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广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）高新中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、最高次数是1，不是一元二次方程，故A错误.
B、是分式方程，不是一元二次方程，故Ｂ错误.
C．是一元二次方程，故Ｃ正确.
D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故Ｄ错误.
故答案为：C．
【分析】根据只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程逐个选项判断即可.
2．下列各组中的四条线段成比例的是(　　)
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故答案为：A．
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
4．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，
∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是，
∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是，
故选：C．
【分析】根据题意求出B盘红色扇形区域所占的圆心角，进而列出树状图，再根据等可能事件的概率即可求解。
5．如图，直线、交于点O，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
【分析】根据平行线分线段成比例得到，再代入计算即可求解。
6．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．正方形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：A：四边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意；
B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
C：正方形的对角线相等，正确，不符合题意；
D：对角线相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据菱形，矩形的判定定理及正方形的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定（AA、SAS等）结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，则的长不可能等于（　　）
A． B．5 C． D．6
【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点P为斜边上一动点，
∴当时最短，
由勾股定理，得：，
当时，则：，即：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的长不可能为；
故选A．
【分析】连接，根据矩形的判定与性质得到，再根据垂线段最短结合勾股定理求出AC，从而根据三角形的面积得到，从而即可求解。
二、填空题（（每题3分，共15分）
9．已知，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，
∴，
故答案为：．
【分析】设，，再代入代数式，化简即可求出答案.
10．若方程的两根之积为，则为　 　.
【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出m的值即可.
11．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为　 　．
【答案】5
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长为，则的长为，
根据题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
∴长为．
故答案为：5．
【分析】设长为，则的长为，利用长方形的面积公式可得，再求出x的值即可.
12．如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是　 　．
【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线相交于点O，，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积；
故答案为：．
【分析】先利用菱形的性质及直角三角形斜边上中线的性质求出，再结合，利用菱形的面积公式求解即可.
13．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是　 　．
【答案】
【知识点】正方形的性质；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，
在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
，
．
取的中点，连接、，如图：
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，得，
当、、三点共线时，的长度最小，最小值．
故答案为：．
【分析】
如图所示，由于正方形的一条对角线平分一组对角，即，又AD=CD，则有，则；又因为AE=DF，则有，则，等量代换得，则有，即点H在以AB为直径的圆上运动，可取AB中点O，连接OH、OD，利用勾股定理可得，显然当O、H、D三点共线时DH最小，即最小值为OD与OH的差．
三、解答题（共7小题）
14．解方程：
（1）
（2）
【答案】（1）解：，
，
，
∴或，
∴，.
（2）解：，
，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
，
，
∴或，
∴，；
（2）解：，
，，，
∴，
∴，
∴，．
15．小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式
…
小红：原式
…
（1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
【答案】（1），
（2）解：选择小颖的解法：
，
∵，
∴，
∴，则原式；
选择小红的解法，
，
，
；
∵当为，时，原式无意义，
∴当时，原式．
【知识点】分式的基本性质；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】（1）解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律；
故答案为：，；
【分析】（1）根据分式的基本性质结合题意即可求解；
（2）选择小颖的解法，根据分式的混合运算先化简，再根据分式的性质得到x的值，进而代入即可求解；选择小红的解法，根据题意先运用乘法分配律进行计算，进而化简，根据分式有意义的性质择值代入计算即可求解。
（1）解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律；
故答案为：，；
（2）解：选择小颖的解法：
，
∵，
∴，
∴，则原式；
选择小红的解法，
，
，
；
∵当为，时，原式无意义，
∴当时，原式．
16．我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图；
（2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
（3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
【答案】（1）50人；
；
∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人，
∴C类人数为（人），补条形统计图如下．
（2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为，
∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）．
答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人．
（3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下：
甲\乙 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、．
∴他们两人填报同一项目的概率为．
答：他们两人填报同一项目的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的，
∴抽取的学生人数为（人）．
∵D类有人，
∴D类人数占总人数的比例为，
则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为．
故答案为：50人；．
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“D”的百分比并乘以360°可得圆心角，再求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先求出“C”的百分比，再乘以400可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的，
∴抽取的学生人数为（人）．
∵D类有人，
∴D类人数占总人数的比例为，
则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为．
∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人，
∴C类人数为（人），补条形统计图如下．
故答案为：50人；．
（2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为，
∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）．
答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人．
（3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下：
甲\乙 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、．
∴他们两人填报同一项目的概率为．
答：他们两人填报同一项目的概率是．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得点O为BD的中点，再根据三角形中位线定理可得OE∥FG，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据线段中点可得AE=，根据勾股定理可得AF，再根据菱形性质可得OE=AB=5，根据矩形性质可得FG=OE=5，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价．
任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由．
【答案】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又 ∵要尽量减少库存，
，
答：下调后每个手办的售价为50元．
任务3：设下调后每个手办的售价为元，
则，
整理得：，
，
故平均每天不能获利2100元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务3：设下调后每个手办的售价为元，根据题意建立方程，根据二次方程判别式，根据二次方程无解，即可求出答案.
