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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.1.1正弦第2章锐角的正弦、余弦、正切湘教版九年级数学2.1.1正弦练习题###核心知识点回顾1.正弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的对边与斜边的比值，叫做这个锐角的正弦。2.公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，$$\sin A=\frac{\angle A的对边}{斜边}$$。3.性质：①锐角的正弦值是一个固定正数，取值范围：$$0<\sin\alpha<1$$；②角度越大，正弦值越大；③同角、等角的正弦值相等。4.特殊值：$$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$$，$$\sin45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，求$$\sin A$$的值。2.在直角三角形中，一个锐角的对边为6，斜边为10，求这个角的正弦值。3.直接写出$$\sin30^\circ$$、$$\sin60^\circ$$的值。4.判断正误：在直角三角形中，正弦值随斜边变长而变大。5. Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5，AB=13，求$$\sin B$$的值。6.比较大小：$$\sin45^\circ$$____$$\sin60^\circ$$（填＞＜＝）###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，求$$\sin A$$和$$\sin B$$。2.已知Rt△ABC中，∠C=90°，$$\sin A=\frac{3}{5}$$，BC=6，求斜边AB的长。3.等腰三角形ABC中，AB=AC=5，BC=6，求$$\sin B$$的值。4.计算：$$\sin^230^\circ+\sin^260^\circ$$。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，已知AC=8，$$\sin A=\frac{3}{5}$$，求BC、AB的长度。2.如图，在△ABC中，AD⊥BC于D，AD=4，BD=3，AC=5，求$$\sin C$$的值。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：∠A对边是BC=4，斜边AB=5，$$\sin A=\frac{4}{5}$$。2.解：$$\sin\alpha=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$。3.解：$$\sin30^\circ=\frac{1}{2}$$，$$\sin60^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$。4.解：错误。锐角确定，正弦值固定，与边长长短无关。5.解：∠B对边是AC，由勾股定理得AC=12，$$\sin B=\frac{12}{13}$$。6.解：＜，锐角越大正弦值越大。####能力提升题解析1.解：AB=$$\sqrt{6^2+8^2}=10$$，$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$$，$$\sin B=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$。2.解：$$\sin A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{AB}=\frac{3}{5}$$，解得AB=10。3.解：过A作AD⊥BC，BD=3，AD=$$\sqrt{5^2-3^2}=4$$，$$\sin B=\frac{AD}{AB}=\frac{4}{5}$$。4.解：原式=$$(\frac{1}{2})^2+(\frac{\sqrt{3}}{2})^2=\frac{1}{4}+\frac{3}{4}=1$$。####拓展应用题解析1.解：设BC=3k，AB=5k，由勾股定理$$(5k)^2-(3k)^2=8^2$$，解得k=2，BC=6，AB=10。2.解：AD⊥BC，△ADC为直角三角形，$$\sin C=\frac{AD}{AC}=\frac{4}{5}$$。复习回顾
含 30°角的直角三角形有怎样的性质？
在直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么它所对的直角边等于斜边的一半
探究新知
任意画一个 Rt△ABC ，其中∠C=90°，∠A = 30°
(如图2.1-1所示)，则∠A的对边 BC 与斜边 AB 之间的关系为BC = AB.
A
B
C
30°
图2.1-1
由上面可以看出：在有一个锐角为30°的所有直角三角形中，不论直角三角形的大小如何，30°角的对边与斜边的比值都是常数 .
A
B
C
30°
图2.1-1
若把30°角换成任意一个锐角，角α的对边与斜边的比值是否也是一个常数？
如图2.1-2，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A =∠D=α， ∠C =∠F=90°，则 成立吗？为什么？
探究
A
B
C
α
E
F
D
α
图2.1-2
A
B
C
α
E
F
D
α
图2.1-2
因为 ∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°，
所以 △ABC∽△DEF.
在有一个锐角等于 α 的所有直角三角形中，角 α 的对边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
总结
如图2.1-3，在直角三角形中，锐角A的对边与斜边的比叫作∠A的正弦，记作sin A，即
A
B
C
斜边c
对边a
图2.1-3
1. 正弦是在直角三角形中定义的，因此在研究正弦时先要确定三角形是直角三角形.
2. 正弦反应了直角三角形边与角的关系，是两条线段的比值，没有单位.
4. sinA正弦的符号“sin” 一定要小写，且要注意“∠”的使用：sin∠A，sin∠1，sin∠ABC.
3. 当锐角的度数确定时，其正弦值也随之确定，正弦值与直角三角形的边的长短无关，即与三角形的大小无关.
注意事项
可省略
不可以省略
例1：如图2.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，
BC = 3，AB = 5.
（1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值.
解 (1) ∠A的对边 BC=3，斜边 AB = 5，
于是
A
B
C
图2.1-4
A
B
C
图2.1-4
(2) ∠B的对边是AC，根据勾股定理，得
AC2 = AB2－BC2 = 52－32 =16.
