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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.1.7.2平面直角坐标系中的位似图形第1章图形的相似湘教版九年级数学1.7.2平面直角坐标系中的位似图形练习题###核心知识点回顾1.坐标位似规律（位似中心为坐标原点）：在平面直角坐标系中，如果位似变换以原点为位似中心，位似比为$$k$$，那么原图形上点$$(x,y)$$对应的位似点坐标为$$(kx,ky)$$$$(-kx,-ky)$$或。2.正负号含义：$$(kx,ky)$$为同向位似，图形与原图形在原点同侧；$$(-kx,-ky)$$为反向位似，图形与原图形在原点异侧。3.核心性质：坐标系中位似图形的相似比、周长比等于位似比$$k$$，面积比等于位似比的平方$$k^2$$。4.易错点：只有原点为位似中心可直接用坐标缩放公式，任意点为位似中心不能直接套用；位似比需区分原图形与新图形的顺序。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.已知点A(2,3)，以原点为位似中心，位似比为2，求对应位似点的坐标。2.以原点为位似中心，位似比为$$\frac{1}{3}$$，求点B(6,-3)的对应点坐标。3.判断正误：平面直角坐标系中，原点位似的坐标变换只存在一种对应位置。4.△ABC以原点为位似中心放大2倍，周长变为原来的几倍？面积变为原来的几倍？5.点P(-4,2)，以原点为位似中心，位似比为$$-\frac{1}{2}$$，求对应点坐标。6.原点位似变换中，位似比为正数和负数的区别是什么？###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.△ABC三个顶点坐标为A(1,2)、B(3,4)、C(2,5)，以原点为位似中心，位似比为3，求放大后三个顶点的坐标。2.已知点M(4,-6)经过原点位似变换后得到点M'(6,-9)，求本次变换的位似比。3.四边形ABCD以原点为位似中心，位似比为2:1缩小，原图形面积为36，求位似图形的面积。4.已知△DEF与原三角形位似，原点为位似中心，点E(5,-2)对应E'(-10,4)，求位似比。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.△ABC顶点坐标A(2,0)、B(4,4)、C(6,2)，以原点为位似中心，位似比为$$\frac{1}{2}$$得到△A'B'C'，写出各顶点坐标，并求两个三角形的周长比和面积比。2.平面内点P(3,-4)，先以原点为位似中心，位似比为2放大，再以原点为位似中心，位似比为$$-\frac{1}{3}$$变换，求最终点的坐标。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：原点位似，位似比2，对应点坐标为(4,6)或(-4,-6)。2.解：坐标同乘$$\frac{1}{3}$$，对应点坐标为(2,-1)。3.解：错误。存在同向、反向两种位似位置，对应两组坐标。4.解：周长变为原来的2倍，面积变为原来的4倍。5.解：坐标同乘$$-\frac{1}{2}$$，对应点坐标为(2,-1)。6.解：位似比为正，图形与原图形在原点同侧；位似比为负，图形与原图形在原点异侧。####能力提升题解析1.解：各坐标乘3，A'(3,6)、B'(9,12)、C'(6,15)（反向坐标亦可）。2.解：位似比$$k=6\div4=\frac{3}{2}$$，验证纵坐标$$-9\div(-6)=\frac{3}{2}$$，位似比为$$\frac{3}{2}$$。3.解：位似比$$\frac{1}{2}$$，面积比$$\frac{1}{4}$$，新图形面积$$36\times\frac{1}{4}=9$$。4.解：坐标对应翻倍且变号，位似比$$k=-2$$。####拓展应用题解析1.解：各顶点坐标乘$$\frac{1}{2}$$，A'(1,0)、B'(2,2)、C'(3,1)；周长比等于位似比$$1:2$$，面积比等于位似比平方$$1:4$$。2.解：第一次变换：(3×2,-4×2)=(6,-8)；第二次变换：$$(6\times(-\frac{1}{3}),-8\times(-\frac{1}{3}))=(-2,\frac{8}{3})$$，最终坐标为$$(-2,\frac{8}{3})$$。探究新知
思考
如图1.7-5，已知△AOB的顶点坐标 A (2，4)， O (0，0) ， B (6，0)
（1） 将△AOB的各个顶点的坐标分别扩大为原来的 2 倍，画出对应的△A'OB'.
