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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.6相似三角形的应用第1章图形的相似湘教版九年级数学1.6相似三角形的应用练习题###核心知识点回顾相似三角形在实际生活中主要用于不可测量物体的长度、高度、宽度、距离计算。核心原理：利用平行光线、垂直关系、标杆、镜面反射等条件构造相似三角形，根据相似三角形对应边成比例列方程求解未知量。常见四大模型：1.阳光下影子模型（平行光，同一时刻物高与影长成比例）；2.标杆测量模型（构造A型相似）；3.镜面反射模型（反射角等于入射角，构造AA相似）；4.河宽测距模型（8字型对顶相似）。解题关键：找准两组垂直或平行关系，确定相似三角形，区分对应边，准确列出比例式计算。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.同一时刻，1.5m高的竹竿影长2m，测得一棵树影长12m，求树的高度。2.利用镜面反射测楼高，人眼高1.6m，人与镜面距离2m，楼与镜面距离15m，求楼高。3.标杆高2m，标杆影长2.5m，此时一栋楼房影长20m，求楼房高度。4.判断：同一时刻、同一地点，所有竖直物体的高度与影长的比值相等。5.用8字型相似测河宽，已知近岸线段长4m，对应远岸线段长12m，已知一边长6m，求河宽。6.小明身高1.7m，站立影长3.4m，同时旗杆影长16m，求旗杆高度。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.如图，为测量池塘两端A、B的距离，取点O，连接OA、OB并延长，使OC:OA=1:2，OD:OB=1:2，测得CD=8m，求池塘宽AB。2.一人手持标杆测树高，人眼距地面1.6m，标杆高3.6m，人距标杆1m，人距树底9m，求树的高度。3.太阳光下，一栋高楼在地面影长30m，旁边2m的小树影长2.4m，求高楼的高度。4.镜面反射测量古塔高度，镜面距古塔底部24m，人站在镜前3m处，人眼高1.8m，恰好看到塔顶，求古塔高度。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.斜坡上有一棵竖直大树，同一时刻地面1m标杆影长0.8m，大树在斜坡上的影长为8m，斜坡坡度固定，利用相似求出大树的高度。2.测量河对岸电线杆高度，在岸边取两点A、B，AB=10m，分别在A、B处看电线杆顶端，构造相似三角形，测得对应比例为2:5，观测高度差为3.6m，求电线杆总高度。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：设树高x m，同一时刻物高影长成比例，$$\frac{1.5}{2}=\frac{x}{12}$$，解得x=9m。2.解：镜面反射构造相似，$$\frac{楼高}{1.6}=\frac{15}{2}$$，解得楼高=12m。3.解：设楼高x m，$$\frac{2}{2.5}=\frac{x}{20}$$，解得x=16m。4.解：正确。同一时刻平行太阳光照射，物高与影长比值恒定。5.解：由8字型相似比例1:3，得河宽=18m。6.解：$$\frac{1.7}{3.4}=\frac{h}{16}$$，解得h=8m，旗杆高8m。####能力提升题解析1.解：△OCD∽△OAB，相似比1:2，$$\frac{CD}{AB}=\frac{1}{2}$$，AB=16m。2.解：构造A型相似，有效高度差=3.6 1.6=2m，水平距离差=8m，$$\frac{2}{8}=\frac{2}{h}$$，树高出人眼16m，总树高=16+1.6=17.6m。3.解：$$\frac{2}{2.4}=\frac{H}{30}$$，解得H=25m，楼高25m。4.解：反射相似比例$$\frac{H}{1.8}=\frac{24}{3}$$，解得H=14.4m，古塔高14.4m。####拓展应用题解析1.解：物高影长比为1:0.8，斜坡影长8m，对应竖直高度$$\frac{1}{0.8}=\frac{h}{8}$$，解得h=10m，大树高10m。2.解：相似比2:5，高度差对应3份为3.6m，每份1.2m，电线杆高度对应5份，高度为6m。
回顾导入
相似三角形有哪些性质？
1.相似三角形对应角相等.
2.相似三角形对应边成比例.
3.相似三角形的周长之比等于相似比.
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
5.相似三角形对应边上的高之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
探索新知
如图1.6-1，A、B两点分别位于一个池塘的两端，小张想测量出 A、B两点间的距离，但由于受条件限制无法直接测量，请帮他想出一个可行的测量办法.
思 考
图 1.6-1
C
E
D
图 1.6-2
① 如图1.6-2，再池塘外取一点C，使它可以直接看到 A，B 两点，连接并延长AC，BC；
②在AC的延长线上取一点D，在BC的延长线上取一点E，使
(最好使k为正整数)；
③测量出DE的长度，利用相似三角形的有关知识求出A，B两点的距离.
