资源简介

(共54张PPT)
湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.1.2余弦第2章锐角的正弦、余弦、正切湘教版九年级数学2.1.2余弦练习题###核心知识点回顾1.余弦的定义：在直角三角形中，一个锐角的邻边与斜边的比值，叫做这个锐角的余弦。2.公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，$$\cos A=\frac{\angle A的邻边}{斜边}$$。3.增减性：锐角越大，余弦值越小；锐角越小，余弦值越大。取值范围：$$0<\cos\alpha<1$$。4.特殊角余弦值：$$\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$，$$\cos45^\circ=\frac{\sqrt{2}}{2}$$，$$\cos60^\circ=\frac{1}{2}$$。5.正余恒等式（重要）：在直角三角形中，$$\sin^2\alpha+\cos^2\alpha=1$$；互余关系：$$\sin A=\cos(90^\circ-A)$$。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，AB=5，求$$\cos A$$的值。2.直接写出$$\cos60^\circ$$、$$\cos30^\circ$$的值。3.比较大小：$$\cos30^\circ$$____$$\cos60^\circ$$。4. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，BC=5，求$$\cos B$$的值。5.判断正误：锐角越大，余弦值越大。6.已知$$\sin\alpha=\frac{3}{5}$$，求$$\cos\alpha$$的值。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，分别求$$\cos A$$、$$\cos B$$。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，$$\cos A=\frac{4}{5}$$，AC=8，求斜边AB的长。3.等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求$$\cos C$$的值。4.计算：$$\sin^245^\circ+\cos^245^\circ$$。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，$$\cos A=\frac{3}{5}$$，求AC、BC的长。2.在△ABC中，AD⊥BC，BD=1，AD=2，AC=$$\sqrt{5}$$，求$$\cos C$$的值。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：∠A邻边AC=3，斜边AB=5，$$\cos A=\frac{3}{5}$$。2.解：$$\cos60^\circ=\frac{1}{2}$$，$$\cos30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{2}$$。3.解：＞，锐角越小余弦值越大。4.解：由勾股定理AC=12，∠B邻边BC=5，$$\cos B=\frac{5}{13}$$。5.解：错误。锐角越大，余弦值越小。6.解：$$\cos\alpha=\sqrt{1-\sin^2\alpha}=\sqrt{1-\frac{9}{25}}=\frac{4}{5}$$。####能力提升题解析1.解：$$AB=\sqrt{6^2+8^2}=10$$，$$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$$，$$\cos B=\frac{BC}{AB}=\frac{8}{10}=\frac{4}{5}$$。2.解：$$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{8}{AB}=\frac{4}{5}$$，解得AB=10。3.解：过A作AD⊥BC，DC=3，$$\cos C=\frac{DC}{AC}=\frac{3}{5}$$。4.解：原式=$$(\frac{\sqrt{2}}{2})^2+(\frac{\sqrt{2}}{2})^2=\frac{1}{2}+\frac{1}{2}=1$$。####拓展应用题解析1.解：$$\cos A=\frac{AC}{AB}=\frac{3}{5}$$，AB=10，得AC=6；由勾股定理$$BC=\sqrt{10^2-6^2}=8$$。2.解：Rt△ADC中，$$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5-4}=1$$，$$\cos C=\frac{DC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$$。1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=12，BC=5.求 sin A的值.
A
B
C
解：根据勾股定理，得
AB2=AC2 + BC2= 122+52=169.
于是 AB = 13.
于是
复习回顾
探究新知
如图2.1-6，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中∠A=
∠D=α，∠C=∠F=90°，则 成立吗？为什么？
探究
A
B
C
α
E
F
D
α
图2.1-6
因为∠A =∠D=α，∠C =∠F=90°，
所以∠B = 90°－ α =∠E，
从而 sin B = sin E.
因此 .
在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的邻边与斜边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关.
