格中找到时的值为16.2，再根据小数点的移动规律计算的值。
14．如图，边长为的两个正方形拼在一起，则阴影部分的面积为　 　
【答案】25
【知识点】利用平移的思想解决实际问题
【解析】【解答】解：观察图形可以发现，左侧大正方形左上角的空白区域，和右侧正方形左上角的阴影区域形状大小完全相等，可以把右侧这块阴影平移到左侧的空白区域，此时所有分散的阴影就正好拼成了一个完整的正方形，这个正方形的边长为，
因此阴影部分的面积为，
故填：．
【分析】本题考查平移的性质在求解面积中的应用.
结合图形的特点，利用平移不改变图形大小和形状的性质，可将不规则的阴影部分转化为规则图形，再计算面积即可.
15．计算：
【答案】解：原式=9-2+(-3)+-1-
=3．
【知识点】二次根式的加减法；实数的绝对值；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【分析】分别计算（-3）2=9，，再计算结果为3.
16．解方程组：．
【答案】解：，
①×8+②得：33x=33，即x=1，
把x=1代入①得：y=1，
则方程组的解为．
【知识点】加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】根据加减消元法解方程组即可求出答案.
17．“端午节”是中华民族的传统节日，某社区计划在今年“端午节”期间采购“砂糖馅”和“鲜肉馅”两种粽子到乡镇敬老院慰问老人．已知购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，求“砂糖馅”粽子和“鲜肉馅”粽子的单价．
【答案】解：设“砂糖馅”粽子的单价为元，“鲜肉馅”粽子的单价为元．根据题意得：，
解得，
答：“砂糖馅”粽子的单价为5元，“鲜肉馅”粽子的单价为6元．
【知识点】解二元一次方程组；二元一次方程组的实际应用-销售问题
【解析】【分析】设“砂糖馅”粽子的单价为元，“鲜肉馅”粽子的单价为元．根据“购买5个“砂糖馅”粽子和3个“鲜肉馅”粽子共需43元，购买2个“砂糖馅”粽子和6个“鲜肉馅”粽子共需46元，”，列出方程组，解得，．
18．如图，在平面直角坐标系中，三个顶点都在网格点上．
（1）写出点的坐标．
（2）将向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度，得到，其中点，，分别为点的对应点，请在所给坐标系中画出．
（3）若边上一点经过上述平移后的对应点为，用含的式子表示点的坐标为___________．
【答案】（1）
（2）解：所作如图所示：
（3）(x+5，y-4)
【知识点】点的坐标；坐标与图形变化﹣平移；作图﹣平移
【解析】【解答】（1）解：由坐标系可知：；
（3）解：由（2）可知：点的坐标为(x+5，y-4)
【分析】（1）根据坐标系点A，B在第二象限， 点C在第三象限，即；
（2）三角形向右平移5个单位长度，再向下平移4个单位长度 ，则点（0，-3），（1，0），（4，-5）；
（3）根据（2）中的平移 向右平移5个单位长度 ，横坐标减5， 再向下平移4个单位长度，纵坐标减4．
（1）解：由坐标系可知：；
（2）解：所作如图所示：
（3）解：由（2）可知：点的坐标为．
19．已知正数的平方根分别为和的立方根是3，
（1）求的值．
（2）若的整数部分是，小数部分是，求的值．
【答案】（1）解：∵正数的平方根分别为和的立方根是3，∴，，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）可知：，∴，即，
∴，
∴．
【知识点】实数的大小比较；无理数的估值；平方根的概念与表示；平方根的性质；立方根的概念与表示
【解析】【分析】（1）根据题意，得，，解得a=5，b=2，则m=16；
（2）由题意得，则有，y-x=．
（1）解：∵正数的平方根分别为和的立方根是3，
∴，，
解得：，
∴；
（2）解：由（1）可知：，
∴，即，
∴，
∴．
20．综合与实践：
我们已经学行线的性质与判定，今天我们继续探究，折纸中的数学—长方形纸条的折叠与平行线．
（1）知识初探如图1，长条中，，，将长形纸条沿直线折叠，点A落在处，点D落在处，交于点G．
①若，求的度数 ．
②若，则 （用含α的式子表示）．
（2）类比再探
如图2，在图1的基础上将对折，点C落在直线上的C'处，点B落在处，得到折痕，则折痕与有怎样的位置关系？并说明理由．
【答案】（1）①；②
（2）解：，理由如下：
根据折叠性质得出，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】翻折变换（折叠问题）；平行线的应用-证明问题；内错角相等，两直线平行；两直线平行，内错角相等
