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2026-2027学年上海市高一（上）开学考数学
质量检测预测模拟卷 B卷
（沪教版 · 考试时间120分钟 满分150分）
填空题（本大题满分54分，前6题每题4分，后6题每题5分，填错或不填在正确的位置一律得零分）
1. 方程组 的解集为 ______ 。
2. 已知集合 ，，则 ______ 。
3. 已知方程 的两根均大于2，则实数 的取值范围为 ______ 。
4. 已知集合 ，集合 ，则集合 的子集个数为 ______ 。
5. 若直角三角形斜边长为 ，则该直角三角形面积的最大值为 ______ 。
6. 已知命题 或 ，命题 ，若 是 的必要不充分条件，则实数 的取值范围为 ______ 。
7. 已知 ， 且 ，则 的最小值为 ______ 。
8. 设 ， 是方程 的两个实数根，则 ______ 。
9. 命题甲：方程 有两个不相等的负实数根；命题乙：方程 无实数根。若甲、乙两个命题有且只有一个真命题，则实数 的取值范围为 ______ 。
10. 已知不等式 的解集中恰有3个整数，则实数 的取值范围为 ______ 。
11. 已知 ，集合 恰有四个非零元素，且四个元素在数轴上等距排列，则实数 ______ 。
12. 设有限集合 （，），任选 的两个非空子集 ，，使得 的最小元素严格大于 的最大元素，则不同的选取方式有 ______ 种。
二、选择题（本大题共4题，满分18分，第13-14题每题4分，第15-16题每题5分）
13. 已知 ，，，，， 均为非零实数，则 是"不等式 与 同解"的（　）
A. 充分不必要条件　　B. 必要不充分条件　　C. 充要条件　　D. 既不充分也不必要条件
14. 二次函数 和反比例函数 在同一平面直角坐标系中的图象大致是（　）
A. B.
C. D.
15. 已知 ，，，则 的最小值为（　）
A. 　　B. 　　C. 3　　D. 4
16. 非空集合 满足：①若 ，，则 ；②若 ，，则 。下列判断错误的是（　）
A. 　　B. 　　C. 若 ，，则 　　D. 若 ，，则
三、解答题（本大题满分78分）本大题共有5题，解答下列各题必须在答题卷的相应编号规定区域内写出必要的步骤
17.（14分） 在解题过程中，解题思路有正误、繁简之分，请结合条件完成下列问题。
（1）设 ，集合 ，若 是 的充分条件，某学生误将条件写为 ，请求出正确的 的取值集合，并写出集合 的等价变形；
（2）设 ，，，，求证： 和 至少有一个数是奇数。
（14分） 已知集合 ，集合 ，，满足 。设所有符合条件的 构成集合 ，若 ，求所有符合条件的 的值及对应 的取值范围。
（14分） 如图，抛物线 与 轴交于 、 两点，直线 与 轴交于点 ，与 轴交于点 。点 是 轴上方的抛物线上一点，过点 作 轴于点 ，交直线 于点 。设点 的横坐标为 。
（1）求抛物线的解析式；
（2）若 ，求 的值。
（18分） 已知含参二次不等式 ，完成下列问题：
（1）若不等式 的解集为 ，求实数 的取值范围；
（2）若关于 的不等式 的解集为 ，求实数 的值。
（18分） 设集合 ，，。定义：集合 中所有含 个元素的子集的元素和组成的集合为" 元和集"；集合 中所有含 个元素的子集中，最大元素减去剩余元素之和的结果组成的集合为" 元差集"。
（1）若 的" 元和集"为 ，求集合 ；
（2）在（1）的条件下，若 的" 元差集"为 ，求所有满足条件的 的真子集个数之和；
（3）在（1）的条件下，若 的"3元差集"为 ，求所有满足条件的 的真子集个数之和。
— 试卷结束 —
参考答案
一、填空题
1
13
0
二、选择题
D
B
A
A
三、解答题
（1）；当 时 ，当 时 ；（2）证明略（见解析）
；
（1）；（2）
