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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.2平行线分线段成比例第1章图形的相似湘教版九年级数学1.2平行线分线段成比例练习题###核心知识点回顾1.平行线分线段成比例基本定理：两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成比例。若直线$$l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$$，截直线m、n，可得对应线段比例式：$$\frac{上}{下}=\frac{上}{下}$$、$$\frac{上}{全}=\frac{上}{全}$$、$$\frac{下}{全}=\frac{下}{全}$$。2.三角形平行线推论（重点）：平行于三角形一边的直线截其他两边（或两边的延长线），所得的对应线段成比例。该定理是相似三角形判定的基础，解题核心是找准平行线对应的截线段。3.定理逆用：若一条直线截三角形的两边，所得的对应线段成比例，则这条直线平行于三角形的第三边，可用于证明两直线平行。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.已知三条平行线$$l_1 \parallel l_2 \parallel l_3$$，截两条直线，所得线段分别为AB=4，BC=6，DE=2，求线段EF的长。2.在△ABC中，DE∥BC，AD=3cm，DB=6cm，求$$\frac{AD}{AB}$$的值。3.在△ABC中，DE∥BC，AD=2，AB=6，AE=1.5，求EC的长度。4.已知直线l ∥l ∥l ，AC=10，AB=4，DF=15，求DE的长。5.在△ABC中，点D、E分别在AB、AC上，AD:DB=1:3，DE∥BC，求AE:EC的值。6.判断：在三角形中，只要线段对应成比例，即可推出直线平行于三角形底边（对或错）。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.如图，已知$$l_1\parallel l_2\parallel l_3$$，AB=5cm，BC=3cm，EF=4.5cm，求DE的长度。2.在△ABC中，DE∥BC，AD:AB=2:5，AC=10cm，求AE和EC的长。3.点D在AB的延长线上，DE∥BC，已知AB=8cm，BD=4cm，AE=9cm，求CE的长。4.在△ABC中，D、E分别在AB、AC上，AD=4，DB=2，AE=6，EC=3，求证：DE∥BC。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，已知AD:DB=2:3，BF=6cm，求四边形DFCE各边的长度。2.一组平行线截两条直线，第一条直线上截得的线段长为6cm、9cm，第二条直线上总线段长20cm，求第二条直线上被分割的两条线段的长度。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：由平行线分线段成比例得$$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$$，代入$$\frac{4}{6}=\frac{2}{EF}$$，解得EF=3。2.解：AB=AD+DB=9cm，$$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$。3.解：由$$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$$得$$\frac{2}{6}=\frac{1.5}{AC}$$，AC=4.5，EC=4.5-1.5=3。4.解：$$\frac{AB}{AC}=\frac{DE}{DF}$$，$$\frac{4}{10}=\frac{DE}{15}$$，解得DE=6。5.解：由平行线推论，AE:EC=AD:DB=1:3。6.解：对。满足三角形平行线定理逆用条件，对应线段成比例，两直线平行。####能力提升题解析1.解：$$\frac{AB}{BC}=\frac{DE}{EF}$$，$$\frac{5}{3}=\frac{DE}{4.5}$$，解得DE=7.5cm。2.解：DE∥BC，$$\frac{AE}{AC}=\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$$，AE=4cm，EC=10-4=6cm。3.解：D在AB延长线上，$$\frac{AD}{BD}=\frac{AE}{CE}$$，AD=12cm，$$\frac{12}{4}=\frac{9}{CE}$$，解得CE=3cm。4.证明：$$\frac{AD}{DB}=\frac{4}{2}=2$$，$$\frac{AE}{EC}=\frac{6}{3}=2$$，两组对应线段成比例，故DE∥BC。####拓展应用题解析1.解：∵DF∥AC，∴$$\frac{BD}{AD}=\frac{BF}{FC}=\frac{3}{2}$$，BF=6cm，得FC=4cm。∵DE∥BC，DF∥AC，四边形DFCE为平行四边形，DE=FC=4cm，DF=EC。又$$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{5}$$，可得EC=6cm，DF=6cm。综上，四边为4cm、6cm、4cm、6cm。2.解：设两段线段长为x、y，由比例$$\frac{6}{9}=\frac{x}{y}$$，且x+y=20，化简得2y=3x，联立解得x=8cm，y=12cm。1.求出下列各式的 x∶y.
