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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.4.4用三边关系判定两三角形相似第1章图形的相似湘教版九年级数学1.4.4用三边关系判定两三角形相似练习题###核心知识点回顾SSS相似判定定理（三边关系）：如果两个三角形的三组对应边成比例，那么这两个三角形相似。无需寻找角相等，仅通过边长比例即可判定相似。核心解题步骤：1.将两个三角形的边长从小到大依次排列；2.计算三组对应边的比值；3.若三组比值完全相等，则两三角形相似，比值即为相似比。易错重点：必须是三组对应边全部成比例，仅两组边成比例无法判定相似；对应边需长短对应，不可错位对比。常用结论：所有等边三角形三边比例恒定，全部互相相似；边长成比例的两个直角三角形一定相似。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.已知△ABC三边长为2、3、4，△DEF三边长为4、6、8，判断两三角形是否相似。2.判断正误：两个三角形两组对应边成比例，即可用三边关系判定相似。3.三角形三边为3、4、5，另一三角形三边为6、8、10，求两三角形的相似比。4.简述SSS判定三角形相似的完整条件。5.△ABC三边为5、7、9，△A'B'C'三边为10、14、18，判断是否相似。6.若两个三角形三边对应比值均为$$\frac{2}{3}$$，判断两三角形的关系。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.已知△ABC的三边长为4、6、8，△MNP三边长为6、9、12，求证：△ABC∽△MNP。2.一个三角形三边为2、5、6，另一个三角形三边为4、10、12，证明两三角形相似并求相似比。3.判断三边为3、5、7和6、10、13的两个三角形是否相似，说明理由。4.已知两三角形相似，一个三角形三边为3、6、7，相似比为1:2，求另一三角形三边长。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.△ABC三边长为5、12、13，△DEF三边长为10、24、26，求证两三角形相似，若△ABC周长为30，求△DEF的周长。2.已知△ABC三边AB=6，BC=8，AC=10，△A'B'C'三边A'B'=9，B'C'=12，A'C'=15，利用三边关系证明两三角形相似。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：相似。边长排序后比值：$$\frac{2}{4}=\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$$，三组边对应成比例，满足SSS相似定理。2.解：错误。三边关系判定相似，必须保证三组对应边全部成比例，两组边成比例无法判定相似。3.解：边长对应比值为$$\frac{3}{6}=\frac{4}{8}=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$，相似比为1:2。4.解：两个三角形的三组对应边全部对应成比例，则这两个三角形相似。5.解：相似。三组对应边比值均为1:2，符合SSS相似判定条件。6.解：两三角形相似，相似比为2:3。####能力提升题解析1.证明：从小到大排序边长，4、6、8和6、9、12，比值$$\frac{4}{6}=\frac{6}{9}=\frac{8}{12}=\frac{2}{3}$$，三组边成比例，故△ABC∽△MNP（SSS）。2.证明：对应边比值均为$$\frac{1}{2}$$，满足SSS相似条件，两三角形相似，相似比1:2。3.解：不相似。$$\frac{3}{6}=\frac{5}{10}\neq\frac{7}{13}$$，三组边比值不相等，不满足SSS判定条件。4.解：相似比1:2，边长同步扩大2倍，另一三角形三边长为6、12、14。####拓展应用题解析1.证明：三组对应边比值均为1:2，△ABC∽△DEF（SSS）。相似三角形周长比等于相似比，故△DEF周长=30×2=60。2.证明：将边长排序，6、8、10和9、12、15，计算比值$$\frac{6}{9}=\frac{8}{12}=\frac{10}{15}=\frac{2}{3}$$，三组对应边成比例，因此△ABC∽△A'B'C'（SSS）。探究新知
思 考
如图1.4-13，已知△ABC，然后作一个△A'B'C'，使△ABC的各边与△A'B'C'的各边对应成比例，即满足
△A'B'C'与△ABC 相似吗？为什么？
A
B
C
A′
B′
C′
图 1.4-13
思考：如果能在△A'B'C'中用平行于B' C'边的直线截得△A'DE，使它与△ABC全等，
则△A'B'C' ∽△ABC .
