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内蒙古自治区呼和浩特市赛罕区呼市第三十六中学、内蒙古师大附中联考2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．下列各式一定是二次根式的是（ ）
A． B． C． D．
2．下列各组数分别为一个三角形三边的长，其中能构成直角三角形的一组是（ ）
A．2，2，3 B．2，3，4 C．5，12，13 D．4，5，6
3．四边形是平行四边形，添加下列条件，能判定这个四边形是菱形的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，在大烧杯中放了一个小烧杯，现向小烧杯中匀速注水，小烧杯满了后继续匀速注水，则大烧杯的液面高度h（cm）与注水时间t（s）的大致图象是（ ）

A． B．
C． D．
5．某市体育中考成绩按如下权重计算：身体测试必考项目占、选考项目占，运动技能测试占．小明在模拟训练中，身体测试必考项目、选考项目、运动技能测试三项成绩分别为：分、分、分，则小明的模拟训练成绩为（ ）
A．分 B．分 C．分 D．分
6．函数的图象为（ ）
A． B． C． D．
7．如图，已知，矩形ABCD中，AB=3 cm，AD=9 cm，将此矩形折叠，使点B与点D重合，折痕为EF，则AE的长为（ ）
A．3 cm B．4 cm
C．5 cm D． cm
8．如图所示，菱形中，直线，并从点出发沿射线向右平移，直线在菱形内部截得的线段的长为，平移距离为，与之间的函数关系图象如图所示，则菱形的面积为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
9．投壶是中国古代一种传统礼仪和宴饮游戏．在一次投壶比赛中，甲、乙两人成绩的平均数分别为，，方差分别为，，若，，，则________的成绩更稳定．（填“甲”或“乙”）
10．学完勾股定理之后，同学们想利用升旗的绳子、卷尺，测算出学校旗杆的高度．爱动脑筋的小明设计了一个方案：将升旗的绳子拉到旗杆底端，并在绳子上打了一个结，然后将绳子拉到离旗杆底端5米处，发现此时绳子底端距离打结处约1米，则小明算出旗杆的高度为____米．
11．如图，在平面直角坐标系中，若直线与直线相交于点A，则方程组的解是_____.
12．如图，在中，对角线，相交于点，平分，分别交，于点，，连接．若，，则下列结论：；；；．其中正确的有__________．（填序号）
三、解答题
13．计算：
(1)；
(2)．
(3)；
(4)．
14．周末，数学兴趣小组来到广场做活动课题，并制作如下实践报告：
活动课题 风筝高地面垂直高度探究
问题背景 风筝由中国古代劳动人民发明于东周春秋时期，距今已2000多年，相传墨翟以木头制成木鸟，研制三年而成，是人类最早的风筝起源．兴趣小组在放风筝时想测量风筝离地面的垂直高度．
测量数据抽象模型 假设风筝放飞时风筝线在空中被拉直（线段）．小组成员测量了相关数据，并画如下示意图，测得水平距离的长为80米，且线圈里的100米风筝线已全部放出，牵线放风筝的手到地面的距离为1.5米．
问题产生 经过讨论，兴趣小组提出以下问题： （1）根据测量所得数据，计算出风筝离地面的垂直高度； （2）若通过操控手中风筝线使风筝距离放风筝人的水平距离缩短20米，且手中仍无余线，此时风筝上升了多少米？
问题解决 ……
请你根据报告单内容完成问题解决，并写出完整的解答过程．
15．如图，菱形的对角线，相交于点O，且，．
(1)求证：四边形是矩形．
(2)若，求的度数．
16．甲、乙两组的测试成绩如下：
甲：91，96，70，89，60，70，100，80，92，98；
乙：92，93，70，88，82，75，96，80，92，95．
(1)求甲组数据的第一四分位数、第二四分位数、第三四分位数
(2)根据四分位数可绘制如下的箱线图，观察图中乙组的箱线图，绘制甲组的箱线图．
(3)根据箱线图和对四分位数的理解，谈谈对两组成绩的看法．
17．“十一”期间，小明一家乘坐高铁前往某市旅游，计划第二天租用新能源汽车自驾出游．根据以下信息，解答下列问题：
(1)设租车时间为小时，租用甲公司的车每日所需费用为元，租用乙公司的车每日所需费用为元，分别求出关于的函数表达式；
(2)当租车时间为多少小时时，两种方案所需费用相同；
(3)根据（2）的计算结果，结合图象，请你帮助小明选择怎样的出游方案更合算．
18．在数学综合与实践活动课上，同学们用两个完全相同的矩形纸片展开探究活动：
【实践探究】（1）小红将两个矩形纸片摆成图1的形状，连接，则______°；
【解决问题】（2）将矩形绕点A顺时针转动，边与边交于点M，连接，，．
①如图2，当时，求证：平分；
②如图3，当点F落在上时，连接交于点O，则________；
【迁移应用】（3）如图4，正方形的边长为，E是边上一点（不与点B、C重合），连接，将线段绕点E顺时针旋转至，作射线交的延长线于点G，求的长；
参考答案
1．A
【详解】解：A：，为二次根式，故A正确；
B：，二次根式被开方数为非负数，为负数，故B不符合题意；
C：为5的立方根，故C不符合题意；
D：为的立方根，故D不符合题意；
故选：A．
2．C
【详解】解：A．，不能构成直角三角形，不合题意；
B．，不能构成直角三角形，不合题意；
C．，能构成直角三角形，符合题意；
D．，不能构成直角三角形，不合题意．
3．C
【详解】∵四边形是平行四边形.