19．材料阅读：
材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数．
材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中）为实数．且，有如下运算法则：
；
；
；
（1）填空：化简________，________；
（2）关于的一元二次方程有一个根是，其中是实数，求的值．
【答案】（1）2，
（2）解：∵一元二次方程有一个根是，
∴，即，
∴，
∵，是实数，
∴，
解得：，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（2）将方程的根代入方程求出，再根据题干中的定义可得，最后求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2，；
（2）解：∵一元二次方程有一个根是，
∴，即，
∴，
∵，是实数，
∴，
解得：，，
∴．
20．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
【答案】解：（1）∵，，．
∴，
∴，，
∴即，
∵
∴，
∴．
（2）连接，延长交于点Q，根据（1）得，
∴，
∵是中线
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
（3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，
过点A作于点Q，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
故．
综上，直角三角形的面积为4或16或12或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，根据全等三角形性质，结合勾股定理可得，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，延长交于点Q，根据相似三角形性质可得，根据三角形中线性质可得，根据等边对等角可得，再根据直线平行判定定理可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据矩形判定定理可得四边形矩形，，根据直线平行判定定理可得PQ∥CN，根据勾股定理可得EQ，再根据边之间的关系可得，设，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（3）分情况讨论：当与重合时，此时，此时是直角三角形，根据三角形面积即可求出答案；当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，根据三角形面积即可求出答案；当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据三角形面积即可求出答案；当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，根据边之间的关系可得，，根据角之间的关系可得，根据正切定义可得，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据三角形面积即可求出答案.
1 / 1广东省深圳市南山区南山外国语学校（集团）高新中学2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
一、选择题（每题3分，共24分）
1．下列方程中，是一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．下列各组中的四条线段成比例的是(　　)
A．a=2，b=3，c=4，d=1 B．a=2， b=， c=，d=
C．a=4，b=6，c=5，d=10 D．a=，b=3，c=2，d=
3．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则的取值范围是（　　）
A．且 B．
C．且 D．
4．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是120°．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是（　　）
A． B． C． D．
5．如图，直线、交于点O，，若，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．下列说法中不正确的是（　　）
A．四边相等的四边形是菱形
B．有一个角是直角的平行四边形是矩形
C．正方形的对角线相等
D．对角线相等的四边形是矩形
7．如图，在中，，，，将沿图示中的虚线剪开，剪下的阴影三角形与不相似的是（　　）
A． B．
C． D．
8．如图，在中，，点P为斜边上一动点，过点P作，，垂足分别为D，E，连接．若，则的长不可能等于（　　）
A． B．5 C． D．6
二、填空题（（每题3分，共15分）
9．已知，则的值为　 　．
10．若方程的两根之积为，则为　 　.
