资源简介

广西桂林市第十八中学2026年数学中考模拟试卷（5月份）
1．下列各数中是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.是无理数，不符合题意；
B.是无理数，不符合题意；
C.是无理数，不符合题意；
D.是有理数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用有理数的定义（能够写成分数形式（，其中m、n均为整数）的数统称为有理数）逐个分析判断求解即可.
2．空心六角砖具有轻质、高强、隔音和保温的特点，主要用于河道、水库的护坡工程，防止水土流失，同时美化环境.如图是竖直放置的空心六角砖的示意图及其主视图，则它的左视图为(　　)
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：空心六角砖的左视图为
故选：B．
【分析】根据左视图是从物体的左面看得到的视图解答即可．
3．2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合壁，带来事事如意的吉祥.下列关于该标识的说法正确的是(　　)
A．是轴对称图形不是中心对称图形
B．是中心对称图形不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形，
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此解答即可．
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 根据二次根式的性质，得，该选项错误；
B. 根据合并同类项法则，同类项系数相加、字母与指数不变，得，该选项错误；
C. 根据积的乘方与幂的乘方法则，，该选项正确；
D. 根据完全平方公式，，该选项错误。
故答案为：C
【分析】本题考查整式运算法则与二次根式的性质，涵盖合并同类项、幂的乘方、完全平方公式等基础知识点。解题时逐一根据对应法则验证选项：对于二次根式的平方化简，根据二次根式的性质，计算结果为 3，判断 A 错误；对于同类项加法，根据合并同类项法则，仅将系数相加，字母部分保持不变，计算得，判断 B 错误；对于积的乘方，根据积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，结合幂的乘方 “底数不变、指数相乘”，计算得，判断 C 正确；对于两数差的平方，根据完全平方公式展开后第三项为正的，判断 D 错误，最终选出正确选项。
5．若一个八边形的每个内角都是，则的值为（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】解一元一次方程；多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形内角和定理，边形内角和为，八边形的内角和为。
已知该八边形每个内角均为，即该八边形为正八边形，因此内角和也可表示为，列方程得：
解得。
故答案为：C
【分析】本题考查多边形内角和定理的应用，针对正多边形的内角计算。解题时先根据多边形内角和定理，边形内角和为，代入算出八边形的内角总和；再结合题目中 “每个内角都是” 的条件，判定该八边形为正八边形，所有内角度数相等，因此内角和也等于，据此列出一元一次方程，求解即可得到的数值。
6．机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图若，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，，根据两直线平行，内错角相等，
。
又，根据两直线平行，内错角相等，
。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质，利用两组平行线传递角的相等关系。解题时先观察图形中的平行关系，根据与平行，由 “两直线平行，内错角相等” 的性质，得到与相等，代入角度数值得到的度数；再根据与平行，再次利用 “两直线平行，内错角相等” 的性质，得到与相等，通过等量代换求出的度数。
7．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法不正确的是（　　）
A．当时，
B．与的函数关系式是
C．当时，的取值范围是
D．当时，
【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设与的函数解析式为，为定值电压)，将点代入得：
因此函数关系式为，故 B 选项表述正确。
当时，代入解析式得，故 D 选项表述正确。
由于，根据反比例函数的性质，当时，随的增大而减小，因此当时，，故 A 选项表述错误；
当时，对应电流满足，故 C 选项表述正确。
故答案为：A
【分析】本题考查反比例函数在实际物理场景中的应用，涉及反比例函数的解析式求解与增减性判断。解题时先根据物理中电压、电流、电阻的关系，确定与成反比例函数关系，设出函数解析式；再将已知点的坐标代入解析式，求出定值电压，得到完整的函数关系式，据此验证 B 选项；接着将代入解析式算出对应电流，验证 D 选项；然后根据反比例函数的增减性，当比例系数为正时，在第一象限内函数值随自变量增大而减小，据此判断大于 1000 时电流的范围，验证 A 选项错误，同时得到在 880 到 1000 之间时电流的取值范围，验证 C 选项，最终选出不正确的选项。
8．共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的 4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是(　　)
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如下：
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
所以
故选：D.
【分析】利用树状图得到所有等可能的结果，找出抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，根据概率公式计算即可．
9．某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有道题，规定答对一道题得分，答错或不答一道题扣分若小明同学想要在这次竞赛中得分超过分，则他至少要答对的题数是（　　）
A．道 B．道 C．道 D．道
【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小明答对道题，则答错或不答的题目数为道。
根据得分规则，总得分 = 答对得分 - 答错或不答扣分，结合 “得分超过 80 分” 列不等式：
去括号得，
合并同类项得，
解得。
由于题数为正整数，因此的最小整数值为 13，即至少要答对 13 道题。
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，属于竞赛得分类的方案最值问题。解题时先设答对的题数为未知数，根据总题数表示出错或不答的题数；再根据题目给出的得分与扣分规则，用含未知数的式子表示总得分，结合 “得分超过 80 分” 的不等关系列出一元一次不等式；接着解不等式得到未知数的取值范围，最后结合题数必须为正整数的实际意义，取范围内的最小正整数即为所求的最少答对题数。
10．如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，
。
由折叠的性质可得，，
，
，即。
设，则。
在中，由勾股定理得，代入得：
展开得，
化简得，解得，即。
又，
。
故答案为：A
【分析】本题考查矩形的折叠变换，综合矩形的性质、等腰三角形的判定与勾股定理的应用。解题时先根据矩形的性质，得到对边平行且四个角为直角，由平行线的内错角相等得到与相等；再结合折叠的性质，折叠前后对应线段相等、对应角相等，得到、，通过等量代换推出，根据等角对等边判定，从而将转化为；接着设的长度为，用的长度表示出的长度，在直角三角形中，根据勾股定理 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方” 列出方程，求解得到的长度，最后用的长度减去的长度，得到的长度。
11．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于，两点，若的面积是，则的值是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接、，
轴，与同底等高，面积相等，即。
根据反比例函数的几何意义：对于，对应直角三角形面积为；对于，对应直角三角形面积为。
因此，
整理得，解得。
又的图象位于第二象限，时，。