【解析】【解答】（1）解：①由折叠性质得出，，
∴，
∵，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：（1）；（2）．
【分析】（1）①根据折叠性质得出，从而计算出，结合“两直线平行、内错角相等”得出，最后由平角的定义计算即可得出；
②结合①的计算步骤，首先依据折叠性质得出，并计算得出，结合“两直线平行、内错角相等”得出，最后由平角的定义计算即可得出；
（2）结合折叠的性质首先得出，由“两直线平行、内错角相等”得出，利用等式的性质得出，从而推出，最后根据“内错角相等、两直线平行”得出．
（1）解：①由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故答案为；
②由题意得：，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
（2）解：，理由如下：
由题意得：∠CGE，
∵，
∴，
∴，
∴．
21．在综合实践课上，老师组织同学们开展了探究两角之间数量关系的数学活动．
如图1，已知直线，点分别为直线上的点，点是平面内直线之间任意一点，连接．
（1）若，，求的度数；
（2）如图2，点是直线上的两点，且．求证：．
（3）如图3，在（2）的条件下，作直线，交于点，则与相等吗？请说明理由．
【答案】（1）解：过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，∴，
∴；
（3）解：与之间的数量关系为，理由如下：设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
【知识点】铅笔头模型；平行线的应用-求角度；平行线的应用-证明问题
【解析】【分析】（1）如图，过点作，
则有，然后可得，； ；
（2）由题意易得，由同角的余角相等，得 ；
（3）设，则，由，得，得，.
（1）解：过点作，如图所示：
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
∴；
（3）解：与之间的数量关系为，理由如下：
设，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴．
22．已知点，点，点，且．
（1）求三点的坐标：
（2）将线段平移到线段，点对应点，点对应点．
①如图1，连接交轴于点，求三角形的面积；
②如图2，点从原点出发以2个单位长度/秒的速度沿轴正方向运动，过点作的平行线交轴于点，在点运动的过程中始终保持．设点运动时间为秒，当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，求的值．
【答案】（1）
（2）（2）①如图，过点D作轴于点H．利用面积法求解；
②首先证明，再构建方程求解．
（2）
解：①如图，过点D作轴于点H，
由线段平移到线段，且点可知：点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，所以点，
∵，
∴，
∴
；
②由题意可得如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵三角形的面积等于三角形面积的两倍，
∴，
整理得：，
当时，则有，解得：；
当时，则有，解得：；
综上所述：当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，的值为2或10．
【知识点】点的坐标；三角形的面积；坐标与图形变化﹣平移；算术平方根的性质（双重非负性）；三角形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
【分析】（1）利用非负数的性质得，解得，则；
（2）①如图，过点D作轴于点H，
则 ，=6；
②由题意可得如图所示：
，，，由三角形的面积等于三角形面积的两倍，则，当时，t=2；当时，则t=10.
（1）解：∵，且，
∴，
∴，
∴；
（2）解：①过点D作轴于点H，
由线段平移到线段，且点可知：点向右平移个单位，再向下平移个单位得到点，所以点，
∵，
∴，
∴
；
②由题意可得如图所示：
由题意得：，
∵，
∴，
∴，
∵三角形的面积等于三角形面积的两倍，
∴，
整理得：，
当时，则有，解得：；
当时，则有，解得：；
综上所述：当三角形的面积等于三角形面积的两倍时，的值为2或10．
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