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广东省深圳市南山实验教育集团白石洲学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数是无理数的是（　　）
A．－3 B． C．2.121121112 D．
2．如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，则叶柄底部点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
3．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的为（　　）
A．∠A：∠B：∠C=3： 4： 5 B．∠A=∠B-∠C
C．a：b：c=3：4：5 D．a2=b2+c2
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
5．若点与点关于y轴对称，则（　　）
A． B．2025 C． D．1
6．关于的一次函数的图象可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
7．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
8．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（　　）
A．乙车的速度为 B．两地相距
C． D．
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9． 81的算术平方根是　 　.
10．如图，，，若数轴上点所表示的数为，则的值为　 　．
11．将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部分的宽为3cm.设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x的函数关系式　 　.
12．若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为　 　．
13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　 　．
三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）．
（1）在图中作出关于轴的对称图形；
（2）求的面积；
（3）在轴上画出点，使最小．
16．我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为．
根据以上材料请解答：
（1）的整数部分是______________，小数部分是_______________．
（2）已知的小数部分是，则______________，的小数部分是，则______________．
（3）在（2）的条件下，若，求出满足条件的的值．
17．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
（1）求城镇之间的距离；
（2）现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？
18．某中学计划购买8副乒乓球拍和x本笔记本作为运动会的奖品，文具店出售一副乒乓球拍25元，一本笔记本4元．因预算有限，想尽可能地节省开支，文具店提供了两种优惠方案：
甲方案：每购买一副乒乓球拍，赠送1本笔记本；
乙方案：所有商品按总价的9折出售．
（1）分别求出甲方案的实际付款金额与x的函数关系式，以及乙方案的实际付款金额与x的函数关系式；
（2）如果你是本次运动会奖品采购员，你将如何选择这两种方案购物更省钱．
19．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：
若则点与点的“识别距离”为；
若，则点与点的“识别距离”为．
例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4．
【初步理解】
（1）已知点，，则点A与点B的“识别距离”为 ．
【深入应用】
（2）已知点，点B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标；
②点A与点B的“识别距离”的最小值为 ．
【知识迁移】
（3）已知点，，直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标．
20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线．
（1）求直线的函数表达式．
（2）M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-3是整数，属于有理数．
B、是分数，属于有理数．
C、2.121121112是有限小数，属于有理数．
D、是无限不循环小数，属于无理数．
故答案为：D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数统称为无理数，为无理数.
2．【答案】B
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为，
∴建立坐标系如图所示：
∴叶柄底部点C的坐标为．
故答案为：B.
【分析】
先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标．
3．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3： 4： 5，∴∠C=，∴△ABC是锐角三角形，∴A符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B-∠C，∴2∠B=180°，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，∴B不符合题意；
C、∵a：b：c=3：4：5，∴设a=3k，b=4k，c=5k，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形且∠C=90°，∴C不符合题意；
D、∵a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形且∠A=90°，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
4．【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的加减法运算法则可得出A正确，B不正确；根据二次根式的乘法可得出C不正确；根据二次根式的除法可得出D不正确。
5．【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
解得，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即，解得m=-2，n=1，则；.
6．【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：令x＝0，则函数y＝kx＋k2＋1的图象与y轴交于点（0，k2＋1），
∵k2＋1＞0，
∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．
故选C．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
7．【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由勾股定理可得，
由题意，可得，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据题意，结合勾股定理即可求出答案.
8．【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、由题意可知，折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系，则甲的行驶时间为，
∴甲用行驶了，
∴甲的速度为
由可知乙用追上了甲，
此时甲行驶了，路程是，
∴乙用了行驶了，
∴乙的速度是，
故A选项错误，不符合题意；
B、由可知，时甲、乙两车相距，
∴，即A、B两地相距，
故B选项错误，不符合题意；
C、，即甲、乙两车最远相距，
故C选项错误，不符合题意；
D、∵乙车先达到B地并停留30分钟后，
∴，
∴，，
∴
∴乙车出发与甲车相遇，
故D选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据函数图象，计算得甲行驶速度60km/h，乙行驶速度120km/h，则A项错误，A、B两地相距，则B项错误，甲、乙两车最远相距，则C项错误，乙车出发与甲车相遇，则D项正确.