故答案为：B
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，结合平行线间的面积转化进行求解。解题时先连接与，根据 “平行线间的距离处处相等”，与共享底边，且边上的高相等，因此二者面积相等，将的面积转化为的面积；再回忆反比例函数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，与原点构成的直角三角形面积为，据此分别表示出两个反比例函数对应的直角三角形面积，二者相加即为的面积；接着代入已知面积列方程求出，最后根据函数图象所在的象限，时函数值为正，判断为负数，确定的最终取值。
12．如图，在菱形中，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点匀速运动，两点同时到达终点设运动时间为秒，为如图，关于的函数图象经过最低点下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，与交于点，过点作，垂足为，
在菱形中，，
，，，，
为等边三角形，。
，，，
，对应边成比例：。
由题意结合图 2 的对称性可知，运动到点时，恰好运动到点，此时，即，因此，即，故 A 选项正确。
由此可得，，，点的运动速度为单位 / 秒。
① 当在线段上运动时，，，。
由相似比可得，即，解得；同理。
。
在中，由勾股定理得，即：
当时，取得最小值，故 B 选项错误。
当时，，故 C 选项正确。
② 当在线段上运动时，，，同理可得，，。
由勾股定理得：
当时，，即点在函数图象上，故 D 选项正确。
故答案为：B
【分析】本题是菱形背景下的动点函数图象问题，综合菱形性质、等边三角形判定、相似三角形性质、勾股定理与二次函数解析式求解。解题时先结合菱形性质，由推出对角线平分内角，得到，结合菱形邻边相等，根据 “有一个角为的等腰三角形是等边三角形” 证明为等边三角形，得到与边长相等；再根据两点同时到达终点，结合函数图象的对称性，判断运动到点时运动到中点，由此算出的长度即的值，同时得到菱形的边长、对角线长度以及点的运动速度。
接着分两段讨论：当在上运动时，通过作垂直，根据 “平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似”，由证明，利用相似三角形对应边成比例，用含的式子表示出和的长度，进而表示出的长度；再根据勾股定理，在直角三角形中表示出即关于的函数解析式，配方后得到顶点式，求出最小值以及时的值，验证对应选项。
当在上运动时，同理用含的式子表示出相关线段长度，利用勾股定理得到该段的函数解析式，代入验证点是否在图象上，最终判断各选项的正误，选出不正确的一项。
13．9的算术平方根是 　 　．
【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
14．若分式 的值为0，则x=　 　．
【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式 的值为0，得
x2﹣1=0且x+1≠0．解得x=1，
故答案为：1．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
15．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点恰好落在线段的延长线上，在旋转过程中，点所经过路径的长度为　 　结果保留．
【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
。
由旋转的性质得，为等腰三角形，
，
，即旋转角。
点经过的路径为以为圆心、长为半径的弧，根据弧长公式，代入得：
故答案为：
【分析】本题考查图形旋转的性质与弧长公式的计算，结合直角三角形与等腰三角形的性质求解旋转角。解题时先在直角三角形中，根据 “直角三角形两锐角互余”，由的度数求出的度数；再根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，得到与相等，判定为等腰三角形，根据等边对等角得到与相等；接着根据三角形内角和为，计算出顶角的度数，即点旋转的圆心角度数；最后明确点的运动路径是圆弧，根据弧长公式，代入圆心角与半径的数值，计算出路径的长度。
16．抛物线的顶点是，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：
；
；
对于任意实数，总有不等式；
若方程的两个根为，，则．
其中正确的是　 　只写序号．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下可知；顶点坐标为，则对称轴为直线，由对称轴公式，得。
① 由抛物线的对称性，一个交点在与之间，则另一个交点在与之间，因此抛物线与轴交于正半轴，即。
，，，，故①正确。
② 当时，对应函数值，将代入得，故②错误。
③ 抛物线开口向下，顶点处取得最大值，即当时，函数最大值为，因此对任意实数，有。
而，故不恒成立，③错误。
④ 两个交点分别在与之间，因此两根之差的绝对值满足：，，即，故④正确。
综上正确的是①④
故答案为：①④
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，综合抛物线的对称性、增减性、最值以及与坐标轴交点的性质。解题时先从图象获取信息：抛物线开口向下得到，由顶点横坐标得到对称轴为，根据对称轴公式推出，判断的符号；再结合抛物线的对称性，由已知交点的范围推出另一交点的范围，进而得到抛物线与轴交点在正半轴，即，据此判断的符号，验证①。接着利用时函数值小于 0，将替换为代入，得到的符号，验证②。然后根据抛物线开口向下时顶点为最高点，函数在处取得最大值，因此对任意，函数值均小于等于时的函数值，对比的大小，判断③不成立。最后根据两个交点的横坐标范围，计算两根差的绝对值的取值范围，验证④，最终筛选出正确的结论。
17．计算：
（1）．
（2）先化简：，再从，，中选取一个使原式有意义的的值代入求值．
【答案】（1）原式＝﹣1+2﹣1
＝0；
（2）原式
x（x+1）
＝x2；
∵x≠0，x+1≠0，
∴x＝﹣3，
原式＝（﹣3）2＝9．
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涉及有理数乘方、二次根式除法、零指数幂三个基础运算。解题时先分别根据对应法则计算每一项：根据有理数乘方的定义，表示 1 平方的相反数，结果为；根据二次根式的除法法则，计算得到，化简为 2；根据零指数幂的性质，任意非零数的 0 次幂等于 1，得到；再将三项结果按加减运算合并，得到最终结果。
（2）本题考查分式的化简求值，涉及分式的乘除运算、分式有意义的条件。解题时先对分子分母进行因式分解，将第一个分式的分子提取公因式、分母用完全平方公式分解；再对括号内的分式通分计算，根据异分母分式减法法则，通分后分子相减、分母不变；接着将除法转化为乘以除数的倒数，约分后得到最简结果。然后根据分式有意义的条件，分母不能为 0，排除使各分母及除式为 0 的值，从给定数中选出符合条件的代入最简式，计算出数值。
18．如图，点在线段上，，且，连接，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的度数．
【答案】（1），
，
在和中，
，
≌
（2）解：由（1）知：△ADC≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ADC，
∵∠A＝40°，∠ADC＝20°，
∴∠BCE＝20°，
∵∠BCD＝∠A+∠ADC＝40°+20°＝60°，
∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝60°+20°＝80°．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，结合平行线的性质提供相等的角。解题时先根据与平行，由 “两直线平行，内错角相等” 得到与相等；再梳理已知条件：，，，根据全等三角形的 SAS 判定定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，即可证明与全等。
（2）本题考查全等三角形的性质与三角形外角的性质，通过角的等量代换计算角度。解题时先由全等三角形的对应角相等，得到与相等，代入已知角度得到的度数；再根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在中，是外角，因此等于加，计算出的度数；最后由等于加，代入两个角度数值求和，得到的度数。
