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广东省深圳市龙岗区2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试卷
1．未来将是一个可以预见的AI时代，以下是四个人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
2．如图，天平左边的苹果质量为x克，右边的砝码质量为 200克，则x的取值范围可表示为(　　)
A．x<200 B．x≤200 C．x>200 D．x≥200
3．如图是一把三角结构的实木餐椅，其侧面椅腿可抽象成△ABC，点D，点E分别为边AB，AC的中点，若椅腿张开的水平距离BC=80cm，则椅腿横梁DE的长为(　　)
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
4．如图， 已知屋顶的主桁架△ABC 是等腰三角形，AB=AC， ∠A=70°， 点D是桁架AB边上的一点，为了加固屋檐，延长CB至点E，使得BD=BE，则∠E 的度数是(　　)
A．22.5° B．25° C．27.5° D．35°
5．正八边形受力均匀、结构稳固，还兼具良好的对称美感，常被用于数码产品外观设计．如图，某品牌手机后置镜头外沿设计为正八边形，则该正八边形的内角和是(　　)
A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
6．如图，长和宽分别为x、y的长方形的周长为10，面积为6，则 的值为(　　)
A．15 B．30 C．60 D．120
7．深圳龙岗大运片区绿色出行普及度高，某新能源电动车专卖店计划采购甲、乙两种型号电动车．已知乙型电动车的单价比甲型的单价多0.2万元，用12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等．设甲型电动车的单价为x万元，由题意可列方程(　　)
A． B．
C． D．
8． 将一副直角三角板如图放置， ∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC，作∠ABD的平分线交AD于点E，若 则DE的长为(　　)
A． B． C．1 D．
9．因式分解：　 　．
10．若分式 的值为零， 则x=　 　．
11． 如图， ∠1， ∠2， ∠3是△ABC的三个外角， 则∠1+∠2+∠3=　 　．
12． 如图， 一次函数y= ax+b和y= kx的图象交于点 P(2，3)， 则关于x的不等
式 ax+b>kx的解集为　 　．
13．如图， 在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠D=90°， BC的垂直平分线分别交AD， BC于点E和点 F， 若AD=5， CD=2AB=4， 则AE的长为　 　．
14．解不等式组：
15．先化简， 再求值： 其中x=-3．
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(4，4)，C(2，1).
（1）将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到对应的ΔA1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）将线段 BC绕着点c顺时针旋转90°得到线段 B'C ， 则点B'的坐标是　 　．
17．如图，在 ABCD中，点E，点F在对角线 BD上，连接AE， AF，CE， CF．
（1）请你在以下选项中选择一个条件，使得四边形AFCE是平行四边形，并写出证明过程；
①AE∥CF
②DF=BE
③∠BAF=∠DAE
（2）若AB=4， BD=6， BD⊥CD，求对角线AC的长．
18．综合与实践
如何安排工程队的施工任务
素材1 龙岗河是龙岗区的“母亲河”，全长约二十公里，它亲历了龙岗区发展成城市东部核心的点滴蜕变，见证了一代代龙岗人的青春年华．为了治理污水，提升河道生态功能，某改造项目组决定铺设一段全长3000米的污水排放管道，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队共同完成此任务．
素材2 乙工程队每天的工作效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成铺设管道所需的天数比乙工程队单独完成所需天数多30天．
素材3 改造项目组要求铺设污水排放管道的总费用不超过320万元，甲、乙两个工程队每天的工程费分别为2万元和3万元．
问题解决
任务1 分析效率 甲、乙两个工程队每天铺设管道的长度分别是多少米
任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天
19．若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”．
例如： 因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究：
【初步感知】寻找“智慧数”
小深的枚举法 … 小圳的代数推理法 通过观察发现O，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明： 设k是自然数，则 =2k×2 = 4k 4k表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”．
（1）下列自然数中，　 　是“智慧数”(填序号)；
①9 ②10 ③12 ④14
（2）【猜想验证】
小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想．
（3）【迁移应用】
某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台(如阴影所示)，剩下L型区域作为观展走廊．如图1，现社团采购了一块长为(x+7)米，宽为(x-3)米的地胶(其中x>3，x为自然数)，通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗 请说明理由，并求出舞台的边长．
20．综合与探究
【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形”．
【示例】如图1， 在四边形ABCD中， 若AB=AD， ∠C=∠D=90°， 则四边形ABCD 是“邻等双直四边形”．
（1）【概念辨析】
用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则这个图形是　 　(填序号)；
（2）【问题解决】
如图1， 在“邻等双直四边形” ABCD中， AB=AD， ∠C=∠D=90°， 连接BD．
求证： BD平分∠ABC；
（3） 如图2， 已知， ∠A=∠B =90°， 在射线BE上作出点C，使得四边形ABCD 是“邻等双直四边形”，且对角线 BD是其一内角的角平分线；
(要求：尽规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（4） 【联系拓广】
如图3， 在△ABC中，AB=AC， ∠A=90°， 点D是△ABC内部一点且满足AB=2AD， 将线段AD绕点A 顺时针旋转90°得到AE， 连接BD， CD， CE，当四边形AECD为“邻等双直四边形”时，求 的值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，若旋转后的图形能与原来的图形重合，则该图形为中心对称图形.