9．【答案】9
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解： 81的算术平方根是9，
故答案为，9 .
【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案.
10．【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理，结合数轴上点的位置即可求出答案.
11．【答案】y=27x+3．
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：每张纸条的宽度是30cm，x张应是30xcm，由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有（x﹣1）个粘合，应从总长度中减去，∴y=30x﹣（x﹣1）×3=27x+3．
故答案为：y=27x+3．
【分析】等量关系为：纸条总长度=30×纸条的张数﹣（纸条张数﹣1）×3，即y=30x﹣（x﹣1）×3=27x+3.
12．【答案】或
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点到轴的距离为2，到轴的距离为3，
∴，，
∴，，
∵，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】由点到轴的距离为2，得，由点到轴的距离为3，得，由，得，或，点P的坐标为或
13．【答案】2.5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，分别交、于点、点
∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，
∵
∴
∵，，
∴
∴
故答案为：2.5．
【分析】分别交、于点、点；
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，，，，，即
14．【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；

（3）解：，
把代入得：，
解得，
把代入得：，
方程组的解为
（4）解：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
方程组的解为．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）二次根式的化简，利用二次根式加减混合运算法则进行计算结果为；
（2）计算，计算结果为3；
（3）利用代入消元法把代入得：，解得；
（4）利用加减消元法得：，解得．
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
把代入得：，
解得，
把代入得：，
方程组的解为；
（4）解：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
方程组的解为．
15．【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：；
（3）解：如图，点即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据割补法求三角形面积即可.
（3）作点关于的对称点，连接交轴于点，即点P即为所求.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：；
（3）解：如图，点即为所求．
16．【答案】（1），
（2），
（3）解：由（2）知，，，
∵，
∴，
∴，
∴或，

【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）估算无理数的范围即可求出答案.
（2）估算无理数的范围即可求出答案.
（3）将x，y代入方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（3）解：由（2）知，，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
17．【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则千米，千米，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）连接，，设千米，则千米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
18．【答案】（1）解：由题意，得
；
；
答：甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为；乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为；
（2）解：当时，则有：，
解得，
∴当时，两种方案花费都一样，
当时，则有：，
解得，
∴当时，选择乙方案更省钱，
当时，则有：，
解得，
又∵，
∴当时，选择甲方案更省钱，
答：当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为，乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为；
（2）由（1）分三种情况讨论：当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱．
（1）解：由题意，得
；
；
答：甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为；乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为；
（2）解：当时，则有：
，
解得，
∴当时，两种方案花费都一样，
当时，则有：，
解得，
∴当时，选择乙方案更省钱，
当时，则有：，
解得，
又∵，
∴当时，选择甲方案更省钱，
答：当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱．
19．【答案】（1）3；
（2）
①设点的坐标为，而，
，
∴点与的“识别距离”为，
解得：，
则点的坐标为或；
②2；
（3）
由得：或，
解得：或，
因此，分以下三种情况：
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
此时，
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
此时，
由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为，
此时，
则点C的坐标为．
【知识点】不等式的性质；化简含绝对值有理数；分类讨论
20．【答案】（1）解：当时，，∴点C的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将点，代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
（2）解：存在，点M的坐标为或；存在．当时，，解得，∴点B的坐标为．
∵点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得，点M的坐标为；
时，，
解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得．
（3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形-动点问题；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】（3）解：点Q的坐标为．如图，连接，
设点P的坐标为．
∵，
∴当C，Q，D三点共线时，的值最小．
过点Q作轴于点H，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴点Q的坐标为．
∵点，，
∴易求得直线的函数表达式为．
把点代入，得，
解得，
∴点Q的坐标为．【分析】（1）当时，得点C，设直线的函数表达式为，将点，代入，得解析式为．
（2）当时，得点B，由点，，得，，分别讨论：当，，解得，点M的坐标为；时，，解得，点M的坐标为．
（3）连接，点Q的坐标为．如图，连接，
设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证，得点Q，直线的函数表达式为，点代入，得，解得，点Q的坐标为．
（1）解：当时，，
∴点C的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将点，代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
（2）存在．当时，，解得，
∴点B的坐标为．
∵点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得，点M的坐标为；
时，，
解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得．
（3）点Q的坐标为．
如图，连接，
设点P的坐标为．
∵，
∴当C，Q，D三点共线时，的值最小．
过点Q作轴于点H，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴点Q的坐标为．
∵点，，
∴易求得直线的函数表达式为．
把点代入，得，
解得，
∴点Q的坐标为．
1 / 1广东省深圳市南山实验教育集团白石洲学校2025-2026学年八年级上学期期中数学试卷
一、选择题：本题共8小题，每小题3分，共24分．在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．下列各数是无理数的是（　　）
A．－3 B． C．2.121121112 D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念
【解析】【解答】解：A、-3是整数，属于有理数．
B、是分数，属于有理数．
C、2.121121112是有限小数，属于有理数．
D、是无限不循环小数，属于无理数．
故答案为：D．
【分析】根据无理数的定义：无限不循环小数统称为无理数，为无理数.