19．某校为加强学生安全教育，开展了防溺水安全知识竞赛现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取名学生的成绩百分制进行整理、描述和分析成绩均不低于分，用表示，将学生竞赛成绩分为，，三个等级：：，：，：下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，；
八年级名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：，，，，；
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 87 87 b 70.8
八年级 87 a 89 62.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由一条理由即可；
（3）该校七年级共有人参赛，八年级共有人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？
【答案】（1）；；
（2）八年级的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级成绩的方差小于七年级的，成绩更稳定，
所以八年级的成绩更好；
（3）（人），
答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由扇形统计图可得，八年级竞赛成绩在A组的人数为10×20%＝2（人），
∴八年级竞赛成绩的中位数，
∵七年级10名学生竞赛成绩中87分出现的人数最多，
∴众数b＝87，
∵八年级竞赛成绩A组人数2人，B组人数5人，
∴C组人数为10﹣2﹣5＝3人，
∴，
∴m＝30，
故答案为：87.5，87，30；
【分析】（1）本题考查统计量的计算与扇形统计图的应用，涉及中位数、众数、百分比的求解。解题时先计算八年级的中位数：由扇形统计图中等级占 20%，算出等级人数为 2 人，结合等级有 5 人，可知成绩从小到大排列后，第 5、6 个数据分别为 86 和 89，根据中位数的定义，取两个数的平均数得到的值；再看七年级成绩，找出出现次数最多的数，根据众数的定义得到的值；接着计算八年级等级的人数，用总人数减去、等级人数，再除以总人数得到等级所占百分比，即的值。
（2）本题考查统计量的实际意义，通过平均数、方差等对比成绩优劣。解题时可从方差角度分析：两个年级平均数相同的情况下，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，八年级方差更小，因此成绩更稳定；也可从中位数、众数角度分析，合理即可。
（3）本题考查用样本估计总体，通过样本的优秀率估算总体优秀人数。解题时先分别算出七年级、八年级样本中成绩优秀（等级）的人数占比，即优秀率；再用各年级的总参赛人数乘以对应优秀率，分别得到两个年级的优秀人数，相加后即为全校优秀总人数的估计值。
20．如图，内接于，是直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与延长线相交于．
（1）求证：是切线．
（2）若，．
求的半径．
求线段的长．
【答案】（1）证明：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，点E在圆上，且BC＝CE，连接OC，则OA＝OC，
∴，∠BAC＝∠ACO，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①由（1）可知OC⊥CF，则∠OCF＝90°，∠BAC＝∠ACO，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠BCO＝∠ACO+∠BCO，
∴∠BAC＝∠ACO＝∠BCF，
∴，
∴，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
∵∠FCB＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴，
∴FC＝2FB＝4，FA＝2FC＝8，
∴AB＝AF﹣BF＝8﹣2＝6，
∴⊙O的半径为3；
②∵OC∥AD，
∴△FOC∽△FAD，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线判定，结合圆周角定理与平行线的性质证明垂直。解题时先连接，根据 “在同圆中，相等的弦所对的弧相等”，由得到弧等于弧；再根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，得到与相等；由，根据等边对等角得到与相等，通过等量代换推出，根据 “内错角相等，两直线平行” 判定；已知，即，根据平行线的性质，若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则也垂直于另一条，得到，又是半径，根据切线的判定定理 “经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，即可证明是的切线。
（2）① 本题考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形，结合弦切角定理的推论求半径。解题时先由是直径，根据直径所对的圆周角是直角，得到；再由，通过角的和差关系推出，结合之前的结论得到，因此，得到与的数量关系，再由勾股定理得到与的关系；接着根据两角分别相等的两个三角形相似，证明，得到对应边成比例，结合与的比值得到与、与的比例关系，代入的长度求出和的长度，进而求出的长度，除以 2 即为的半径。
② 本题考查相似三角形的性质，利用平行线构造相似三角形求线段长。解题时由，根据 “平行于三角形一边的直线截另外两边的延长线，所得三角形与原三角形相似”，判定，根据相似三角形对应边成比例，列出的比例式，代入已知的、、的长度，即可计算出的长度。
21．某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价元，全部售出后可获利元，若每个定价元，全部售出后可获利元，在对个门店调查时发现此玩具的日销售量个仅与销售单价元有关，具体记录如下表：
玩具店 A B C D E
销售单价 60 59 58 57 56
日销售量 20 22 24 26 28
（1）此玩具的进价是多少元？
（2）从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式；
（3）如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出元，该门店要通过销售该玩具每天获得元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？
【答案】（1）设此玩具的进价是m元，
根据题意，得，
解得m＝20，
经检验，m＝20是所列方程的解，
答：此玩具的进价是20元；
（2）通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系，
设该益智玩具的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：
，
解得：，
故y＝﹣2x+140；
（3）该益智玩具的销售单价定为x元，
根据题意，得：（﹣2x+140）（x﹣20）﹣200＝600，
解得：x1＝30，x2＝60，
当销售单价为60元时，日销售量为﹣2×60+140＝20个，
当销售单价为30元时，日销售量为﹣2×30+140＝80个，
∵20＜80，且要尽量减少库存，
∴应选择日销售量较大的方案，
∴x＝30．
答：该益智玩具的销售单价定为30元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，利用总利润与单件利润的关系求进价。解题时设进价为元，根据 “总利润 ÷ 单件利润 = 总数量”，分别表示出两种定价下的玩具总数量；由于玩具总数量固定不变，据此列出关于的分式方程，解方程并检验后得到进价的数值。
（2）本题考查一次函数的模型判断与待定系数法求解析式。解题时先观察表格数据，销售单价每降低 1 元，日销售量增加 2 个，二者呈线性变化，因此选择一次函数模型；设日销售量与销售单价的函数关系式为，选取表格中两组数据代入，得到二元一次方程组，解方程组求出和的值，即可得到函数关系式。
（3）本题考查一元二次方程的实际应用，属于利润问题，结合库存需求选择方案。解题时先明确净利润的计算方式：净利润 = 单件利润 × 日销售量 - 固定支出；设销售单价为元，用含的式子表示单件利润与日销售量，结合净利润为 600 元列出一元二次方程；解方程得到两个单价解，分别计算对应日销售量，根据 “尽量减少库存” 即销量更大的要求，选择对应销量更大的单价作为最终定价。