11．如图，小程的爸爸用一段长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长）的矩形鸭舍，其面积为，在鸭舍侧面中间位置留一个宽的门（由其它材料制成），则长为　 　．
12．如图，菱形的对角线相交于点O，，垂足为E，连接．若，，则菱形的面积是　 　．
13．如图，点，是正方形的边上两个动点，满足．连接交于点，连接交于点．若正方形的边长为，则线段长度的最小值是　 　．
三、解答题（共7小题）
14．解方程：
（1）
（2）
15．小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程．
小颖：原式
…
小红：原式
…
（1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______．
A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律
（2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值．
16．我市某校八年级学生报名参加某研学基地的A、B、C、D、E五类研学项目（每名学生必须填报一项，且只能填报一项）．为了解学生的报名情况，随机抽取了该校八年级的部分学生进行调查统计，并将调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图，请你根据图中信息解答下列问题：
（1）抽取的学生人数是________，扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数是________，补全条形统计图；
（2）估计该校400名八年级学生中填报C类研学项目的学生有多少人？
（3）甲、乙两名学生分别从A、B、C三类项目中选择一类填报（他们填报任意一类项目的可能性相同），请用画树状图或列表的方法计算他们两人填报同一项目的概率．
17．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，E是AD的中点，点F，G在AB上，EF⊥AB，OG∥EF．
（1）求证：四边形OEFG是矩形；
（2）若AD=10，EF=4，求OE和BG的长．
18．
背景 今年的春节动画电影“哪吒2”火爆影院，吸引了大量市民观影，各大影院积极推送．
素材1 某影院正月初一的票房收入费用为6万元，随着观影人数的不断增多，正月初三的票房收入达到8.64万元．
素材2 随着电影的爆火，某商家生产了一批“哪吒”手办进行销售，已知一个“哪吒”手办的生产成本为30元，经销一段时间后发现：当该款手办售价定为65元/个时，平均每天售出30个；售价每降低1元，平均每天多售出3个，该店计划下调售价使平均每天的销售利润为1500元．
问题解决
任务1 求从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率．
任务2 根据素材2，为了推广该款“哪吒”手办，且尽可能多的减少库存，求下调后每个手办的售价．
任务3 根据素材2，平均每天能否获利2100元？若能，请求出每个手办应降价多少元；若不能，请说明理由．
19．材料阅读：
材料一：数学家笛卡尔为了解决一元二次方程在实数范围内无解的问题，引进虚数单位，规定．当时，形如（为实数）的数统称为虚数．比如，，．当时，为实数．
材料二：虚数的运算与整式的运算类似，任意两个虚数，（其中）为实数．且，有如下运算法则：
；
；
；
（1）填空：化简________，________；
（2）关于的一元二次方程有一个根是，其中是实数，求的值．
20．数学活动课上，同学们将两个全等的三角形纸片完全重合放置，固定一个顶点，然后将其中一个纸片绕这个顶点旋转，来探究图形旋转的性质．已知三角形纸片和中，，，．
【初步感知】
（1）如图1，连接，，在纸片绕点旋转过程中，试探究的值．
【深入探究】
（2）如图2，在纸片绕点旋转过程中，当点恰好落在的中线的延长线上时，延长交于点，求的长．
【拓展延伸】
（3）在纸片绕点旋转过程中，试探究，，三点能否构成直角三角形．若能，直接写出所有直角三角形的面积；若不能，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、最高次数是1，不是一元二次方程，故A错误.
B、是分式方程，不是一元二次方程，故Ｂ错误.
C．是一元二次方程，故Ｃ正确.
D．含有两个未知数，不是一元二次方程，故Ｄ错误.
故答案为：C．
【分析】根据只有一个未知数且未知数最高次数为2的整式方程叫做一元二次方程逐个选项判断即可.