2．如图，是一片树叶标本，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片尖端A，B两点的坐标分别为，则叶柄底部点C的坐标为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】点的坐标；用坐标表示地理位置
【解析】【解答】解：∵A，B两点的坐标分别为，
∴建立坐标系如图所示：
∴叶柄底部点C的坐标为．
故答案为：B.
【分析】
先根据A，B两点的坐标建立好坐标系，即可确定点C的坐标．
3．△ABC的三边长分别为a，b，c，下列条件不能判断△ABC是直角三角形的为（　　）
A．∠A：∠B：∠C=3： 4： 5 B．∠A=∠B-∠C
C．a：b：c=3：4：5 D．a2=b2+c2
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A：∠B：∠C=3： 4： 5，∴∠C=，∴△ABC是锐角三角形，∴A符合题意；
B、∵∠A+∠B+∠C=180°，∠A=∠B-∠C，∴2∠B=180°，∴∠B=90°，∴△ABC是直角三角形且∠B=90°，∴B不符合题意；
C、∵a：b：c=3：4：5，∴设a=3k，b=4k，c=5k，∴a2+b2=c2，∴△ABC是直角三角形且∠C=90°，∴C不符合题意；
D、∵a2=b2+c2，∴△ABC是直角三角形且∠A=90°，∴D不符合题意；
故答案为：A.
【分析】利用勾股定理的逆定理和三角形的内角和逐项判断即可。
4．下列运算正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式的加减法；二次根式的乘法；二次根式的除法
【解析】【解答】解：，故选项A正确，符合题意；
，故选项B错误，不符合题意；
，故选项C错误，不符合题意；
，故选项D错误，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据二次根式的加减法运算法则可得出A正确，B不正确；根据二次根式的乘法可得出C不正确；根据二次根式的除法可得出D不正确。
5．若点与点关于y轴对称，则（　　）
A． B．2025 C． D．1
【答案】C
【知识点】坐标与图形变化﹣对称
【解析】【解答】解：∵点与点关于y轴对称，
∴，
解得，
∴；
故答案为：C．
【分析】根据关于y轴对称的点，纵坐标相同，横坐标互为相反数，即，解得m=-2，n=1，则；.
6．关于的一次函数的图象可能正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：令x＝0，则函数y＝kx＋k2＋1的图象与y轴交于点（0，k2＋1），
∵k2＋1＞0，
∴图象与y轴的交点在y轴的正半轴上．
故选C．
【分析】根据一次函数的图象与系数的关系即可求出答案.
7．意大利著名画家达·芬奇用一张纸片剪拼出不一样的空洞，而两个空洞的面积是相等的，如图所示，证明了勾股定理，若设图1中空白部分的面积为，图2中空白部分的面积为，则下列对，所列等式不正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；勾股定理的证明
【解析】【解答】解：由勾股定理可得，
由题意，可得，
故选项A符合题意，选项B、C、D不符合题意．
故选：A．
【分析】根据题意，结合勾股定理即可求出答案.
