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广东省深圳市百合外国语学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分）
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
2．一元二次方程配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
3．正方形、菱形、矩形都具有的特征是（　　）
A．一个角是直角 B．对角线互相垂直
C．一组邻边相等 D．对角线互相平分
4．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
5．关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是（　　）
A．k≥-4 B．k≥4 C．k>-4 D．k≥-4且k≠0
6．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　　）
A． B． C． D．
7．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
8．在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（　　）
A． B． C．6 D．
二、填空题（共5小题，每小题3分）
9．若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是　 　．
10．一个口袋中只有若干个白球，将5个黑球放入这个袋中，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了100次，其中有25次摸到了黑球，则估计口袋中的白球数为　 　
11．已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的面积是　 　．
12．在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度　 　．
13．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线运动，于，点与点重合时，点停止运动，点在射线上运动，且始终满足，连接，当与重叠部分的面积为1时，的长是　 　．
三、解答题（共7小题，其中第14题8分，第15题9分，第16题7分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分）
14．（1）解方程：；
（2）已知是的三边长，且，的周长为81，求三边的长．
15．如图，的顶点坐标分别为，，．
（1）作出与关于x轴对称的；
（2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得．
（3）的面积为_______．
16．周日傍晚，小伟、小明两名同学准备分别从．十八孔桥、．东陵廊桥、．联盟大桥、．团结大桥这座桥中随机选择一座进行打卡游览，每座桥被选择的可能性相同．
（1）小明选择打卡游览．联盟大桥的概率是___________．
（2）请用列表法或画树状图法，求小伟、小明两名同学选择同一座桥进行打卡游览的概率．
17．景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
（1）求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价．
18．如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接．
（1）请用含t的代数式表示：______，______；
（2）求当t为何值时，与相似？
19．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点的速度都是，连接，设点运动的时间为．
（1）当四边形是矩形时，为___________；
（2）当四边形是菱形时，为___________．
（3）当为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？
20．在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点．
①求证：；
②当时，直接写出的值．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含有两个未知数，属于二元方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、方程整理得：，未知数最高次数是1，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项，得，
配方，得，
即，
故选：A．
【分析】根据配方法化简即可求出答案.
3．【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：1. 选项A：一个角是直角．
正方形和矩形每个角都是直角，但菱形的角不一定为直角（仅当菱形为正方形时成立），因此A不符合；
2. 选项B：对角线互相垂直．
菱形和正方形的对角线互相垂直，但矩形的对角线仅相等且平分，不垂直（除非是正方形），因此B不符合；
3. 选项C：一组邻边相等．
菱形和正方形的四条边均相等，但矩形仅对边相等，邻边不一定相等（除非是正方形），因此C不符合；
4. 选项D：对角线互相平分．
正方形、菱形、矩形均为平行四边形，而平行四边形的对角线一定互相平分，因此D是三者共有的特征；
故选：D．
【分析】根据正方形的性质、菱形的性质和矩形的性质对选项逐一分析即可求解。
4．【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
，即，解得：．
．
故选C．
【分析】根据平行线分线段陈比例定理可得，代值计算可得DF，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-4x-1=0有两个实根，∴△=（-4）2-4k （-1）≥0，且k≠0，
∴k≥-4且k≠0．
故选：D．
【分析】根据一元二次方程的定义得出k≠0，再根据根的判别式△≥0得出k≥-4，即可得出k的取值范围．
6．【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∵与的面积比为，
∴与的相似比，即，
∴，即，
故选：B．
【分析】根据位似图形性质可得，，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
7．【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：篱笆的总长为18米，的长为米，
的长为米．
根据题意得：．
故选：D．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
8．【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
由题意可得：平分，即，
设交于点M，作于点N，如图，
则，
设，
∵，
∴，
即，
解得：，即，
则，
由作图痕迹可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
故选：A.