2．【答案】B
【知识点】比例线段
【解析】【解答】解：A、4×1≠3×2，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
B、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而2×=×2，所以四条线段成比例，故本选项符合题意；
C、4×10≠5×6，四条线段不成比例，故本选项不符合题意；
D、由被开方数越大其算术平方根就越大得，而×3≠2×，所以四条线段不成比例，故本选项不符合题意．
故答案为：B．
【分析】四条线段满足最小的和最大的相乘等于另外两条相乘时，这四条线段成比例，据此逐一判断得出答案.
3．【答案】A
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，
∴，且
解得：，
，
，
的取值范围是：且．
故答案为：A．
【分析】对于一元二次方程，若，则方程有两个不相等的实数根，若，则方程有两个相等的实数根，若，则方程没有实数根．由关于的一元二次方程两个不相等的实数根，可得且，解此不等式组即可求得答案．
4．【答案】C
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：∵B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是，
∴B盘红色扇形区域所占的圆心角是，
∴相当于把B盘平均分为3份，一份蓝色，两份红色，
画树状图如下：
共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，
∴小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是，
故选：C．
【分析】根据题意求出B盘红色扇形区域所占的圆心角，进而列出树状图，再根据等可能事件的概率即可求解。
5．【答案】A
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵
∴
∵
∴
∴
故选：A．
【分析】根据平行线分线段成比例得到，再代入计算即可求解。
6．【答案】D
【知识点】菱形的判定；矩形的判定；正方形的性质
【解析】【解答】解：A：四边相等的四边形是菱形，正确，不符合题意；
B：有一个角是直角的平行四边形是矩形，正确，不符合题意；
C：正方形的对角线相等，正确，不符合题意；
D：对角线相等的平行四边形是矩形，错误，符合题意.
故答案为：D
【分析】根据菱形，矩形的判定定理及正方形的性质逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】C
【知识点】相似三角形的判定
【解析】【解答】解：两角分别相等的两个三角形相似，故选项A中剪下的阴影三角形与相似，故选项A不符合题意；
两角分别相等的两个三角形相似，故选项B中剪下的阴影三角形与相似，故选项B不符合题意；
选项C中剪下的阴影三角形与不相似，故选项C符合题意；
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，故选项D中剪下的阴影三角形与相似，故选项D不符合题意；
故选C．
【分析】根据相似三角形的判定（AA、SAS等）结合题意对选项逐一分析即可求解。
8．【答案】A
【知识点】垂线段最短及其应用；矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：连接，
∵，，，
∴四边形为矩形，
∴，
∵点P为斜边上一动点，
∴当时最短，
由勾股定理，得：，
当时，则：，即：，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴的长不可能为；
故选A．
【分析】连接，根据矩形的判定与性质得到，再根据垂线段最短结合勾股定理求出AC，从而根据三角形的面积得到，从而即可求解。
9．【答案】
【知识点】比例的性质；求代数式的值-整体代入求值
【解析】【解答】解：∵，
∴设，，
∴，
故答案为：．
【分析】设，，再代入代数式，化简即可求出答案.
10．【答案】
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系（韦达定理）
【解析】【解答】解：由题意得，
解得．
故答案为：．
【分析】利用一元二次方程根与系数的关系可得，再求出m的值即可.
11．【答案】5
【知识点】一元二次方程的应用-几何问题
【解析】【解答】解：设长为，则的长为，
根据题意得，，
整理得：，
解得或（舍去），
∴长为．
故答案为：5．
【分析】设长为，则的长为，利用长方形的面积公式可得，再求出x的值即可.
12．【答案】
【知识点】菱形的性质；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵菱形的对角线相交于点O，，
∴，
∴，
∵，
∴菱形的面积；
故答案为：．
【分析】先利用菱形的性质及直角三角形斜边上中线的性质求出，再结合，利用菱形的面积公式求解即可.
