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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.1.2成比例线段第1章图形的相似湘教版九年级数学1.1.2成比例线段练习题###核心知识点回顾1.线段的比：在同一长度单位下，两条线段的长度的比叫做这两条线段的比。若线段a、b的长度分别为m、n，则线段比为$$\frac{a}{b}=\frac{m}{n}$$，线段的比是无单位的正数，且与所选长度单位无关。2.成比例线段：在四条线段a、b、c、d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$，那么这四条线段叫做成比例线段，简称比例线段。其中a、d为比例外项，b、c为比例内项，d叫做a、b、c的第四比例项。3.比例中项：若$$\frac{a}{b}=\frac{b}{c}$$，即$$b^2=ac$$，则b叫做a、c的比例中项。结合上一节比例基本性质，可灵活进行线段比例的计算与判定。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.已知线段a=4cm，b=6cm，求线段a与b的比。2.判断四条线段2cm、3cm、4cm、6cm是否为成比例线段。3.已知线段a=3cm，b=6cm，c=9cm，求a、b、c的第四比例项d。4.求线段a=2cm，c=8cm的比例中项b的长度。5.已知$$\frac{a}{b}=\frac{3}{5}$$，且a=6cm，求线段b的长度。6.四条线段1cm、2cm、4cm、xcm成比例，求x的基础取值。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.已知线段a:b=2:3，b:c=4:5，求a:b:c的最简整数比。2.若四条线段m、n、p、q满足$$3m=5n=2p$$，判断四条线段是否成比例，并说明理由。3.已知线段AB=12cm，点C在AB上，且AC:CB=1:2，求AC、CB的长度。4.若b是a、c的比例中项，a=4cm，c=9cm，求b的值，并验证比例关系。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.一个矩形的长和宽分别为18cm和12cm，将长和宽同时减去相同的长度x cm后，所得新矩形的长与宽的比为3:2，求x的值。2.已知三角形ABC的三边AB、BC、AC满足AB:BC:AC=2:3:4，且周长为36cm，求三角形三边的线段长度。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：$$\frac{a}{b}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$$，故a:b=2:3。2.解：成立。因为$$\frac{2}{3}=\frac{4}{6}$$，满足成比例线段定义，因此四条线段成比例。3.解：由成比例线段得$$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}$$，代入得$$\frac{3}{6}=\frac{9}{d}$$，解得d=18cm。4.解：由比例中项性质$$b^2=ac=2×8=16$$，线段长度为正，故b=4cm。5.解：代入比例得$$\frac{6}{b}=\frac{3}{5}$$，由比例基本性质得3b=30，解得b=10cm。6.解：由$$\frac{1}{2}=\frac{4}{x}$$，解得x=8cm。####能力提升题解析1.解：统一中间项b的份数，a:b=2:3=8:12，b:c=4:5=12:15，故a:b:c=8:12:15。2.解：设3m=5n=2p=k，得$$m=\frac{k}{3}$$，$$n=\frac{k}{5}$$，$$p=\frac{k}{2}$$，可得$$\frac{m}{n}=\frac{5}{3}$$，$$\frac{n}{p}=\frac{2}{5}$$，四条线段不成比例。3.解：设AC=x，CB=2x，x+2x=12，解得x=4，故AC=4cm，CB=8cm。4.解：$$b^2=4×9=36$$，b=6cm，验证：$$\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$，比例关系成立。####拓展应用题解析1.解：由题意得$$\frac{18-x}{12-x}=\frac{3}{2}$$，交叉相乘得2(18-x)=3(12-x)，展开计算36-2x=36-3x，解得x=0。说明原矩形长宽比恰好为3:2，无符合条件的减去长度。2.解：设三边分别为2k、3k、4k，周长2k+3k+4k=36，解得k=4，三边长度分别为8cm、12cm、16cm。求下列各式中x的值.
（1）4∶15 = x∶9；
解： 15 x = 36
复习回顾
新知探究
如图1.1-1，在方格纸上(小方格的边长为1)有△ABC和△A'B'C' ，它们的顶点都在格点上．观察或计算出线段AB，BC，AC，A'B'，B'C'，A'C'的长度，并计算AB与A'B'，BC与B'C'，AC与A'C'的长度的比值.