8．甲、乙两车从A地出发，匀速驶往B地，甲车出发0.5小时后，乙车才沿相同的路线开始行驶，乙车先到达B地并停留30分钟后，又以原速按原路线返回，直至与甲车相遇．图中的折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系图象，则下列说法正确的是（　　）
A．乙车的速度为 B．两地相距
C． D．
【答案】D
【知识点】通过函数图象获取信息；一次函数的实际应用-行程问题
【解析】【解答】解：A、由题意可知，折线段表示从开始到相遇为止，两车之间的距离S与乙车行驶时间t的函数关系，则甲的行驶时间为，
∴甲用行驶了，
∴甲的速度为
由可知乙用追上了甲，
此时甲行驶了，路程是，
∴乙用了行驶了，
∴乙的速度是，
故A选项错误，不符合题意；
B、由可知，时甲、乙两车相距，
∴，即A、B两地相距，
故B选项错误，不符合题意；
C、，即甲、乙两车最远相距，
故C选项错误，不符合题意；
D、∵乙车先达到B地并停留30分钟后，
∴，
∴，，
∴
∴乙车出发与甲车相遇，
故D选项正确，符合题意；
故答案为：D．
【分析】根据函数图象，计算得甲行驶速度60km/h，乙行驶速度120km/h，则A项错误，A、B两地相距，则B项错误，甲、乙两车最远相距，则C项错误，乙车出发与甲车相遇，则D项正确.
二、填空题：本题共5小题，每小题3分，共15分．
9． 81的算术平方根是　 　.
【答案】9
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解： 81的算术平方根是9，
故答案为，9 .
【分析】根据算术平方根的定义求解即可求得答案.
10．如图，，，若数轴上点所表示的数为，则的值为　 　．
【答案】
【知识点】实数在数轴上的表示；运用勾股定理在数轴上标出无理数对应点
【解析】【解答】解：∵，，，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据勾股定理，结合数轴上点的位置即可求出答案.
11．将长为30cm，宽为10cm的长方形白纸，按如图所示的方发粘合起来，粘合部分的宽为3cm.设x张白纸粘合后的总长度为ycm，则y与x的函数关系式　 　.
【答案】y=27x+3．
【知识点】列一次函数关系式；一次函数的其他应用；用代数式表示几何图形的数量关系
【解析】【解答】解：每张纸条的宽度是30cm，x张应是30xcm，由图中可以看出4张纸条之间有3个粘合部分，那么x张纸条之间有（x﹣1）个粘合，应从总长度中减去，∴y=30x﹣（x﹣1）×3=27x+3．
故答案为：y=27x+3．
【分析】等量关系为：纸条总长度=30×纸条的张数﹣（纸条张数﹣1）×3，即y=30x﹣（x﹣1）×3=27x+3.
12．若点到轴的距离为2，到轴的距离为3，且，则点P的坐标为　 　．
【答案】或
【知识点】点的坐标；点到直线的距离
【解析】【解答】解：∵点到轴的距离为2，到轴的距离为3，
∴，，
∴，，
∵，
∴，或，
∴点P的坐标为或．
故答案为：或．
【分析】由点到轴的距离为2，得，由点到轴的距离为3，得，由，得，或，点P的坐标为或
13．如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，分别以△ABC的三条边为直角边作三个等腰直角三角形：△ABD、△ACE、△BCF，若图中阴影部分的面积S1＝6.5，S2＝3.5，S3＝5.5，则S4＝　 　．
【答案】2.5
【知识点】三角形的面积；等腰三角形的判定与性质；勾股定理；解直角三角形—三边关系（勾股定理）
【解析】【解答】解：如图，分别交、于点、点
∵△ABD、△ACE、△BCF均是等腰直角三角形
∴AB＝BD，AC＝CE，BC＝CF，
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，
∵
∴
∵，，
∴
∴
故答案为：2.5．
