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2026年浙江舟山市初中毕业生学业水平适应性考试数学 试题卷
1． 2026的倒数是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可.
2．下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中冬奥会图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B 、此选项中冬奥会图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C 、此选项中冬奥会图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D 、此选项中冬奥会图形是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3． 下列运算正确的是（　　)。
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不是同类项，无法合并，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则逐项判断解答即可．
4．用反证法证明“是无理数”时，应先假设（　　）
A．是无理数 B．是有理数 C．是正数 D．是实数
【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；反证法
【解析】【解答】解：先假设不是无理数即为有理数.
故答案为：B．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此结合实数分为有理数与无理数，即可解答.
5．如图，在中，，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有画弧的半径均相等）若，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据作图痕迹可知，EF是线段BC的垂直平分线，
由此可得D是BC的中点，
又因为，即△ABC直角三角形，
∴AD是斜边BC的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质可得．
故答案为：B.
【分析】 先根据作图过程判断出EF为线段BC的垂直平分线，得到 D是BC的中点， 再利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可得到BC的长.
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：与的位似比为，点的坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：，
∴列出方程为：，故A正确．
故答案为：A．
【分析】设共有x辆车，根据“每3人共乘一车，最终剩余2辆车”可将总人数表示为3(x-2)人；根据“每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”可将总人数表示为(2x+9)人，进而根据总人数不变列出方程即可.
8．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 的比例系数，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵，
∴.
【分析】
先通过反比例函数比例系数的正负，判断函数图象所在的象限，以及函数在每个象限内的增减性，再结合题目给出的的取值范围，比较对应函数值的大小.
9．2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市与增速，如下图所示．如果以2025年的增速预测舟山2026年全年增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】条形统计图；折线统计图；科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，234600000000×6.60%=15483600000≈1.55×1010.
故答案为：A.
【分析】由图可得2025年舟山GDP为2346亿元，增速为6.60%，从而2346亿元乘以增速预测出2026年舟山GDP的增量，最后再根据用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，解答即可.
10．已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵，
又∵当时．
∴
∵，
抛物线与轴的交点位于最高位置，
∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，
故答案为：A ．
【分析】先把抛物线y1、y2的一般式配方整理为顶点式，再结合“当x≥1时y1≤2”的条件，推导出a＜0，c-a=2，再结合y2图象与y轴的交点在最高位置”的条件，确定抛物线y2的开口方向和顶点位置，即可得到正确结论.
11．分解因式：　 　.
【答案】x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为： x（x-2）.
【分析】直接提取公因式x即可.
12． 随着科技的飞速发展， AI 人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为　 　。
【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵小赵选择AI软件，一共有种等可能的结果，其中选择“豆包”的结果有种，
∴小赵选择“豆包”的概率为.
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可.
13．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为　 　．
【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
14．不等式组的解集为　 　．
【答案】-3＜x≤2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为.
故答案为：-3＜x≤2.
【分析】根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
15．如图，在中，点是上一点，且，若，，则　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴即：，
∴.
故答案为：.
【分析】由有两组角相等的两个三角形相似得出△ACD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程即可求出AB的长，然后根据线段和差，由BD=AB-AD可算出答案.
16．如图，为内接三角形，其中为直径，且，点为和平分线的交点，延长交于点，连结，，．
①　 　；
②若，，与之间的函数关系为　 　．
【答案】6；
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵平分角，
∴，
∴弧AP=弧PB
∴，
∵为的直径，且，
∴，
∴；
②连接，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
∵为直径，
∴，，
∵点为和平分线的交点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∵中，，，
∴，
整理得．
故答案为：6；.
【分析】①如图，连接AP，由圆心角、弧、弦的关系及角平分线的定义可推出AP=BP，由直径所对圆周角为直角得出∠APB=90°，在Rt△ABP中，由勾股定理可算出BP的长；
②连接BE，过E分别作△ABC三边的垂线，垂足分别为M、M、F，由角平分线上的点到角两边距离相等得EN=EF=EM，由直径所对圆周角是直角及角平分线的定义得出∠NCE=∠FCE=45°，由等腰直角三角形性质得，由“HL”证Rt△ANE≌Rt△AME，由全等三角形对应边相等得，同理得，由，得，由结合三角形面积公式得，最后在Rt△OEM中由勾股定理建立等式，整理化简即可．
17．计算：
【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
先对立方根、零指数幂的运算分别化简，再计算减法即可得出结果.
