资源简介

(共32张PPT)
课题名称：1.6相似三角形的应用
第一章 图形的相似
初中数学
学习目标
经历实际问题抽象为几何模型的过程,提升数学建模、图形分析、逻辑推理与运算求解能力。
02
能够运用相似三角形判定与性质解决不可直接测量的距离、高度、长度等实际问题,掌握建模解题步骤。
01
能规范完成“审题—画图—找相似—列比例—求解—作答”全过程,养成严谨解题习惯。
03
感受相似知识在生活、工程、军事等领域的广泛应用,增强数学应用意识与学习兴趣。
04
情景问题
校园里有一棵大树,不能爬树、不能砍树,怎样用简单工具测出它的高度？
问题：1.你能想到用什么几何知识解决？
2.要构造出哪两种相似图形？
3.需要测量哪些可测长度？
情景问题
1.利用相似三角形对应边成比例求解。
2.构造人与影子、树与影子形成的两个相似直角三角形。
3.测量人的身高、人影长、树影长,再列比例计算。
问题：1.你能想到用什么几何知识解决？
2.要构造出哪两种相似图形？
3.需要测量哪些可测长度？
探究新知
探究一：利用相似测量物体的宽度
思考:如图两点分别位于一个池塘的两端,小张想测量出两点的距离,但由于受条件限制无法直接测量,请帮他想出一个可行的测量办法.
探究新知
探究一：利用相似测量物体的宽度
分析:可以这样做:
如图,在池塘外取一点,使它可以直接看到两点,连接并延长,在的延长线上取一点,在的延长线上取一点,使(最好使为正整数),测量出的长度后,就可以由相似三角形的有关知识求出两点的距离.
探究新知
探究一：利用相似测量物体的宽度
做一做:如图,如果,且测得的长为,则两点的距离为多少？
解:因为,
所以,
于是.
因为,
所以.
探究新知
方法总结：
1.解题模型:X型(对顶三角形)相似模型,利用对顶角相等+两边成比例判定相似。
2.解题步骤:找点连线→延长线段构造相似→证明相似→列比例式→计算长度。
3.关键依据:两边对应成比例且夹角相等,两三角形相似;相似三角形对应边成比例。
4.应用场景:测量河宽、池塘宽、建筑物间距等不可直接测量的距离。
探究新知
探究二：利用相似测量物体的高度
解:因为,所以,
于是.
因为,
所以.
答:李明射击到的点B′偏离靶心B的长度为.
例:在用步枪瞄准靶心时,要使眼睛()、准星()、靶心()在同一条直线上.在射击时,李明由于有轻微的抖动,致使准星偏离到,如图所示.已知,求李明射击到的点偏离靶心的长度(′近似地认为).
探究新知
方法总结：
1.解题模型:A型相似模型,由平行得两角相等,判定三角形相似。
2.解题步骤:找平行→判相似→写比例→代数值→求结果。
3.核心技巧:同一时刻、同一地点,物高与影长成比例;瞄准问题利用小三角形相似推偏差。
4.应用场景:测量旗杆高、楼高、树高、射击偏差等实际高度问题。
相似三角形测高：标杆测量法
探究新知
思考：
还有没有其他利用相似三角形的方法来测量物体的高呢？
1.相似三角形测高：标杆测量法
2.相似三角形测高：镜子反射法
课堂练习
1.如图,测量小玻璃管口径的量具(单位:cm),的长为,被分为等份.如果小玻璃管口正好对着量具上等份处(),那么小玻璃管口径的长是( )
A. B. C. D.
2.如图,用一个卡钳(AD=BC,==)测量某个零件的内孔直径AB,量得CD长度为6cm,则AB等于　　cm.