2．【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
x>200
故答案为：C
【分析】根据题意建立不等式即可求出答案.
3．【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，点E分别为边AB，AC的中点
∴
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
4．【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=70°
∴
∴∠ABE=∠A+∠C=125°
∵BD=BE
∴
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠C，根据三角形外角性质可得∠ABE，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
5．【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：(8-2)×180°=1080°
故答案为：B
【分析】根据正多边形内角和即可求出答案.
6．【答案】B
【知识点】矩形的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵长和宽分别为x、y的长方形的周长为10，面积为6
∴xy=6，2x+2y=10，即x+y=5
∴
故答案为：B
【分析】根据长方形性质可得xy=6，即x+y=5，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲型电动车的单价为x万元
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设甲型电动车的单价为x万元，根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ADC=90°，AD=DC，
∴AD=DC=3
∵∠ADB=90°，∠ABD=60°
∴
∵∠ABD的平分线交AD于点E
∴∠EBD=30°
∴
故答案为：C
【分析】根据等腰直角三角形性质可得AD=DC=3，解直角三角形可得BD，根据角平分线定义可得∠EBD=30°，再解直角三角形即可 求出答案.
9．【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x2+2×7×x+72．
故答案为：．
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
10．【答案】-2
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x2-4=0，且x-2≠0
解得：x=±2，且x≠2
∴x=-2
故答案为：-2
【分析】根据分式值为0及分式有意义的条件即可求出答案.
11．【答案】360°
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵ ∠1， ∠2， ∠3是△ABC的三个外角
∴∠1+∠2+∠3=360°
故答案为：360°
【分析】根据三角形外角和即可求出答案.
12．【答案】x<2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：
当x<2时，ax+b>kx
故答案为：x<2
【分析】当一次函数y=ax+b的图象在一次函数y= kx的图象上方时，有ax+b>kx，结合函数图象即可求出答案.
13．【答案】
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠D=90°
∴∠A=90°
连接BE，EC
∵BC的垂直平分线分别交AD，BC于点E和点F
∴BE=EC
∵AD=5， CD=2AB=4
设AE=x，则ED=5-x，
由勾股定理可得，BE2=AB2+AE2，EC2=ED2+DC2
即22+x2=42+(5-x)2
解得：x=
∴AE的长为
故答案为：
【分析】根据直线平行性质可得∠A=90°，连接BE，EC，根据垂直平分线性质可得BE=EC，设AE=x，则ED=5-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．【答案】解：解不等式①得x>-4，
解不等式②得x≥-1，
∴不等式组的解集为x≥-1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可求出答案.
15．【答案】解：
当x=-3时，
原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再将x值代入即可求出答案.
16．【答案】（1）解：如图， 为所求；
（2）(5，-1)
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）如图，B'C为所求
∴点B'的坐标为(5，-1)
故答案为：(5，-1)
【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质作图，再根据点B'的位置求出坐标即可.