18． 解方程：
【答案】解：两边同时乘(x-2)，得1+2(x-2)=3，
去括号，得1+2x-4=3，
解得： x=3，
检验：把x=3代入x-2≠0，
∴方程的解为x=3.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】先两边同时乘以(x-2)去分母，然后解整式方程求出x的值，然后检验解答即可.
19．如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，．
（1）求证：为切线；
（2）若，求的长．
【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴为切线；
（2）解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠B=∠C=∠BAE=30°，结合三角形内角和定理推出∠BAC=120°，由角的构成推出∠EAC=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由含30°角直角三角形的性质得出CE=2AE=2，最后根据BC=BE+CE可得答案.
（1）略
（2）解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
20．为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图．
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差（ms） 频数 对应扇形区域
5 A
B
14 C
11 D
10 E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________．
（2）这组数据的中位数落在________组．
（3）若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数．
【答案】（1）50，10，22
（2）C
（3）解：由题意得：
（台）；
答：200台同款机器人中合格的台数为116台．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台），
∴，；
故答案为：50；10；22；
（2）解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为，
∴这组数据的中位数落在C组；
故答案为：C；
【分析】（1）根据频数统计图表提供的信息，用A组频数除以其所占百分比即可得抽取的机器人数，然后根据各组频数之和等于本次抽取机器人总数可求出B组频数a的值，用D组频数除以抽取的机器人数再乘以100即可求出扇形统计图中b的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合频数分布表提供的信息解答即可；
（3）用200乘以样本中“表演合格”机器人所占百分比即可估计200台同款机器人中合格的台数．
（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台），
∴，；
（2）解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为，
∴这组数据的中位数落在C组；
（3）解：由题意得：
（台）；
答：200台同款机器人中合格的台数为116台．
21．在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时），单位通常为“分钟/公里”（），配速数值越高，代表运动速度越慢．小海参加了一场公里的健身跑活动，他的配速与已完成路程（单位：）之间的关系如图所示．
（1）是关于的函数吗 请说明理由．
（2）在、、三个位置中，运动速度最慢的是________．
（3）若点，求小海完成公里健身跑的时间．
【答案】（1）解：是关于的函数，理由如下：
∵在配速与已完成路程之间的变化过程中，有两个变量且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，
∴是关于的函数；
（2）
（3）解：∵，
∴小海完成公里健身跑的时间是分钟.
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（2）解：∵
结合配速越大运动速度越慢的规律，可得运动速度最慢的是；
故答案为：s2；
【分析】（1）依据函数的定义：对于每一个确定的自变量，都有且仅有一个因变量和它对应，按这个标准判断即可；
（2）配速指每跑1千米所花费的时间，配速的数值越大，代表跑1千米用时越长，对应的运动速度就越慢，结合得到的大小关系即可得出结论；
（3）根据“总运动时间=单千米配速×总跑步路程”，代入对应数值计算就可以得到所需的时间.
（1）答：是关于的函数，理由如下：
∵在配速与已完成路程之间的变化过程中，有两个变量且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，
∴是关于的函数；
（2）解：∵
∴运动速度最慢的是；
（3）解：∵，
∴小海完成公里健身跑的时间是分钟.
