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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.4.3用边角关系判定两三角形相似第1章图形的相似湘教版九年级数学1.4.3用边角关系判定两三角形相似练习题###核心知识点回顾SAS相似判定定理（边角关系）：两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似。关键要点：1.必须是两组对应边成比例；2.相等的角必须是这两组边的夹角，非夹角相等不能判定相似；3.区别于全等SAS，相似只要求边成比例、角相等，无需边相等。常见易错点：两边成比例且其中一边的对角相等，三角形不一定相似，做题必须严格核对角的位置。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.在△ABC和△DEF中，∠A=∠D，$$\frac{AB}{DE}=\frac{AC}{DF}=\frac{1}{2}$$，判断两三角形是否相似并说明依据。2.判断正误：两边成比例且有一个角相等的两个三角形一定相似。3.已知△ABC中，AB=4，AC=6；△A'B'C'中，A'B'=8，A'C'=12，∠A=∠A'，求证△ABC∽△A'B'C'。4.两个三角形两组对应边比值为2:3，夹角均为60°，判断是否相似。5.在△ABC和△MNP中，AB=3，BC=5，MN=6，NP=10，∠B=∠N，求相似比。6.简述SAS相似判定的两个核心条件。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.已知△ABC中，AB=6，AC=9，△DEF中DE=4，DF=6，∠A=∠D，求证：△ABC∽△DEF。2.如图，AB、AC上分别有点D、E，AD=2，AB=6，AE=3，AC=9，∠DAE=∠BAC，证明△ADE∽△ABC。3.已知△ABC∽△A'B'C'，相似比为2:3，AB=4，AC=6，求A'B'、A'C'的长度。4.判断：两边对应成比例，且钝角相等的两个三角形是否一定相似？说明理由。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.在△ABC中，点D在AB上，点E在AC上，AD=3，DB=6，AE=4，EC=8，求证：△ADE∽△ABC。2.已知△ABC与△XYZ中，∠B=∠Y=45°，AB=5，BC=8，XY=2.5，YZ=4，求证两三角形相似，并求出相似比。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：相似。满足两边对应成比例且夹角相等（SAS），故△ABC∽△DEF。2.解：错误。相等的角必须是两组对应边的夹角，若是对角相等，无法判定相似。3.解：$$\frac{AB}{A'B'}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$，$$\frac{AC}{A'C'}=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$，两边成比例且夹角∠A=∠A'，满足SAS，两三角形相似。4.解：相似。两组对应边成比例，且夹角同为60°，符合SAS相似判定定理。5.解：$$\frac{AB}{MN}=\frac{3}{6}=\frac{1}{2}$$，$$\frac{BC}{NP}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$，夹角∠B=∠N，相似比为1:2。6.解：①两组对应边成比例；②两组边的夹角对应相等。####能力提升题解析1.证明：$$\frac{AB}{DE}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$，$$\frac{AC}{DF}=\frac{9}{6}=\frac{3}{2}$$，两边比值相等，且夹角∠A=∠D，由SAS得△ABC∽△DEF。2.证明：$$\frac{AD}{AB}=\frac{2}{6}=\frac{1}{3}$$，$$\frac{AE}{AC}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$，公共夹角∠DAE=∠BAC，满足SAS相似条件，三角形相似。3.解：相似比$$\frac{2}{3}=\frac{AB}{A'B'}=\frac{AC}{A'C'}$$，代入得A'B'=6，A'C'=9。4.解：一定相似。钝角只能为两对应边的夹角，无法作为对角，满足SAS相似判定条件。####拓展应用题解析1.证明：AD=3，AB=9；AE=4，AC=12。$$\frac{AD}{AB}=\frac{3}{9}=\frac{1}{3}$$，$$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{12}=\frac{1}{3}$$，∠A为公共夹角，两边成比例且夹角相等，故△ADE∽△ABC（SAS）。2.证明：$$\frac{AB}{XY}=\frac{5}{2.5}=2$$，$$\frac{BC}{YZ}=\frac{8}{4}=2$$，夹角∠B=∠Y=45°，满足SAS相似，两三角形相似，相似比为2:1。探究新知
A
B
C
A′
B′
C′
思 考
如图1.4-9，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使∠A'= ∠A ， △A'B'C' 与△ABC 相似吗？为什么？
图 1.4-9
思考：如果能在△A'B'C'中用平行于B'C'边的直线截得一个△A'DE，使它与△ABC全等则△A'B'C' ∽△ABC .
猜测：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
证明：
如图1.4-10在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB.
过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点 E.
因为DE∥B'C'，
所以 △A'DE∽△A'B'C'.
