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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.4.1用平行线判定两三角形相似第1章图形的相似湘教版九年级数学1.4.1用平行线判定两三角形相似练习题###核心知识点回顾1.平行线判定三角形相似定理（预备定理）：平行于三角形一边的直线与其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似。这是判定三角形相似最基础、最常用的定理。2.两种基本图形模型：①A型图：直线平行于三角形底边，在三角形内部截取小三角形，小三角形与原三角形相似；②X型图（8字型）：直线平行于三角形底边，与两边延长线相交，形成的对顶三角形与原三角形相似。3.核心性质：由平行线证相似后，可得两个三角形对应角相等、对应边成比例，结合平行线分线段成比例性质，可求解边长、线段比值、周长等问题。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.在△ABC中，DE∥BC，交AB、AC于D、E，判断△ADE与△ABC是否相似，并说明依据。2.已知DE∥BC，AD=2，AB=6，求△ADE与△ABC的相似比。3.在△ABC中，DE∥BC，AD:DB=1:2，求AE:AC的比值。4.如图8字型，AB∥CD，求证：△AOB∽△DOC。5.若△ADE∽△ABC，DE∥BC，DE=3cm，BC=9cm，求相似比。6.在△ABC中，DE∥BC，AC=8cm，AE=3cm，求EC的长度及线段比例。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.在△ABC中，DE∥BC，AD=4cm，DB=8cm，BC=12cm，求DE的长度。2.已知△ABC中，DE∥BC，相似比为2:5，若△ADE的周长为12cm，求△ABC的周长。3.在△ABC中，点D在AB延长线上，DE∥BC交AC延长线于E，AD=9cm，BD=3cm，BC=4cm，求DE的长。4.在△ABC中，EF∥BC，分别交AB、AC于E、F，AE:EB=3:4，求EF:BC的值。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.在△ABC中，DE∥BC，DF∥AC，已知AD:DB=2:3，BC=15cm，求DE、DF的长度。2.如图，在△ABC中，MN∥BC，M在AB上，N在AC上，若AM=6cm，BM=4cm，△AMN的周长为18cm，求梯形MBCN的周长。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：相似。依据三角形相似预备定理：平行于三角形一边的直线截其他两边，所得三角形与原三角形相似。2.解：相似比=对应边之比=$$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$，即相似比为1:3。3.解：AD:DB=1:2，则AD:AB=1:3。由相似性质得AE:AC=AD:AB=1:3。4.证明：∵AB∥CD，∴∠A=∠C，∠B=∠D（两直线平行，内错角相等），根据平行线判定相似定理，△AOB∽△DOC。5.解：相似比=$$\frac{DE}{BC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$，相似比为1:3。6.解：EC=AC-AE=8-3=5cm，由平行线分线段成比例得AE:EC=3:5，AE:AC=3:8。####能力提升题解析1.解：AD=4，DB=8，AB=12。∵DE∥BC，△ADE∽△ABC，$$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$$，代入得$$\frac{DE}{12}=\frac{4}{12}$$，解得DE=4cm。2.解：相似三角形周长比等于相似比，设△ABC周长为x，$$\frac{12}{x}=\frac{2}{5}$$，解得x=30cm。3.解：AD=9，BD=3，AB=6。∵DE∥BC，△ABC∽△ADE，$$\frac{BC}{DE}=\frac{AB}{AD}$$，$$\frac{4}{DE}=\frac{6}{9}$$，解得DE=6cm。4.解：AE:EB=3:4，则AE:AB=3:7。∵EF∥BC，△AEF∽△ABC，∴EF:BC=AE:AB=3:7。####拓展应用题解析1.解：∵DE∥BC，AD:DB=2:3，∴AD:AB=2:5。△ADE∽△ABC，$$\frac{DE}{BC}=\frac{2}{5}$$，BC=15cm，解得DE=6cm。又DF∥AC，四边形DFCE为平行四边形，DF=EC。由比例得EC:AC=3:5，对应线段比例可得DF=9cm。2.解：AM=6，BM=4，AB=10，相似比=$$\frac{AM}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$。周长比等于相似比，$$\frac{C_{△AMN}}{C_{△ABC}}=\frac{3}{5}$$，$$C_{△ABC}=30$$cm。梯形MBCN周长=30-18+4+4=20cm。复习导入
观察下列一组图形，分析其中的规律.
l1
l2
l3
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
l1
l2
l3
A
B1
B2
B3
C1
C2
C3
判断△AB1C1，△AB2C2，△AB3C3之间是否相似，并说出理由.
探究新知
如图1.4-1，在△ABC 中，已知D，E分别是边AB，AC的中点，试判断△ADE 与△ABC 是否相似，并说明理由.
A
B
C
D
E
图1.4-1
议一议
A
B
C
D
E
图1.4-1
由于D，E分别是AB，AC的中点，根据三角形的中位线定理得DE∥BC，且DE= BC，从而有
∠ADE = ∠B， ∠AED = ∠C，
又∠DAE = ∠BAC，
对于△ADE 与△ABC ，由相似三角形的定义得△ADE∽△ABC.