13．【答案】
【知识点】正方形的性质；点与圆的位置关系；三角形全等的判定-SAS；全等三角形中对应角的关系；圆周角定理的推论
【解析】【解答】解：如图，
在正方形中，，，，
在和中，
，
，
，
在和中，
，
，
，
．
，
，
．
取的中点，连接、，如图：
则，
在中，，
根据三角形的三边关系，得，
当、、三点共线时，的长度最小，最小值．
故答案为：．
【分析】
如图所示，由于正方形的一条对角线平分一组对角，即，又AD=CD，则有，则；又因为AE=DF，则有，则，等量代换得，则有，即点H在以AB为直径的圆上运动，可取AB中点O，连接OH、OD，利用勾股定理可得，显然当O、H、D三点共线时DH最小，即最小值为OD与OH的差．
14．【答案】（1）解：，
，
，
∴或，
∴，.
（2）解：，
，，，
∴，
∴，
∴，．
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）利用因式分解法（先提取公因式，再利用平方差公式或完全平方公式将多项式和的形式变成乘积的形式）的计算方法及步骤分析求解即可；
（2）利用一元二次方程的公式法的计算方法及步骤分析求解即可.
（1）解：，
，
，
∴或，
∴，；
（2）解：，
，，，
∴，
∴，
∴，．
15．【答案】（1），
（2）解：选择小颖的解法：
，
∵，
∴，
∴，则原式；
选择小红的解法，
，
，
；
∵当为，时，原式无意义，
∴当时，原式．
【知识点】分式的基本性质；分式的化简求值-择值代入
【解析】【解答】（1）解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律；
故答案为：，；
【分析】（1）根据分式的基本性质结合题意即可求解；
（2）选择小颖的解法，根据分式的混合运算先化简，再根据分式的性质得到x的值，进而代入即可求解；选择小红的解法，根据题意先运用乘法分配律进行计算，进而化简，根据分式有意义的性质择值代入计算即可求解。
（1）解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律；
故答案为：，；
（2）解：选择小颖的解法：
，
∵，
∴，
∴，则原式；
选择小红的解法，
，
，
；
∵当为，时，原式无意义，
∴当时，原式．
16．【答案】（1）50人；
；
∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人，
∴C类人数为（人），补条形统计图如下．
（2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为，
∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）．
答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人．
（3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下：
甲\乙 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、．
∴他们两人填报同一项目的概率为．
答：他们两人填报同一项目的概率是．
【知识点】扇形统计图；条形统计图；用列表法或树状图法求概率；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的，
∴抽取的学生人数为（人）．
∵D类有人，
∴D类人数占总人数的比例为，
则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为．
故答案为：50人；．
【分析】（1）利用“B”的人数除以对应的百分比可得总人数，再求出“D”的百分比并乘以360°可得圆心角，再求出“C”的人数并作出条形统计图即可；
（2）先求出“C”的百分比，再乘以400可得答案；
（3）先利用列表法求出所有符合条件的情况数，再利用概率公式求解即可.
（1）解：∵B类有人，且占抽取学生总数的，
∴抽取的学生人数为（人）．
∵D类有人，
∴D类人数占总人数的比例为，
则扇形统计图中D类所对应扇形的圆心角的度数为．
∵总人数为人，A类8人，B类人，D类人，E类6人，
∴C类人数为（人），补条形统计图如下．
故答案为：50人；．
（2）解：∵样本中C类人数为人，占抽取总人数的比例为，
∴估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生人数为（人）．
答：估计该校名八年级学生中填报C类研学项目的学生有人．
（3）解：设A、B、C三类项目分别用字母A、B、C表示，列表如下：
甲\乙 A B C
A
B
C
由表格可知，共有9种等可能的结果，其中两人填报同一项目的结果有3种：、、．
∴他们两人填报同一项目的概率为．
答：他们两人填报同一项目的概率是．
17．【答案】(1)证明：∵四边形ABCD为菱形，
∴点O为BD的中点，
∵点E为AD中点，
∴OE为△ABD的中位线，
∴OE∥FG，
∵OG∥EF，
∴四边形OEFG为平行四边形
∵EF⊥AB，
∴平行四边形OEFG为矩形．
(2)∵点E为AD的中点，AD=10，
∴AE=
∵∠EFA=90°，EF=4，
∴在Rt△AEF中，．
∵四边形ABCD为菱形，
∴AB=AD=10，
∴OE=AB=5，
∵四边形OEFG为矩形，
∴FG=OE=5，
∴BG=AB-AF-FG=10-3-5=2．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；三角形的中位线定理
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得点O为BD的中点，再根据三角形中位线定理可得OE∥FG，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据线段中点可得AE=，根据勾股定理可得AF，再根据菱形性质可得OE=AB=5，根据矩形性质可得FG=OE=5，再根据边之间的关系即可求出答案.