又 A'D=AB，
于是 A'E=AC.
又∠A' =∠A，
所以 △A'DE≌△ABC.
所以 △ABC∽△A'B'C′.
A
B
C
A′
B′
C′
图 1.4-10
D
E
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理 2
A
B
C
A′
B′
C′
∠A=∠A'
所以 △ABC∽△A'B'C′.
利用该判定定理时，相等的角必须是已知成比例的两
边的夹角，否则这两个三角形不一定相似.
例4 在 △ABC 与 △DEF 中，已知∠C =∠F=
70°，AC = 3.5cm，BC = 2.5cm，DF = 2.1cm，EF = 1.5cm. 如图1.4-11所示. 求证：△ABC∽△DEF.
A
B
C
D
E
F
证明 因为AC = 3.5cm，BC = 2.5cm，
DF=2.1cm，EF=1.5cm，
所以
从而
又∠C =∠F=70°，
因此 △ABC∽△DEF(两边成比例且夹角相等的两个三角形相似).
图 1.4-11
A
C
例5 如图1.4-12，在△ABC中，CD 是边 AB 上的
高，且 .求证：∠ACB=90°.
证明 因为 CD 是边AB上的高，
所以 ∠ADC=∠CDB=90°.
因此 △ACD∽△CBD，
从而 ∠ACD =∠CBD.
所以 ∠ACB =∠ACD+∠BCD=∠CBD+∠BCD=90°.
A
B
C
D
图 1.4-12
1.如图，BC 与 DE 相交于点 O. 问
（1）当∠B 满足什么条件时，△ABC∽△ADE？
（2）当AC∶AE 满足什么条件时，△ABC∽△ADE ？
解：（1）因为∠A=∠A ，
所以 当∠B=∠D时， △ABC∽△ADE.
随堂诊断
（2）因为∠A=∠A ，
所以 当AC∶AE=AB∶AD时， △ABC∽△ADE.
2.如图，在等腰直角三角形ABC中，顶点为C，
∠MCN=45°，试说明△BCM∽△ANC．
证明：因为△ACB是等腰直角三角形，
所以 ∠A=∠B=45°．
又因为∠MCN=45°，
∠CNA=∠B+∠BCN=45°+∠BCN，
∠MCB=∠MCN+∠BCN=45°+∠BCN．
所以∠CNA=∠MCB，
在△BCM和△ANC中，
所以△BCM∽△ANC．
∠A=∠B，∠CNA=∠MCB
3. 如图，已知△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，
∠ACB=∠EDB=90°，点E在边AC上，CB、ED交于点F.
证明：△ABE∽△CBD.
所以△ABE∽△CBD.
证明：因为△ABC、△DEB均为等腰直角三角形，
所以∠DBE=∠CBA=45°，
所以∠DBE－∠CBE=∠CBA－∠CBE.
即∠ABE=∠CBD，
又
知识点1 相似三角形的判定定理2
（第1题）
1. 如图，在 与
中，，要使 与
相似，还需满足下列条件中的
( )
C
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. [娄底模拟] 如图，在 中，
，， ．如果将
沿图示中的虚线剪开，则剪下的阴
影三角形与原三角形不相似的是( )
C
A. B. C. D.
返回
（第3题）
3. 如图，在正三角形中，， 分别在
，上，且， ，则有
( )
B
A.
B.
C.
D.
返回
4. 如图，在由小正方形组成的网格中，和 的顶
点均在格点上，要使，则点 所在的格点为
___（填“”“”“”或“ ”）.
（第4题）
返回
知识点2 相似三角形判定定理2的应用
5. 如图，在中，是 边上的高.若
，则 ____.
返回
6. 如图，在正方形中，，分别是边， 上的
点，，，连接并延长交 的延长线于
点 .
（1）求证： ；
【证明】因为四边形 为正
方形，所以 ,
.因为 ,
所以.因为, 所以易得 .所以
，即.所以 .
（2）若正方形的边长为4，则 的长为
____.
10
【点拨】因为四边形 为正方形，所
以.所以.所以 .因为正方形的
边长为4,所以.因为, ，
所以,,所以.所以.所以 .所
以 .
返回
（第7题）
7. 如图，在 中，
，，，圆 的半径为
2，为圆上一动点，连接， ，则
的最小值为( )
A
A. B. 6 C. D. 4
课堂小结
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
相似三角形的判定定理 2
A
B
C
A′
B′
C′
∠A=∠A'
所以 △ABC∽△A'B'C′.
利用该判定定理时，相等的角必须是已知成比例的两
边的夹角，否则这两个三角形不一定相似.

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