（2） 点A'是否在直线OA上？点B'是否在直线OB上？ △AOB与△A'OB'是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？位似比是多少？
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
A
B
图 1.7-5
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
A
B
8
8
10
12
14
解：(1) 将△AOB各顶点坐标分别乘2，得点 A' ( 4，8 ) 、O(0，0)、B'(12，0)，
图 1.7-6
依次连接点A'，O，B'，得到△A'O'B'.
A' (4，8)
B' (12，0)
(2) 点A'在直线OA上，点B'在直线OB上， 于是△AOB与△A'O'B'是以坐标原点O为位似中心，位似比为 2 的位似图形.
做一做
（2） 点A'是否在直线OA上？点B'是否在直线OB上？ △AOB与△A'O'B'是位似图形吗？如果是，位似中心是哪个点？位似比是多少？
如图1.7-7，已知△AOB的顶点坐标 A (3，6)， O (0，0) ， B (6，3)
（1） 将各个顶点坐标分别缩小为原来的 画出对应的△A'O'B'.
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
A
B
图 1.7-5
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
A
B
图 1.7-5
依次连接点A'，O，B'，得到△A'O'B'.
解：(1) 将△AOB各顶点坐标分别乘 ，得A' ( 1，2 ) 、O( 0，0 ) 、B' (2，1 ) ，
A'(1，2)
B' (2，1)
(2) 点A'在直线OA上，点B'在直线OB
上， 于是△AOB与△A'O'B'是以坐标原点O为位似中心，位似比为 的位似图形.
在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点) 分别扩大或缩小至原来的k倍(k>0)，则所对应的图形与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为k.
利用上述命题，在平面直角坐标系中，多边形(有一个顶点为原点)的各个顶点的坐标分别扩大或缩小至原来的k倍(k>0) ，则所对应的多边形就是把原多边形放大或缩小至原来的k倍的图形.
例 如图1.7-8，已知□OABC的顶点坐标分别为O(0，0)，
A(3，0)，B(4，2)，C (1，2).以坐标原点О为位似中心，作□OABC的位似图形，位似比为3.
O
2
4
6
2
4
6
-2
y
8
10
12
-2
-4
-6
-8
-10
-12
-14
x
A
B
C
解：□OABC的各顶点坐标分别乘3，得O(0，0 ) ，A'( 9，0 ) ，
B' (12，6 ) ， C' ( 3，6 ) ，
C′(3，6)
B′(12，6)
A′(9，0)
依次连接点O，A' ，B' ，C' ，四边形OA'B'C'即为所求作的图形.
平移、轴对称、旋转、位似对应点坐标的变化规律
变换形式 坐标规律 变换类型
平移
轴对称 旋转 对应点的横坐标或纵坐标加上(或减去)平移的单位长度
全等变换
以 x 轴为对称轴，则对应点的横坐标相等，纵坐标互为相反数；以 y 轴为对称轴，则对应点的纵坐标相等，横坐标互为相反数.
若一个图形绕原点旋转180°，则旋转前后两个图形对应点的横坐标与纵坐标都互为相反数
平移、轴对称、旋转、位似对应点坐标的变化规律
变换形式 坐标规律 变换类型
位似
相似变换
当以原点为位似中心时 (相似比为k):
对应点
变换前：(x，y)
变换后：(kx，ky)或(－kx，－ky)
随堂诊断
1. 如图，在平面直角坐标系中，E(-6，3)， F(-1.5，-1.5)，以点 O 为位似中心，按相似比为 1∶3 把△EFO缩小，则点E 的对应点 E' 的坐标为_______________________.
即对应点 E' 的坐标为(－2，1)或(2， －1).
(－2，1)或(2， －1)
2. 如图，在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点的坐标分别为A(－3，0)、 B(－2，2)、 C(－1，0)，请按如下要求画图.
（1）以坐标原点O为旋转中心，将△ABC顺时针旋转90°得到△A1B1C1，请画出△A1B1C1；
（2）以坐标原点O为位似中心，在 x 轴下方画出△ABC的位似图形△A2B2C2，使它与△ABC的相似比为 2∶1.