A
18
课堂练习
3.在上完相似三角形的应用一课后,小方设计了一个试验来测量学校教学楼的高度.如图,在距离教学楼MN为18米的点B处竖立一个长度为2.8米的直杆,小方调整自己的位置,使得他直立时眼睛所在位置点C、直杆顶点A和教学楼顶点M三点共线.测得人与直杆的距离DB为2米,人眼高度CD为1.6米,则教学楼的高度MN为( )
A.12米 B.12.4米 C.13.6米 D.15.2米
4.如图是一位同学设计的用手电筒来测量某古城墙高度的示意图.点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后刚好到古城墙CD的顶端C处,已知AB⊥BD,CD⊥BD,测得AB=2米,BP=3米,PD=12米,那么该古城墙的高CD是　　　米.
C
课堂练习
5.某数学兴趣小组在测量学校旗杆的高度时,让一名同学直立在点F处,手拿一块直角三角板,保持斜边与地面平行,延长交于点,如图,沿着射线的方向观察,刚好看到旗杆的顶端点,已知该同学的身高为,点到旗杆底端的距离为,,,求旗杆的高度.
解:由题意得:,
,
四边形是矩形,
,
课堂练习
,
,
,
,
,,
,
.
答:旗杆的高度为.
课堂练习
6.如图,小明利用小孔成像原理制作了一个成像装置,他在距离纸筒处准备了一支蜡烛,其中纸筒长为,蜡烛长为,则这支蜡烛所成像的高度为( )
A. B. C. D.
7.如图,不等臂跷跷板的一端A碰到地面时,另一端B到地面的高度为;当的一端碰到地面时,另一端到地面的高度为,则跷跷板的支撑点到地面的高度是( )
A. B. C. D.
B
A
课堂练习
8.如图,一条河的两岸有一段是平行的,在河的南岸岸边每隔有一棵树,小华站在离南岸的点处看北岸,在两棵树之间的空隙中,恰好看见一条龙舟的龙头和龙尾(假设龙头、龙尾和小华的眼睛位于同一水平平面内),已知龙舟的长为,若龙舟行驶在河的中心,且龙舟与河岸平行,则河宽为　　.
课堂练习
9.如图,为了测量山峰的高度,在处和处竖立标杆和,标杆的高度都是,两杆相隔,并且都在同一平面内,从标杆退后到处,可看到山峰和标杆顶点在同一直线上,从标杆退后到处可看到山峰和标杆顶点在同一直线上,求山峰的高度.
解:,
,
,
,
课堂练习
,
,
,
,
,
.
答:山峰的高度为.
课堂小结
知识点：
1.利用相似三角形可测量无法直接度量的距离、宽度、高度。
2.常见测量模型:X型模型(测宽)、A型模型(测高)。
3.解题核心流程:实际问题→几何模型→证明相似→列比例式→计算作答。
4.判定依据:两角分别相等、两边成比例且夹角相等。
5.计算依据:相似三角形对应边成比例。
6.常用思想:数学建模思想、转化思想、方程思想。
7.规范要求:统一单位、找准对应边、完整书写推理过程。
知识梳理
课后提升
1.某地质勘探人员为了估算河的宽度,在河对岸选定一个目标点O,再在他所在的这一侧的岸边选取点A,B,使得AB⊥AO,再选取一点D,使DB⊥AB,然后找到DO和AB的交点C,如图所示,测得AC=16m,BC=8m,DB=7m,则可计算出河宽OA为(　　)
A.16m　　　　B.15m　　　　C.14m　　　　D.13m
2.如图,小东用长为2.4m的竹竿做测量工具测量学校旗杆的高度,移动竹竿,使竹竿、旗杆顶端的影子恰好落在地面的同一点,此时,竹竿与这一点相距8m,与旗杆相距22m,则旗杆的高为(　　)
A.10m　　　　B.9m　　　　C.8m　　　　D.7m
基础作业：
C
B
课后提升
基础作业：
3.甲、乙、丙三根竹竿直立于地面上,在同一时刻,测得它们的影长分别为1.5米,2.5米和4米,其中乙竹竿比甲竹竿长2米,则丙竹竿的长为　　　　米.
