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山西省吕梁市交城县2025-2026学年八年级下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．若有意义，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．九（1）班采用民主投票的方式评选一名“最有责任心的班干部”，班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票，根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是（ ）
A．平均数 B．众数 C．中位数 D．方差
3．如图，在平行四边形中，点是对角线的中点，点是边的中点，连接．下列两条线段的数量关系中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，已知一次函数的图象与x轴、y轴分别交于点A，B，则下列结论一定正确的是（ ）
A．， B．， C．， D．，
5．如图，在高为，坡面长为的楼梯表面铺地毯，地毯的长度至少需要（ ）
A． B． C． D．
6．学校体育检测中，记录了男、女各10名学生1分钟跳绳的个数，绘制了箱线图（如图），下列说法错误的是（ ）
A．男生跳绳个数最多为208个
B．女生跳绳成绩更稳定
C．男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数
D．男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数
7．氢气是一种绿色清洁能源，可通过电解水获得．实践小组通过实验发现，在电解水的过程中，生成物氢气的质量与分解的水的质量满足我们学过的某种函数关系．下表是一组实验数据，根据表中数据，与之间的函数关系式为（ ）
水的质量
氢气的质量
A． B． C． D．
8．在四边形中，点E，F，G，H分别是边的中点，交于点O．若四边形的对角线相等，则线段与一定满足的关系为（ ）
A．互相垂直平分 B．互相平分且相等 C．互相垂直且相等 D．互相垂直平分且相等
9．如图，直线和相交于点，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．或
10．如图，在菱形 中，、交于点，，，点为线段上的一个动点．过点分别作于点 ，作于点 ，则的值为（ ）
A． B．5 C． D．6
二、填空题
11．计算（+）（﹣）的结果为__________．
12．生物学研究表明，植物光合作用速率越高，单位时间内合成的有机物越多，为了解甲、乙两个品种大豆的光合作用速率，科研人员从甲、乙两个品种的大豆中各选五株，在同等实验条件下，测量它们的光合作用速率（单位：），结果统计如下：
品种 第一株 第二株 第三株 第四株 第五株 平均数
甲 32 30 25 18 20 25
乙 28 25 26 24 22 25
则两个大豆品种中光合作用速率更稳定的是_________（填“甲”或“乙”）．
13．如图，在中，．以点为圆心，以的长为半径作弧交边于点，连接．分别以点为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点，作射线交于点，交边于点，则的值为__________．

14．在密闭实验装置内充一定质量的气体，在容积不变的情况下，该装置内部气体压强是气体热力学温度的正比例函数，其部分图象如图所示．已知热力学温度与摄氏温度之间的关系近似为，由此可估计该装置内的气体温度为时，该气体压强为__________．
15．如图，在四边形中，，，．点是边上的一点，且，连接，过点作的垂线，交的延长线于点，交边于点．若，则线段的长为________．
三、解答题
16．计算：
(1)；
(2)已知，求的值．
17．如图，在矩形ABCD中，AC是对角线．
(1)实践与操作：利用尺规作线段AC的垂直平分线，垂足为点O，交边AD于点E，交边BC于点F（要求：尺规作图并保留作图痕迹，不写作法，标明字母），
(2)猜想与证明：试猜想线段AE与CF的数量关系，并加以证明．
18．近年来，为保护和修复海洋渔业资源，我国实施海洋伏季休渔制度．9月下旬，南海海域伏季休渔期结束后，渔民们奔赴南海开启新一轮的捕鱼事业．一艘渔船以每小时30海里的速度向正东航行，如图所示，在出发地A测得小岛C在它的北偏东方向，2小时后到达B处，测得小岛C在它的北偏西方向，求该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离．
