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分课时学案
课题 1.6相似三角形的应用 单元 一 学科 数学 年级 九
学习 目标 1.能够运用相似三角形判定与性质解决不可直接测量的距离、高度、长度等实际问题,掌握建模解题步骤。 2.经历实际问题抽象为几何模型的过程,提升数学建模、图形分析、逻辑推理与运算求解能力。 3.能规范完成“审题—画图—找相似—列比例—求解—作答”全过程,养成严谨解题习惯。 4.感受相似知识在生活、工程、军事等领域的广泛应用,增强数学应用意识与学习兴趣。
重点 1.从实际问题中抽取相似三角形模型,正确确定对应边与相似比。 2.运用相似知识建立比例式求解实际长度、高度、距离。
难点 实际问题向几何模型的转化,以及复杂情境中对应线段的准确识别与比例建立。
教学过程
导入新课 情境导入 校园里有一棵大树,不能爬树、不能砍树,怎样用简单工具测出它的高度？ 问题 1.你能想到用什么几何知识解决？ 2.要构造出哪两种相似图形？ 3.需要测量哪些可测长度？
新知讲解 探究活动一:利用相似测量物体的宽度 思考:如图1.6-1,A,B两点分别位于一个池塘的两端,小张想测量出A,B两点的距离,但由于受条件限制无法直接测量,请帮他想出一个可行的测量办法. 分析:可以这样做: 如图1.6-2,在池塘外取一点C,使它可以直接 看到A,B两点,连接并延长AC,BC,在AC的延长线上取一点D,在BC的延长线上取一点E,使(最好使k为正整数),测量出DE的长度后,就可以由相似三角形的有关知识求出A,B两点的距离. 做一做:如图1.6-2,如果ACDC=BCEC=2,且测得DE的长为50m,则A,B两点的距离为多少？ 方法总结: 探究活动二:利用相似测量物体的高度 例:在用步枪瞄准靶心时,要使眼睛(O)、准星(A)、靶心(B)在同一条直线上.在射击时,李明由于有轻微的抖动,致使准星A偏离到A',如图1.6-3所示.已知OA=0.2m,OB=50m,AA'=0.0005m,求李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB(′近似地认为AA'∥BB'). 总结归纳:
课堂练习 课堂练习 1.如图,测量小玻璃管口径的量具ABC(单位:cm),AB的长为10cm,AC被分为60等份.如果小玻璃管口DE正好对着量具上20等份处(DE∥AB),那么小玻璃管口径DE的长是( ) A.cm B.cm C.7cm D.6cm 2.如图,用一个卡钳(AD=BC,==)测量某个零件的内孔直径AB,量得CD长度为6cm,则AB等于　　cm. 3.在上完相似三角形的应用一课后,小方设计了一个试验来测量学校教学楼的高度.如图,在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆,小方调整自己的位置,使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线.测得人与直杆的距离DB为2米,人眼高度CD为1.6米,则教学楼的高度MN为( ) A.12米 B.12.4米 C.13.6米 D.15.2米 4.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高CD是　　　米. 5.某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时,让一名同学直立在点F处,手拿一块直角三角板CDE,保持斜边CE与地面BF平行,延长CE交AB于点G,如图,沿着射线CD的方向观察,刚好看到旗杆的顶端A点,已知该同学的身高CF为1.6m,点F到旗杆底端的距离BF为12m,CE= 50cm,CD=40cm,求旗杆AB的高度. 6.如图,小明利用小孔成像原理制作了一个成像装置,他在距离纸筒50cm处准备了一支蜡烛,其中纸筒长为10cm,蜡烛长为15cm,则这支蜡烛所成像的高度为( ) A.2.5cm B.3cm C.3.75cm D.5cm 7.如图,不等臂跷跷板AB的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为60cm;当AB的一端B碰到地面时,另一端A到地面的高度为90cm,则跷跷板AB的支撑点O到地面的高度OH是( ) A.36cm B.40cm C.42cm D.45cm 8.如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸岸边每隔5m有一棵树,小华站在离南岸20m的点P处看北岸,在两棵树之间的空隙中,恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内),已知龙舟的长为18.5m,若龙舟行驶在河的中心,且龙舟与河岸平行,则河宽为　　m. 9.如图,为了测量山峰AB的高度,在D处和F处竖立标杆DC和FE,标杆的高度都是4m,两杆相隔50m,并且A,B,C,D,E,F都在同一平面内,从标杆DC退后2m到G处,可看到山峰和标杆顶点C在同一直线上,从标杆EF退后4m到H处可看到山峰A和标杆顶点E在同一直线上,求山峰AB的高度.