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而根据题意得到平分，即，设交于点M，作于点N，则，设，根据三角形的等面积法求出CM，则，由作图痕迹可知：，进行进行角的运算，根据相似三角形的判定与性质证明得到，即，解方程即可。
9．【答案】
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程的一个实数根是，
，
，
的值是，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根结合题意代入即可求出参数的数值。
10．【答案】15
【知识点】分式方程的实际应用；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设口袋中的白球数为个，则口袋中总球数为个，
根据题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，
故口袋中的白球数为个，
故答案为：15．
【分析】设口袋中的白球数为个，则口袋中总球数为个，根据题意列出分式方程，进而解方程检验即可求解。
11．【答案】24cm2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的面积等于对角线的积的一半，
那么这个菱形的面积为.
故答案为：24cm2
【分析】根据菱形面积即可求出答案.
12．【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∴，
∴，
即，
解得，
则教学楼高度，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
13．【答案】或
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；等积变换；分类讨论
【解析】【解答】解：在中，，
由勾股定理得：，
分两种情况讨论如下：①当完全在内部时，如图1所示：
则与重叠部分的面积就是的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：，
；
②当不完全在内部时，
当点合点重合时，如图2所示：
点重合，
，
，
，
，
∴当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1；
∴当点在的延长线上时，设与交于，如图3所示：
此时与重叠部分的面积就是的面积，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即，
，
综上所述：当与重叠部分的面积为1时，的长是或．
故答案为：或．
【分析】根据勾股定理可得AB，分情况讨论：①当完全在内部时，则与重叠部分的面积就是的面积，根据三角形面积可得PD，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；②当不完全在内部时，当点合点重合时，根据三角形面积可得PD，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1；当点在的延长线上时，设与交于，此时与重叠部分的面积就是的面积，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据三角形面积可得AD，根据边之间的关系可得BD，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
14．【答案】（1）解：
∴；
（2）∵设，
∴，
∵的周长为81，
∴，
解得，
∴．
【知识点】解一元一次方程；配方法解一元二次方程；比例的性质
【解析】【分析】（1）根据题意配方，进而即可求解；
（2）设，则，再根据周长列出一元一次方程，从而解方程即可。
15．【答案】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：，即为所求；
（3）10
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）解：的面积为．
故答案为：10
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质即可求出答案.
（3）根据割补法，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：，即为所求；
（3）解：的面积为．
16．【答案】（1）
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
共有种等可能的结果，其中小伟、小明两名同学选择同一座桥的结果有种，
∴小伟、小明两名同学选择同一座桥进行打卡游览的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小明同学准备分别从．十八孔桥、．东陵廊桥、．联盟大桥、．团结大桥这座桥中随机选择一座进行打卡游览，
∴小明选择打卡游览．联盟大桥的概率是．
故答案为：．
【分析】（1）根据题意直接运用概率公式即可求解；
（2）根据题意列表，进而的共有种等可能的结果，其中小伟、小明两名同学选择同一座桥的结果有种，再根据等可能事件的概率即可求解。
（1）解：小明同学准备分别从．十八孔桥、．东陵廊桥、．联盟大桥、．团结大桥这座桥中随机选择一座进行打卡游览，
∴小明选择打卡游览．联盟大桥的概率是．
故答案为：．
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
共有种等可能的结果，其中小伟、小明两名同学选择同一座桥的结果有种，
∴小伟、小明两名同学选择同一座桥进行打卡游览的概率为．
17．【答案】（1）解：设，代入，，
则．
解得
．
（2）解：．
解得，，
答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意代入y值，进而解一元二次方程即可。
（1）解：设，代入，，
则．
解得
．
（2）解：．
解得，，
答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元．
18．【答案】（1），
（2）∵，，，∴；
分两种情况讨论：
①当时，
，
∵，
∴，
解得，，
②当时，
，
∴，
解得，；
∴或时，．
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：根据题意知：，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）先根据勾股定理得到AB=10cm，进而分类讨论：①当时；②当时，从而根据相似三角形的性质即可求解。