22．学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液如图，按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口点喷出如图以吸液管底为原点，吸液管所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知喷口点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为．
（1）求这滴洗手液轨迹的函数关系式；
（2）当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口点的水平距离是多少？
（3）小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点到喷口点的水平距离为若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度的取值范围．
【答案】（1）由题意，抛物线过（4，18）、（7，15）两点，
把（4，18）、（7，15）代入y＝ax2+bx+15，得，
解得，
∴洗手液轨迹的函数关系式为；
（2）令y＝0，得．
解得x＝12或x＝﹣5（舍去），
与喷口水平距离为12﹣4＝8cm．
故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离8cm的位置；
（3）由题意得，点M横坐标为x＝4+3＝7，点N横坐标为x＝7+4＝11．
当洗手液恰好落到手心左端M时：
令x＝7，得，
当洗手液恰好落到手心右端N时：
令x＝11，得，
∵，抛物线开口向下；，
∴在时，y随x增大而减小．
∴手心MN离台面的高度h的范围是4≤h≤15．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）本题考查待定系数法求二次函数解析式，结合实际场景的坐标信息列方程。解题时先根据题意确定抛物线上两个点的坐标：喷口的横坐标为的长度 4，纵坐标为高度 18，即点；水平喷出 3cm 时高度为 15cm，对应横坐标为，纵坐标为 15，即点。将两个点的坐标代入给定的抛物线一般式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出和的值，即可得到轨迹的函数关系式。
（2）本题考查二次函数与轴的交点问题，求抛物线与台面（轴）交点的实际意义。解题时台面的高度对应，令函数解析式中，得到一元二次方程，解方程得到两个根，舍去不符合实际意义的负根，得到落点的横坐标；再用落点横坐标减去喷口的横坐标，得到落点离喷口点的水平距离。
（3）本题考查二次函数的增减性与函数值范围计算，结合实际场景确定自变量范围。解题时先根据题意确定手心两端点的横坐标：点到的水平距离为 3cm，因此的横坐标为；手心长 4cm，因此的横坐标为。分别将两个横坐标代入抛物线解析式，求出对应的值，即对应高度；再根据抛物线的开口方向与对称轴，判断在 7 到 11 这个区间内函数的增减性，进而确定该区间内的取值范围，也就是手心到台面高度的取值范围。
23．要求解答：
（1）问题提出：如图，在中，求证：；
（2）问题探究：如图，是的中线，点在上，连接，且，若，，求的长度；
（3）问题解决：如图，四边形是某小区内一块空地，其中米，米，，，小区物业准备在空地内找一点，分别修建四条小道、、、小道的宽度忽略不计，并在、、内分别种植不同的绿植，为生活娱乐区，根据规划要求，，且小道与的比值尽可能大，请问是否存在满足要求的点？若存在，找出点的位置，并计算的最大值，若不存在，请说明理由．
【答案】（1）证明：∵∠DCB＝∠A，∠DBC＝∠CBA，
∴△DBC∽△CBA，
∴，
∴BC2＝BD BA；
（2）解：∵∠DCB＝∠BAE，∠CBD＝∠ABE，
∴△CBD∽△ABE，
∴，
由条件可知，
设BD＝x，
∴AB＝6+x，
∴，即x（6+x）＝16，
解得x1＝﹣8，x2＝2，
∴BD＝2；
（3）解：作DG⊥BC于点G，
由条件可知∠ABC＝∠BAD＝∠BGD＝90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG＝AD＝75，
∴CG＝BC﹣BG＝25，
∵∠BCD＝60°，
∴，，
，
∵2500+7500＝10000＝1002，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴点B、P、D、C在以BC为直径的⊙O上，
记⊙O交AD于点F，连接OD，作OH⊥AD于点H，
同理，四边形HOGD是矩形，FH＝DH，
∵，，
∴，
∴DF＝2DH＝50，
∴AF＝AD﹣DF＝25，
延长AP交⊙O于点E，连接EF，ED，PF，
∵，
∴∠AEF＝∠ADP，
∵∠EAF＝∠DAP，
∴△AEF∽△ADP，
∴，即，
要计算的最大值，则EF取得最大值，
∴当EF为直径时，EF取得最大值，有最大值，如图，
∴，
∴的最大值为4．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；圆的综合题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）本题考查相似三角形的判定与性质，证明乘积式通常转化为比例式。解题时先观察两个三角形：和，已知，又有公共角，根据 “两角分别相等的两个三角形相似”，判定；再根据相似三角形对应边成比例，得到，交叉相乘即可得到的结论。
（2）本题考查相似三角形的判定与性质，结合中线的定义求解线段长度。解题时先观察和，已知，且为公共角，根据两角分别相等判定；由相似三角形对应边成比例得到。再根据是中线，根据三角形中线的定义，，代入的长度；设，用表示出的长度，将各线段长度代入比例式，得到关于的一元二次方程，解方程并舍去负根，得到的长度。
（3）本题是几何最值综合题，结合直角三角形斜边中线定理、圆周角定理、相似三角形的性质求比值的最大值。解题时先作于，由判定四边形是矩形，根据矩形对边相等得到、；再由的长度算出的长度，结合，用三角函数求出与的长度，再用勾股定理算出的长度，通过勾股定理的逆定理证明是直角三角形且。结合，根据 “直角三角形斜边的中点到三个顶点距离相等”，可知点在以为直径的圆上，同理、、也在该圆上，即四点共圆。接着设圆与交于点，通过作垂线计算出的长度；再延长交圆于点，连接、，根据同弧所对的圆周角相等，得到，结合公共角，判定，由相似三角形对应边成比例推出。要使最大，需使最大，而圆中最长的弦是直径，因此当为直径时取得最大值，代入数值即可算出的最大值，同时确定此时点的位置。
1 / 1广西桂林市第十八中学2026年数学中考模拟试卷（5月份）
1．下列各数中是有理数的是（　　）
A． B． C． D．
2．空心六角砖具有轻质、高强、隔音和保温的特点，主要用于河道、水库的护坡工程，防止水土流失，同时美化环境.如图是竖直放置的空心六角砖的示意图及其主视图，则它的左视图为(　　)
A． B． C． D．
3．2025年春晚的主题是“巳巳如意，生生不息”，如图为春晚主标识，巧妙组合的两个“巳”字象征中国传统的如意纹样，寓意双巳合壁，带来事事如意的吉祥.下列关于该标识的说法正确的是(　　)
A．是轴对称图形不是中心对称图形
B．是中心对称图形不是轴对称图形
C．既是轴对称图形又是中心对称图形
D．既不是轴对称图形也不是中心对称图形
4．下列运算正确的是（　　）
A． B．
C． D．
5．若一个八边形的每个内角都是，则的值为（　　）
A． B． C． D．
6．机器人“夸父”是我国全运会历史上首个人形机器人火炬手如图是“夸父”在传递火炬时的平面示意图若，，，则的度数是（　　）
A． B． C． D．
7．某个亮度可调节的台灯，其灯光亮度的改变，可以通过调节总电阻控制电流的变化来实现如图所示的是该台灯的电流与电阻的关系图象，该图象经过点根据图象可知，下列说法不正确的是（　　）
A．当时，
B．与的函数关系式是
C．当时，的取值范围是
D．当时，
8．共享经济已经进入人们的生活.小明收集了自己感兴趣的 4个共享经济领域的图标，共享出行、共享服务、共享物品、共享知识，制成编号为 A、B、C、D的四张卡片(除字母和内容外，其余完全相同).现将这四张卡片背面朝上，洗匀放好，小明从中随机抽取两张卡片，则小明抽到的两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的概率是(　　)
A． B． C． D．
9．某校举办“科学与艺术”主题知识竞赛，共有道题，规定答对一道题得分，答错或不答一道题扣分若小明同学想要在这次竞赛中得分超过分，则他至少要答对的题数是（　　）
A．道 B．道 C．道 D．道
10．如图，在矩形纸片中，，，将其折叠，使点与点重合，折痕为，则的长为（　　）
A． B． C． D．