22．中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在以内，某高铁线路需避开山体，在点处规划两处绕行方案：方案一：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即；方案二：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线会经过一片沙地（即为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%．
（1）若与的距离为66米，求线段、、的长．
（2）在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：，，，）
【答案】（1）解：如图：作，垂足为，
∵，，
∴，∠DGB=90°，
又∵CE∥BF，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：方案一的造价更便宜，理由：
方案一造价：（万元），
方案二造价：（万元），
∵，
∴方案一的造价更便宜．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作CK⊥BF于点K，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出CK∥DG，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出四边形CKGD为矩形，由矩形对边相等得，由正弦函数定义，分别在Rt△BCK与Rt△BDG中求出BC、BD，再根据正切函数定义，分别在Rt△BCK与Rt△BDG中求出BK、BG，最后根据CD=KG=BG-BK可算出答案；
（2）分别求出方案一和方案二的造价，再比较即可得出结论．
（1）解：如图：作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）略
23．已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且．
（1）已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标．
（2）记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值．
（3）若对于，都有，求的取值范围．
【答案】（1）解：把代入得：，
解得：或（舍），
∴二次函数的解析式为，
令得，解得：，
∴该抛物线与轴的另一交点坐标为；
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）把代入求出符合题意的m=1，从而得出二次函数的解析式，然后令所求抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求出抛物线与x轴另一个交点坐标；
（2）由顶点式得出抛物线的对称轴直线为x=m，由点的坐标与图形性质得出C(m，0)，则，，进而得，将点A坐标代入代入进行求解即可；
（3）由题意易得抛物线开口向下，对称轴直线为x=m，故当x≤m时，y随x的增大而增大，进而根据题意判断出，在直线左侧，则有对于，都有，则，从而可得出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
（1）解：把代入得：，
解得：或（舍），
∴二次函数的解析式为，
令得，解得：，
∴该抛物线与轴的另一交点坐标为；
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
24．如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，设，将沿折叠得到，连接并延长交于点．
（1）用含的代数式表示．
（2）求证：
①；
②．
（3）如图2，当时，求的值．
【答案】（1）解：∵菱形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
（2）证明：①∵菱形，
∴，
由折叠可知，
，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，延长交于，作于．
由（2）得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，．
在中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角相等得到，根据折叠的性质得到，进而根据角的构成可求；
（2）①由菱形四边相等及折叠得出AD=AB=AG，根据等边对等角及三角形内角和得到，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABD为等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得出∠ADB=60°，然后根据角的构成即可求出；
②根据菱形的性质得到，根据等边三角形的三边相等得到AB=DB，从而利用“ASA”证明△ABE≌△DBH，由全等三角形的对应边相等即可证明BH=BE；
（3）连接EH，延长EG交CD于K，作KM⊥BD于M，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BEH为等边三角形，由等边三角形三边相等得出EH=BE=GE，由同位角相等两直线平行推出EH∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△DGK∽△HGE，设，由相似三角形对应边成比例得出DK=KG=2x，根据角直角三角形的性质得到DM=x，根据勾股定理得到，，求出，即可求出的值．
（1）解：∵菱形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：如图，连接，延长交于，作于．
由（2）得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，．
在中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
1 / 12026年浙江舟山市初中毕业生学业水平适应性考试数学 试题卷
1． 2026的倒数是（　　）
A． B． C．2026 D．-2026
2．下列历届冬奥会图形是中心对称图形的是（　　）
A． B．
C． D．
3． 下列运算正确的是（　　)。
A． B． C． D．
4．用反证法证明“是无理数”时，应先假设（　　）
A．是无理数 B．是有理数 C．是正数 D．是实数
5．如图，在中，，观察如图所示的尺规作图痕迹（图中所有画弧的半径均相等）若，则（　　）
A．3 B．4 C．5 D．6
6．如图，在平面直角坐标系中，的顶点为，，．以点为位似中心，在第三象限内作与的位似比为的位似图形，则点坐标为（　　）
A． B． C． D．
7．《孙子算经》中有一道题，原文是：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每3人共乘一车，最终剩余2辆车；若每2人共乘一车，则最终剩余9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有辆车，则可列方程为（　　）
A． B． C． D．
8．已知点，在反比例函数的图象上．若，则（　　）
A． B． C． D．
9．2026年1月，浙江省统计局公布2025年全省11个地市与增速，如下图所示．如果以2025年的增速预测舟山2026年全年增量，并且以元为单位表示这个数据，那么这个数据用科学记数法可以表示约为（　　）
A． B． C． D．
10．已知抛物线（，为常数且），当时．若抛物线与轴的交点位于最高位置时，则的图像可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
11．分解因式：　 　.