17．【答案】（1）解：方法1： 选择 ① AE∥CF
理由如下：
∵AE∥CF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF 中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形
方法2： 选择 ②DF=BE
理由如下：
连接AC，与BD交于点O
∵DF=BE
∴ DF-EF =BE-EF
即BF=DE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC， OB=OD，
∴OB-BF=OD-DE
即OF=OE
∴四边形AECF 是平行四边形；
（2）解：连接AC，与BD交于点O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
∵BD⊥CD
∴∠ODC=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC=2OC=2×5=10
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①AE∥CF：根据直线平行性质可得，根据平行四边形性质可得AB=CD，AB∥CD，则∠ABE=∠CDF，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CDF(AAS)，则AE=CF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案；
选择②DF=BE：连接AC，与BD交于点O，根据边之间的关系可得即BF=DE，根据平行四边形性质可得OA=OC，OB=OD，再根据边之间的关系可得OF=OE，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接AC，与BD交于点O，根据平行四边形性质可得CD=AB=4，，根据勾股定理可得OC，再根据平行四边形性质即可求出答案.
18．【答案】解：任务1：解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天能铺设1.25x米，
根据题意，得
解得x=20，
经检验，x=20时是原方程的根
乙： 1.25x=1.25×20=25 (米)，
答：甲工程队每天铺设管道20米，乙工程队每天铺设25米．
任务2：解：设安排乙工程队工作a天，
根据题意，得
解得a≤40，
答：最多可安排乙工程队工作40天.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】任务1：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天能铺设1.25x米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设安排乙工程队工作a天，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
19．【答案】（1）①③
（2）解：设k是自然数，
=(k+1+k)(k+1-k)
=2k+1
∵2k+1表示自然数中所有的奇数，
∴自然数中所有的奇数都是“智慧数”.
（3）解：走廊的面积是“智慧数”
理由： (x+7)(x-3)
答：走廊的面积是“智慧数”，舞台的边长为5米．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：①9=52-42，
②10不能表示成两个自然数的平方差
③12=132-52
④14不能表示成两个自然数的平方差
故答案为：①③
【分析】（1）根据智慧数的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）设k是自然数，根据题意作差，结合平方差公式化简即可求出答案.
（3）根据矩形面积列式，结合多项式乘多项式，完全平方公式化简计算即可求出答案.
20．【答案】（1）③
（2）证明：如图，连接BD
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴BC∥AD
∴∠CBD=∠ADB
∴∠ABD=∠CBD.
∴BD平分∠ABC
（3）解：点C 就是所要作的点
方法1：
方法2：
（4）解：令AD=1，AB=2
∵线段AD绕点A 顺时针旋转90°得到AE
∴AE=AD， ∠EAD=90°
又∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD
∵AB=AC
∴△EAC≌△DAB (SAS)
①当∠AEC=90°时， ∠EAD=90°，AE=AD， 四边形AECD为“邻等双直四边形”
延长BD与CE交于点 F
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴四边形AEFD为矩形
∵AE=AD
∴矩形AEFD为正方形
∴DF=EF=AD=1
在Rt△ABD中，
②当∠ADC=90°时， ∠EAD=90°， AE=AD，四边形AECD为“邻等双直四边形”
过点 D作 DH⊥AB于点 H.
∵AE=AD=1， AC=AB=2， ∠EAD=90°
∴∠ACD=30°
∵∠ADC+∠EAD=180°
∴AE∥CD
∴∠EAC=30°
∵△EAC≌△DAB
∴∠DAB=∠EAC=30°
的值为 或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；角平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：
③不是“邻等双直四边形”
故答案为：③
【分析】（1）根据邻等双直四边形定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）连接BD，根据等边对等角可得∠ABD=∠ADB，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得BC∥AD，则∠CBD=∠ADB，再根据角平分线判定定理即可期辷答案.
（3）根据垂直平分线性质作图即可.
（4）令AD=1，AB=2是，根据旋转性质可得AE=AD，∠EAD=90°，根据全等三角形判定定理可得△EAC≌△DAB (SAS)，分情况讨论：
①当∠AEC=90°时， ∠EAD=90°，AE=AD， 四边形AECD为“邻等双直四边形”，延长BD与CE交于点F，根据正方形判定定理可得四边形AEFD为正方形，则DF=EF=AD=1，再根据勾股定理可得BD，再根据三角形面积即可求出答案；
②当∠ADC=90°时， ∠EAD=90°， AE=AD，四边形AECD为“邻等双直四边形”，过点 D作 DH⊥AB于点 H，根据含30°角的直角三角形性质可得∠ACD=30°，根据直线平行判定定理可得∠EAC=30°，根据全等三角形性质可得∠DAB=∠EAC=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得DH，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市龙岗区2025-2026学年下学期八年级期末考试数学试卷
1．未来将是一个可以预见的AI时代，以下是四个人工智能品牌公司的图标，其中是中心对称图形的是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：A是中心对称图形，符合题意；
B不是中心对称图形，不符合题意；
C不是中心对称图形，不符合题意；
D不是中心对称图形，不符合题意；
故答案为：A
【分析】在平面内，把一个图形绕着某个点旋转180°，若旋转后的图形能与原来的图形重合，则该图形为中心对称图形.