（1）3x = 5y
（2）
（3）3∶2 = y∶x
（4）3∶x = 5∶y
解：x∶y=5∶3
x∶y = 2∶3
x∶y = 2∶3
x∶y = 3∶5
复习导入
解：因为 ， 所以
所以
探究新知
思 考
如图1.2-1，已知直线 a∥b∥c，直线l1，l2被直线a，b，c截得的线段分别为AB，BC和A1B1，B1C1，若AB=BC，则A1B1= B1C1吗？
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
图1.2-1
a
b
c
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
l3
A2
图1.2-1
如图1.2-1，过点 B 作直线 l3∥l2 ，分别与直线a，c相交于点 A2，C2，由于a∥b∥c， l3∥l2 ，因此由“夹在两平行线间的平行线段相等”可知
C2
a
b
c
A2B=A1B1 ， BC2= B1C1.
在△BAA2和△BCC2中，
∠ABA2 = ∠CBC2，
BA = BC，
∠BAA2 = ∠BCC2
△BAA2≌△BCC2
从而 A2B=BC2
所以 A1B1= B1C1
由此可以得到：两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
随堂诊断
如图，直线 l1∥l2∥l3 ，直线 AC 和 DF 被l1， l2， l3所截，AB=5，BC=6，EF=4，则 DE 的长为( )
D
A. 2
B. 3
C. 4
D.
探 究
在前面“思考”栏目中，若AB ≠ BC，如图1.2-2所示，则
与 相等吗？任意平移直线 c， 与 还会相等吗？
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
图1.2-2
a
b
c
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
图1.2-3
a
b
c
如图1.2-3 连接AB1，B1C，BA1，BC1
△ABB1底边AB上的高、△BCB1底边BC上的高、 △ACB1底边BC上的高是同一条高线
E
所以
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
图1.2-3
a
b
c
E
又由于△A1B1B底边A1B1上的高、△B1C1B底边B1C1上的高、 △A1C1B底边A1C1上的高也相同，
F
所以
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
a
b
c
由于△ABB1， △A1B1B是平行线a、b之间同底等高的两个三角形，
因此
由于△BCB1， △B1C1B是平行线b、c之间同底等高的两个三角形，
因此
①
②
① + ② 得，
即
A
B
C
A1
B1
C1
l1
l2
a
b
c
于是
同理可得
由此得到以下基本事实：
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成正比例.
简称为平行线分线段成比例.
例1 如图1.2-4，已知AA1∥BB1∥CC1，AB=2，BC=3， A1B1=1.5，求B1C1的长.
解：由平行线分线段成比例可知，
因此，
图1.2-4
例 2 如图1.2-5，在△ABC 中，已知 DE∥BC，求证
证明 如图1.2-5，过点 A 作直线MN，使 MN∥DE.
因为MN∥DE.
所以 MN∥DE∥BC.
因此，AB，AC被一组平行线MN，DE，BC所截，则由平行线分线段成比例可知
A
B
C
D
E
M
N
图1.2-5
议一议
如图1.2-6，直线 DE 分别与在△ABC 的边AB，AC的反向延长线相交于E，D两点，则 吗？
A
B
C
D
E
则 CD，BE被一组平行线DE，BC所截，则由平行线分线段成比例可知，
①若 DE∥BC，
议一议
如图1.2-6，直线 DE 分别与在△ABC 的边AB，AC的反向延长线相交于E，D两点，则 吗？
A
B
C
D
E
②若 DE与BC不平行，
由此可得以下结论：
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例.