（1） 或 ；（2）
（1）；（2）15；（3）15
逐题详细解析
一、填空题
1. 两式相减得 ，即 。代入 ，得 。故解集为 。
2. 集合 是函数 的定义域，二次函数对任意实数 均有意义，故 。
集合 是函数 的值域，配方得：
，故 。
因此 。
3. 设 ，该二次函数图像开口向上，对称轴 。两根均大于2，需满足三个条件：
①判别式 ；
②；
③对称轴 自动满足。
综上，，即 。
4. 逐一代入 检验方程 ：
时，；
时，；
时，；
时，。
所以 ，，子集个数为 。
5. 设两条直角边分别为 、，斜边长为 ，由勾股定理得 。
由均值不等式 ，得 。
面积 ，当 时取等号。
面积最大值为 。
6. 是 的必要不充分条件，即 ，所以 对应集合 是 对应集合的子集。
对应集合为 。
要使得 ，只需 ，解得 。
7. 由柯西不等式：。
已知 ，所以 。
故 ，当且仅当 时取等号，即 ，。
8. 由韦达定理，方程 的两根满足：
，。
则 。
9. 甲真：方程 有两个不相等的负实数根。
需满足 ，且两根和 ，两根积 。故 。
乙真：方程 无实数根，需 。
一真一假：
甲真乙假： 且 ，即 ；
甲假乙真： 或 ，且 ，即 。
合并得 。
10. ，对称轴为 。
解集为 。恰有3个整数且解集关于 对称，只能是 。
故 ，解得 。
11. 令 ，方程化为 ，即 。
设两根为 （），则 ，。
四个根为 。
四个元素在数轴上等距排列，须满足 ，
即 ，故 ，即 。
代入 ，得 ，。
此时 。
四个根为 ，等距排列。
12. 设 的最大元素为 ，则 且 ，共 种选法。
的最小元素大于 ，所以 且非空，共 种选法。
总数为 。
二、选择题
13. 充分性：系数成比例但比例系数为负时，不等式方向相反，解集不同，不成立。
必要性：同解的两个不等式系数不一定成比例，例如 与 虽成比例，但 与 同解却不成比例。
故选 D。
14. 二次函数 过原点，反比例函数 中 的正负决定象限。
若 ，，则抛物线开口向下，对称轴 ，反比例函数在一、三象限。
故选 B。
15. 由柯西不等式 ，
，故 ，选 A。
16. 由条件①取 ，得 。
由条件②，，，所以 。
因此 A 说 是错误的。
故选 A。
三、解答题
17.
（1） 是 的充分条件，即 。
（当 时 ），所以 。
等价变形：当 时 ；当 时 。
（2），为奇数，所以 、 一奇一偶。
若 为奇数， 与 中减去偶数者为奇数，减去奇数者为偶数；
若 为偶数， 与 中减去奇数者为奇数，减去偶数者为偶数。
总之二者一奇一偶，至少有一个是奇数。
18. ，由 且 ，得 。 可能为 、 或 。
当 时： 判别式 且 为二重根。
代入 ：。
判别式 ，代入化简得 ，。
当 时： 代入 ：。
判别式 得 ，。
当 时： 两根为2和3，方程为 。
比较系数：，，。
所以 。
由 ，即所有 均不满足 ，故 对所有 成立：
对 ：；
对 ：；
对 ：。
三者交集为 。
19.
（1）抛物线 过 、，两根为 和 ，所以 。
（2）直线 ：，，。
，，。
，
（需 才为正）。
由 ：
，
，
，
解得 。
因 在 轴上方（）且 中 需 ，取 。
20.
（1）原不等式化为 。
当 时，，解集为 ，不符合；
当 时，，解集为 ，符合。
当 即 或 时，需 ：
，
即 或 。
综上， 或 。
（2）由解集为 ，可知对应方程 的两根为 和 。
由韦达定理：，且 ，一致。故 。
21.
（1）设 ，。
3元和集为 。
则 ，，相减得 。
逐一检验得 。
（2）由（1），枚举所有满足条件的 ，计算 的真子集个数之和为 15。
（3）同理，枚举所有满足 的3元差集为 的集合，计算 的真子集个数之和为 15。
— 解析结束 —
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