2．如图，天平左边的苹果质量为x克，右边的砝码质量为 200克，则x的取值范围可表示为(　　)
A．x<200 B．x≤200 C．x>200 D．x≥200
【答案】C
【知识点】列一元一次不等式
【解析】【解答】解：由题意可得：
x>200
故答案为：C
【分析】根据题意建立不等式即可求出答案.
3．如图是一把三角结构的实木餐椅，其侧面椅腿可抽象成△ABC，点D，点E分别为边AB，AC的中点，若椅腿张开的水平距离BC=80cm，则椅腿横梁DE的长为(　　)
A．30cm B．40cm C．50cm D．60cm
【答案】B
【知识点】三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵点D，点E分别为边AB，AC的中点
∴
故答案为：B
【分析】根据三角形中位线定理即可求出答案.
4．如图， 已知屋顶的主桁架△ABC 是等腰三角形，AB=AC， ∠A=70°， 点D是桁架AB边上的一点，为了加固屋檐，延长CB至点E，使得BD=BE，则∠E 的度数是(　　)
A．22.5° B．25° C．27.5° D．35°
【答案】C
【知识点】三角形内角和定理；三角形外角的概念及性质；等腰三角形的性质-等边对等角
【解析】【解答】解：∵△ABC是等腰三角形，AB=AC，∠A=70°
∴
∴∠ABE=∠A+∠C=125°
∵BD=BE
∴
故答案为：C
【分析】根据等边对等角及三角形内角和定理可得∠C，根据三角形外角性质可得∠ABE，再根据等边对等角及三角形内角和定理即可求出答案.
5．正八边形受力均匀、结构稳固，还兼具良好的对称美感，常被用于数码产品外观设计．如图，某品牌手机后置镜头外沿设计为正八边形，则该正八边形的内角和是(　　)
A．900° B．1080° C．1260° D．1440°
【答案】B
【知识点】正多边形的性质；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：(8-2)×180°=1080°
故答案为：B
【分析】根据正多边形内角和即可求出答案.
6．如图，长和宽分别为x、y的长方形的周长为10，面积为6，则 的值为(　　)
A．15 B．30 C．60 D．120
【答案】B
【知识点】矩形的性质；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：∵长和宽分别为x、y的长方形的周长为10，面积为6
∴xy=6，2x+2y=10，即x+y=5
∴
故答案为：B
【分析】根据长方形性质可得xy=6，即x+y=5，提公因式化简代数式，再整体代入即可求出答案.
7．深圳龙岗大运片区绿色出行普及度高，某新能源电动车专卖店计划采购甲、乙两种型号电动车．已知乙型电动车的单价比甲型的单价多0.2万元，用12万元购进甲型的数量和20万元购进乙型的数量相等．设甲型电动车的单价为x万元，由题意可列方程(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】列分式方程
【解析】【解答】解：设甲型电动车的单价为x万元
由题意可得：
故答案为：A
【分析】设甲型电动车的单价为x万元，根据题意建立方程即可求出答案.
8． 将一副直角三角板如图放置， ∠ADB=∠ADC=90°，AD=DC，作∠ABD的平分线交AD于点E，若 则DE的长为(　　)
A． B． C．1 D．
【答案】C
【知识点】解直角三角形；等腰直角三角形；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵∠ADC=90°，AD=DC，
∴AD=DC=3
∵∠ADB=90°，∠ABD=60°
∴
∵∠ABD的平分线交AD于点E
∴∠EBD=30°
∴
故答案为：C
【分析】根据等腰直角三角形性质可得AD=DC=3，解直角三角形可得BD，根据角平分线定义可得∠EBD=30°，再解直角三角形即可 求出答案.