12． 随着科技的飞速发展， AI 人工智能应运而生，小赵从“Deepseek”，“豆包”，“Kimi”，“腾讯元宝”中随机选择一个AI软件验证数学问题，则小赵选择“豆包”的概率为　 　。
13．已知圆锥的底面半径为，母线长为，则圆锥的侧面积为　 　．
14．不等式组的解集为　 　．
15．如图，在中，点是上一点，且，若，，则　 　．
16．如图，为内接三角形，其中为直径，且，点为和平分线的交点，延长交于点，连结，，．
①　 　；
②若，，与之间的函数关系为　 　．
17．计算：
18． 解方程：
19．如图，点是外一点，的延长线交于点，点在圆上，连接，且，．
（1）求证：为切线；
（2）若，求的长．
20．为保障2026年央视春晚机器人武术表演的动作整齐度，技术人员抽取部分机器人开展动作同步误差检测，以此筛选最终上场的设备．规定：同步误差数值越小，代表动作精准度越高．误差单位为毫秒（ms）根据检测结果，绘制了如下未完成的频数统计表与扇形统计图．
机器人动作同步误差数据频数统计表
同步误差（ms） 频数 对应扇形区域
5 A
B
14 C
11 D
10 E
根据以上信息，解答下列问题：
（1）抽取的机器人数是________台，统计图表中________．________．
（2）这组数据的中位数落在________组．
（3）若规定误差小于30（）为“表演合格”，请估计200台同款机器人中合格的台数．
21．在长跑、骑行等耐力运动中，运动员常用“配速”来评估运动强度．配速是指运动时间与运动距离的比值（即每公里的运动耗时），单位通常为“分钟/公里”（），配速数值越高，代表运动速度越慢．小海参加了一场公里的健身跑活动，他的配速与已完成路程（单位：）之间的关系如图所示．
（1）是关于的函数吗 请说明理由．
（2）在、、三个位置中，运动速度最慢的是________．
（3）若点，求小海完成公里健身跑的时间．
22．中国高铁是“中国速度”的闪亮名片，其基础造价为每米10万元．为保障列车运行安全，高铁线路的拐角设计通常控制在以内，某高铁线路需避开山体，在点处规划两处绕行方案：方案一：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线恢复方向，即；方案二：设计的拐角，即，在点处再设计一个拐角使得路线与方案一的路线重合，但这样路线会经过一片沙地（即为沙地），使每米的造价比基础造价增加10%．
（1）若与的距离为66米，求线段、、的长．
（2）在（1）的条件下，方案一和方案二哪一个造价更便宜？并说明理由．（参考数据：，，，）
23．已知抛物线，，为坐标原点，，为该抛物线上的两点，且．
（1）已知点，求该抛物线与轴的另一交点坐标．
（2）记抛物线的对称轴与轴的交点为，若点在轴正半轴上，满足，求的值．
（3）若对于，都有，求的取值范围．
24．如图1，在菱形中，，是对角线上一点，连接，设，将沿折叠得到，连接并延长交于点．
（1）用含的代数式表示．
（2）求证：
①；
②．
（3）如图2，当时，求的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】有理数的倒数
【解析】【解答】解：的倒数是．
故答案为：A.
【分析】根据乘积为1的两个数互为倒数解答即可.
2．【答案】D
【知识点】中心对称图形
【解析】【解答】解：A、此选项中冬奥会图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
B 、此选项中冬奥会图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
C 、此选项中冬奥会图形不是中心对称图形，故此选项不合题意；
D 、此选项中冬奥会图形是中心对称图形，故此选项符合题意.
故答案为：D．
【分析】把一个平面图形，在平面内绕着某一点旋转180°后，能与自身重合的图形就是中心对称图形，根据定义即可逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】同底数幂的乘法；同底数幂的除法；合并同类项法则及应用；幂的乘方运算
【解析】【解答】解：A、，故A符合题意；
B、，故B不符合题意；
C、，故C不符合题意；
D、不是同类项，无法合并，故D不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据合并同类项，同底数幂的乘除法，幂的乘方法则逐项判断解答即可．
4．【答案】B
【知识点】实数的概念与分类；反证法
【解析】【解答】解：先假设不是无理数即为有理数.
故答案为：B．
【分析】反证法的步骤是：1、假设命题反面成立；2、从假设出发，经过推理得出和反面命题矛盾，或者与定义、公理、定理矛盾；3、得出假设命题不成立是错误的，即所求证命题成立要注意考虑结论的反面所有可能的情况，如果只有一种，那么否定一种就可以了，如果有多种情况，则必须全部否定，据此结合实数分为有理数与无理数，即可解答.
5．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；尺规作图-垂直平分线；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：根据作图痕迹可知，EF是线段BC的垂直平分线，
由此可得D是BC的中点，
又因为，即△ABC直角三角形，
∴AD是斜边BC的中线，
根据直角三角形斜边中线的性质可得．
故答案为：B.