（1）解：根据题意知：，，
故答案为：，；
（2）∵，，，
∴；
分两种情况讨论：
①当时，
，
∵，
∴，
解得，，
②当时，
，
∴，
解得，；
∴或时，．
19．【答案】（1）4
（2）3
（3）当时，四边形为菱形，
由（2）知，；
当时，过点作于，
则，
，
，
，
，
综上所述，当为或时，是以为一条腰的等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：由题意，得：，
四边形是矩形，，
，
，
解得，，
故答案为：4；
（2），
，
当四边形为菱形时，，
，
解得，，
故答案为：3；
【分析】（1）根据列出方程，进而即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AQ，进而根据菱形的性质即可求解；
（3）根据题意分类讨论：或，进而列出方程即可求解。
（1）解：由题意，得：，
四边形是矩形，，
，
，
解得，，
故答案为：4；
（2），
，
当四边形为菱形时，，
，
解得，，
故答案为：3；
（3）当时，四边形为菱形，
由（2）知，；
当时，过点作于，
则，
，
，
，
，
综上所述，当为或时，是以为一条腰的等腰三角形．
20．【答案】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，∴，
∴，
过作，
∴，
∴，
在中，
即，
解得：，（舍去），
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）①证明：设旋转角为，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）②解：∵，
∴设，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由①得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由①可得，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
根据旋转可得，
∴，
联立可得，
∴．
【分析】（1）本小问考查旋转的性质与相似三角形的判定。根据旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，可得，，且旋转角，由此可推出两边对应成比例且夹角相等，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，即可证明；
（2）本小问考查勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的性质。先在中，根据勾股定理计算出 AB 的长度，由旋转性质得；过点 D 作，利用的正切值建立 DH 与 AH 的数量关系，在中根据勾股定理列方程求解 AH 的长度，再在中用勾股定理求出 AD 的长；最后利用（1）中相似三角形对应边成比例的性质，代入边长比例关系即可求出 BE 的长度；
（3）①本小问考查旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质。设旋转角为，根据等腰三角形两底角相等与三角形内角和定理，分别表示出、的度数；结合，通过角的和差推导得出；再由，根据平行线同旁内角互补的性质，结合与邻补角的关系，推出；结合的条件，根据角角边的全等判定定理证明，得到，再结合旋转性质，即可证得；
②本小问考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质、四点共圆的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质。首先由、，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形 ABGF 为平行四边形，得到对边相等、对角相等的性质；结合①中的结论，设，，可得，，进而得到，在中由勾股定理求出 BC 的长度，得到的正弦值。再由的对应角相等，结合平行线的性质推导得出，即为直角三角形，利用得到相等的正弦值，代入边长求出 BE 的长度。接着根据对角互补的四边形内接于圆的判定，得出 C、D、B、E 四点共圆，由圆周角定理得到，结合对顶角相等的条件，根据两角分别相等的三角形相似判定定理，证明，得到对应边的比例关系。最后设出比例系数，根据 BC 和 DE 的长度列出二元一次方程组，求解系数后代入的表达式计算，即可得到最终结果。
（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
过作，
∴，
∴，
在中，
即，
解得：，（舍去），
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）①证明：设旋转角为，
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②解：∵，
∴设，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由①得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由①可得，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
根据旋转可得，
∴，
联立可得，
∴．
1 / 1广东省深圳市百合外国语学校2025-2026学年九年级上学期10月月考数学试卷
一、选择题（共8小题，每小题3分）
1．下列方程中，是关于的一元二次方程的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：A、该方程不是整式方程，故本选项不符合题意；
B、该方程中含有两个未知数，属于二元方程，故本选项不符合题意；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项符合题意；
D、方程整理得：，未知数最高次数是1，故本选项不符合题意．
故选：C．
【分析】根据一元二次方程的定义逐项进行判断即可求出答案.
2．一元二次方程配方正确的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】配方法解一元二次方程
【解析】【解答】解：移项，得，
配方，得，
即，
故选：A．
【分析】根据配方法化简即可求出答案.