4.小玲设计用手电来测量某古城墙高度的示意图如图所示.在点P处放一水平的平面镜,光线从点A出发经平面镜反射后,刚好射到古城墙CD的顶端C处.已知AB⊥BD,CD⊥BD,且测得AB=1.4米,BP=2.1米,PD=12米,那么该古城墙CD的高度是　　　　米.
8
8
课后提升
5.如图所示的是步枪在瞄准时的示意图,从眼睛O到准星E的距离OE为80cm,步枪上的准星宽度AB为0.2cm,目标的正面宽度CD为50cm,则眼睛到目标的距离OF为　　　　m.
6.小明和小华利用阳光下的影子来测量一建筑物顶部旗杆的高.如图所示,在某一时刻,他们在阳光下测得该建筑物OB的影长OC为16米,OA的影长OD为20米,小明的影长FG为2.4米,其中O、C、D、F、G五点在同一直线上,A、B、O三点在同一直线上,且AO⊥OD,EF⊥FG.
已知小明的身高EF为1.8米,求旗杆的高AB.
能力提升：
200
课后提升
提升作业：
解：,,
,,
,即,
米.
同理得,
,即,米,
米.
答:旗杆的高是米.
课后提升
7.如图,某零件的外径为10cm,用一个交叉卡钳(两条尺长AC和BD相等)可测量零件的内孔直径AB.如果OA∶OC=OB∶OD=3,且量得CD=3cm,则零件的厚度x为(　　)
A.0.3cm　　B.0.5cm　　C.0.7cm　　D.1cm
8.一种燕尾夹如图1所示,图2是在闭合状态时的示意图,图3是在打开状态时的示意图(数据如图,单位:mm),从图2闭合状态到图3打开状态,点B,D之间的距离减少了(　　)
A.25mm　　B.20mm　　C.15mm　D.8mm
提升作业：
B
A
课后提升
拓展作业：
9.学习了相似三角形的相关知识后,小明和他的同学想利用“标杆”测量大楼的高度.如图,小明站立在地面点F处,他的同学在点B处竖立标杆AB,使得小明的头顶点E、标杆顶点A、大楼顶点C在一条直线上(点F、B、D也在一条直线上).已知小明的身高EF=1.5米,标杆AB=2.5米,BD=23米,FB=2米.
(1)求大楼的高度CD为多少米(CD垂直于地面BD);
(2)小明站在原来的位置,他的同学通过移动标杆,
可以用同样的方法测得楼CD上点G的高度GD=11.5米,
那么相对于第一次测量,标杆AB应该向大楼方向移动多少米
课后提升
拓展作业：
解：(1)如图,过点E作EH⊥CD于点H,交AB于点J,则四边形EFBJ、四边形EFDH都是矩形.
∴EF=BJ=DH=1.5米,BF=EJ=2米,DB=JH=23米.
∵AB=2.5米,∴AJ=AB-BJ=2.5-1.5=1(米),
∵AJ∥CH,∴△EAJ∽△ECH,
∴=,∴=,∴CH=12.5米,
∴CD=CH+DH=12.5+1.5=14(米).
答:大楼的高度CD为14米.
课后提升
拓展作业：
(2)如图,过点E作ET⊥CD于点T,交AB于点R.设BF=x米,
,,
,
,
,(米),
∴标杆AB应该向大楼方向移动0.5米.
课后提升
拓展作业：
10.希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法:如图,A,B是两侧山脚的入口,从B出发任作线段BC,过C作CD⊥BC,然后依次作垂线段DE,EF,FG,GH,直到接近A点,作AJ⊥GH于点J.每条线段可测量,长度如图所示.分别在BC,AJ上任选点M,N,作MQ⊥BC,NP⊥AJ,使得==k,此时点P,A,B,Q共线.挖隧道时始终能看见P,Q处的标志即可.
(1)CD-EF-GJ=　　　　km;
(2)k=　　　　.
1.8
课后提升
拓展作业：
(1)1.8　(2)
解：(1)().
(2)如图,连接,过点A作,交的延长线于点Z.
由矩形的性质得,,
点共线,,
又,,.
Thanks!
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