对于选项A.
∵，
∴，
∵，
∴，
∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，A不符合题意.
对于选项B.
无法推出平行四边形满足菱形的判定条件，不能判定为菱形，B不符合题意.
对于选项C.
∵对角线互相垂直的平行四边形是菱形，四边形是平行四边形，且，
∴平行四边形是菱形，C符合题意.
对于选项D.
∵对角线相等的平行四边形是矩形，四边形是平行四边形，且，
∴平行四边形是矩形，不能判定为菱形，D不符合题意.
综上，答案选C.
4．D
【详解】解：开始时向小烧杯中匀速注水，大烧杯的液面高度为零，
当小烧杯满了后继续匀速注水，大烧杯的液面高度随时间t的增加而增大，
当大烧杯的液面高度超过小烧杯后速度应该变慢，选项D符合题意．
故选：D．
5．C
【详解】解：小明的模拟训练成绩．
6．A
【详解】解：∵，
当时，，当时，则，
∴函数图象与轴的交点坐标为，与轴的交点坐标为，
∴A符合题意.
7．B
【详解】∵矩形ABCD折叠后点B与点D重合，
∴BE=ED，设AE=x，则ED=9–x，BE=9–x，
在Rt△ABE中，AB2+AE2=BE2，
即32+x2=（9–x）2，
解得x=4，
∴AE的长是4 cm．
故选B．
8．C
【详解】解：由图2可知，当直线过点时，，菱形的高等于线段的长，此时，直线向右平移直到点过点时，，
当直线过点时，，
∴菱形的边长为，
∴当点与点重合时，由勾股定理得，
∴，
∴菱形的高为，
∴菱形的面积为．
9．乙
【详解】解：，，
∴，
∴乙的成绩更稳定．
故答案为：乙．
10．12
【详解】解：设旗杆的高度为x米，根据题意，绳子长为米，
根据勾股定理，得，
故，
整理，得，
解得（米）．
11．
【详解】直线与直线相交于点A，且点A的坐标为：
则方程组的解是
故答案为
12．①②③④
【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，
，，
，
平分，
，
，
，
是等边三角形，
，
，
，即，故①正确；
，故③正确；
，
∴是的中位线，
∴，故②正确；
过点作于点，如图所示：
，
，
，
，
，
，故④正确；
综上所述：正确的结论有①②③④．
13．(1)
(2)
(3)
(4)
【详解】（1）解：
；
（2）解：
；
（3）解：
；
（4）解：
.
14．（1）61.5米；（2）20米
【详解】解：（1）在中，，米，米，
由勾股定理，可得米，
∴（米），
答：风筝离地面的垂直高度为米；
（2）如图，由题意，米，米，
在中，，由勾股定理，可得米，
则应该再放出（米），
答：风筝上升了米．
15．(1)证明见解析；
(2)
【详解】（1）证明：，，
四边形是平行四边形，
四边形是菱形，
，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：四边形是菱形，
，，，
，
，
，
．
16．(1)第一四分位数：70，第二四分位数：90，第三四分位数：96
(2)如图所示：
(3)根据箱线图和四分位数，可知甲组成绩比较分散，乙组成绩比较集中．（答案不唯一）
【详解】（1）解：把甲的成绩从小到大排列为：60，70，70，80，89，91，92，96，98，100，故第二四分位数（中位数）：，第一四分位数：70，第三四分位数：96；
（2）略；
（3）略．
17．(1)；
(2)当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同
(3)当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算．
【详解】（1）解：设，
把点代入，可得：，
解得，
∴；
设，
把代入，可得，即，
∴；
（2）解：当时，，
解得；
答：当租车时间为小时时，两种方案所需费用相同；
（3）解：由（2）知：当时，；
当时，，
解得；
当时，，
解得；
∴当租车时间为小时，任意选择其中的一个方案；当租车时间小于小时，选择方案二合算；当租车时间大于小时，选择方案一合算．
18．（1）45；
（2）①证明：∵，
，
∵矩形中，，
，
，
平分．
②4；
（3）
【详解】解：（1）∵长方形纸片和是两个完全相同的长方形，
，
，
，
∴是等腰直角三角形，
，
故答案为：45；
（2）①略
②过点B作于点E，
，
，
，
，
，
，
，
，
又，
，
，
，
，
，
又，
，
，
故答案为：4；
（3）过点作交延长线于点，
∵四边形是正方形，
，
，
由旋转得，
，
，
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰直角三角形，
．

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