平行线分线段成比例的基本事实的常见变形
A
B
C
D
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
A(D)
平移l4
或l5
平移l4
或l5
一般化
特殊化
一般化
特殊化
一般化
特殊化
B
C
E
F
l1
l2
l3
l4
l5
A
C
D
B(E)
F
l1
l2
l3
l4
l5
平移l4或l5
A
D
B
E
C
F
A(D)
B
E
C
F
D
A
B(E)
C
F
“A”型
“X”型
知识点1 平行线等分线段
（第1题）
1. 如图，已知在中，, ，
，是 边的四等分点，并且
，则 ( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. [湘潭模拟] 五线谱是一种记谱法，通过
在五根等距离的平行横线上标以不同时值
的音符及其他记号来记载音乐.如图， ，
， 为直线与五线谱横线相交的三个点，
若，则 的长为___．
8
先过点 作平行横线的垂线构造等分线段,再利用平
行线截得的线段间的关系得到含有待求线段和已知线段的比
例式,构造出方程,从而解方程求出线段长.
返回
知识点2 平行线分线段成比例的基本事实
3. 如图，直线，分别交直线，于点，， ，
，， ，下列结论不正确的是( )
B
A. B.
C. D.
返回
4. 如图，已知直线，，
分别截直线于点，，，截直线 于点
，，，且 ．如果
，，求 的长．
【解】因为，，，所以 ,即
，解得 ．
返回
知识点3 平行线分线段成比例的基本事实的推论
（第5题）
5. 如图，在平面直角坐标
系中，已知，.以点 为圆心，
适当长为半径作弧，交轴于， 两点；分
别以点，为圆心，大于 的长为半径
作弧，两弧相交于，两点，作直线 . 点
是点关于直线 的对称点，
C
A. B. C. D.
连接交于点，则点 的坐标是 ( )
【点拨】如图，设与交于点 ，由作
图知，垂直平分，所以易知 .
因为，所以点 的纵坐标为2.因为点
是点关于直线的对称点， ，
所以，.因为，所以 .所
以.所以 .
返回
6. 如图，在中，是上一点，与 相交于点
，的延长线与的延长线相交于点，若 ，
，则__， 的长为___.
5
（第6题）
返回
（第7题）
7. 如图，点 是一根质地均
匀的直木棍的中点，如果以 点为支
点，在处需用 的力竖直向上拉才能
保持木棍不动，根据杠杆原理可得木棍
所受的重力 的大小是______.
（第7题）
【点拨】因为, ,所以
,所以.又因为是 的
中点，所以是 的中点，即
.根据杠杆原理,可得
,所以
,所以 .
返回
（第8题）
8. 如图，在 中，
， ，动点
从点出发，沿方向以每秒
的速度向终点运动；同时，动点 从
点出发沿方向以每秒 的速度向
终点运动，将沿翻折，点
B
A. B. 2 C. D. 3
的对应点为点，设点运动的时间为，若四边形 为
菱形，则 的值为 ( )
返回
9. 如图，在中，是 延长线上一点，
且，过点作，交于点 ，
且，，，则 的长为___.
8
10. 如图，在中，的平分线为 ，
为的中点，过点作交的延长线于，交
于 ．
（1）求证： ;
【证明】方法一:过点作 ，交
的延长线于点，则.因为
平分， ，所以
， ，
，所以 ，
所以，所以.因为，所以 .因
为为的中点，所以，所以 ，所以
．
方法二：如图，过点作交的延长线于 ,
所以, .
因为为 的中点，
所以 .
所以 .
所以 .
因为为的平分线，所以 .
因为,所以, .
所以 .
所以,所以,所以 .
（2）若 ，，，求 的长．
【解】因为 ，，，所以 .
因为，所以，.又因为 ，
，所以， .
所以,解得 .
因为,所以，解得 ．
课堂小结
两条直线被一组平行线所截，如果在其中一条直线上截得的线段相等，那么在另一条直线上截得的线段也相等.
平行线分线段成比例
两条直线被一组平行线所截，所得的对应线段成正比例.
平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边延长线)，所得的对应线段成比例.

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