做一做
A
B
C
A'
B'
C'
图1.1-1
A
B
C
A'
B'
C'
2
4
图1.1-1
由图可知 BC=2，B'C'=4
根据勾股定理可得：
AB = AC =
如果 的比值为k，那么上述式子也可写成
一般地，如果两条线段AB，A′B′的长度分别为 m，n，那么把它们的长度的比 叫作这两条线段AB与A′B′的比，记作
对于△ABC和△A′B′C′，有
A
B
C
A'
B'
C'
2
4
图1.1-1
A
B
C
D
A'
B'
C'
D'
计算线段 AB与A'B ' ，BC与B'C'，CD与C'D'，
AD与A'D'的长度的比值，并说一说它们有怎样的关系.
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.
例如，已知四条线段a，b，c，d，若 ，则a，b，c，d是比例线段.
类似地，如果 ，那么称线段AB，BC，AC与线段A′B′ ，B′C′ ，A′C′对应成比例.
例4 已知线段 a，b，c，d的长度分别为0.8cm，
2cm，1.2cm，3cm，问a，b，c，d是成比例线段吗？
解：因为
所以 ，a，b，c，d是成比例线段.
例5 已知△ABC的三边 AB，BC，AC与△A'B'C'
的三边A'B'， B'C'， A'C'对应成比例.若△ABC的周长为48cm，且A'B' =3cm，B'C'=4cm，A'C'=5cm，求△ABC的三边的长.
解：由题意得 ，因此可以设AB = 3x cm，BC=
4x cm，AC = 5x cm，则 3x+4x+5x=4，解得 x=4，
从而 3x=12，4x=16，5x=20. 所以△ABC 的三边AB，BC，AC的长分别为 12cm，16cm，20cm.
思 考
古希腊数学家、天文学家欧多克索斯(Eudoxus，约公元前400一约前347)曾经提出一个问题：
能否将一条线段 AB 分成不相等的两部分使较短线段 BC 与较长线关段 AC 的比等于较长线段 AC 与原线段 AB 的比，即使得 成立？
A
B
C
1个单位
x个单位
(1-x)个单位
根据 ，列出方程
由于x≠0，两边同乘x，
即
解得
所以 成立，此时称线段 AB 被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.
黄金分割比的数值为 ，(约等于0.618).
A
B
C
图1.1-2
黄金分割比被认为是美的比例关系.视觉生理学的研究成果表明，黄金分割比与人的视觉比例(1∶1.618)最接近，所以符合黄金分割的比例形式很容易使人产生视觉上的美感.许多世界著名古建筑，如中国故宫、埃及金字塔、希腊帕提侬神庙、印度泰姬陵、法国巴黎圣母院等，在构图布局设计方面都有意无意地运用了黄金分割的法则．
帕提侬神庙
故宫
在现代，许多建筑的设计中也采用了黄金分割，如上海的东方明珠广播电视塔的上球体就处于整个塔身高度的黄金分割处.
神奇的黄金分割比也出现在许多著名艺术作品中，比如意大利著名画家达·芬奇的名作《蒙娜丽莎》就是完美运用黄金分割的典型例子.
1.已知a，b，c，d是成比例线段.
（1）若 a=0.8cm，b=1cm，c=1cm，求 d；
（2）若 a=12cm，c=3cm，d=15cm，求 b；
（3）若 a=5cm，b=4cm，d=8cm，求 c.
解：
（1）因为 ，所以 0.8 d =1×1，所以 d=1.25 cm.
（2）因为 ，所以 3b =12×15，所以 b=60 cm.
（3）因为 ，所以 4c =5×8，所以 c=10 cm.
练习
2. 已知 a，b，c是△ABC的三边长，
且
（1）求 的值；
解：
设 ，所以 a = 5k，b = 4k，c = 6k.
所以
2. 已知 a，b，c是△ABC的三边长，
且
（2）若△ABC的周长为90，求各边的长.
解：
设 ，所以 a = 5k，b = 4k，c = 6k.
所以 a + b + c = 5k + 4k + 6k = 15k.
由题意得 15k = 90，所以 k =6.
所以 a = 30，b =24，c =36.
3. 如图，在矩形ABCD中，AB= ，AD=2，
且四边形ABEF 是正方形，请问：点 E 是线段 BC 的黄金分割点吗？如果是，请说明理由.
A
B
C
D
F
E
解：由题意得
AB = BE= ， BC = AD= 2.