【分析】 先根据作图过程判断出EF为线段BC的垂直平分线，得到 D是BC的中点， 再利用“直角三角形斜边中线等于斜边的一半”，即可得到BC的长.
6．【答案】B
【知识点】坐标与图形变化﹣位似
【解析】【解答】解：与的位似比为，点的坐标为，
点的横坐标为，纵坐标为，
点的坐标为．
故答案为：B.
【分析】在平面直角坐标系中，如果以坐标原点为位似中心，新图形与原图形的位似比为k，与原图形上（x，y）对应的位似图形上的点的坐标是（-kx，-ky）或（kx，ky），根据性质即可直接得出答案.
7．【答案】A
【知识点】列一元一次方程
【解析】【解答】解：设共有x辆车，根据人数不变列出等量关系，
每3人共乘一车，最终剩余2辆车，则人数为：，
每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，则人数为：，
∴列出方程为：，故A正确．
故答案为：A．
【分析】设共有x辆车，根据“每3人共乘一车，最终剩余2辆车”可将总人数表示为3(x-2)人；根据“每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘”可将总人数表示为(2x+9)人，进而根据总人数不变列出方程即可.
8．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数的性质
【解析】【解答】解：∵ 反比例函数 的比例系数，
∴ 函数图象位于第一、三象限，且在每个象限内， 随 的增大而减小，
∵，
∴.
【分析】
先通过反比例函数比例系数的正负，判断函数图象所在的象限，以及函数在每个象限内的增减性，再结合题目给出的的取值范围，比较对应函数值的大小.
9．【答案】A
【知识点】条形统计图；折线统计图；科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：依题意，234600000000×6.60%=15483600000≈1.55×1010.
故答案为：A.
【分析】由图可得2025年舟山GDP为2346亿元，增速为6.60%，从而2346亿元乘以增速预测出2026年舟山GDP的增量，最后再根据用科学记数法表示大于10的数，一般表示成a×10n的形式，其中1≤a＜10，n等于原数的整数位数减去1，解答即可.
10．【答案】A
【知识点】二次函数的最值；二次函数y=a（x-h）²+k的图象；二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c与二次函数y=a（x-h）²+k的转化；二次函数图象的平移变换
【解析】【解答】解：∵，
又∵当时．
∴
∵，
抛物线与轴的交点位于最高位置，
∴抛物线与轴交点坐标为且开口向下，
故答案为：A ．
【分析】先把抛物线y1、y2的一般式配方整理为顶点式，再结合“当x≥1时y1≤2”的条件，推导出a＜0，c-a=2，再结合y2图象与y轴的交点在最高位置”的条件，确定抛物线y2的开口方向和顶点位置，即可得到正确结论.
11．【答案】x（x-2）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：.
故答案为： x（x-2）.
【分析】直接提取公因式x即可.
12．【答案】
【知识点】概率公式；简单事件概率的计算
【解析】【解答】解：∵小赵选择AI软件，一共有种等可能的结果，其中选择“豆包”的结果有种，
∴小赵选择“豆包”的概率为.
故答案为：.
【分析】根据概率公式计算即可.
13．【答案】
【知识点】圆锥的计算；扇形的面积
【解析】【解答】解：圆锥的底面半径为4cm，母线长为6cm，
代入圆锥的侧面积公式得：S＝π×4×6＝24π（cm2），
故答案为：24π．
【分析】根据圆锥的侧面积公式S=πrl，代数求解即可．
14．【答案】-3＜x≤2
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【解答】解：
解不等式①得，
解不等式②得，
∴不等式组的解集为.
故答案为：-3＜x≤2.
【分析】根据解不等式的步骤分别解出不等式组中两个不等式的解集，根据口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小无解了确定出解集即可.
15．【答案】
【知识点】相似三角形的判定-AA；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：∵，，
∴，
∴，
∵，，
∴即：，
∴.
故答案为：.
【分析】由有两组角相等的两个三角形相似得出△ACD∽△ABC，由相似三角形对应边成比例建立方程即可求出AB的长，然后根据线段和差，由BD=AB-AD可算出答案.
16．【答案】6；
【知识点】三角形的面积；直角三角形全等的判定-HL；圆心角、弧、弦的关系；圆周角定理；三角形的内切圆与内心
【解析】【解答】解：①如图，连接，
∵平分角，
∴，
∴弧AP=弧PB
∴，
∵为的直径，且，
∴，
∴；
②连接，过分别作、、的垂线，垂足分别为、、，
∵为直径，
∴，，
∵点为和平分线的交点，
∴，，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
同理可得，
∵，
∴，
整理得，
∵，
∴，
即，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得，
∵中，，，
∴，
整理得．
故答案为：6；.