C
E
D
图 1.6-2
如图1.6-2，如果 且测得DE的长为50m，则A，B两点的距离为多少？
因为 DE=50m，
所以 △ABC∽△DEC，
所以 AB=2DE=100m.
解：
随堂诊断
1.如图是测量河宽的示意图，AE与BC相较于点D，∠B= ∠C=90°，测得BD=120m，DC=60m，EC=50m，求河宽AB.
解：因为∠B = ∠C=90°， ∠ADB = ∠EDC，
所以 △ABD∽△ECD.
解得 AB =100(m).
答：河宽 AB 为100m.
2.如图，为了估算河的宽度，勘测人员在河的对岸选
定一个目标点A，在近岸分别取点B，D，E，C，使点A，B，D在一条直线上，且AD⊥DE，点A，C，E 也在一条直线上，且DE∥BC. 经测量BC＝25m，BD＝12m，DE＝40m，求河宽AB.
解：因为DE∥BC，
所以 △ABC ∽△ADE.
解得 AB =20(m).
答：河宽 AB 为20m.
知识点一 利用相似测量物体的宽度
问题类型 测量不能直接到达的两点间的距离(如河流宽度) 构造相似图形模型
测量数据
相关计算
求AB的长，可测量BE，CD和BC的长
已知 △ABE∽△ACD，则 所以
求AB的长，可测量BC，CD和DE的长
已知 △ABC∽△EDC，则 所以
问题类型 测量不能直接到达的两点间的距离(如河流宽度)
构造相似图形模型
测量数据
相关计算
求BC的长，可测量AD，DB和DE的长
已知 △ADE∽△ABC，则 所以
知识点一 利用相似测量物体的宽度
例 在用步枪瞄准靶心时，要使眼睛(O)、准星(A)、
靶心(B)在同一条直线上.在射击时，李明由于有轻微的抖动，致使准星 A 偏离到A'，如图1.6-3所示.已知 OA = 0.2m，OB=
50m， AA'=0.000 5m，求李明射击到的点 B' 偏离靶心B的长度BB'(近似地认为AA'//BB').
O
A
B
B'
A'
解：因为 AA′∥BB′，
所以 △OAA′∽△OBB′，
因为OA=0.2m，OB=50m，AA′=0.000 5m，
所以 BB′=0.125m.
答：李明射击到的点B′偏离靶心B的长度BB′为0.125m.
随堂诊断
3.如图，火焰的光线穿过小孔O，在竖直的屏幕上形成倒立的实像，像的长度BD=2cm，OA=60cm，OB=15cm，则火焰的高度AC为__________cm.
解：因为CA⊥AB， DB⊥AB
所以∠CAO = ∠DBO = 90°
又因为∠COA = ∠DOB，
所以 △AOC ∽△BOD.
所以 AC = 8 cm.
8
4. 如图是步枪在瞄准时的示意图，从眼睛到准星的距离
OE为80cm，步枪上的准星宽度AB为0.2cm，目标的正面宽度CD为50cm，则眼睛到目标的距离OF是多少？
解：因为 AB∥CD，
所以 OF = 20000．
又因为 OE = 80cm，AB=0.2cm，CD=50cm，
所以 △OAB ∽△OCD，
20000 cm = 200m
答：所以眼睛到目标的距离OF是200m.
5.如图，小明在测量楼高时，测出楼房落在地面上的
影长BA 为 15 m，同时测得在 A 处竖立的一根高 2m 的标杆的影长AC为3m，则楼高为_________m.
解：由同一时刻的太阳光线互相平行知AE∥CD，
D
E
所以 ∠DCA= ∠EAB，
又因为∠DAC = ∠EBA=90°，
所以 △DAC∽△EBA，
因为BA=15m， DA=2m， AC=3m，
所以 EB=10m.
10
知识点二 利用影长测量物体的高度
A
C
B
A'
B'
C'
已知参照物AC的长度，在同一时刻，测量出参照物AC的影长BC和被测物体A'C'的影长B'C'，求A'C'的高度.
∠ABC = ∠A'B'C'，
∠ACB = ∠ A'C'B' =90°，
△ABC∽△ A'B'C' ，
同一时刻的太阳光线互相平行
6. 如图，九年级(1)班课外活动小组利用标杆测量学
校旗杆AB的高度，已知标杆高度CD=3m，标杆与旗杆的水平距离BD= 15m，人的眼睛到地面的距离 EF= 1.6m，人与标杆CD 的水平距离 DF＝2m，求旗杆AB的高度.