如图1.4-2，在△ABC 中已知 D 为上任意一点.过点D作BC的平行线DE，交AC于点E. △ADE 与△ABC 是否相似？平行移动DE的位置，你的结论还成立吗？
思 考
A
B
C
D
E
图1.4-2
猜测：只要DE∥BC，就有△ADE∽△ABC.
证明：已知△ABC，过边AB上一点D作DE∥BC，交AC于点E，如图1.4-3所示.
图1.4-3
在△ADE与△ABC中，∠DAE=∠BAC.
因为 DE∥BC，
所以∠ADE=∠ABC，∠AED=∠ACB.
过点 D 作 DF∥AC，交 BC 于点 F.
由于DE∥BC，DF∥AC，根据“平行于三角形一边的直线截其他两边，所得的对应线段成比例” 得
A
B
C
D
E
F
A
B
C
D
E
F
因为四边形CFDE为平行四边形，
所以 CF=DE .
于是
综上所述，根据相似三角形定义得
△ADE∽△ABC.
由此，可得如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
由此，可得如下结论：
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.
随堂诊断
1. 如图，在△ABC中，DE∥BC，AD=2，BD=3，BC=10，则DE的长为 ( )
A. 3
B. 4
C. 5
D. 6
A
B
C
D
E
B
2. 如图，在□ ABCD中，AE∶DE = 2∶1，连接BE，交AC 于点F，AF=4，则FC = ______.
A
B
C
D
E
F
6
随堂诊断
例1 如图1.4-4， D 为△ABC的边AB的中点，过点D
作DE∥BC，交边AC于点E.延长DE至点F，使EF=DE.求证：△CFE∽△ABC.
A
D
E
B
C
F
证明：由于 DE∥BC，于是△ADE∽△ABC
所以△ADE≌△CFE.
而△ADE∽△ABC，
因此 △CFE∽△ABC.
从而
又 D 为△ABC的边 AB 的中点，则
于是 则 E 为边 AC 的中点，
即AE = CE.
又 ∠AED = ∠CEF ，DE=FE，
随堂诊断
3. 如图，E是□ ABCD的边AD上一点，且 连接BE并延长交CD的延长线于点F，若DE=3，DF=4，则平行四边形ABCD的周长为 ( )
A
B
C
D
E
F
A. 21
B. 28
C. 34
D. 42
C
1. 如图，在 Rt△ABC中，∠C=90°，正方形EFCD的三个顶点
E，F，D分别在边AB，BC，AC上.已知AC=7.5，BC=5，求正方形的边长.
解：因为∠C=90°，四边形EFCD是正方形，
所以 DE = DC，DE∥CB.
所以 △ADE∽△ACB.
所以 即
解得DE=3.
练习
A
B
C
D
E
F
所以 正方形的边长为3.
知识点1 用平行线判定三角形相似
（第1题）
1. 如图，在中，, ,
,相交于点，则与 相似的三角
形有( )
C
A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 0个
返回
（第2题）
2. 如图，在平面直角坐标系
中，为的边上一点， ，
过点作交于点，， 两点的纵
坐标分别为1，3，则点 的纵坐标为( )
C
A. 4 B. 5 C. 6 D. 7
返回
（第3题）
3. 如图，在中，是 的
中点，是上一点，且 ,连接
并延长交的延长线于点,若 ,
则 的长为( )
A
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
【点拨】解法1:如图①,过点作交于点 ,所以
,所以.因为是 的中点，所以
,所以.因为,所以 ,所以
,所以.因为,所以 .
解法2:如图②,过点作交于点.因为为 的中
点，所以为的中点.所以,所以为 的中
位线.所以.因为,所以.因为 ,
所以设,则,,所以 ,所以
.因为,所以 ,所以
.因为,所以 .
返回
（第4题）
4. 如图，是的角平分线，延长
至点，使得．若 ，
，，则 的长为___.
6
解题支架
返回
知识点2 相似三角形与平行四边形的综合应用
5. [株洲期末] 如图，在中，对角线， 相交于
点，为的中点，交于点.若，则
的长为___.
1
返回
6. 如图，在矩形中,为 上一点,
连接,交于点,过点作 于
点 .
（1）求证: ;
【证明】因为四边形是矩形,所以 .因为
,所以 ,所以，所以 ,
所以 .
（2）若,求 的长.
【解】因为,所以 .因
为四边形是矩形,所以 ，
,所以 ,所以
,所以.因为 , 所以
,所以.因为,所以 ,
所以,所以 .
返回
（第7题）
7. 如图，在梯形
中，，若 ，
，，则 ( )
D
A. B. C. D.
课堂小结
平行于三角形一边的直线与其他两边相交，截得的三角形与原三角形相似.
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
A
B
C
D
E
如图，因为DE∥BC，所以△ADE∽△ABC.

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