3．正方形、菱形、矩形都具有的特征是（　　）
A．一个角是直角 B．对角线互相垂直
C．一组邻边相等 D．对角线互相平分
【答案】D
【知识点】菱形的性质；矩形的性质；正方形的性质
【解析】【解答】解：1. 选项A：一个角是直角．
正方形和矩形每个角都是直角，但菱形的角不一定为直角（仅当菱形为正方形时成立），因此A不符合；
2. 选项B：对角线互相垂直．
菱形和正方形的对角线互相垂直，但矩形的对角线仅相等且平分，不垂直（除非是正方形），因此B不符合；
3. 选项C：一组邻边相等．
菱形和正方形的四条边均相等，但矩形仅对边相等，邻边不一定相等（除非是正方形），因此C不符合；
4. 选项D：对角线互相平分．
正方形、菱形、矩形均为平行四边形，而平行四边形的对角线一定互相平分，因此D是三者共有的特征；
故选：D．
【分析】根据正方形的性质、菱形的性质和矩形的性质对选项逐一分析即可求解。
4．如图是一架人字梯及其侧面示意图，已知，，，，则BF的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例
【解析】【解答】解：∵，
，即，解得：．
．
故选C．
【分析】根据平行线分线段陈比例定理可得，代值计算可得DF，再根据边之间的关系即可求出答案.
5．关于的一元二次方程有两个实根，则的取值范围是（　　）
A．k≥-4 B．k≥4 C．k>-4 D．k≥-4且k≠0
【答案】D
【知识点】一元二次方程的定义及相关的量
【解析】【解答】解：∵关于x的一元二次方程kx2-4x-1=0有两个实根，∴△=（-4）2-4k （-1）≥0，且k≠0，
∴k≥-4且k≠0．
故选：D．
【分析】根据一元二次方程的定义得出k≠0，再根据根的判别式△≥0得出k≥-4，即可得出k的取值范围．
6．如图，与是以点O为位似中心的位似图形，若与的面积比为，则为（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边；相似三角形的性质-对应面积；位似图形的性质
【解析】【解答】解：∵与是以点O为位似中心的位似图形，
∴，，
∴，
∴，
∵与的面积比为，
∴与的相似比，即，
∴，即，
故选：B．
【分析】根据位似图形性质可得，，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
7．如图，某校生物兴趣小组用长为18米的篱笆，一面利用墙（墙的长度足够），围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃，为了方便出入，建造篱笆花圃时在边留了宽为1米的两个进出口（不需材料），若花圃的面积刚好为40平方米，设的长为米，则可列方程为（　　）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】列一元二次方程
【解析】【解答】解：篱笆的总长为18米，的长为米，
的长为米．
根据题意得：．
故选：D．
【分析】根据题意建立方程即可求出答案.
8．在中，，结合尺规作图痕迹提供的信息，求出线段的长为（　　）
A． B． C．6 D．
【答案】A
【知识点】三角形的面积；勾股定理；尺规作图-垂线；尺规作图-作角的平分线；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】解：∵在中，，
∴，
由题意可得：平分，即，
设交于点M，作于点N，如图，
则，
设，
∵，
∴，
即，
解得：，即，
则，
由作图痕迹可知：，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
解得：；
故选：A.
【分析】先根据勾股定理求出AC，进而根据题意得到平分，即，设交于点M，作于点N，则，设，根据三角形的等面积法求出CM，则，由作图痕迹可知：，进行进行角的运算，根据相似三角形的判定与性质证明得到，即，解方程即可。
二、填空题（共5小题，每小题3分）
9．若关于的一元二次方程的一个实数根是，则的值是　 　．
【答案】
【知识点】一元二次方程的根；已知一元二次方程的根求参数
【解析】【解答】解：关于的一元二次方程的一个实数根是，
，
，
的值是，
故答案为：．
【分析】根据一元二次方程的根结合题意代入即可求出参数的数值。
10．一个口袋中只有若干个白球，将5个黑球放入这个袋中，从口袋中随机摸出一球，记下其颜色，再放回口袋中，不断重复上述过程，共摸了100次，其中有25次摸到了黑球，则估计口袋中的白球数为　 　
【答案】15
【知识点】分式方程的实际应用；利用频率估计概率
【解析】【解答】解：设口袋中的白球数为个，则口袋中总球数为个，
根据题意可得，
解得，
经检验，是原方程的解，
故口袋中的白球数为个，
故答案为：15．
【分析】设口袋中的白球数为个，则口袋中总球数为个，根据题意列出分式方程，进而解方程检验即可求解。
11．已知菱形的两条对角线长为和，那么这个菱形的面积是　 　．
【答案】24cm2
【知识点】菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形的面积等于对角线的积的一半，
那么这个菱形的面积为.