解：设人的视线与旗杆AB的交点为H，EH与CD相交于点G
H
G
因为CD⊥FB，AB⊥FB，
所以CD∥AB.
所以△CGE∽△AHE.
解得 AH =11.9 (m)
所以 AB =AH+HB=AH+EF=11.9+1.6=13.5 (m)
答：旗杆AB的高度为 13.5m.
知识点三 利用标杆或直尺测量物体的高度
B
A
C
G
D
E
H
F
标杆
被测物体
CD∥EF
△ACG∽△ AEH，
EF = EH+AB
AG = BD
AH = BF
CG = CD－ AB
练习
1. 如图，某路口栏杆的短臂长为 1 m，长臂长为 6 m.当短臂端点下降 0.5m 时，长臂端点升高多少米？
解：因为AB∥CD，
又因为 OA = 1m，
AB = 0.5m，
OD = 6m，
所以 DC = 3m.
答：长臂端点升高3m.
A
B
O
C
D
所以△OAB∽△ODC.
2. 小红同学用自制的直角三角形纸板 DEF 测量树的
高度AB，她调整自己的位置，设法使斜边DF保持水平，并且边 DE 与点 B 在同一直线上．如图所示.已知纸板的两条直角边 DE=80cm，EF=40cm，测得AC=1.5m，CD=8m，求树高 AB.
解：因为∠DEF=∠DCB=90°，∠D=∠D，
所以 △DEF∽△DCB.
因为 DE = 80cm，EF = 40cm，
CD = 8m = 800cm，
所以 CB = 400cm =4m，
答：树高AB为5.5m.
所以 AB = 4+1.5 = 5.5 (m).
知识点1 利用相似三角形测量距离
（第1题）
1. 如图，小新
一家到古城游玩，一座古塔
的高为 ,小新在距离
古塔 的位置观看古塔时，
与手中的景点地图的古塔缩略
A
A. B. C. D.
图感觉相同, 若缩略图中的古塔 高为
,则缩略图到眼睛的距离 为( )
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（第2题）
2. [宁波模拟] 如图是一个常见
的铁夹的剖面图，， 表
示铁夹的剖面的两条边，点 是
转动轴的位置， ，垂
足为， ，
， ，
30
且铁夹的剖面图是轴对称图形，则， 两点间的距离为____
.
【点拨】如图，连接， ,延
长交于点，在
中， .
因为铁夹的剖面图是轴对称图形，
所以，即，解得 .所以
.
所以，.所以 .又因为
，所以 .
返回
知识点2 利用相似三角形测量高度
（第3题）
3. 小明设计用手电来测量某古城墙
高度，如图所示，点 处水平放置一
平面镜（平面镜的厚度忽略不计），
光线从点 出发，经平面镜反射后刚
好射到古城墙的顶端 处，已知
C
A. 9米 B. 12米 C. 15米 D. 21.6米
，，且测得米， 米，
米，那么该古城墙的高度是( )
解题支架
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4. 如图，小明在时测得某树的影长为， 时又测得该树
的影长为 .若两次日照的光线互相垂直，则树高为_____.
（第4题）
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5. [邵阳模拟] 小明想测量在太阳光下一
栋楼的高，他设计了一种测量方案如下：
如图，小明站在点 处时，刚好使自己落
在墙上的影子与这栋楼落在墙上的影子重
叠，且高度恰好相同．此时，小明测得落在墙上的影子高度
，，（点，， 在同一
直线上），已知小明的身高是 ，请你帮小明求出楼
高（结果精确到） ．
【解】过点作，分别交，
于点， ，则易知
，
， ．因
为，所以，所以 ，即
，所以 ．所以
．
答：楼高约为 ．
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（第6题）
6. 如图所示是凸透
镜成像的原理示意图，且
，光屏上显示的缩
小的实像高为 .若物体
到焦点的距离 与焦点
A
A. B. C. D.
到凸透镜中心线的距离之比为，则物体的高
为( )
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（第7题）
7. 《九章算术》是我国古
代的数学名著，书中有这样一个问题：
“今有邑方不知大小，各中开门，出北门
一百步立一表，出西门二百二十五步适
可见之，问邑方几何？”它的意思是：如
A
A. 300步 B. 260步 C. 225步 D. 185步
图，，分别是正方形的边， 的中点，
，，过点，且 步，
步，那么该正方形城邑的边长 为( )
课堂小结
1.相似三角形对应角相等.
2.相似三角形对应边成比例.
3.相似三角形的周长之比等于相似比.
4.相似三角形的面积之比等于相似比的平方.
5.相似三角形对应边上的高之比、对应边上中线之比、对应角平分线之比等于相似比.
利用相似三角形的性质解决实际问题

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