11．如图，在平面直角坐标系中，点是轴上任意一点，轴，分别交，的图象于，两点，若的面积是，则的值是（　　）
A． B． C． D．
12．如图，在菱形中，，点从点出发，以每秒个单位的速度沿向终点运动，同时点从点出发，沿折线向终点匀速运动，两点同时到达终点设运动时间为秒，为如图，关于的函数图象经过最低点下列说法不正确的是（　　）
A． B．
C． D．点在该函数图象上
13．9的算术平方根是 　 　．
14．若分式 的值为0，则x=　 　．
15．如图，在中，，，将绕点逆时针旋转得到，使点恰好落在线段的延长线上，在旋转过程中，点所经过路径的长度为　 　结果保留．
16．抛物线的顶点是，与轴的一个交点在点和之间，其部分图象如图，则以下结论：
；
；
对于任意实数，总有不等式；
若方程的两个根为，，则．
其中正确的是　 　只写序号．
17．计算：
（1）．
（2）先化简：，再从，，中选取一个使原式有意义的的值代入求值．
18．如图，点在线段上，，且，连接，．
（1）求证：≌；
（2）若，，求的度数．
19．某校为加强学生安全教育，开展了防溺水安全知识竞赛现从七年级和八年级参与竞赛的学生中各随机抽取名学生的成绩百分制进行整理、描述和分析成绩均不低于分，用表示，将学生竞赛成绩分为，，三个等级：：，：，：下面给出了部分信息：
七年级名学生的竞赛成绩为：，，，，，，，，，；
八年级名学生的竞赛成绩在等级中的数据为：，，，，；
八年级抽取的学生竞赛成绩扇形统计图
两组数据的平均数、中位数、众数、方差如表所示：
学生 平均数 中位数 众数 方差
七年级 87 87 b 70.8
八年级 87 a 89 62.4
根据以上信息，解答下列问题：
（1）填空：　 　，　 　，　 　；
（2）根据以上数据，你认为在此次知识竞赛中，哪个年级的成绩更好？请说明理由一条理由即可；
（3）该校七年级共有人参赛，八年级共有人参赛，请估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有多少人？
20．如图，内接于，是直径，点在圆上，且，过点作，垂足为点，与延长线相交于．
（1）求证：是切线．
（2）若，．
求的半径．
求线段的长．
21．某玩具总店购进一批益智玩具进行销售，若每个定价元，全部售出后可获利元，若每个定价元，全部售出后可获利元，在对个门店调查时发现此玩具的日销售量个仅与销售单价元有关，具体记录如下表：
玩具店 A B C D E
销售单价 60 59 58 57 56
日销售量 20 22 24 26 28
（1）此玩具的进价是多少元？
（2）从所学的函数模型中挑选你认为合适的函数模型，并求该玩具的日销售量与销售单价之间的函数关系式；
（3）如果某门店在销售该玩具时，每天因人工房租等需支出元，该门店要通过销售该玩具每天获得元的净利润，同时要尽量减少库存，那么该益智玩具的销售单价定为多少元？
22．学校的洗手台上放了一瓶抑菌洗手液如图，按住顶部下压，洗手液瞬间从喷口点喷出如图以吸液管底为原点，吸液管所在直线为轴，建立如图所示的平面直角坐标系，已知喷口点到台面高度为，为，喷出的一滴洗手液轨迹呈抛物线形，其关系式为，这滴洗手液在水平方向喷出时，到台面高度为．
（1）求这滴洗手液轨迹的函数关系式；
（2）当这滴洗手液落到台面上时，落点离喷口点的水平距离是多少？
（3）小明洗手时手心向上平行于台面接洗手液，他的手心约为，现在点到喷口点的水平距离为若小明恰好能接到这滴洗手液，求手心到台面的高度的取值范围．
23．要求解答：
（1）问题提出：如图，在中，求证：；
（2）问题探究：如图，是的中线，点在上，连接，且，若，，求的长度；
（3）问题解决：如图，四边形是某小区内一块空地，其中米，米，，，小区物业准备在空地内找一点，分别修建四条小道、、、小道的宽度忽略不计，并在、、内分别种植不同的绿植，为生活娱乐区，根据规划要求，，且小道与的比值尽可能大，请问是否存在满足要求的点？若存在，找出点的位置，并计算的最大值，若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】无理数的概念；有理数的概念；求算术平方根；开立方（求立方根）
【解析】【解答】解：A.是无理数，不符合题意；
B.是无理数，不符合题意；
C.是无理数，不符合题意；
D.是有理数，符合题意；
故答案为：D．
【分析】利用有理数的定义（能够写成分数形式（，其中m、n均为整数）的数统称为有理数）逐个分析判断求解即可.
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】解：空心六角砖的左视图为
故选：B．
【分析】根据左视图是从物体的左面看得到的视图解答即可．
3．【答案】B
【知识点】轴对称图形；中心对称及中心对称图形
【解析】【解答】解：由图可知，春晚主标识是中心对称图形不是轴对称图形，
故选：B．
【分析】如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合，那么这个图形叫做轴对称图形”；在平面内，把一个图形绕某点旋转，如果旋转后的图形与另一个图形重合，那么这两个图形互为中心对称图形；据此解答即可．
4．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的性质与化简；合并同类项法则及应用；积的乘方运算
【解析】【解答】解：A. 根据二次根式的性质，得，该选项错误；
B. 根据合并同类项法则，同类项系数相加、字母与指数不变，得，该选项错误；
C. 根据积的乘方与幂的乘方法则，，该选项正确；
D. 根据完全平方公式，，该选项错误。
故答案为：C
【分析】本题考查整式运算法则与二次根式的性质，涵盖合并同类项、幂的乘方、完全平方公式等基础知识点。解题时逐一根据对应法则验证选项：对于二次根式的平方化简，根据二次根式的性质，计算结果为 3，判断 A 错误；对于同类项加法，根据合并同类项法则，仅将系数相加，字母部分保持不变，计算得，判断 B 错误；对于积的乘方，根据积的乘方等于各因式分别乘方再相乘，结合幂的乘方 “底数不变、指数相乘”，计算得，判断 C 正确；对于两数差的平方，根据完全平方公式展开后第三项为正的，判断 D 错误，最终选出正确选项。
5．【答案】C
【知识点】解一元一次方程；多边形内角与外角；多边形的内角和公式
【解析】【解答】解：根据多边形内角和定理，边形内角和为，八边形的内角和为。
已知该八边形每个内角均为，即该八边形为正八边形，因此内角和也可表示为，列方程得：
解得。
故答案为：C
【分析】本题考查多边形内角和定理的应用，针对正多边形的内角计算。解题时先根据多边形内角和定理，边形内角和为，代入算出八边形的内角总和；再结合题目中 “每个内角都是” 的条件，判定该八边形为正八边形，所有内角度数相等，因此内角和也等于，据此列出一元一次方程，求解即可得到的数值。
6．【答案】C
【知识点】平行线的性质
【解析】【解答】解：，，根据两直线平行，内错角相等，
。
又，根据两直线平行，内错角相等，
。
故答案为：C
【分析】本题考查平行线的性质，利用两组平行线传递角的相等关系。解题时先观察图形中的平行关系，根据与平行，由 “两直线平行，内错角相等” 的性质，得到与相等，代入角度数值得到的度数；再根据与平行，再次利用 “两直线平行，内错角相等” 的性质，得到与相等，通过等量代换求出的度数。
7．【答案】A
【知识点】待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的实际应用；反比例函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：设与的函数解析式为，为定值电压)，将点代入得：
因此函数关系式为，故 B 选项表述正确。
当时，代入解析式得，故 D 选项表述正确。
由于，根据反比例函数的性质，当时，随的增大而减小，因此当时，，故 A 选项表述错误；
当时，对应电流满足，故 C 选项表述正确。
故答案为：A
【分析】本题考查反比例函数在实际物理场景中的应用，涉及反比例函数的解析式求解与增减性判断。解题时先根据物理中电压、电流、电阻的关系，确定与成反比例函数关系，设出函数解析式；再将已知点的坐标代入解析式，求出定值电压，得到完整的函数关系式，据此验证 B 选项；接着将代入解析式算出对应电流，验证 D 选项；然后根据反比例函数的增减性，当比例系数为正时，在第一象限内函数值随自变量增大而减小，据此判断大于 1000 时电流的范围，验证 A 选项错误，同时得到在 880 到 1000 之间时电流的取值范围，验证 C 选项，最终选出不正确的选项。
8．【答案】D
【知识点】用列表法或树状图法求概率
【解析】【解答】解：根据题意画树状图，如下：
由树状图可知，共有12种等可能出现的结果，其中抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果有2种，
所以
故选：D.