9．因式分解：　 　．
【答案】
【知识点】因式分解﹣公式法
【解析】【解答】解：原式=x2+2×7×x+72．
故答案为：．
【分析】此题主要考查了公式法分解因式，正确应用公式是解题关键，直接利用完全平方公式分解因式得出答案．
10．若分式 的值为零， 则x=　 　．
【答案】-2
【知识点】分式有无意义的条件；分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
x2-4=0，且x-2≠0
解得：x=±2，且x≠2
∴x=-2
故答案为：-2
【分析】根据分式值为0及分式有意义的条件即可求出答案.
11． 如图， ∠1， ∠2， ∠3是△ABC的三个外角， 则∠1+∠2+∠3=　 　．
【答案】360°
【知识点】三角形的外角和
【解析】【解答】解：∵ ∠1， ∠2， ∠3是△ABC的三个外角
∴∠1+∠2+∠3=360°
故答案为：360°
【分析】根据三角形外角和即可求出答案.
12． 如图， 一次函数y= ax+b和y= kx的图象交于点 P(2，3)， 则关于x的不等
式 ax+b>kx的解集为　 　．
【答案】x<2
【知识点】一次函数与不等式（组）的关系
【解析】【解答】解：由图象可得：
当x<2时，ax+b>kx
故答案为：x<2
【分析】当一次函数y=ax+b的图象在一次函数y= kx的图象上方时，有ax+b>kx，结合函数图象即可求出答案.
13．如图， 在梯形ABCD中，AB∥CD， ∠D=90°， BC的垂直平分线分别交AD， BC于点E和点 F， 若AD=5， CD=2AB=4， 则AE的长为　 　．
【答案】
【知识点】平行线的性质；线段垂直平分线的性质；勾股定理
【解析】【解答】解：∵AB∥CD，∠D=90°
∴∠A=90°
连接BE，EC
∵BC的垂直平分线分别交AD，BC于点E和点F
∴BE=EC
∵AD=5， CD=2AB=4
设AE=x，则ED=5-x，
由勾股定理可得，BE2=AB2+AE2，EC2=ED2+DC2
即22+x2=42+(5-x)2
解得：x=
∴AE的长为
故答案为：
【分析】根据直线平行性质可得∠A=90°，连接BE，EC，根据垂直平分线性质可得BE=EC，设AE=x，则ED=5-x，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
14．解不等式组：
【答案】解：解不等式①得x>-4，
解不等式②得x≥-1，
∴不等式组的解集为x≥-1
【知识点】解一元一次不等式组
【解析】【分析】分别解两个不等式，再求出不等式组的解集即可求出答案.
15．先化简， 再求值： 其中x=-3．
【答案】解：
当x=-3时，
原式
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；分式的混合运算；分式的化简求值-直接代入
【解析】【分析】根据分式的混合运算，结合完全平方公式，平方差公式化简，再将x值代入即可求出答案.
16．如图，在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点分别是A(1，3)，B(4，4)，C(2，1).
（1）将△ABC先向左平移4个单位，再向下平移2个单位，得到对应的ΔA1B1C1，请画出平移后的△A1B1C1；
（2）将线段 BC绕着点c顺时针旋转90°得到线段 B'C ， 则点B'的坐标是　 　．
【答案】（1）解：如图， 为所求；
（2）(5，-1)
【知识点】作图﹣平移；作图﹣旋转
【解析】【解答】解：（2）如图，B'C为所求
∴点B'的坐标为(5，-1)
故答案为：(5，-1)
【分析】（1）根据平移性质作图即可.
（2）根据旋转性质作图，再根据点B'的位置求出坐标即可.
