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山西运城市临猗县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．在中华传统春节文化中，对称、平移、旋转等几何变换常被运用于年画、窗花、logo设计，以体现“圆满”“和谐”“循环”等美好寓意．以下四款中央广播电视总台春节联欢晚会主标识的图案（文字除外），最能体现平移变换的是（ ）
A． B．
C． D．
2．如图，为了让电线杆垂直于地面，工程人员的操作方法是：从电线杆DE上一点A往地面拉两条长度相等的固定绳AB与AC，当固定点B，C到杆脚E的距离相等，且B、E、C在同一直线上时，电线杆DE就垂直于BC工程人员这种操作方法的依据是（　　）
A．等边对等角 B．等角对等边
C．垂线段最短 D．等腰三角形“三线合一”
3．下列各式从左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ）
A． B．
C． D．
4．请阅读以下关于解答“在中，，求证：”的过程：
证明：假设．
这与“三角形三个内角的和等于”相矛盾．
假设不成立．
．
这种证明方法是（ ）
A．综合法 B．反证法 C．枚举法 D．归纳法
5．学习了不等式的性质后，下面是小红和小星的对话．
根据以上对话，用不等式描述正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
6．如图1，战国时期《考工记》详细记载了用几何方法校验轮轴支架（“轸”）为平行四边形的技术：“凡察车之道，必自载于地者始也．合矩以为方，中规乃行”．如图2，实际操作为：构成轮轴支架四边形的顶点分别为A，B，C，D，若，且，则轮轴支架形成的四边形是平行四边形的最简明理由是（ ）
A．对角线互相平分 B．两组对边分别相等
C．一组对边平行且相等 D．两组对边分别平行
7．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转30°后得到，则阴影部分的面积为（ ）
A．10 B．15 C．20 D．25
8．如图，在正五边形中，为边延长线上一点，连接，则的度数为（ ）

A． B． C． D．
9．习近平总书记强调“搞好城市内绿化，使城市适宜绿化的地方都绿起来”，构建生态宜居城市，实现“河畅、水清、岸绿、景美”的目标．我省继续推进塞罕坝造林工程，工程队计划种植75000棵树苗，已知“…”．设计划每天植树棵，则可得到方程．根据所列方程，题中“…”表示的缺失的条件应该是（ ）
A．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成
B．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划延期五天完成
C．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划提前五天完成
D．实际每天的种植数量比计划每天的种植数量降低了，实际绿化工程比计划延期五天完成
10．如图，在中，是边上一点，是边的中点，平分．若，则的长为（ ）

A．8 B．10 C．12 D．14
二、填空题
11．写出命题“如果，那么”的逆命题：_____．
12．如图，将沿着点到的方向平移到的位置，此时，，阴影部分面积为40，则平移的距离为______

13．对于实数和，我们定义符号的意义为：当时，；当时，．如，设，则的取值范围为_____．
14．如图，平分是上一点，过点分别作于点交于点．若，则的长为______．