【分析】利用树状图得到所有等可能的结果，找出抽到两张卡片恰好是“共享出行”和“共享知识”的结果数，根据概率公式计算即可．
9．【答案】B
【知识点】一元一次不等式的应用
【解析】【解答】解：设小明答对道题，则答错或不答的题目数为道。
根据得分规则，总得分 = 答对得分 - 答错或不答扣分，结合 “得分超过 80 分” 列不等式：
去括号得，
合并同类项得，
解得。
由于题数为正整数，因此的最小整数值为 13，即至少要答对 13 道题。
故答案为：B
【分析】本题考查一元一次不等式的实际应用，属于竞赛得分类的方案最值问题。解题时先设答对的题数为未知数，根据总题数表示出错或不答的题数；再根据题目给出的得分与扣分规则，用含未知数的式子表示总得分，结合 “得分超过 80 分” 的不等关系列出一元一次不等式；接着解不等式得到未知数的取值范围，最后结合题数必须为正整数的实际意义，取范围内的最小正整数即为所求的最少答对题数。
10．【答案】A
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：四边形为矩形，
，，
。
由折叠的性质可得，，
，
，即。
设，则。
在中，由勾股定理得，代入得：
展开得，
化简得，解得，即。
又，
。
故答案为：A
【分析】本题考查矩形的折叠变换，综合矩形的性质、等腰三角形的判定与勾股定理的应用。解题时先根据矩形的性质，得到对边平行且四个角为直角，由平行线的内错角相等得到与相等；再结合折叠的性质，折叠前后对应线段相等、对应角相等，得到、，通过等量代换推出，根据等角对等边判定，从而将转化为；接着设的长度为，用的长度表示出的长度，在直角三角形中，根据勾股定理 “直角三角形两直角边的平方和等于斜边的平方” 列出方程，求解得到的长度，最后用的长度减去的长度，得到的长度。
11．【答案】B
【知识点】反比例函数的图象；反比例函数系数k的几何意义；三角形的面积
【解析】【解答】解：连接、，
轴，与同底等高，面积相等，即。
根据反比例函数的几何意义：对于，对应直角三角形面积为；对于，对应直角三角形面积为。
因此，
整理得，解得。
又的图象位于第二象限，时，。
故答案为：B
【分析】本题考查反比例函数的几何意义，结合平行线间的面积转化进行求解。解题时先连接与，根据 “平行线间的距离处处相等”，与共享底边，且边上的高相等，因此二者面积相等，将的面积转化为的面积；再回忆反比例函数的几何意义：过反比例函数图象上任意一点作坐标轴的垂线，与原点构成的直角三角形面积为，据此分别表示出两个反比例函数对应的直角三角形面积，二者相加即为的面积；接着代入已知面积列方程求出，最后根据函数图象所在的象限，时函数值为正，判断为负数，确定的最终取值。
12．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的性质；二次函数-动态几何问题；动点问题的函数图象；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【解答】解：连接，与交于点，过点作，垂足为，
在菱形中，，
，，，，
为等边三角形，。
，，，
，对应边成比例：。
由题意结合图 2 的对称性可知，运动到点时，恰好运动到点，此时，即，因此，即，故 A 选项正确。
由此可得，，，点的运动速度为单位 / 秒。
① 当在线段上运动时，，，。
由相似比可得，即，解得；同理。
。
在中，由勾股定理得，即：
当时，取得最小值，故 B 选项错误。
当时，，故 C 选项正确。
② 当在线段上运动时，，，同理可得，，。
由勾股定理得：
当时，，即点在函数图象上，故 D 选项正确。
故答案为：B
【分析】本题是菱形背景下的动点函数图象问题，综合菱形性质、等边三角形判定、相似三角形性质、勾股定理与二次函数解析式求解。解题时先结合菱形性质，由推出对角线平分内角，得到，结合菱形邻边相等，根据 “有一个角为的等腰三角形是等边三角形” 证明为等边三角形，得到与边长相等；再根据两点同时到达终点，结合函数图象的对称性，判断运动到点时运动到中点，由此算出的长度即的值，同时得到菱形的边长、对角线长度以及点的运动速度。
接着分两段讨论：当在上运动时，通过作垂直，根据 “平行于三角形一边的直线截另外两边，所得三角形与原三角形相似”，由证明，利用相似三角形对应边成比例，用含的式子表示出和的长度，进而表示出的长度；再根据勾股定理，在直角三角形中表示出即关于的函数解析式，配方后得到顶点式，求出最小值以及时的值，验证对应选项。
当在上运动时，同理用含的式子表示出相关线段长度，利用勾股定理得到该段的函数解析式，代入验证点是否在图象上，最终判断各选项的正误，选出不正确的一项。
13．【答案】3
【知识点】算术平方根
【解析】【解答】解：∵32=9，
∴9算术平方根为3．
故答案为：3．
【分析】如果一个非负数x的平方等于a，那么x是a的算术平方根，根据此定义即可求出结果．
14．【答案】1
【知识点】分式的值为零的条件
【解析】【解答】解：分式 的值为0，得
x2﹣1=0且x+1≠0．解得x=1，
故答案为：1．
【分析】分式的值为0的条件是：（1）分子为0；（2）分母不为0．两个条件需同时具备，缺一不可．据此可以解答本题．
15．【答案】
【知识点】弧长的计算；旋转的性质
【解析】【解答】解：在中，，，
。
由旋转的性质得，为等腰三角形，
，
，即旋转角。
点经过的路径为以为圆心、长为半径的弧，根据弧长公式，代入得：
故答案为：
【分析】本题考查图形旋转的性质与弧长公式的计算，结合直角三角形与等腰三角形的性质求解旋转角。解题时先在直角三角形中，根据 “直角三角形两锐角互余”，由的度数求出的度数；再根据旋转的性质，旋转前后对应线段长度相等，得到与相等，判定为等腰三角形，根据等边对等角得到与相等；接着根据三角形内角和为，计算出顶角的度数，即点旋转的圆心角度数；最后明确点的运动路径是圆弧，根据弧长公式，代入圆心角与半径的数值，计算出路径的长度。
16．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数与不等式（组）的综合应用；二次函数y=ax²+bx+c的性质；利用二次函数图象判断一元二次方程根的情况
【解析】【解答】解：由抛物线开口向下可知；顶点坐标为，则对称轴为直线，由对称轴公式，得。
① 由抛物线的对称性，一个交点在与之间，则另一个交点在与之间，因此抛物线与轴交于正半轴，即。
，，，，故①正确。
② 当时，对应函数值，将代入得，故②错误。
③ 抛物线开口向下，顶点处取得最大值，即当时，函数最大值为，因此对任意实数，有。
而，故不恒成立，③错误。
④ 两个交点分别在与之间，因此两根之差的绝对值满足：，，即，故④正确。
综上正确的是①④
故答案为：①④