课堂小结 通过本节课的学习你收获了什么？ 知识点:
课后提升 基础达标: 1.某地质勘探人员为了估算河的宽度,在河对岸选定一个目标点O,再在他所在的这一侧的岸边选取点A,B,使得AB⊥AO,再选取一点D,使DB⊥AB,然后找到DO和AB的交点C,如图所示,测得AC=16m,BC=8m,DB=7m,则可计算出河宽OA为(　　) A.16m　　　　B.15m　　　　C.14m　　　　D.13m 2.如图,小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为(　　) A.10m　　　　B.9m　　　　C.8m　　　　D.7m 3.甲、乙、丙三根竹竿直立于地面上,在同一时刻,测得它们的影长分别为1.5米,2.5米和4米,其中乙竹竿比甲竹竿长2米,则丙竹竿的长为　　　　米. 4.小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图如图所示.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12米,那么该古城墙CD的高度是　　　　米. 能力提升: 5.如图所示的是步枪在瞄准时的示意图,从眼睛O到准星E的距离OE为80cm,步枪上的准星宽度AB为0.2cm,目标的正面宽度CD为50cm,则眼睛到目标的距离OF为　　　　m. 6.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O、C、D、F、G五点在同一直线上,A、B、O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB. 7.如图,某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC=OB∶OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x为(　　) A.0.3cm　　　　B.0.5cm　　　　C.0.7cm　　　　D.1cm 8.一种燕尾夹如图1所示,图2是在闭合状态时的示意图,图3是在打开状态时的示意图(数据如图,单位:mm),从图2闭合状态到图3打开状态,点B,D之间的距离减少了(　　) 图1图2图3 A.25mm　　　　B.20mm　　　　C.15mm　　　　D.8mm 拓展迁移: 9.学习了相似三角形的相关知识后,小明和他的同学想利用“标杆”测量大楼的高度.如图,小明站立在地面点F处,他的同学在点B处竖立标杆AB,使得小明的头顶点E、标杆顶点A、大楼顶点C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5米,标杆AB=2.5米,BD=23米,FB=2米. (1)求大楼的高度CD为多少米(CD垂直于地面BD); (2)小明站在原来的位置,他的同学通过移动标杆,可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5米,那么相对于第一次测量,标杆AB应该向大楼方向移动多少米 备用图 10.希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法:如图,A,B是两侧山脚的入口,从B出发任作线段BC,过C作CD⊥BC,然后依次作垂线段DE,EF,FG,GH,直到接近A点,作AJ⊥GH于点J.每条线段可测量,长度如图所示.分别在BC,AJ上任选点M,N,作MQ⊥BC,NP⊥AJ,使得==k,此时点P,A,B,Q共线.挖隧道时始终能看见P,Q处的标志即可. (1)CD-EF-GJ=　　　　km; (2)k=　　　　.
参考答案：
情境导入：
1.利用相似三角形对应边成比例求解。
2.构造人与影子、树与影子形成的两个相似直角三角形。
3.测量人的身高、人影长、树影长,再列比例计算。
探究一：
解:因为,
所以,
于是.
因为,
所以.
探究二：
解:因为AA'∥BB',
所以△OAA'∽△OBB',
于是OAOB=AA'BB'.
因为OA=0.2m,OB=50m,AA'=0.0005m,
所以BB'=0.125m.
答:李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB′为0.125m.
课堂练习：
1.A;2.18;3.C;4.8;
5.解:由题意得:CF⊥BF,AB⊥BF,CG⊥AB,
∴∠BFC=∠ABF=∠BGC=90°,
∴四边形CFBG是矩形,
∴CG=FB=12m,CF=GB=1.6m,
∵∠CDE=90°,CE=
50cm,CD=40cm,
∴DE===30cm,
∵∠CDE=∠CGA=90°,∠DCE=∠ACG,
∴△CDE∽△CGA,
∴=,
∴=,
∴GA=9m,
∴AB=AG+BG=9+1.6=10.6(m).