【分析】①如图，连接AP，由圆心角、弧、弦的关系及角平分线的定义可推出AP=BP，由直径所对圆周角为直角得出∠APB=90°，在Rt△ABP中，由勾股定理可算出BP的长；
②连接BE，过E分别作△ABC三边的垂线，垂足分别为M、M、F，由角平分线上的点到角两边距离相等得EN=EF=EM，由直径所对圆周角是直角及角平分线的定义得出∠NCE=∠FCE=45°，由等腰直角三角形性质得，由“HL”证Rt△ANE≌Rt△AME，由全等三角形对应边相等得，同理得，由，得，由结合三角形面积公式得，最后在Rt△OEM中由勾股定理建立等式，整理化简即可．
17．【答案】解：
．
【知识点】实数的混合运算（含开方）
【解析】【分析】
先对立方根、零指数幂的运算分别化简，再计算减法即可得出结果.
18．【答案】解：两边同时乘(x-2)，得1+2(x-2)=3，
去括号，得1+2x-4=3，
解得： x=3，
检验：把x=3代入x-2≠0，
∴方程的解为x=3.
【知识点】去分母法解分式方程
【解析】【分析】先两边同时乘以(x-2)去分母，然后解整式方程求出x的值，然后检验解答即可.
19．【答案】（1）证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
即，
∴为切线；
（2）解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
【知识点】含30°角的直角三角形；切线的判定；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【分析】（1）由等边对等角得∠B=∠C=∠BAE=30°，结合三角形内角和定理推出∠BAC=120°，由角的构成推出∠EAC=90°，从而根据垂直半径外端点的直线就是圆的切线可得结论；
（2）由含30°角直角三角形的性质得出CE=2AE=2，最后根据BC=BE+CE可得答案.
（1）略
（2）解：∵在中，，
∴，
∵，
∴．
20．【答案】（1）50，10，22
（2）C
（3）解：由题意得：
（台）；
答：200台同款机器人中合格的台数为116台．
【知识点】频数（率）分布表；扇形统计图；中位数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台），
∴，；
故答案为：50；10；22；
（2）解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为，
∴这组数据的中位数落在C组；
故答案为：C；
【分析】（1）根据频数统计图表提供的信息，用A组频数除以其所占百分比即可得抽取的机器人数，然后根据各组频数之和等于本次抽取机器人总数可求出B组频数a的值，用D组频数除以抽取的机器人数再乘以100即可求出扇形统计图中b的值；
（2）将一组数据按从小到大（或者从大到小）的顺序排列后，如果数据的个数是奇数个时，则处在最中间的那个数据叫做这组数据的中位数；如果数据的个数是偶数个时，则处在最中间的两个数据的平均数叫做这组数据的中位数，据此结合频数分布表提供的信息解答即可；
（3）用200乘以样本中“表演合格”机器人所占百分比即可估计200台同款机器人中合格的台数．
（1）解：由频数统计表和扇形统计图可知：抽取的机器人数为（台），
∴，；
（2）解：由中位数的定义可知：该组数据的中位数为第25和第26的数据之和的平均数，组和组的和为，组、组和组的和为，
∴这组数据的中位数落在C组；
（3）解：由题意得：
（台）；
答：200台同款机器人中合格的台数为116台．
21．【答案】（1）解：是关于的函数，理由如下：
∵在配速与已完成路程之间的变化过程中，有两个变量且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，
∴是关于的函数；
（2）
（3）解：∵，
∴小海完成公里健身跑的时间是分钟.
【知识点】函数的概念；通过函数图象获取信息
【解析】【解答】（2）解：∵
结合配速越大运动速度越慢的规律，可得运动速度最慢的是；
故答案为：s2；
【分析】（1）依据函数的定义：对于每一个确定的自变量，都有且仅有一个因变量和它对应，按这个标准判断即可；
（2）配速指每跑1千米所花费的时间，配速的数值越大，代表跑1千米用时越长，对应的运动速度就越慢，结合得到的大小关系即可得出结论；
（3）根据“总运动时间=单千米配速×总跑步路程”，代入对应数值计算就可以得到所需的时间.