所以
所以 点 E 是线段 BC 的黄金分割点
知识点1 两条线段的比
1. 延长线段到点，使得，则 ( )
C
A. B. C. D.
2. 近年来，我国航天事业发展迅猛，取得了
惊艳世界的成绩．海洋四号01星运转的轨道高度距离地表
，则在比例尺是 的大屏幕上显示
为____ ．
35
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知识点2 成比例线段
3. 给出下列各组线段，其中是成比例线段的是( )
D
A. ,,,
B. ,,,
C. ,,,
D. ,,,
思路支架
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4. 已知线段,,, 是成比例线段，其中
，，，则 ____.
10
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知识点3 黄金分割
5. 大自然是美的设计师，即使是一片小
小的树叶，也蕴含着“黄金分割”，如图，为的黄金分
割点 ，则下列结论中正确的有 ( )
； ；
； .
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个
B
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6. 如图，已知线段 ，按以下步骤作
图：
①过点作，使 ，连
接；②以点为圆心，以长为半径画弧，交于点 ；
③以点为圆心，以长为半径画弧，交于点 .
求证：点是 的黄金分割点.
【证明】设，则 .
在 中，
.
因为，所以 .
又因为，所以 .
所以.所以点是 的黄金
分割点.
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7. 若三条线段，，的长满足 ，
则将这三条线段首尾顺次相连( )
D
A. 能围成锐角三角形 B. 能围成直角三角形
C. 能围成钝角三角形 D. 不能围成三角形
【点拨】设，则 ，所以
因为 ，所以不能围
成三角形.
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8. 已知三条线段的长度分别是3，6，5，若再
添加一条线段，使这四条线段是成比例线段，则添加的线段
的长度是__________.
或或10
若成比例线段的顺序不确定，则需分类讨论.
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9. 我们把顶角为 的等
腰三角形称为“黄金三角形”，它的底与腰的比值
为.如图，在中， ，
，平分交于点，若 ，
则 的长为_______.
【点拨】因为 ， ，所以
.因为 平
分，所以 ，所以
，所以 ，所
以，所以 是“黄
金三角形”，所以.因为 ，所以
.
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10. 已知线段，是直线上一点， 为
线段的中点，，且， 满足
，则线段 的长为_______.
8或20
【点拨】因为 ，所以
，.所以，.所以 .
如图①，当点在线段上时，设， ，则
，所以.所以，.因为 为线
段的中点，所以.所以 .如图
②，当点在线段的延长线上时，设， ，
则，所以.所以.因为为线段
的中点，所以 .所以
综上所述，线段 的长为8
或20.
此题易漏掉点在线段 的延长线上的情况而致错.
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11. 如图，在中，于点， ，交
的延长线于点 .
（1），，， 这四条线段
是否成比例？如果不成比例，请说明
理由；如果成比例，请写出比例式.
【解】,,, 这四条线段成比例.
因为在中，, ,
所以.易知 ，
所以,即 .
（2）若，，，求 的长.
因为 ,
所以,解得 .
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12. 由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”，
类似地给出“黄金分割线”的定义：直线将一个面积为 的图
形分成面积为和面积为的两部分（设 ），如果
，那么称直线 为该图形的“黄金分割线”.
（1）如图①，点是线段
的黄金分割点 ，取
线段的中点，作点 关于
点的对称点，则
_ ____；继续取线段的中点，作点关于点 的对称点
，试猜想：点是否为线段 的黄金分割点？若是，请
证明，若不是，请说明理由.
【解】点是线段 的黄金分割点.
证明:因为， ，
所以 .
所以.因为 ，所以
.
所以点是线段 的黄金分割点.
所以 .
同理可得 ，所以
，
所以是线段 的黄金分割点.
（2）如图②，在平面直角坐标系中，， ，
，则经过点 的“黄金分割线”的函数表达
式为_ _______________________________.
或
课堂小结
如果 的比值为k，那么上述式子也可写成
一般地，如果两条线段AB，A′B′的长度分别为 m，n，那么把它们的长度的比 叫作这两条线段AB与A′B′的比，记作
课堂小结
在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段，简称为比例线段.
若 成立，此时称线段 AB 被点C黄金分割，点C叫作线段AB的黄金分割点，较长线段AC与原线段AB的比叫作黄金分割比.
黄金分割比的数值为 ，(约等于0.618).
A
B
C

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