【分析】本题考查二次函数图象与系数的关系，综合抛物线的对称性、增减性、最值以及与坐标轴交点的性质。解题时先从图象获取信息：抛物线开口向下得到，由顶点横坐标得到对称轴为，根据对称轴公式推出，判断的符号；再结合抛物线的对称性，由已知交点的范围推出另一交点的范围，进而得到抛物线与轴交点在正半轴，即，据此判断的符号，验证①。接着利用时函数值小于 0，将替换为代入，得到的符号，验证②。然后根据抛物线开口向下时顶点为最高点，函数在处取得最大值，因此对任意，函数值均小于等于时的函数值，对比的大小，判断③不成立。最后根据两个交点的横坐标范围，计算两根差的绝对值的取值范围，验证④，最终筛选出正确的结论。
17．【答案】（1）原式＝﹣1+2﹣1
＝0；
（2）原式
x（x+1）
＝x2；
∵x≠0，x+1≠0，
∴x＝﹣3，
原式＝（﹣3）2＝9．
【知识点】分式有无意义的条件；零指数幂；有理数的乘方法则；实数的混合运算（含开方）；分式的化简求值-择值代入
【解析】【分析】（1）本题考查实数的混合运算，涉及有理数乘方、二次根式除法、零指数幂三个基础运算。解题时先分别根据对应法则计算每一项：根据有理数乘方的定义，表示 1 平方的相反数，结果为；根据二次根式的除法法则，计算得到，化简为 2；根据零指数幂的性质，任意非零数的 0 次幂等于 1，得到；再将三项结果按加减运算合并，得到最终结果。
（2）本题考查分式的化简求值，涉及分式的乘除运算、分式有意义的条件。解题时先对分子分母进行因式分解，将第一个分式的分子提取公因式、分母用完全平方公式分解；再对括号内的分式通分计算，根据异分母分式减法法则，通分后分子相减、分母不变；接着将除法转化为乘以除数的倒数，约分后得到最简结果。然后根据分式有意义的条件，分母不能为 0，排除使各分母及除式为 0 的值，从给定数中选出符合条件的代入最简式，计算出数值。
18．【答案】（1），
，
在和中，
，
≌
（2）解：由（1）知：△ADC≌△BCE，
∴∠BCE＝∠ADC，
∵∠A＝40°，∠ADC＝20°，
∴∠BCE＝20°，
∵∠BCD＝∠A+∠ADC＝40°+20°＝60°，
∴∠DCE＝∠BCD+∠BCE＝60°+20°＝80°．
【知识点】角的运算；三角形全等及其性质；三角形全等的判定-SAS
【解析】【分析】（1）本题考查全等三角形的判定，结合平行线的性质提供相等的角。解题时先根据与平行，由 “两直线平行，内错角相等” 得到与相等；再梳理已知条件：，，，根据全等三角形的 SAS 判定定理，两边及其夹角对应相等的两个三角形全等，即可证明与全等。
（2）本题考查全等三角形的性质与三角形外角的性质，通过角的等量代换计算角度。解题时先由全等三角形的对应角相等，得到与相等，代入已知角度得到的度数；再根据三角形外角的性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和，在中，是外角，因此等于加，计算出的度数；最后由等于加，代入两个角度数值求和，得到的度数。
19．【答案】（1）；；
（2）八年级的成绩更好，理由如下：
因为两个年级的平均数相同，但八年级成绩的方差小于七年级的，成绩更稳定，
所以八年级的成绩更好；
（3）（人），
答：估计该校七、八年级参赛学生中成绩为“优秀”的总共有525人．
【知识点】扇形统计图；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【解答】解：（1）由扇形统计图可得，八年级竞赛成绩在A组的人数为10×20%＝2（人），
∴八年级竞赛成绩的中位数，
∵七年级10名学生竞赛成绩中87分出现的人数最多，
∴众数b＝87，
∵八年级竞赛成绩A组人数2人，B组人数5人，
∴C组人数为10﹣2﹣5＝3人，
∴，
∴m＝30，
故答案为：87.5，87，30；
【分析】（1）本题考查统计量的计算与扇形统计图的应用，涉及中位数、众数、百分比的求解。解题时先计算八年级的中位数：由扇形统计图中等级占 20%，算出等级人数为 2 人，结合等级有 5 人，可知成绩从小到大排列后，第 5、6 个数据分别为 86 和 89，根据中位数的定义，取两个数的平均数得到的值；再看七年级成绩，找出出现次数最多的数，根据众数的定义得到的值；接着计算八年级等级的人数，用总人数减去、等级人数，再除以总人数得到等级所占百分比，即的值。
（2）本题考查统计量的实际意义，通过平均数、方差等对比成绩优劣。解题时可从方差角度分析：两个年级平均数相同的情况下，方差越小说明成绩波动越小、越稳定，八年级方差更小，因此成绩更稳定；也可从中位数、众数角度分析，合理即可。
（3）本题考查用样本估计总体，通过样本的优秀率估算总体优秀人数。解题时先分别算出七年级、八年级样本中成绩优秀（等级）的人数占比，即优秀率；再用各年级的总参赛人数乘以对应优秀率，分别得到两个年级的优秀人数，相加后即为全校优秀总人数的估计值。
20．【答案】（1）证明：如图，△ABC内接于⊙O，AB是⊙O直径，点E在圆上，且BC＝CE，连接OC，则OA＝OC，
∴，∠BAC＝∠ACO，
∴∠BAC＝∠CAD，
∴∠CAD＝∠ACO，
∴OC∥AD，
∵AD⊥CD，
∴OC⊥CD，
∵OC是⊙O的半径，
∴DF是⊙O的切线；
（2）解：①由（1）可知OC⊥CF，则∠OCF＝90°，∠BAC＝∠ACO，
∵AB是⊙O直径，
∴∠ACB＝90°，
∴∠BCF+∠BCO＝∠ACO+∠BCO，
∴∠BAC＝∠ACO＝∠BCF，
∴，
∴，
在直角三角形ABC中，由勾股定理得：，
∵∠FCB＝∠FAC，∠F＝∠F，
∴△FCB∽△FAC，
∴，
∴FC＝2FB＝4，FA＝2FC＝8，
∴AB＝AF﹣BF＝8﹣2＝6，
∴⊙O的半径为3；
②∵OC∥AD，
∴△FOC∽△FAD，
∴，
∴．
【知识点】勾股定理；圆周角定理；切线的判定与性质；解直角三角形—边角关系；相似三角形的判定预备定理（利用平行）
【解析】【分析】（1）本题考查圆的切线判定，结合圆周角定理与平行线的性质证明垂直。解题时先连接，根据 “在同圆中，相等的弦所对的弧相等”，由得到弧等于弧；再根据圆周角定理，等弧所对的圆周角相等，得到与相等；由，根据等边对等角得到与相等，通过等量代换推出，根据 “内错角相等，两直线平行” 判定；已知，即，根据平行线的性质，若一条直线垂直于一组平行线中的一条，则也垂直于另一条，得到，又是半径，根据切线的判定定理 “经过半径外端且垂直于半径的直线是圆的切线”，即可证明是的切线。
（2）① 本题考查相似三角形的判定与性质、解直角三角形，结合弦切角定理的推论求半径。解题时先由是直径，根据直径所对的圆周角是直角，得到；再由，通过角的和差关系推出，结合之前的结论得到，因此，得到与的数量关系，再由勾股定理得到与的关系；接着根据两角分别相等的两个三角形相似，证明，得到对应边成比例，结合与的比值得到与、与的比例关系，代入的长度求出和的长度，进而求出的长度，除以 2 即为的半径。
② 本题考查相似三角形的性质，利用平行线构造相似三角形求线段长。解题时由，根据 “平行于三角形一边的直线截另外两边的延长线，所得三角形与原三角形相似”，判定，根据相似三角形对应边成比例，列出的比例式，代入已知的、、的长度，即可计算出的长度。
21．【答案】（1）设此玩具的进价是m元，
根据题意，得，
解得m＝20，