19．在平面直角坐标系中，一次函数的图象由函数的图象平移得到，且经过点．
(1)求一次函数的解析式；
(2)求出一次函数的图象与轴、轴交点和的坐标；
(3)若点在直线上，且的面积为5，求点的坐标．
20．为激发青少年崇尚科学、探索未知的热情，学校开展“科学小博士”知识竞赛．各班以小组为单位组织初赛，规定满分为10分，9分及以上为优秀．
数据整理：小夏将本班甲、乙两组同学（每组8人）初赛的成绩整理成如下的统计图．
数据分析：小夏对这两个小组的成绩进行了如下分析：
平均数（分） 中位数（分） 众数（分） 方差 优秀率
甲组 7.625 a 7 4.48
乙组 7.625 7 b 0.73 c
请认真阅读上述信息，回答下列问题：
(1)填空： ， ， ；
(2)小祺认为甲、乙两组成绩的平均数相等，因此两个组成绩一样好．小夏认为小祺的观点比较片面，请结合上表中的信息帮小夏说明理由（写出两条即可）．
21．阅读与思考
请认真阅读下列学习报告，并完成相应的任务．
邻等对余四边形
在学习三角形、四边形的过程中，我们积累了一定的研究几何图形的经验，利用该经验可对不同的几何图形进行一定的研究．
图形定义：至少有一组邻边相等，且这两邻边的夹角与对角互余的四边形叫邻等对余四边形．
概念理解：如图①，在四边形中，，，则四边形是邻等对余四边形．
性质探究：如图②，在四边形中，连接对角线，，已知，，小江通过在几何画板上演示图形，发现，，之间存在数量关系：，他想通过几何的方法进行推理证明．
研究思路：在研究四边形的时候，常将四边形的问题转化为三角形的问题来研究，从而简化问题的解决过程．
推理论证：以为边，在下方作等边，连接，
∵，均为等边三角形，
∴，，
∴，
…
任务：
(1)根据邻等对余四边形的定义，下面可能拼成一个邻等对余四边形的是______（填序号）；
①两个等腰三角形 ②两个直角三角形 ③两个全等三角形
(2)完成报告中剩余的证明过程；
(3)上面的分析过程主要运用的数学思想是______（从下面选项中选出一个即可）．
A．数形结合 B．统计思想 C．分类讨论 D．转化思想
22．请你根据下列素材，完成有关任务．
背景 为响应“全民健身”号召，落实“双减”政策，某校计划采购智能计数跳绳和标准实心球两种体育器材，用于丰富学生课后体育锻炼与体能训练．
素材一 若购买2根智能计数跳绳和4个标准实心球共需240元；若购买3根智能计数跳绳和1个标准实心球共需110元．
素材二 学校需要购买这两种器材共30件（两种器材均需购买），且购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的．
请完成下列任务：
(1)求每根智能计数跳绳和每个标准实心球的价格．
(2)给出最节省费用的采购方案，并计算最低费用．
23．综合与探究
问题情境：如图甲，在纸片中，，点在边上，．沿过点的直线折叠该纸片，使的对应线段与平行，且折痕与边交于点，得到，然后展平．
猜想证明：
(1)判断四边形的形状，并说明理由；
拓展延伸：
(2)如图乙，继续沿过点的直线折叠该纸片，使点的对应点落在射线上，且折痕与边交于点，然后展平，连接交边于点，连接．
①若，判断与的位置关系，并说明理由；
②在①的条件下，与交于点，则有，若，，，当点为的中点时，请直接写出的长．
参考答案
1．B
【详解】解：由有意义，得，
解得，
故选：B．
2．B
【详解】解：班里每位同学都可以从5名候选人中选择一名无记名投票．根据投票结果判断最终当选者所需要考虑的统计量是众数，
故选：B．
3．C
【详解】解：∵点是对角线的中点，点是边的中点，
∴是的中位线，
∴，
∵四边形是平行四边形，
∴，
∴，
故选：．
4．D
【详解】解：由所给函数图象可知，
因为y随x的增大而减小，
所以，
因为一次函数的图象与y轴交于负半轴，
所以，
故选：D．
5．C
【详解】解：由勾股定理得：
楼梯的水平宽度，
∵地毯铺满楼梯所需长度是楼梯的水平宽度与垂直高度的和，
∴地毯的长度至少是．
6．D
【详解】解：A、左侧箱线图最大值为，故男生跳绳个数最多为208个，原说法正确；
B、右侧箱线图（女生）的极差和四分位距均小于左侧（男生），女生成绩波动小，更稳定，故女生跳绳成绩更稳定，原说法正确；
C、左侧箱线图中位数线低于右侧，故男生跳绳个数的中位数小于女生跳绳个数的中位数，原说法正确；
D、通过箱线图无法确定平均数，故不能得到男生跳绳个数的平均数大于女生跳绳个数的平均数，原说法错误.
7．C
【详解】解：∵，
∴与成正比例，即是的正比例函数，
∴，
故选：．
8．A
【详解】连接，，，
∵点，，，分别是，，，的中点，
∴由三角形中位线定理可得 ，，，，
∴且，
∴四边形是平行四边形，
∴平行四边形的对角线与互相平分.