18．【答案】解：任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，
根据题意得：，
解得：（不符合题意，舍去）．
答：从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为；
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，
根据题意得：，
整理得：，
解得：，
又 ∵要尽量减少库存，
，
答：下调后每个手办的售价为50元．
任务3：设下调后每个手办的售价为元，
则，
整理得：，
，
故平均每天不能获利2100元．
【知识点】一元二次方程根的判别式及应用；一元二次方程的实际应用-百分率问题；一元二次方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】任务 1：设从正月初一到正月初三该影院票房收入的天平均增长率为，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务2：设下调后每个手办的售价为元，则每个手办的销售利润为元，平均每天可售出个，根据题意建立方程，解方程即可求出答案.
任务3：设下调后每个手办的售价为元，根据题意建立方程，根据二次方程判别式，根据二次方程无解，即可求出答案.
19．【答案】（1）2，
（2）解：∵一元二次方程有一个根是，
∴，即，
∴，
∵，是实数，
∴，
解得：，，
∴．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；一元二次方程的根
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2，.
【分析】（1）参照题干中的定义及计算方法分析求解即可；
（2）将方程的根代入方程求出，再根据题干中的定义可得，最后求解即可.
（1）解：∵，
∴，
∴，
故答案为：2，；
（2）解：∵一元二次方程有一个根是，
∴，即，
∴，
∵，是实数，
∴，
解得：，，
∴．
20．【答案】解：（1）∵，，．
∴，
∴，，
∴即，
∵
∴，
∴．
（2）连接，延长交于点Q，根据（1）得，
∴，
∵是中线
∴，
∴，
∵，
∴即，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴四边形是平行四边形，
∵
∴四边形矩形，
∴，
∴，
∴，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得；
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
解得．
（3）如图，当与重合时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，
过点A作于点Q，
∵，
∴，
∵，，，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
故；
如图，当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，
∴，，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
解得；
故．
综上，直角三角形的面积为4或16或12或．
【知识点】三角形全等及其性质；勾股定理；相似三角形的性质-对应角；相似三角形的性质-对应边；分类讨论
【解析】【分析】（1）根据全等三角形判定定理可得，根据全等三角形性质，结合勾股定理可得，，根据角之间的关系可得，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
（2）连接，延长交于点Q，根据相似三角形性质可得，根据三角形中线性质可得，根据等边对等角可得，再根据直线平行判定定理可得，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据矩形判定定理可得四边形矩形，，根据直线平行判定定理可得PQ∥CN，根据勾股定理可得EQ，再根据边之间的关系可得，设，则，根据全等三角形判定定理可得，则，根据勾股定理建立方程，解方程可得，再根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
（3）分情况讨论：当与重合时，此时，此时是直角三角形，根据三角形面积即可求出答案；当在的延长线上时，此时，此时是直角三角形，根据三角形面积即可求出答案；当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，根据等腰三角形三线合一性质可得，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，，再根据三角形面积即可求出答案；当时，此时是直角三角形，过点A作于点Q，交于点N，根据边之间的关系可得，，根据角之间的关系可得，根据正切定义可得，则，，再根据勾股定理建立方程，解方程可得x，再根据三角形面积即可求出答案.
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