猜测：三边成比例的两个三角形相似.
证明：
如图1.4-14在△A'B'C'的边A'B'上取一点D，使A'D=AB.
过点D作DE∥B'C'，交A'C'于点E.
因为 DE∥B'C'，
所以 △A'DE∽△A'B'C'，
又A′D=AB，
从而 A'E=AC，DE=BC，
因此 △A'DE≌△ABC.
故 △ABC∽△A'B'C'.
A
B
C
A′
B′
C′
图 1.4-14
D
E
三边成比例的两个三角形相似
相似三角形的判定定理 3
A
B
C
A′
B′
C′
所以 △ABC∽△A'B'C′.
例6 如图1.4-15，在 Rt△ABC 和 Rt△A′B′C′中，
∠C =∠C′=90°， .求证: Rt△ABC∽Rt△A′B′C′.
A
B
C
A′
B′
C′
证明
则 AB = k·A′B′，AC=k·A′C′.
由勾股定理，得
因此 Rt△ABC∽Rt△A′B′C′(三边成比例的两个三角形相似).
图 1.4-15
例7 判断图1.4-16中的两个三角形是否相似，并说明理由.
解 在△ABC中，AB＞BC＞CA，
在△DEF中，DE＞EF＞FD.
因此△DEF∽△ABC.
A
B
C
D
E
F
3
3.5
4
2.4
1.8
2.1
图 1.4-16
随堂诊断
1. 一个三角形的三边长分别为 6cm，9cm，7.5cm，另一个三角形的三边长分别为 8cm，10cm，12cm，这两个三角形相似吗？为什么？
解：这两个三角形相似. 理由如下：
因为
所以
所以 这两个三角形相似.
知识点睛
判断三角形三边是否成比例的一般步骤：
（1）排：将三角形的边按大小顺序排列；
（2）算：分别计算三组对应边的比；
（3）判：由算得的比是否相等来判断两个三角形的三边是否成比例.
2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断
这两个三角形是否相似，并说明理由.
（1）AB＝5，AC＝3，∠A=45°，
A′B′＝10，A′C′＝6，∠A′＝45°；
解：因为AB＝A′B′ ， AC＝ A′C′， ∠A= ∠A′，
所以 △ABC∽△A′B′C′.
2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断
这两个三角形是否相似，并说明理由.
（2）∠A=38°，∠C=97°，∠A′=38°，∠B′=45°；
解：因为∠A=38°，∠C=97°，
所以 △ABC∽△A′B′C′.
所以∠B =180°－38°－97°= 45°，
所以∠A = ∠A′ ， ∠B =∠B′，
2. 在△ABC和△A′B′C′中，已知下列条件成立，判断
这两个三角形是否相似，并说明理由.
（3）AB=2，
所以 △ABC∽△A′B′C′.
解：因为
所以
3. 下列四个三角形中，与如图所示的三角形相似的是( )
A
B
C
D
D
4. 如图在△ABC中，AB = 25，BC = 40，AC = 20，在
△ADE中，AE=12，AD=15，DE=24，求证：∠EAC= ∠DAB.
证明：
因为
所以
所以△ABC ∽ △ADE
所以 ∠BAC=∠DAE.
所以 ∠BAC－ ∠BAE=∠DAE－ ∠BAE，
即 ∠EAC=∠DAB.
5. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
∠ADC = ∠ACB = 90°，E 为 AB 的中点.求证：
（1） AC2=AB·AD；
（2） △AFD∽△CFE；
证明 (1) 因为AC平分∠DAB，
所以∠DAC= ∠CAB ，
又∠ADC = ∠ACB = 90°，
所以△ADC∽△ACB.
所以 AC2 = AB·AD.