【分析】分别交、于点、点；
设AB＝BD＝a，AC＝CE＝b，BC＝CF＝c，，，由，可得，，，，，即
三、解答题：本题共7小题，共61分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．
14．计算：
（1）；
（2）；
（3）；
（4）
【答案】（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；

（3）解：，
把代入得：，
解得，
把代入得：，
方程组的解为
（4）解：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
方程组的解为．
【知识点】二次根式的性质与化简；二次根式的加减法；二次根式的混合运算；代入消元法解二元一次方程组；加减消元法解二元一次方程组
【解析】【分析】（1）二次根式的化简，利用二次根式加减混合运算法则进行计算结果为；
（2）计算，计算结果为3；
（3）利用代入消元法把代入得：，解得；
（4）利用加减消元法得：，解得．
（1）解：，
，
；
（2）解：，
，
，
；
（3）解：，
把代入得：，
解得，
把代入得：，
方程组的解为；
（4）解：，
得：，
解得，
把代入得：，
解得，
方程组的解为．
15．如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点都在格点上（网格中小正方形的顶点即为格点）．
（1）在图中作出关于轴的对称图形；
（2）求的面积；
（3）在轴上画出点，使最小．
【答案】（1）解：如图，即为所求；
（2）解：；
（3）解：如图，点即为所求．
【知识点】坐标与图形变化﹣对称；作图﹣轴对称；轴对称的应用-最短距离问题；几何图形的面积计算-割补法；将军饮马模型-一线两点（一动两定）
【解析】【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据割补法求三角形面积即可.
（3）作点关于的对称点，连接交轴于点，即点P即为所求.
（1）解：如图，即为所求；
（2）解：；
（3）解：如图，点即为所求．
16．我们知道是无理数，因此的小数部分不可能全部写出来．因为，即，所以的整数部分为2，将减去其整数部分，差就是小数部分，即的小数部分为．
根据以上材料请解答：
（1）的整数部分是______________，小数部分是_______________．
（2）已知的小数部分是，则______________，的小数部分是，则______________．
（3）在（2）的条件下，若，求出满足条件的的值．
【答案】（1），
（2），
（3）解：由（2）知，，，
∵，
∴，
∴，
∴或，

【知识点】无理数的估值；开平方（求平方根）
【解析】【解答】（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
【分析】（1）估算无理数的范围即可求出答案.
（2）估算无理数的范围即可求出答案.
（3）将x，y代入方程，解方程即可求出答案.
（1）解：∵，
∴，
∴的整数部分是4，小数部分是，
故答案为：，；
（2）解：∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：，；
（3）解：由（2）知，，，
∵，
∴，
∴，
∴或，
故答案为：或．
17．如图，在一条笔直的火车轨道同侧有两城镇，城镇到轨道的垂直距离为．城镇到轨道的垂直距离为10千米，的长度为12千米．
（1）求城镇之间的距离；
（2）现要在线段上修建一个货运中转站，使得中转站到城镇的距离相等，此时中转站应修建在离点多远处？
【答案】（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】（1）过点作于点，连接，根据矩形判定定理可得四边形为矩形，则千米，千米，根据边之间的关系可得BE，再根据勾股定理即可求出答案.