AC = 4.
因此
于是
例1：如图2.1-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，
BC = 3，AB = 5.
（1）求 sin A 的值； （2）求 sin B 的值.
随堂诊断
1. 求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值.
解：图①，在Rt△ABC中，由勾股定理得
随堂诊断
1. 求出下列直角三角形中两个锐角的正弦值.
图②，在Rt△DEF中，由勾股定理得
2. 如图，在Rt△ABC中，∠BAC=90°，
AD⊥BC 于点 D ，则下列结论不正确的是 ( ).
C
思考：
如何求 sin 60°的值？
AC2=AB2－BC2=AB2－( AB)2= AB2.
于是 AC= AB．
根据勾股定理，得
如图2.1-5，画一个 Rt△ABC ，使∠C=90°，
∠B = 60°，则∠A=30°，从而BC = AB.
A
B
C
60°
图2.1-5
根据勾股定理，得
AB2 = AC2 + BC2 = 2BC2.
议一议
如何求 sin 45°的值？小芳算出 ，你认为她的结果对吗？
如图，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=45°，则∠B=45°，从而AC=BC．
于是 ，
A
B
C
45°
三个特殊角 (30°， 45°， 60°)的正弦值
例2：计算：
解：
(sin30°)2 简记为sin230°.
随堂诊断
3.计算：
（1） sin230°+ sin260° －sin245°；
解： sin230°+ sin260° －sin245°；
（2）2sin30°+ sin260°sin245°
解： 2sin30°+ sin260°sin245°
知识点1 锐角的正弦定义
（第1题）
1. 如图，在中，于点 ，
于点，与相交于点 ，则
下列比值中不等于 的是( )
C
A. B. C. D.
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（第2题）
2. 如图，在平面直角坐标系 中，
有三点，， ，则
( )
C
A. B. C. D.
【点拨】解法1：如图,过作 ,交
的延长线于,因为, ,
,所以,所以 ,
,所以 ,
所以 .
解法2：如图，过点作，交于点 ，则易得
， ，所
以 .
当图形中没有直角时，通常要构
造所含要求的角的直角三角形，然后计算
线段的长，利用三角函数的定义解答.
. .
. .
返回
3. 在中，若的三边都缩小为原来的 ，则
的值______.（填“不变”“变大”或“变小”）
不变
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（第4题）
4. [衡阳期中] 如图，在 中，
，以点为圆心， 长为半径画弧，
交于点和点，再分别以点， 为圆
心，大于 的长为半径画弧，两弧相交于
点，作射线交于点，若 ，
，则 __.
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（第5题）
5. 宽与长的比是 的矩形
叫作黄金矩形，黄金矩形给我们以协调、
匀称的美感.如图，把黄金矩形 沿
对角线翻折，点落在点处，
交于点，则 的值为_ __.
（第5题）
【点拨】由题意可令 ，
，由翻折可知 .因为
四边形是矩形，所以 .所以
.所以 .所以
.设，则 .
在中， ，即
，解得
.所以 ，
.所以在
中， .
（第5题）
锐角三角函数值的实质就是直角
三角形中对应两边长度的比值，所以在解题
中有时需要将三角函数转化为线段比，通过
设定一个参数，并用含该参数的代数式表示
出直角三角形各边的长，再结合题中条件解
决问题.注意设而不求思想的运用，设而不
求是用参数法求 正（余）弦值的常用方法.
（第5题）
. .
. .
返回
知识点2 锐角的正弦的应用
（第6题）
6. 如图， 在由边长为1的小正方形组
成的方格纸中，它的顶点均在小正方形的
顶点处.如果的面积为10,且 ，
那么点 的位置可以在( )
D
A. 点处 B. 点处 C. 点处 D. 点 处
已知角的正弦值，通常借助正弦构造边的比，然后
直接代入计算或建立方程求未知边的长.
. .
返回
（第7题）
7. 如图，在等腰三角形 中，
，，则 的值为___.
解题支架
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知识点3 特殊角的正弦值
8. 已知在中， ，，设 ，
那么 的取值范围是( )
A
A. B.
C. D.
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9. 在中，若锐角， 满足
，则 是______三角形．
直角
返回
10. 计算：
.
【解】原式
.
返回
11. [益阳模拟] 在中， ，，， 分别是
，，的对边，且有 ，则
的值为_ ____.
返回
12. 已知直线 ，且相邻的两条平行直线间的距离
均相等，将一个含 角的直角三角板按如图放置，使其三
个顶点分别在三条平行线上，则 的值是_ ___．
课堂小结
在直角三角形中，我们把锐角A的对边与斜边的比叫作角A的正弦，记作sin A，即
A
B
C
斜边c
对边a

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