5. 如图，在四边形ABCD中，AC平分∠DAB，
∠ADC = ∠ACB = 90°，E 为 AB 的中点.求证：
（1） AC2=AB·AD；
（2） △AFD∽△CFE；
(2) 在Rt△ABC中，因为E为AB的中点，
所以 CE= BE=AE，
所以∠BAC = ∠ECA .
所以△AFD∽△CFE.
所以 CE ∥AD.
因为∠DAC = ∠CAB .
所以∠DAC = ∠ECA .
相似三角形的判定思路:
（1）已知平行于三角形一边的直线，直接找两个三角形.
（2）已知一组角相等，找另一组角相等，或找夹角的两组边成比例.
（3）已知两组边成比例，找夹角相等，或找第三组边的比等于前两组边的比，或找一对直角(要求两组边同为直角边或分别为斜边、直角边).
（4）已知等腰三角形，找顶角相等，或找一对底角相等，或找底和腰成比例.
知识点睛
知识点1 相似三角形的判定定理3
1. 若 的三边长分别是3，5，6，则与
相似的 的边长可能是( )
D
A. ，，
B. ，，
C. ，，
D. ，，
利用三边判断两个三角形是否相似的步骤:
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2. 一个三角形木架的三边长分别是 ，
， ，现要做一个与其相似的三角形木架，但是
只有长为和 的两根木条.要求以其中一根为一边，
从另一根截下两段作为另两边（允许有余料），则不同的截
法有( )
B
A. 一种 B. 两种 C. 三种 D. 四种
【点拨】长 的木条与三角形木架的最长边相等，要满
足两边之和大于第三边，则长 的木条不能作为一边.设
从长的木条上截下的两段长分别为 ，
.方法1:当长的木条与 的
一边对应时，，解得, ,
，不合题意；当长的木条与 的一边
对应时，，解得， ,
,符合题意；当长的木条与 的
一边对应时，，解得， ,
,符合题意.所以有两种不同的截法.方法2：
因为原三角形的三边长之比为 .所以
或 或
.由①得, ,
,符合题意，由②得, ,
，符合题意，由③得, ,
,不合题意,所以有两种不同的截法.
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3. 一个三角形的三边长分别为1， ，2，另一
个三角形的两边长分别为 和2，要让这两个三角形相似，
则另一个三角形的第三边长为________.
1或
本题中另一个三角形的最长边不确定，需要分类讨
论.
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知识点2 利用网格判定三角形相似
4. [常德期末] 下列四个三角形，与图中的三
角形相似的是( )
B
A. B. C. D.
本题可用“三边法”，即分别求出各个三角形的三边
长，再利用判定定理3判定是否相似，也可用“两边夹角法”.
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5. 在如图所示的象
棋盘（各个小正方形的边长均
相等）中，根据“马走日”的规
则，使“马”“车”“炮”所在位置的
②
格点构成的三角形与“帅”“相” “兵”所在位置的格点构成的三
角形相似，“马”应落在____处（填“①”“②”“③”或“④”）.
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知识点3 相似三角形的判定与性质的综合应用
6. 如图，已知 ，
，，过点作轴于点 ，
连接，，.试猜想与 的
数量关系.
【解】猜想.如图，过点 作
，交于点.易得四边形 为
矩形，所以，.由， ，
三点的坐标可以得到， ，
， ，所以
， ,
, ，所以
, ，
所以 .
在和中,因为 ,
,
,所以 ,所以
.所以
.
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课堂小结
课堂小结
相似三角形的判定定理 文字语言 两角分别相等的两个三角形相似. 两边成比例且夹角相等的两个三角形相似. 三边成比例的两个三角形相似
数学语言
图示
因为∠A=∠A'，∠B=∠B'，
所以△ABC∽△ A'B'C'.
∠A=∠A'
所以 △ABC∽△A'B'C′.
所以 △ABC∽△A'B'C′.

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