答:旗杆AB的高度为10.6m.
6.B;7.A;8.108;
9.解:∵AB⊥BH,CD⊥BH,EF⊥BH,
∴AB∥CD∥EF,
∴△CDG∽△ABG,△EFH∽△ABH,
∴=,=,
∵CD=EF=4m,DG=2m,FH=4m,
∴=,=,
∴=,∴BD=50m,
∴=,∴AB=104m.
答:山峰AB的高度为104m.
课后提升：
1.C　∵∠OCA=∠DCB,∠A=∠B=90°,∴△OCA∽△DCB.∴=,即=,∴OA=14m.故选C.
2.B　因为竹竿和旗杆均垂直于地面,所以构成的两个三角形相似.设旗杆的高为xm,则=,∴x=9.故选B.
3.8
解析　设甲竹竿的长为x米,丙竹竿的长为y米,则乙竹竿的长为(x+2)米.根据同一时刻,物高与影长成比例,得=,=,解得x=3,y=8,则丙竹竿的长为8米.
4.8
解析　易知∠APB=∠CPD,∠ABP=∠CDP,∴△ABP∽△CDP,
∴=,即=,∴CD=8米,则该古城墙CD的高度是8米.
5.200　
解析　设眼睛到目标的距离为xm,
∵AB=0.2cm=0.002m,CD=50cm=0.5m,
∴BE=AB=0.001m,DF=0.25m,∵AB∥CD,
∴△OBE∽△ODF,∴=,∵OE=80cm=0.8m,
∴=,解得x=200,则眼睛到目标的距离OF为200m.
6.解析　解法一:【线段和差法】∵AD∥EG,∴∠ADO=∠EGF,
∵∠AOD=∠EFG=90°,∴△AOD∽△EFG,
∴=,即=,∴AO=15米.同理得△BOC∽△AOD,
∴=,即=,∴BO=12米,∴AB=AO-BO=15-12=3米.
答:旗杆的高AB是3米.
解法二:【平行等线段法】如图,过点C作CM⊥OD,交AD于M,易得△EGF∽△MDC,∴=,即=,∴CM=3米.易得四边形ABCM是平行四边形,∴AB=CM=3(米).
答:旗杆的高AB是3米.
7.B　∵OA∶OC=OB∶OD=3,∠COD=∠AOB,∴△COD∽△AOB,
∴AB∶CD=3,∵CD=3cm,∴AB=9cm,∵该零件的外径为10cm,
∴零件的厚度x为(10-9)÷2=1÷2=0.5(cm),故选B.
8.A　如图,连接BD,
由题意得EF∥BD,∴△AEF∽△ABD,∴=,∴=,∴BD=45,
∴从题图2闭合状态到题图3打开状态,点B,D之间的距离减少了45-20=25(mm),故选A.
9.解析　(1)如图,过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形.
∴EF=BJ=DH=1.5米,BF=EJ=2米,DB=JH=23米.
∵AB=2.5米,∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(米),
∵AJ∥CH,∴△EAJ∽△ECH,
∴=,∴=,∴CH=12.5米,
∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14(米).
答:大楼的高度CD为14米.
(2)如图,过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R.设BF=x米,
∵AR∥GT,∴△EAR∽△EGT,∴=,
∴=,
∴x=2.5,∴2.5-2=0.5(米),
∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米.
10.(1)1.8　(2)
解析　(1)CD-EF-GJ=5.5-1-2.7=1.8(km).
(2)如图,连接AB,过点A作AZ⊥CB,交CB的延长线于点Z.
由矩形的性质得AZ=CD-EF-GJ=1.8km,BZ=DE+FG-CB-AJ=4.9+3.1
-3-2.4=2.6km,
∵点P,A,B,Q共线,∴∠MBQ=∠ZBA,
又∵∠BMQ=∠BZA=90°,∴△BMQ∽△BZA,∴=k===.
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