17．如图，在 ABCD中，点E，点F在对角线 BD上，连接AE， AF，CE， CF．
（1）请你在以下选项中选择一个条件，使得四边形AFCE是平行四边形，并写出证明过程；
①AE∥CF
②DF=BE
③∠BAF=∠DAE
（2）若AB=4， BD=6， BD⊥CD，求对角线AC的长．
【答案】（1）解：方法1： 选择 ① AE∥CF
理由如下：
∵AE∥CF，
∴，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD， AB∥CD，
∴∠ABE=∠CDF，
在△ABE和△CDF 中，
∴△ABE≌△CDF(AAS)，
∴AE=CF，
∴四边形AECF为平行四边形
方法2： 选择 ②DF=BE
理由如下：
连接AC，与BD交于点O
∵DF=BE
∴ DF-EF =BE-EF
即BF=DE
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC， OB=OD，
∴OB-BF=OD-DE
即OF=OE
∴四边形AECF 是平行四边形；
（2）解：连接AC，与BD交于点O
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴CD=AB=4，
∵BD⊥CD
∴∠ODC=90°
∵四边形ABCD是平行四边形
∴AC=2OC=2×5=10
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；勾股定理；平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】（1）选择①AE∥CF：根据直线平行性质可得，根据平行四边形性质可得AB=CD，AB∥CD，则∠ABE=∠CDF，再根据全等三角形判定定理可得△ABE≌△CDF(AAS)，则AE=CF，再根据平行四边形判定定理即可求出答案；
选择②DF=BE：连接AC，与BD交于点O，根据边之间的关系可得即BF=DE，根据平行四边形性质可得OA=OC，OB=OD，再根据边之间的关系可得OF=OE，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）连接AC，与BD交于点O，根据平行四边形性质可得CD=AB=4，，根据勾股定理可得OC，再根据平行四边形性质即可求出答案.
18．综合与实践
如何安排工程队的施工任务
素材1 龙岗河是龙岗区的“母亲河”，全长约二十公里，它亲历了龙岗区发展成城市东部核心的点滴蜕变，见证了一代代龙岗人的青春年华．为了治理污水，提升河道生态功能，某改造项目组决定铺设一段全长3000米的污水排放管道，并通过招标的方式委托甲、乙两个工程队共同完成此任务．
素材2 乙工程队每天的工作效率是甲工程队的1.25倍，甲工程队单独完成铺设管道所需的天数比乙工程队单独完成所需天数多30天．
素材3 改造项目组要求铺设污水排放管道的总费用不超过320万元，甲、乙两个工程队每天的工程费分别为2万元和3万元．
问题解决
任务1 分析效率 甲、乙两个工程队每天铺设管道的长度分别是多少米
任务2 分析任务量 最多可安排乙工程队工作多少天
【答案】解：任务1：解：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天能铺设1.25x米，
根据题意，得
解得x=20，
经检验，x=20时是原方程的根
乙： 1.25x=1.25×20=25 (米)，
答：甲工程队每天铺设管道20米，乙工程队每天铺设25米．
任务2：解：设安排乙工程队工作a天，
根据题意，得
解得a≤40，
答：最多可安排乙工程队工作40天.
【知识点】一元一次不等式的应用；分式方程的实际应用-工程问题
【解析】【分析】任务1：设甲工程队每天铺设x米，则乙工程队每天能铺设1.25x米，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设安排乙工程队工作a天，根据题意建立不等式，解不等式即可求出答案.
19．若一个自然数能表示成两个自然数的平方差，那么称这个自然数为“智慧数”．
例如： 因此3是一个“智慧数”．某数学学习小组对“智慧数”做了如下探究：
【初步感知】寻找“智慧数”
小深的枚举法 … 小圳的代数推理法 通过观察发现O，4，8是“智慧数”，因此他猜想4的倍数都是“智慧数”，并给出如下证明： 设k是自然数，则 =2k×2 = 4k 4k表示自然数中所有4的倍数，因此4的倍数都是“智慧数”．
（1）下列自然数中，　 　是“智慧数”(填序号)；
①9 ②10 ③12 ④14
（2）【猜想验证】
小圳通过观察小深的枚举法，猜想自然数中所有的奇数都是“智慧数”，请你参考小圳的方法证明他的猜想．
（3）【迁移应用】
某数学社团为了筹备成果展，要在一块正方形空地右上角布置一个正方形舞台(如阴影所示)，剩下L型区域作为观展走廊．如图1，现社团采购了一块长为(x+7)米，宽为(x-3)米的地胶(其中x>3，x为自然数)，通过裁切，恰好能铺满这条L型走廊．请问这条L型走廊的面积是“智慧数”吗 请说明理由，并求出舞台的边长．
【答案】（1）①③
（2）解：设k是自然数，
=(k+1+k)(k+1-k)
=2k+1
∵2k+1表示自然数中所有的奇数，
∴自然数中所有的奇数都是“智慧数”.
