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河南省洛阳市嵩县2025—2026 学年第二学期期末考试八年级数学试卷
一、单选题
1．下列各式中，是分式的是（ ）
A． B． C． D．
2．2022年11月30日神舟十五号飞船载乘3名航天员成功与神舟十四号航天员乘组上演“太空相会”．航天员的宇航服加入了气凝胶可以抵御太空的高温．气凝胶，是一种具有纳米多孔结构的新型材料，气凝胶颗粒尺寸通常小于，用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
3．菱形、矩形、正方形共有的性质是（ ）
A．对角线相等 B．对角线互相垂直
C．对角线互相平分 D．一条对角线平分一组内角
4．已知为第三象限内的点，则一次函数的图象大致是（　　）
A． B．
C． D．
5．若点都在反比例函数的图象上，则的大小关系是（ ）
A． B． C． D．
6．某校为了解学生体质情况，从八年级随机抽取名学生的体质测试成绩（满分100分）制作成如图所示的箱线图，则下列说法不一定正确的是（ ）
A．下四分位数是 B．上四分位数是
C．最高分是100分 D．成绩高于86分的有人
7．如图，取两根长度不等的细木棒，将它们的中点重合固定（记为点）．转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，分析以木棒四个端点为顶点的四边形，下列结论一定成立的是（　　）
A．
B．
C．当时，四边形为矩形
D．当时，四边形为菱形
8．如图，在矩形中，对角线与相交于点垂直且平分线段，垂足为点．则边的长为（　　）
A． B． C． D．
9．如图，E，F，G，H分别为四边形的边，，，的中点，下列说法不正确的是（ ）
A．四边形一定是平行四边形
B．若，则四边形是菱形
C．若，则四边形是矩形
D．若四边形是矩形，则四边形是正方形
10．人工智能的发展使得智能机器人送餐成为时尚．如图，某餐厅的机器人小数和小语从厨房门口出发，准备给相距的客人送餐，小数比小语先出发，且速度保持不变，小语出发一段时间后将速度提高到原来的倍．设小数行走的时间为，小数和小语行走的路程分别为，，，与之间的函数图象如图所示，则下列说法：①小数比小语先出发；②小语提速后的速度为；③；④从小数出发至送餐结束，小语和小数最远相距．正确的有（ ）个．
A． B． C． D．
二、填空题
11．当__________时，分式的值为零．
12．写出一个图象过原点的一次函数解析式，它可以是________．
13．某公司为选拔英语翻译员，举行听、说、读、写综合测试，其中听、说、读、写各项成绩（百分制）按的比例计算最终成绩．参与选拔的甲、乙两位员工的听、说、读、写各项测试成绩及最终成绩如上表：由以上信息，可以判断A，B的大小关系是A______B．（填“”“”或“”）
员工 听 说 读 写 最终成绩
甲 A 70 80 90 82
乙 B 90 80 70 82
14．如图，菱形周长为．，则___________．

15．在矩形中，，点E为的中点，取的中点F，连接、，当为直角三角形时，的长为_____．
三、解答题
16．计算与化简：
(1)
(2)
17．如图，，是正方形边上的点，连接，交于点，．判断与的位置关系，并证明你的结论．
18．如图，在中，E、F是对角线上的两点，且．求证：四边形是平行四边形．
19．如图，函数和的图象相交于A，B两点．
(1)点的坐标为________，点的坐标为________；
(2)观察图象，不等式的解集为_______；
(3)连接，，求的面积．
20．某校组织了一次戏曲知识测试，八年级一班和二班各抽取名学生参加比赛，现对测试成绩（百分制，单位：分）进行整理、描述和分析（成绩用表示），共分成四个等级（：，：＜，：＜，：＜）．如下是测试成绩的部分信息：
八年级一班参赛的学生等级的成绩为：，，，；
八年级二班参赛的学生等级的成绩为：，，，，．
八年级一班抽取学生测试成绩扇形统计图

八年级二班抽取学生测试成绩条形统计图
八年级一、二班参赛的学生测试成绩统计表：
平均数 中位数 众数 方差
八年级一班
八年级二班
请根据以上信息，回答下列问题：