故答案为：24cm2
【分析】根据菱形面积即可求出答案.
12．在数学活动课上，小南利用镜子、尺子等工具测量学校教学楼高度（如图所示），当他刚好在点处的镜子中看到教学楼的顶部时，测得小南的眼睛与地面的距离，同时测得，，则教学楼高度　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】解：由题意可知，，
∴，
∴，
即，
解得，
则教学楼高度，
故答案为：．
【分析】根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案.
13．如图，在中，，，，点从点出发，沿射线运动，于，点与点重合时，点停止运动，点在射线上运动，且始终满足，连接，当与重叠部分的面积为1时，的长是　 　．
【答案】或
【知识点】三角形的面积；解直角三角形—三边关系（勾股定理）；相似三角形的性质-对应边；等积变换；分类讨论
【解析】【解答】解：在中，，
由勾股定理得：，
分两种情况讨论如下：①当完全在内部时，如图1所示：
则与重叠部分的面积就是的面积，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
即：，
；
②当不完全在内部时，
当点合点重合时，如图2所示：
点重合，
，
，
，
，
∴当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1；
∴当点在的延长线上时，设与交于，如图3所示：
此时与重叠部分的面积就是的面积，
，
，
又，
，
，
即，
，
，
即，
，
，
，
，
，
即，
，
综上所述：当与重叠部分的面积为1时，的长是或．
故答案为：或．
【分析】根据勾股定理可得AB，分情况讨论：①当完全在内部时，则与重叠部分的面积就是的面积，根据三角形面积可得PD，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算即可求出答案；②当不完全在内部时，当点合点重合时，根据三角形面积可得PD，根据勾股定理可得AD，再根据三角形面积当不完全在内部，且点在线段上时，不存在与重叠部分的面积为1；当点在的延长线上时，设与交于，此时与重叠部分的面积就是的面积，根据相似三角形判定定理可得，则，代值计算可得，根据三角形面积可得AD，根据边之间的关系可得BD，再根据相似三角形判定定理及性质即可求出答案.
三、解答题（共7小题，其中第14题8分，第15题9分，第16题7分，第17题8分，第18题8分，第19题10分，第20题11分）
14．（1）解方程：；
（2）已知是的三边长，且，的周长为81，求三边的长．
【答案】（1）解：
∴；
（2）∵设，
∴，
∵的周长为81，
∴，
解得，
∴．
【知识点】解一元一次方程；配方法解一元二次方程；比例的性质
【解析】【分析】（1）根据题意配方，进而即可求解；
（2）设，则，再根据周长列出一元一次方程，从而解方程即可。
15．如图，的顶点坐标分别为，，．
（1）作出与关于x轴对称的；
（2）以原点O为位似中心，在原点另一侧画出，使得．
（3）的面积为_______．
【答案】（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：，即为所求；
（3）10
【知识点】三角形的面积；作图﹣轴对称；作图﹣位似变换；几何图形的面积计算-割补法
【解析】【解答】（3）解：的面积为．
故答案为：10
【分析】（1）根据对称性质作出点A，B，C关于x轴的对称点，再依次连接即可求出答案.
（2）根据相似三角形性质即可求出答案.
（3）根据割补法，结合矩形，三角形面积即可求出答案.