（1）答：是关于的函数，理由如下：
∵在配速与已完成路程之间的变化过程中，有两个变量且对于的每一个确定的值，都有唯一确定的值与之对应，
∴是关于的函数；
（2）解：∵
∴运动速度最慢的是；
（3）解：∵，
∴小海完成公里健身跑的时间是分钟.
22．【答案】（1）解：如图：作，垂足为，
∵，，
∴，∠DGB=90°，
又∵CE∥BF，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）解：方案一的造价更便宜，理由：
方案一造价：（万元），
方案二造价：（万元），
∵，
∴方案一的造价更便宜．
【知识点】解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）作CK⊥BF于点K，由同一平面内垂直同一直线的两条直线互相平行得出CK∥DG，由两组对边分别平行的四边形是平行四边形及有一个内角为直角的平行四边形是矩形得出四边形CKGD为矩形，由矩形对边相等得，由正弦函数定义，分别在Rt△BCK与Rt△BDG中求出BC、BD，再根据正切函数定义，分别在Rt△BCK与Rt△BDG中求出BK、BG，最后根据CD=KG=BG-BK可算出答案；
（2）分别求出方案一和方案二的造价，再比较即可得出结论．
（1）解：如图：作，垂足为，
∵，，
∴，
又∵，
∴四边形为矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴；
（2）略
23．【答案】（1）解：把代入得：，
解得：或（舍），
∴二次函数的解析式为，
令得，解得：，
∴该抛物线与轴的另一交点坐标为；
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【分析】（1）把代入求出符合题意的m=1，从而得出二次函数的解析式，然后令所求抛物线解析式中的y=0，算出对应的自变量x的值，即可求出抛物线与x轴另一个交点坐标；
（2）由顶点式得出抛物线的对称轴直线为x=m，由点的坐标与图形性质得出C(m，0)，则，，进而得，将点A坐标代入代入进行求解即可；
（3）由题意易得抛物线开口向下，对称轴直线为x=m，故当x≤m时，y随x的增大而增大，进而根据题意判断出，在直线左侧，则有对于，都有，则，从而可得出关于字母m的不等式组，求解即可得出m的取值范围.
（1）解：把代入得：，
解得：或（舍），
∴二次函数的解析式为，
令得，解得：，
∴该抛物线与轴的另一交点坐标为；
（2）解：由可知：对称轴为直线，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
代入得：，
解得：或（舍），
所以；
（3）解：因为抛物线开口向下，故当时，随的增大而增大，
∵，
∴，在直线左侧，
若对于，都有，
则，
因为，，
所以，
解得：．
24．【答案】（1）解：∵菱形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
（2）证明：①∵菱形，
∴，
由折叠可知，
，
∵，
∴，
∵，
∴为等边三角形，
∴，
∴；
②∵，
∴，
∵菱形，
∴，
∵为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴；
（3）解：如图，连接，延长交于，作于．
由（2）得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，．
在中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【知识点】等边三角形的判定与性质；菱形的性质；翻折变换（折叠问题）；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）根据菱形的对角相等得到，根据折叠的性质得到，进而根据角的构成可求；
（2）①由菱形四边相等及折叠得出AD=AB=AG，根据等边对等角及三角形内角和得到，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△ABD为等边三角形，由等边三角形的每一个内角都是60°得出∠ADB=60°，然后根据角的构成即可求出；
②根据菱形的性质得到，根据等边三角形的三边相等得到AB=DB，从而利用“ASA”证明△ABE≌△DBH，由全等三角形的对应边相等即可证明BH=BE；
（3）连接EH，延长EG交CD于K，作KM⊥BD于M，由有一个内角为60°的等腰三角形是等边三角形得出△BEH为等边三角形，由等边三角形三边相等得出EH=BE=GE，由同位角相等两直线平行推出EH∥CD，由平行于三角形一边的直线截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似得出△DGK∽△HGE，设，由相似三角形对应边成比例得出DK=KG=2x，根据角直角三角形的性质得到DM=x，根据勾股定理得到，，求出，即可求出的值．
（1）解：∵菱形，
∴，
∵折叠，
∴，
∴；
（2）略
（3）解：如图，连接，延长交于，作于．
由（2）得，，
∴为等边三角形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
设，
则，．
在中，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
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