（2）连接，，设千米，则千米，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）解：如图所示，过点作于点，连接．
．
，，
，，
四边形为矩形，
千米，千米，
（千米），
在中，（千米），
答：城镇，之间的距离为13千米；
（2）解：如图，连接，，设千米，则千米．
，
，
∴，
解得，
中转站应修建在离点的距离为千米处．
18．某中学计划购买8副乒乓球拍和x本笔记本作为运动会的奖品，文具店出售一副乒乓球拍25元，一本笔记本4元．因预算有限，想尽可能地节省开支，文具店提供了两种优惠方案：
甲方案：每购买一副乒乓球拍，赠送1本笔记本；
乙方案：所有商品按总价的9折出售．
（1）分别求出甲方案的实际付款金额与x的函数关系式，以及乙方案的实际付款金额与x的函数关系式；
（2）如果你是本次运动会奖品采购员，你将如何选择这两种方案购物更省钱．
【答案】（1）解：由题意，得
；
；
答：甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为；乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为；
（2）解：当时，则有：，
解得，
∴当时，两种方案花费都一样，
当时，则有：，
解得，
∴当时，选择乙方案更省钱，
当时，则有：，
解得，
又∵，
∴当时，选择甲方案更省钱，
答：当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱．
【知识点】一次函数的实际应用-方案问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为，乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为；
（2）由（1）分三种情况讨论：当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱．
（1）解：由题意，得
；
；
答：甲方案的实际付款金额与x的函数关系式为；乙方案的实际付款金额与x的函数关系式为；
（2）解：当时，则有：
，
解得，
∴当时，两种方案花费都一样，
当时，则有：，
解得，
∴当时，选择乙方案更省钱，
当时，则有：，
解得，
又∵，
∴当时，选择甲方案更省钱，
答：当时，选择甲方案更省钱；当时，两种方案花费都一样；当时，选择乙方案更省钱．
19．在平面直角坐标系中，对于任意两点与的“识别距离”，给出如下定义：
若则点与点的“识别距离”为；
若，则点与点的“识别距离”为．
例如：对于点与点，因为，所以点与点的“识别距离”为4．
【初步理解】
（1）已知点，，则点A与点B的“识别距离”为 ．
【深入应用】
（2）已知点，点B为y轴上的一个动点，
①若点A与点B的“识别距离”为4，求出满足条件的点B的坐标；
②点A与点B的“识别距离”的最小值为 ．
【知识迁移】
（3）已知点，，直接写出点C与点D“识别距离”的最小值及对应的C点坐标．
【答案】（1）3；
（2）
①设点的坐标为，而，
，
∴点与的“识别距离”为，
解得：，
则点的坐标为或；
②2；
（3）
由得：或，
解得：或，
因此，分以下三种情况：
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
此时，
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
当时，，
则点与点的“识别距离”为，
此时，
由此可知，点与点的“识别距离”的最小值为，
此时，
则点C的坐标为．
【知识点】不等式的性质；化简含绝对值有理数；分类讨论
20．如图1，在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为一次函数的图象分别与x轴和y轴交于点B，C，作直线．
（1）求直线的函数表达式．
（2）M是直线上的一动点，是否存在点M，使得？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．
（3）如图2，点，P为x轴正半轴上的一动点，以点P 为直角顶点，为腰在第一象限内作等腰直角，连结QD，当的值最小时，请直接写出点Q的坐标．
【答案】（1）解：当时，，∴点C的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将点，代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
（2）解：存在，点M的坐标为或；存在．当时，，解得，∴点B的坐标为．
∵点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得，点M的坐标为；
时，，
解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得．
（3）．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；三角形-动点问题；一次函数的实际应用-几何问题；分类讨论；利用三角形的中线求面积
【解析】【解答】（3）解：点Q的坐标为．如图，连接，
设点P的坐标为．
∵，
∴当C，Q，D三点共线时，的值最小．
过点Q作轴于点H，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴点Q的坐标为．
∵点，，
∴易求得直线的函数表达式为．
把点代入，得，
解得，
∴点Q的坐标为．【分析】（1）当时，得点C，设直线的函数表达式为，将点，代入，得解析式为．
（2）当时，得点B，由点，，得，，分别讨论：当，，解得，点M的坐标为；时，，解得，点M的坐标为．
（3）连接，点Q的坐标为．如图，连接，
设点P的坐标为．由，得当C，Q，D三点共线时，的值最小，过点Q作轴于点H，证，得点Q，直线的函数表达式为，点代入，得，解得，点Q的坐标为．
（1）解：当时，，
∴点C的坐标为．
设直线的函数表达式为．
将点，代入，
得
解得
∴直线的函数表达式为．
（2）存在．当时，，解得，
∴点B的坐标为．
∵点，，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴当时，，
解得，点M的坐标为；
时，，
解得，点M的坐标为．
综上所述存在点M的坐标为或，使得．
（3）点Q的坐标为．
如图，连接，
设点P的坐标为．
∵，
∴当C，Q，D三点共线时，的值最小．
过点Q作轴于点H，
∴，
∴，
∴．
∵，
∴，
∴，，
∴点Q的坐标为．
∵点，，
∴易求得直线的函数表达式为．
把点代入，得，
解得，
∴点Q的坐标为．
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