又∵四边形的对角线，
∴，
∴平行四边形是菱形，
∴对角线与互相垂直，
综上，与互相垂直平分．
9．C
【详解】解：由图象可知，过原点，
∴不等式的解集为．
10．C
【详解】解：如图，连接，
∵四边形是菱形，
∴与互相垂直平分，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
故选：C．
11．﹣1
【详解】
12．乙
【详解】解：
∴乙更稳定；
故答案为：乙．
13．
【详解】解：∵在中，，
∴，，
由作图知平分，，
∴是等边三角形，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
故答案为：．
14．2
【详解】解：设该装置内部气体压强是气体热力学温度的函数关系式为，
将代入可得，
解得：，
∴该装置内部气体压强是气体热力学温度的函数关系式为，
∵热力学温度与摄氏温度之间的关系近似为，
∴该装置内的气体温度为时，，
∴此时该气体压强为．
15．14
【详解】过点E作，交于点．
，
，
，
，
，
．
，
，
，
，
，
．
过点作于点，作于点，则．
，
，
∴，
，
，
，
，
．
，
四边形是矩形，
，
在中，，
．
在中，，
在中，，
．
16．(1)
(2)0
【详解】（1）解：
；
（2）解：，
，
两边平方得：，
，
．
17．(1)
如图，
(2)
．证明如下：
∵四边形ABCD是矩形，
∴．
∴．
∵EF为AC的垂直平分线，
∴．
∴．
∴．
【详解】（1）略
（2）略
18．该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离为海里
【详解】解：如图，过点C作于点D，则为渔船与小岛C的最近距离，
由题意得，（海里）．，，
∴．
∴．
设，
在中，，
∴．
∴．
∵，
∴．
解得．
答：该渔船在航行过程中与小岛C的最近距离为海里．
19．(1)
(2)，
(3)或
【详解】（1）解：一次函数的图象由函数的图象平移得到，
一次函数为，
一次函数经过点，
，
，
一次函数为．
（2）解：由题意得
当时，，
当时，，
，
图象与轴、轴的交点的坐标分别为，．
（3）解：设
，
，
解得：或，
当时，，
当时，，
或．
20．(1)7.5，7，
(2)
解：小祺的观点比较片面．
理由不唯一，例如：
①甲组成绩的优秀率为，高于乙组成绩的优秀率，
∴从优秀率的角度看，甲组成绩比乙组好；
②甲组成绩的中位数为7.5，高于乙组成绩的中位数，
∴从中位数的角度看，甲组成绩比乙组好；
因此不能仅从平均数的角度说明两组成绩一样好，可见，小祺的观点比较片面．
【详解】（1）解：根据题意得：
（分），
（分），
，
故答案为：7.5，7，；
（2）略
21．(1)①③
(2)补充剩余证明过程如下：
在与中，，
∴，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
在中，，
∵，，
∴．
(3)D
【详解】（1）解：①当两个等腰三角形的底边相等，顶角互余时，就可以拼成一个邻等对余四边形，如图：
当，，，时，四边形是邻等对余四边形；故①符合题意；
②若两个直角三角形的其中一条直角边相等时，只能满足对角互余，即不能拼成一个邻等对余四边形，若两个直角三角形的其中一个三角形的直角边与另一个三角形的斜边相等时，只能满足邻边相等，即不能拼成一个邻等对余四边形，故②不符合题意；
③当两个全等三角形的两组对应角之和是时，就可以拼成一个邻等对余四边形，如图：
当，时，
四边形是邻等对余四边形；故③符合题意；
（2）略
（3）解：将四边形的问题转化为三角形的问题来研究，体现了转化思想．
22．(1)每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元
(2)最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元
【详解】（1）解：设每根智能计数跳绳的价格为元，每个标准实心球的价格为元．
根据题意得，
解方程组得，
答：每根智能计数跳绳的价格为20元，每个标准实心球的价格为50元；
（2）解：设学校购买智能计数跳绳根，则购买标准实心球个，购买总费用为元．
，
购买智能计数跳绳的数量不超过购买标准实心球数量的，
，
，
智能计数跳绳和标准实心球均需购买，
，且为正整数．
，
随的增大而减小．
当时，取最小值．
此时，．
即购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元．
答：最节省费用的采购方案为购买智能计数跳绳12根，购买标准实心球18个，购买总费用最少，购买总费用为1140元
23．(1)四边形是菱形，理由如下：
由折叠的性质可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四边形是菱形；
(2)①证明：．理由如下：
由（1）知四边形是菱形，
∴，由折叠的性质得到，
∵，
∴，
∴，
∴，，
∵，
∴，
∴；
②
【详解】（1）略；
（2）解：①略；
②当，点为的中点时，如图所示，
由（1）可知，四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，，
∵点为的中点，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∵，
∴在中，，
∵，
∴，解得：，
∴．

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