(1)填空：________，________，扇形统计图中对应的圆心角度数为________；
(2)补全八年级二班抽取学生测试成绩条形统计图；
(3)请从平均数、中位数、众数、方差中选取合适的统计量进行分析，并对两个班级参赛的学生成绩进行评价．
21．为提升青少年的身体素质，某市在全市中小学推行“阳光体育”活动，某中学为满足学生的需求，准备再购买一些篮球和足球．如果分别用元购买篮球和足球，则购买篮球的个数比足球的个数少个，已知足球的单价为篮球单价的．
(1)求篮球、足球的单价分别为多少元？
(2)学校计划购买篮球、足球共个，如果购买足球个，总费用为元，计划总费用不多于元，那么应如何安排购买方案才能使费用最少，最少费用应为多少？
22．如图，已知在平行四边形中，平分交于点E，点F在上，，连接交于点O，连接．
(1)求证：四边形是菱形；
(2)若，求的长．
23．某校数学小组在学习图形旋转的相关知识后，对平行四边形进行了相关探究．如图①，平行四边形中，将线段逆时针旋转（），得到线段（点E为点B的对应点），作的角平分线交射线于点F，连接，延长交所在的直线于点G．
(1)【初步感知】线段与的数量关系为________．
(2)【问题探究】如图②，当时，点F是的中点，延长交边于点G，判断与是否相等，并说明理由．
(3)【拓展延伸】若，，所在直线交射线于点H，，直接写出线段的长．
试卷第6页，共7页
《河南省洛阳市嵩县2025—2026 学年第二学期期末考试八年级数学试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 A C C B D D D C D B
1．A
解：A、的分母是含字母的整式，符合分式定义，是分式；
B、中是常数，分母不含字母，是整式，不是分式；
C、是常数，属于整式，不是分式；
D、的分母是常数，不含字母，是整式，不是分式．
2．C
解：用科学记数法表示为：，
故选：C．
3．C
解：A、矩形与正方形的对角线相等，菱形对角线不相等，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意；
B、菱形与正方形的对角线互相垂直，矩形的对角线不垂直，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意；
C、菱形、矩形、正方形的对角线均互相平分，选项性质是菱形、矩形、正方形共有的性质，符合题意；
D、菱形与正方形的一条对角线平分一组内角，矩形一条对角线不能平分一组内角，选项性质不是菱形、矩形、正方形共有的性质，不符合题意；
故选：C．
4．B
解：∵为第三象限内的点，
∴，
∴一次函数经过第二、三、四象限，
故选：B．
5．D
解：，，
∴双曲线在二，四象限，在每一象限，随的增大而增大；
∵，
∴，
∴；
故选D．
6．D
解：A、箱线图中箱子的下边界就是下四分位数，是，此项一定正确；
B、箱线图中箱子的上边界就是上四分位数，是，此项一定正确；
C、箱线图最上端对应最大值（最高分），是100分，此项一定正确；
D、中位数是86，中位数是从小到大排列后，第10个和第11个数据的平均数．如果存在多个数据等于86，那么成绩高于86分的人数会少于10人，不一定恰好是10人，此项不一定正确．
7．D
解：中点重合固定（记为点），故，相互平分，转动木棒，在由锐角变成钝角的过程中，四边形为平行四边形；
A．不一定相等，选项错误，不符合题意；
B．不一定相等，选项错误，不符合题意；
C．因为两根长度不等的细木棒，所以转动木棒的过程中，四边形为矩形不可能为矩形，选项错误，不符合题意；
D．当时，，根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形可知，此时四边形为菱形，选项正确，符合题意；
故选：D．
8．C
解：∵垂直且平分线段，
∴，
∵四边形是矩形，对角线与相交于点，，
∴，
∴，
故选：C．
9．D
解：点，，，分别为四边形的边，，，的中点，
、、分别为、、的中位线，
，，，，，，
，，
四边形为平行四边形，
当时，，则平行四边形为菱形，
当时，，则平行四边形是矩形，
若四边形是矩形，则四边形是菱形，不一定是正方形，
故选：D.