15．如图，在中，，将绕点按逆时针方向旋转得到，连接，延长交于点．若，则的长为_______．

三、解答题
16．（1）因式分解：；
（2）下面是小明同学对多项式进行因式分解的过程，请仔细阅读并完成相应的任务．
解：原式……第一步
……第二步
……第三步
……第四步
任务：
①在上述过程中，第一步依据的数学公式用字母表示为__________；
②第四步因式分解的方法是提公因式法，其依据的运算律为__________；
③第__________步出现错误，错误的原因是__________；
④因式分解正确的结果为__________．
17．先化简，再求值：，其中．
18．如图，在平行四边形中，点E，F分别在，边上，且．求证四边形是平行四边形
19．为弘扬爱国精神，传承中华优秀传统文化，某校组织了以“诗词里的中国”为主题的比赛，设置A，B两种奖品．校学生会计划去某超市购买A，B两种奖品共300个，A种奖品每个20元，B种奖品每个15元，该超市对同时购买这两种奖品的顾客有两种销售方案（只能选择其中一种）．
方案一：两种奖品都按原价购买，但每购买5个A种奖品赠送1个B种奖品．
方案二：A种奖品按原价购买，B种奖品每个打八折．
设校学生会计划购买个A种奖品，且是5的倍数，选择方案一的总费用为元，选择方案二的总费用为元．
(1)请分别写出与之间的函数关系式．
(2)校学生会选择哪种方案支付的费用较少？
20．年马年春晚，以“中国智造”为主题的机器人表演震撼全场，引发了“机器人消费热”．某科技公司计划购进甲、乙两种型号的“春晚同款”机器人进行销售．
(1)若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元；若购进甲型机器人台，乙型机器人台，共耗资万元．求甲、乙两种型号机器人的进价各是多少万元？
(2)在（1）的条件下，若公司对甲、乙两种型号的机器人各投入万元分别进行采购，因技术升级，甲型机器人的进价每台降低万元，乙型号机器人的进价每台降低万元．则所购甲型机器人的数量是所购乙型机器人的数量的，求的值．
21．阅读下列材料，回答问题：
我们把形如 或 的式子叫做完全平方式，利用完全平方式可以进行很多数学变形．
例如：若 求a， b的值．
解：原式可变形为
即
解得．
根据上述材料，解决下列问题：
(1)若 求x， y的值；
(2)已知 的三边长a，b，c满足 判断 的形状，并说明理由；
(3)求代数式 的最小值．
22．阅读与思考
请阅读下列材料，并完成相应的任务．
年月日星期一
今天，同学们学习了三角形中位线定理的相关内容，知道了“三角形的中位线平行于第三边，且等于第三边的一半”．课下，对三角形中位线定理的相关知识进行了复习，并对它相关的命题产生了兴趣．如图1，在中，分别是边上的点，同学们提出了以下三个命题：

I.若是边的中点，且，则是边的中点．
II.若，且，则分别是边的中点．
III.若是边的中点，且，则是边的中点．
任务：
(1)从所提出的三个命题中选择一个假命题，并在图2中画出反例．（要求：尺规作图，保留作图痕迹）

(2)从所提出的三个命题中选择一个真命题进行证明．
23．综合与实践
特例感知：
如图1，在等边三角形中，是延长线上一点，且，以为边作等边三角形，连接，分别过点作，过点作，交于点，连接与交于点．

(1)试判断和的数量关系，并说明理由．
(2)猜想论证：将绕点按顺时针方向旋转一定角度得到图2，则（1）中和的数量关系是否仍然成立？请说明理由．
(3)拓展延伸：将如图1所示的绕点按逆时针方向旋转角度，当时，请直接写出的值．
参考答案
1．A
【详解】解：A、该图案（2026年标识）可以看作由一个基本图形（回纹/马头纹）沿右上方向平移得到，符合平移变换的定义，故此选项符合题意；
B、该图案（2025年标识）属于旋转变换（中心对称），不能通过平移得到，故此选项不符合题意；
C、该图案（2024年标识）属于轴对称变换，不能通过平移得到，故此选项不符合题意；
D、该图案（2023年标识）主要由曲线构成，无法通过平移得到，故此选项不符合题意.
2．D
【详解】解：∵AB＝AC，BE＝CE，
∴AE⊥BC，
故工程人员这种操作方法的依据是等腰三角形“三线合一”，
故选：D．
3．C
【详解】解：A.没有把一个多项式转化为几个整式的积的形式，故A错误，不符合题意；
B.是整式的乘法，故B错误，不符合题意；
C.是把一个多项式转化成几个整式的积的形式，故C正确，符合题意；
D. 是整式的乘法，故D错误，不符合题意；
故选：C．
4．B
【详解】解：根据反证法的步骤，第一步应假设结论的反面成立，即．
故选：B．
5．B
【详解】解：根据小星的描述可得，
根据小红的描述可得，
即若，则，
故选：B．
6．A
【详解】解：由题意可知，，且，
∴四边形是平行四边形（对角线互相平分的四边形是平行四边形），
故选：A．
7．D
【详解】解：由旋转的性质可得出，，，
过点作于点D，如图，
∴，
∴，
∴．
8．C
【详解】解：∵正五边形，
，，
，
．
故选：C．
9．A
【详解】解：∵设计划每天植树棵，
∴方程中表示原计划种植的时间（天数），表示实际每天种植棵，即实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，表示实际种植的时间（天数），表示原计划种植的时间比实际种植的时间多5天，即提前5天完成．
∴题中“…”表示的缺失的条件应该是：实际每天的种植数量比计划每天的种植数量提高了，实际绿化工程比计划提前五天完成，故A正确．
故选：A．
10．B
【详解】解：延长，相交于点G，
∵四边形为平行四边形，
∴，则，，
∴，
∵是边的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∵平分，
∴，
∵，
∴，
故选：B．