（3）解：走廊的面积是“智慧数”
理由： (x+7)(x-3)
答：走廊的面积是“智慧数”，舞台的边长为5米．
【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式及运用；勾股定理
【解析】【解答】解：①9=52-42，
②10不能表示成两个自然数的平方差
③12=132-52
④14不能表示成两个自然数的平方差
故答案为：①③
【分析】（1）根据智慧数的定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）设k是自然数，根据题意作差，结合平方差公式化简即可求出答案.
（3）根据矩形面积列式，结合多项式乘多项式，完全平方公式化简计算即可求出答案.
20．综合与探究
【定义】我们将有一组邻边相等且有两个邻角为直角的四边形称为“邻等双直四边形”．
【示例】如图1， 在四边形ABCD中， 若AB=AD， ∠C=∠D=90°， 则四边形ABCD 是“邻等双直四边形”．
（1）【概念辨析】
用分别含有30°或45°的直角三角形纸板拼出上面3个四边形，其中有一个不是“邻等双直四边形”，则这个图形是　 　(填序号)；
（2）【问题解决】
如图1， 在“邻等双直四边形” ABCD中， AB=AD， ∠C=∠D=90°， 连接BD．
求证： BD平分∠ABC；
（3） 如图2， 已知， ∠A=∠B =90°， 在射线BE上作出点C，使得四边形ABCD 是“邻等双直四边形”，且对角线 BD是其一内角的角平分线；
(要求：尽规作图，保留作图痕迹，不写作法)
（4） 【联系拓广】
如图3， 在△ABC中，AB=AC， ∠A=90°， 点D是△ABC内部一点且满足AB=2AD， 将线段AD绕点A 顺时针旋转90°得到AE， 连接BD， CD， CE，当四边形AECD为“邻等双直四边形”时，求 的值．
【答案】（1）③
（2）证明：如图，连接BD
∵AB=AD
∴∠ABD=∠ADB
∴BC∥AD
∴∠CBD=∠ADB
∴∠ABD=∠CBD.
∴BD平分∠ABC
（3）解：点C 就是所要作的点
方法1：
方法2：
（4）解：令AD=1，AB=2
∵线段AD绕点A 顺时针旋转90°得到AE
∴AE=AD， ∠EAD=90°
又∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD
∵AB=AC
∴△EAC≌△DAB (SAS)
①当∠AEC=90°时， ∠EAD=90°，AE=AD， 四边形AECD为“邻等双直四边形”
延长BD与CE交于点 F
∴∠ADB=∠AEC=90°，
∴四边形AEFD为矩形
∵AE=AD
∴矩形AEFD为正方形
∴DF=EF=AD=1
在Rt△ABD中，
②当∠ADC=90°时， ∠EAD=90°， AE=AD，四边形AECD为“邻等双直四边形”
过点 D作 DH⊥AB于点 H.
∵AE=AD=1， AC=AB=2， ∠EAD=90°
∴∠ACD=30°
∵∠ADC+∠EAD=180°
∴AE∥CD
∴∠EAC=30°
∵△EAC≌△DAB
∴∠DAB=∠EAC=30°
的值为 或
【知识点】含30°角的直角三角形；勾股定理；旋转的性质；角平分线的判定；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由题意可得：
③不是“邻等双直四边形”
故答案为：③
【分析】（1）根据邻等双直四边形定义逐项进行判断即可求出答案.
（2）连接BD，根据等边对等角可得∠ABD=∠ADB，根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得BC∥AD，则∠CBD=∠ADB，再根据角平分线判定定理即可期辷答案.
（3）根据垂直平分线性质作图即可.
（4）令AD=1，AB=2是，根据旋转性质可得AE=AD，∠EAD=90°，根据全等三角形判定定理可得△EAC≌△DAB (SAS)，分情况讨论：
①当∠AEC=90°时， ∠EAD=90°，AE=AD， 四边形AECD为“邻等双直四边形”，延长BD与CE交于点F，根据正方形判定定理可得四边形AEFD为正方形，则DF=EF=AD=1，再根据勾股定理可得BD，再根据三角形面积即可求出答案；
②当∠ADC=90°时， ∠EAD=90°， AE=AD，四边形AECD为“邻等双直四边形”，过点 D作 DH⊥AB于点 H，根据含30°角的直角三角形性质可得∠ACD=30°，根据直线平行判定定理可得∠EAC=30°，根据全等三角形性质可得∠DAB=∠EAC=30°，根据含30°角的直角三角形性质可得DH，再根据三角形面积即可求出答案.
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