（1）解：如图所示：，即为所求；
（2）解：如图所示：，即为所求；
（3）解：的面积为．
16．周日傍晚，小伟、小明两名同学准备分别从．十八孔桥、．东陵廊桥、．联盟大桥、．团结大桥这座桥中随机选择一座进行打卡游览，每座桥被选择的可能性相同．
（1）小明选择打卡游览．联盟大桥的概率是___________．
（2）请用列表法或画树状图法，求小伟、小明两名同学选择同一座桥进行打卡游览的概率．
【答案】（1）
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
共有种等可能的结果，其中小伟、小明两名同学选择同一座桥的结果有种，
∴小伟、小明两名同学选择同一座桥进行打卡游览的概率为．
【知识点】用列表法或树状图法求概率；概率公式
【解析】【解答】（1）解：小明同学准备分别从．十八孔桥、．东陵廊桥、．联盟大桥、．团结大桥这座桥中随机选择一座进行打卡游览，
∴小明选择打卡游览．联盟大桥的概率是．
故答案为：．
【分析】（1）根据题意直接运用概率公式即可求解；
（2）根据题意列表，进而的共有种等可能的结果，其中小伟、小明两名同学选择同一座桥的结果有种，再根据等可能事件的概率即可求解。
（1）解：小明同学准备分别从．十八孔桥、．东陵廊桥、．联盟大桥、．团结大桥这座桥中随机选择一座进行打卡游览，
∴小明选择打卡游览．联盟大桥的概率是．
故答案为：．
（2）解：根据题意，列表如下：
A B C D
A AA BA CA DA
B AB BB CB DB
C AC BC CC DC
D AD BD CD DD
共有种等可能的结果，其中小伟、小明两名同学选择同一座桥的结果有种，
∴小伟、小明两名同学选择同一座桥进行打卡游览的概率为．
17．景点商店销售某种纪念品，每件成本为50元，经市场调研，该纪念品的月销售量（件）与销售单价（元）之间满足一次函数关系，其图像如图所示．
（1）求该纪念品的月销售量与销售单价之间的函数关系式；
（2）若商店某月销售这种纪念品共获利12000元，求该纪念品当月的销售单价．
【答案】（1）解：设，代入，，
则．
解得
．
（2）解：．
解得，，
答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元．
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的其他应用
【解析】【分析】（1）根据题意直接运用待定系数法即可求解；
（2）根据题意代入y值，进而解一元二次方程即可。
（1）解：设，代入，，
则．
解得
．
（2）解：．
解得，，
答：当获利12000元时，该纪念品的销售单价是70或80元．
18．如图，中，，，，动点P从点B出发，在边上以每秒的速度向点A匀速运动，同时动点Q从点C出发，在边上以每秒的速度向点B匀速运动，运动时间为t秒（），连接．
（1）请用含t的代数式表示：______，______；
（2）求当t为何值时，与相似？
【答案】（1），
（2）∵，，，∴；
分两种情况讨论：
①当时，
，
∵，
∴，
解得，，
②当时，
，
∴，
解得，；
∴或时，．
【知识点】勾股定理；三角形-动点问题；相似三角形的性质-对应边
【解析】【解答】（1）解：根据题意知：，，
故答案为：，；
【分析】（1）根据题意即可求解；
（2）先根据勾股定理得到AB=10cm，进而分类讨论：①当时；②当时，从而根据相似三角形的性质即可求解。
（1）解：根据题意知：，，
故答案为：，；
（2）∵，，，
∴；
分两种情况讨论：
①当时，
，
∵，
∴，
解得，，
②当时，
，
∴，
解得，；
∴或时，．
19．如图，在矩形中，，，点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时点从点出发向点运动，运动到点即停止．点的速度都是，连接，设点运动的时间为．
（1）当四边形是矩形时，为___________；
（2）当四边形是菱形时，为___________．
（3）当为何值时，是以为一条腰的等腰三角形？
【答案】（1）4
（2）3
（3）当时，四边形为菱形，
由（2）知，；
当时，过点作于，
则，
，
，
，
，
综上所述，当为或时，是以为一条腰的等腰三角形．
【知识点】等腰三角形的判定与性质；勾股定理；菱形的判定；矩形的性质；四边形-动点问题
【解析】【解答】（1）解：由题意，得：，
四边形是矩形，，
，
，
解得，，
故答案为：4；
（2），
，
当四边形为菱形时，，
，
解得，，
故答案为：3；
【分析】（1）根据列出方程，进而即可求解；
（2）先根据勾股定理求出AQ，进而根据菱形的性质即可求解；
（3）根据题意分类讨论：或，进而列出方程即可求解。
（1）解：由题意，得：，