10．B
解：由函数图象可知，小数比小语先出发，则说法①正确；
小语提速前的速度为，
∵小语出发一段时间后将速度提高到原来的倍，
∴小语提速后的速度为，则说法②正确；
由函数图象得：，
解得，
∴小数的速度为，
∴，则说法③错误；
设当时，小语与小数相遇，
当时，小数已出发、小语未出发，它们之间的距离逐渐增大，则当时，达到最大，最远相距；
当时，小数和小语均出发，小语以更快的速度追赶小数，此时它们之间的距离逐渐减小到，则最远相距小于；
当时，小语追上小数后，率先到达客户处，此时它们之间的距离逐渐增大，则当时，达到最大，最远相距为；
当时，小语已到达客户处，小数未到达客户处，此时它们之间的距离逐渐减小到，则最远相距小于；
∵，
∴从小数出发至送餐结束，小语和小数最远相距，则说法④错误；
综上，正确的有2个．
11．
解：分式的值为零，
且，
解得，
故答案为：．
12．（答案不唯一）
解：设一次函数解析式为（），
函数图象过原点，
将代入解析式得：，解得，
即满足条件的一次函数满足，
取，得一次函数解析式为（答案不唯一）．
13．
解：由题意得：，，
解得，，
则．
14．
解：四边形是菱形，且周长为，
，，，
，
是等边三角形，
，
，
，
在中，，
，
故答案为：．
15．1或
解：∵四边形是矩形，，
，，
∵E为的中点，
，
．
，
如图，当时，为直角三角形，
，
如图，当时，为直角三角形，
∵F为的中点，
，
，，
，
，
；
当，此种情况不存在．
综上所述，的长为1或．
16．(1)
(2)
（1）解：原式
（2）解：原式
17．
证明：∵四边形为正方形，
，．
，
，
．
，
，
，
即．
略
18．证明：连接，交于点O．
在中，，．
又，
．
∴四边形是平行四边形．
略
19．(1)点的坐标为，点的坐标为
(2)或
(3)8
（1）解：联立，
解得或，
∵点位于第一象限，点位于第三象限，
∴点的坐标为，点的坐标为；
（2）解：由图象可知，交点左侧的图象，直线位于双曲线的下方；
交点左侧原点右侧的图象，直线位于双曲线的下方；
∴不等式的解集为或；
（3）解：当时，，
∴，
∴，
∴的面积为．
20．(1) ， ，
(2)补全条形统计图如图：
(3)从平均数角度评价：八年级一班和二班的平均成绩相等，则两个班成绩一样好；
从众数、中位数角度评价：八年级二班学生成绩的中位数、众数都比八年级一班的高，则八年级二班参赛学生的成绩较好；
从方差角度评价：八年级一班的方差小，则成绩稳定（答案不唯一）．
（1）解：八年级一班组有（人），组有（人），
组有（人），
扇形统计图中对应的圆心角度数为，
共个数据，则中位数是第、个数据的平均数，八年级一班组数据为，，，
第、个数据，，
中位数；
八年级二班组有个数据，组有个数据，组有个数据，
组有个数据，
而组中出现了次，次数最多，
众数；
（2）略
（3）略
21．(1)篮球的单价为100元，足球的单价为80元
(2)购买15个篮球，45个足球才能使费用最少，最少费用为5100元
（1）解：设篮球的单价为元，则足球的单价为元，
由题意得：，
解得，
经检验，是所列分式方程的解，且符合题意，
则，
答：篮球的单价为100元，足球的单价为80元．
（2）解：由题意得：，
∵计划总费用不多于元，
∴，
解得，
又∵，
∴，且为正整数，
由一次函数的性质可知，在内，随的增大而减小，
∴当时，取得最小值，最小值为，
此时，
答：购买15个篮球，45个足球才能使费用最少，最少费用为5100元．
22．(1)
证明：∵四边形是平行四边形，
，
，
∵
平分，
，
，
，
，
，
又，
∴
四边形是平行四边形，
，
是菱形．
(2)5
（1）略
（2）解：∵四边形是菱形，
，
∴，
，
，
，
∴的长为5．
23．(1)
(2)，理由见解析
(3)或
（1）解：∵线段是线段旋转得到的，
∴，
∵平分，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：，理由如下：
如图，连接，
由（1）可知，，
∴，，
∵，
∴四边形是矩形，
∴，
∴，
∵点F是的中点，
∴，
在和中，
，
∴，
∴．
（3）解：∵，，
∴四边形是正方形，
∴，，
如图，当点在线段上，
∵，
∴，
由（1）可知，，，
∴，，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，即；
如图，当点在的延长线上且在边上时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
由可得，，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，即，
此时，与重合，不符合题意，舍去，
③如图，当点在的延长线上且在边延长线上时，
∵，
∴，
∵，，，
∴，
由可得，，
∴，
设，则，，
在中，，
∴，
解得，即，
综上所述，的长为或．
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答案第13页，共13页

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