B1
A1
C1
B1
C1
A1
练习
1. 如图，已知正方形 OABC 的顶点坐标为O(0，0)， A(3，0)， B(3，3)， C(0，3)，
（1）以坐标原点O为位似中心，作正方形OABC的位似图形，位似比为2；
O
2
4
6
2
4
6
-2
-4
-2
y
x
A
B
C
C′(0，6)
B′(6，6)
A′(6，0)
解：正方形 OABC的各顶点坐标分别乘2，得O(0，0 ) ，A'( 6，0 ) ，
B'(6，6 ) ， C'( 0，6 ) ，
依次连接点O，A'，B'，C'，正方形OA'B'C'即为所求作的图形.
知识点1 平面直角坐标系中位似变换的计算
（第1题）
1. 如图，在平面直角坐标系中，
已知点，，以原点 为位似
中心，相似比为2，把放大，则点 的
对应点 的坐标是( )
D
A. B. 或
C. D. 或
解题支架
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（第2题）
2. [浙江中考] 如图，五边形 ,
是以坐标原点 为位似中心的
位似图形，已知点, 的坐标分别为
,.若的长为3，则 的长
为( )
C
A. B. 4 C. D. 5
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3. 《西游记》的故事家喻户晓，特别是书中的孙
悟空嫉恶如仇斩妖除魔大快人心．在一次降妖过程中，孙悟
空念动咒语将一片树叶放大后射向妖魔．假如这个过程可以
看成是在平面直角坐标系中的一次无旋转的变化，设变化前
树叶尖部点的坐标为，在咒语中变化后得到对应点
的坐标为 ，则变化后树叶的面积变
为原来的________倍.
90 000
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（第4题）
4. 如图，矩形 的两边在坐标轴上，
为原点，以 轴上的某一点为位似中心，
作矩形，使它与矩形 位似，
且点，的坐标分别为， ，
则位似中心的坐标为______.
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知识点2 平面直角坐标系中位似变换作图
5. [衡阳模拟] 如图，已知是坐标原点，， 的坐标分别为
， ．
（1）以原点为位似中心，位似比为，在 轴的左侧，画
出放大后的图形 ；
【解】 如图.
（2）点的坐标为_________；若点在线段 上，
则点的对应点 的坐标为___________．
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6. “在平面直角坐标系中，将一个多边形每个顶点的横坐标、
纵坐标都乘同一个数 ，所对应的图形与原图形……”
请利用这一规律解答下面的问题：已知， ，且
，若，，则 的长为( )
A
A. 4 B. 6 C. 9 D. 12
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（第7题）
7. 如图，正方形的两边，
分别在平面直角坐标系的轴， 轴的正半
轴上，正方形与正方形 是以
的中点 为中心的位似图形，已知
，若点的坐标为 ，则正方
形与正方形 的相似比是__.
【点拨】延长交于点 ，如图.因为
在正方形中， ，所以
.因为点的坐标为 ，所
以.所以 .所以
.因为，所以易得 .所以
.因为正方形与正方形是以 的
中点为中心的位似图形，所以 .所以易得
.所以. 所以正方形 与
正方形的相似比是 .
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（第8题）
8. 如图，在平面直角坐标系
中，正方形 与正方形
是以原点 为位似中心
的位似图形，且位似比为 ，点
，，在轴上，延长
交射线于点，以为边作正方形 ；延长
交射线于点，以为边作正方形 ；
，按照这样的规律继续作下去.若 ，则正方形
的面积为_______．
（第8题）
【点拨】因为正方形 与
正方形是以原点 为位
似中心的位似图形，且位似比为
，所以.因为
轴， 轴，所以
.又因为
,所以
，所以
.因为 ，所
以 ，所以
，
即正方形 的边长为
.因为 ，所以
（第8题）
，即正方形 的
边长为，所以 ，
所以
.
同理可得 ，
所以 ，所以
，即正方形 的
（第8题）
边长为 ;…;可得正方形
的边长为
.所以正方形
的面积是
．
（第8题）
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课堂小结
在平面直角坐标系中，将一个多边形的顶点坐标(有一个顶点为原点) 分别扩大或缩小至原来的 k 倍(k>0)，则所对应的图形与原图形是以原点为位似中心的位似图形，位似比为 k.
在平面直角坐标系中，多边形(有一个顶点为原点)的各个顶点的坐标分别扩大或缩小至原来的 k 倍(k>0) ，则所对应的多边形就是把原多边形放大或缩小至原来的 k 倍的图形.

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