四边形是矩形，，
，
，
解得，，
故答案为：4；
（2），
，
当四边形为菱形时，，
，
解得，，
故答案为：3；
（3）当时，四边形为菱形，
由（2）知，；
当时，过点作于，
则，
，
，
，
，
综上所述，当为或时，是以为一条腰的等腰三角形．
20．在中，，将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，连接．
（1）如图1，求证：；
（2）如图2，当时，求的长；
（3）如图3，过点作的平行线交的延长线于点，过点作的平行线交于点G，与交于点．
①求证：；
②当时，直接写出的值．
【答案】（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，∴，
∴，
过作，
∴，
∴，
在中，
即，
解得：，（舍去），
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）①证明：设旋转角为，则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②
【知识点】圆周角定理；解直角三角形；旋转的性质；相似三角形的判定-SAS
【解析】【解答】（3）②解：∵，
∴设，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由①得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由①可得，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
根据旋转可得，
∴，
联立可得，
∴．
【分析】（1）本小问考查旋转的性质与相似三角形的判定。根据旋转前后对应边相等、对应角相等的性质，可得，，且旋转角，由此可推出两边对应成比例且夹角相等，根据两边成比例且夹角相等的两个三角形相似的判定定理，即可证明；
（2）本小问考查勾股定理、锐角三角函数、相似三角形的性质。先在中，根据勾股定理计算出 AB 的长度，由旋转性质得；过点 D 作，利用的正切值建立 DH 与 AH 的数量关系，在中根据勾股定理列方程求解 AH 的长度，再在中用勾股定理求出 AD 的长；最后利用（1）中相似三角形对应边成比例的性质，代入边长比例关系即可求出 BE 的长度；
（3）①本小问考查旋转的性质、等腰三角形的性质、平行线的性质、全等三角形的判定与性质。设旋转角为，根据等腰三角形两底角相等与三角形内角和定理，分别表示出、的度数；结合，通过角的和差推导得出；再由，根据平行线同旁内角互补的性质，结合与邻补角的关系，推出；结合的条件，根据角角边的全等判定定理证明，得到，再结合旋转性质，即可证得；
②本小问考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的性质、四点共圆的判定、圆周角定理、相似三角形的判定与性质。首先由、，根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，判定四边形 ABGF 为平行四边形，得到对边相等、对角相等的性质；结合①中的结论，设，，可得，，进而得到，在中由勾股定理求出 BC 的长度，得到的正弦值。再由的对应角相等，结合平行线的性质推导得出，即为直角三角形，利用得到相等的正弦值，代入边长求出 BE 的长度。接着根据对角互补的四边形内接于圆的判定，得出 C、D、B、E 四点共圆，由圆周角定理得到，结合对顶角相等的条件，根据两角分别相等的三角形相似判定定理，证明，得到对应边的比例关系。最后设出比例系数，根据 BC 和 DE 的长度列出二元一次方程组，求解系数后代入的表达式计算，即可得到最终结果。
（1）证明：∵将绕点旋转得到，点的对应点落在边上，
∴，
∴，
∴．
（2）解：∵，，
∴，
∴，
过作，
∴，
∴，
在中，
即，
解得：，（舍去），
∴，
在中，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
（3）①证明：设旋转角为，
则，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴；
②解：∵，
∴设，
∵，
∴四边形是平行四边形，
∴，
由①得，
在中，，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
即，
即，
∴，
∴，
∴，
即，
∴，
由①可得，
∴，
∴点四点共圆，
∴，
∵，
∴，
∴，
设，
则，
根据旋转可得，
∴，
联立可得，
∴．
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