11．如果，那么
【详解】解：原命题的条件是“”，结论是“”，因此逆命题是“如果，那么”．
故答案为：如果，那么．
12．5
【详解】解：∵，沿着点B到C点的方向平移到的位置，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴，
∴，
解得：，即为平移的距离；
故答案为：5．
13．
【详解】解：当，即时，，
∴；
当，即，，
∴，
综上：的取值范围为．
故答案为：．
14．3
【详解】解：作交于，
，平分，，，
，
，
，
，
，
，
故答案为：3．
15．
【详解】解：如解图，过点作交的延长线于点．

由旋转的性质，得，，．
所以，．
所以．
在中，根据勾股定理，得
．
在中，，
∴
在中，，
∴
由勾股定理得，即，
∴
∴．
故答案为：．
16．（1）；（2）①，②乘法分配律，③二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号，④
【详解】（1）解：原式
．
（2）解：①
②乘法分配律
③二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号
④原式
．
故答案为：；乘法分配；二；括号前是“-”号，把括号和它前面的“-”号去掉后，原括号里的第二项没有变号；．
17．，2
【详解】解：
，
当时，原式．
18．见详解
【详解】证明：在平行四边形中，
∴,,
在和中，
,
∴，
∴,
∵,
∴,
∴四边形是平行四边形．
19．(1)，
(2)当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少
【详解】（1）解：根据题意，得，．
（2）解：由，得．
解得；
由，得．
解得；
由，得．
解得．
答：当校学生会购买少于150个A种奖品时，选择方案二支付的费用较少；当校学生会购买150个A种奖品时，选择两种方案支付的费用一样；当校学生会购买多于150个且少于300个A种奖品时，选择方案一支付的费用较少．
20．(1)甲型机器人的每台进价为万元，乙型机器人的每台进价为万元
(2)的值为
【详解】（1）解：设甲、乙两种型号机器人每台的进价分别为、万元，
根据题意得：，
解得：，
答：甲型机器人每台的进价为万元，乙型机器人每台的进价为万元．
（2）解：根据题意得：，
解得：，
检验：当时，，
∴是原分式方程的解且符合题意．
答：的值为．
21．(1)
(2)等边三角形，理由见解析
(3)2
【详解】（1）解：原式变形为：
即
∵平方数非负，．
解得
（2）是等边三角形
理由：
两边乘2得：
变形为：
∵平方数非负性，
，即
是等边三角形．
（3）原式配方得： ，
∴当时，原式取最小值2
22．(1)假命题为命题I．所画图形见解析
(2)真命题为命题II．证明见解析
【详解】（1）解：假命题为命题I，
所画图形如解图1，
，
如图，是边的中点，且，但显然不是的中点；
（2）解：真命题为命题II，
证明：如解图，过点作交边于点，连接，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
又，
，
四边形是平行四边形，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
，
分别是边的中点．
23．(1)
，
理由：和都是等边三角形，
，
，
，
四边形是平行四边形，
，，
，
，，
，
，
；
(2)
（1）中和的数量关系仍然成立，
，和都是等边三角形，
，
，
，
，，
，
同（1）可知，，
，
；
(3)的值为
【详解】（1）解：略；
（2）解：略；
（3）解：当时，如图，
，
由（2）可知，，
，
，
，
的值为．

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