经检验，m＝20是所列方程的解，
答：此玩具的进价是20元；
（2）通过分析表中数据可以看出，该益智玩具日销售量与销售单价之间成一次函数关系，
设该益智玩具的日销售量y（个）与销售单价x（元）之间的函数关系式为y＝kx+b，
由题意可得：
，
解得：，
故y＝﹣2x+140；
（3）该益智玩具的销售单价定为x元，
根据题意，得：（﹣2x+140）（x﹣20）﹣200＝600，
解得：x1＝30，x2＝60，
当销售单价为60元时，日销售量为﹣2×60+140＝20个，
当销售单价为30元时，日销售量为﹣2×30+140＝80个，
∵20＜80，且要尽量减少库存，
∴应选择日销售量较大的方案，
∴x＝30．
答：该益智玩具的销售单价定为30元．
【知识点】一元二次方程的实际应用-销售问题；一次函数的实际应用-销售问题；分式方程的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）本题考查分式方程的实际应用，利用总利润与单件利润的关系求进价。解题时设进价为元，根据 “总利润 ÷ 单件利润 = 总数量”，分别表示出两种定价下的玩具总数量；由于玩具总数量固定不变，据此列出关于的分式方程，解方程并检验后得到进价的数值。
（2）本题考查一次函数的模型判断与待定系数法求解析式。解题时先观察表格数据，销售单价每降低 1 元，日销售量增加 2 个，二者呈线性变化，因此选择一次函数模型；设日销售量与销售单价的函数关系式为，选取表格中两组数据代入，得到二元一次方程组，解方程组求出和的值，即可得到函数关系式。
（3）本题考查一元二次方程的实际应用，属于利润问题，结合库存需求选择方案。解题时先明确净利润的计算方式：净利润 = 单件利润 × 日销售量 - 固定支出；设销售单价为元，用含的式子表示单件利润与日销售量，结合净利润为 600 元列出一元二次方程；解方程得到两个单价解，分别计算对应日销售量，根据 “尽量减少库存” 即销量更大的要求，选择对应销量更大的单价作为最终定价。
22．【答案】（1）由题意，抛物线过（4，18）、（7，15）两点，
把（4，18）、（7，15）代入y＝ax2+bx+15，得，
解得，
∴洗手液轨迹的函数关系式为；
（2）令y＝0，得．
解得x＝12或x＝﹣5（舍去），
与喷口水平距离为12﹣4＝8cm．
故洗手液最远能喷射到离喷口水平距离8cm的位置；
（3）由题意得，点M横坐标为x＝4+3＝7，点N横坐标为x＝7+4＝11．
当洗手液恰好落到手心左端M时：
令x＝7，得，
当洗手液恰好落到手心右端N时：
令x＝11，得，
∵，抛物线开口向下；，
∴在时，y随x增大而减小．
∴手心MN离台面的高度h的范围是4≤h≤15．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象与坐标轴的交点问题；二次函数图象上点的坐标特征；二次函数的实际应用-喷水问题
【解析】【分析】（1）本题考查待定系数法求二次函数解析式，结合实际场景的坐标信息列方程。解题时先根据题意确定抛物线上两个点的坐标：喷口的横坐标为的长度 4，纵坐标为高度 18，即点；水平喷出 3cm 时高度为 15cm，对应横坐标为，纵坐标为 15，即点。将两个点的坐标代入给定的抛物线一般式，得到关于、的二元一次方程组，解方程组求出和的值，即可得到轨迹的函数关系式。
（2）本题考查二次函数与轴的交点问题，求抛物线与台面（轴）交点的实际意义。解题时台面的高度对应，令函数解析式中，得到一元二次方程，解方程得到两个根，舍去不符合实际意义的负根，得到落点的横坐标；再用落点横坐标减去喷口的横坐标，得到落点离喷口点的水平距离。
（3）本题考查二次函数的增减性与函数值范围计算，结合实际场景确定自变量范围。解题时先根据题意确定手心两端点的横坐标：点到的水平距离为 3cm，因此的横坐标为；手心长 4cm，因此的横坐标为。分别将两个横坐标代入抛物线解析式，求出对应的值，即对应高度；再根据抛物线的开口方向与对称轴，判断在 7 到 11 这个区间内函数的增减性，进而确定该区间内的取值范围，也就是手心到台面高度的取值范围。
23．【答案】（1）证明：∵∠DCB＝∠A，∠DBC＝∠CBA，
∴△DBC∽△CBA，
∴，
∴BC2＝BD BA；
（2）解：∵∠DCB＝∠BAE，∠CBD＝∠ABE，
∴△CBD∽△ABE，
∴，
由条件可知，
设BD＝x，
∴AB＝6+x，
∴，即x（6+x）＝16，
解得x1＝﹣8，x2＝2，
∴BD＝2；
（3）解：作DG⊥BC于点G，
由条件可知∠ABC＝∠BAD＝∠BGD＝90°，
∴四边形ABGD是矩形，
∴BG＝AD＝75，
∴CG＝BC﹣BG＝25，
∵∠BCD＝60°，
∴，，
，
∵2500+7500＝10000＝1002，
∴BD2+CD2＝BC2，
∴△BDC是直角三角形，且∠BDC＝90°，
∴点B、P、D、C在以BC为直径的⊙O上，
记⊙O交AD于点F，连接OD，作OH⊥AD于点H，
同理，四边形HOGD是矩形，FH＝DH，
∵，，
∴，
∴DF＝2DH＝50，
∴AF＝AD﹣DF＝25，
延长AP交⊙O于点E，连接EF，ED，PF，
∵，
∴∠AEF＝∠ADP，
∵∠EAF＝∠DAP，
∴△AEF∽△ADP，
∴，即，
要计算的最大值，则EF取得最大值，
∴当EF为直径时，EF取得最大值，有最大值，如图，
∴，
∴的最大值为4．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；圆周角定理；圆的综合题；相似三角形的判定-AA
【解析】【分析】（1）本题考查相似三角形的判定与性质，证明乘积式通常转化为比例式。解题时先观察两个三角形：和，已知，又有公共角，根据 “两角分别相等的两个三角形相似”，判定；再根据相似三角形对应边成比例，得到，交叉相乘即可得到的结论。
（2）本题考查相似三角形的判定与性质，结合中线的定义求解线段长度。解题时先观察和，已知，且为公共角，根据两角分别相等判定；由相似三角形对应边成比例得到。再根据是中线，根据三角形中线的定义，，代入的长度；设，用表示出的长度，将各线段长度代入比例式，得到关于的一元二次方程，解方程并舍去负根，得到的长度。
（3）本题是几何最值综合题，结合直角三角形斜边中线定理、圆周角定理、相似三角形的性质求比值的最大值。解题时先作于，由判定四边形是矩形，根据矩形对边相等得到、；再由的长度算出的长度，结合，用三角函数求出与的长度，再用勾股定理算出的长度，通过勾股定理的逆定理证明是直角三角形且。结合，根据 “直角三角形斜边的中点到三个顶点距离相等”，可知点在以为直径的圆上，同理、、也在该圆上，即四点共圆。接着设圆与交于点，通过作垂线计算出的长度；再延长交圆于点，连接、，根据同弧所对的圆周角相等，得到，结合公共角，判定，由相似三角形对应边成比例推出。要使最大，需使最大，而圆中最长的弦是直径，因此当为直径时取得最大值，代入数值即可算出的最大值，同时确定此时点的位置。
1 / 1

展开更多......

收起↑