总结
如图2.1-7，在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即
A
B
C
斜边c
邻边b
图2.1-7
求出下列直角三角形中两个锐角的余弦值.
解：图①，在Rt△ABC中，由勾股定理得
随堂诊断
随堂诊断
求出下列直角三角形中两个锐角的余弦值.
图②，在Rt△DEF中，由勾股定理得
回顾探究过程，想一想在直角三角形中对任意
锐角α，它的正弦值和余弦值有怎样的关系？
A
B
C
α
∠B = 90°－ α
A
B
C
α
同角三角函数之间的关系
例3：求cos30°，cos45°，cos60°的值．
解：
30° 45° 60°
sinα
cosα
特殊角的正弦值与余弦值
例4：计算：
解：
随堂诊断
计算：
解：
解：
除30°，45°，60°外，对于一般锐角α的正弦值、余弦值. 可以利用计算器来求．
sin
5
0
求 sin50°的值(精确到0.000 1)，可以在计算器上依次按键:
显示结果为0.766 044 443，因此
sin50°≈ 0.766 0.
求cos 10°36′的值(精确到0.000 1).依次按键：
1
cos
0
。,,,
3
6
=
显示结果为 0.982 935 349，
。,,,
因为 10°36′=10.6°，依次按键
1
cos
0
.
6
因此 cos 10°36′ ≈ 0.982 9.
1 °=60′
1′ = 60″
如果已知正弦值或余弦值，我们也可以利用计算器求出它的对应锐角.
例如，已知sin α=0.368 8，求对应锐角α (精确到0.1°).
sin
0
.
3
6
8
8
显示结果为21.641 629 2，因此 α ≈ 21.6°.
依次按键
SHIFT
还可以再按
。,,,
显示结果为 21°38′29.87″
sin
0
.
3
6
8
8
显示结果为21.641 629 2，因此 α ≈ 21.6°.
SHIFT
这表明锐角 α 精确到1′的结果为21°38′，
精确到1″的结果为21°38′30″.
已知 cosα=0.866 1，求对应锐角α(精确到1″)。
cos
0
.
8
6
6
1
显示结果为29.991 450 8，
SHIFT
显示结果为29°59′29.22″，因此 α ≈ 29°59′29″.
再按
。,,,
依次按键
做一做
利用计算器计算：
（1）sin40°≈ _______， cos15°≈ ________(精确到0.0001) ；
（2）sin15°30′≈__________，
cos50°48′≈ ________ （精确到0.0001）；
（3）若sin α=0.965 9，则锐角 α ≈ ________(精确到1°) ；
（4）若cos α=0.258 8，则锐角 α ≈ ____________(精确到1″).
0.6428
0.9659
75°
0.2672
0.6320
75°0′4.07″
练习
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，AB=7.
求 cos A，cos B的值．
解：
在Rt△ABC中，由勾股定理可得
BC2 = AB2－AC2= 72－52 = 24.
2.计算：
解：cos260°－ sin245°
解：1－2cos30°cos45°
（1）cos260°－ sin245°； （2）1－2cos30°cos45°.
（3）(1+cos45°) (1－cos45°).
解：(1 + cos45°) (1－cos45°).
知识点1 锐角的余弦定义
（第1题）
1. 如图，点为 边上的任意一点，过
点作于点，过点作
于点，下列表示 的值中错误的是
( )
C
A. B. C. D.
返回
（第2题）
2. 如图是一把遮阳伞的示意
图，遮阳伞立柱，垂足为 ，
.当遮阳伞撑开至如图所示的位
置时， ，则此时 的长度为
( )
B
A. B.
C. D.
返回
3. 我国汉代数学家赵爽在注解《周髀算
经》时给出“赵爽弦图”，如图所示，它是由四个全等的直角
三角形与中间的一个小正方形拼成的一个大正方形．若大正
方形的面积为25，小正方形的面积为1，则 的值为__.
返回
4. 定义等腰三角形底边与底边上高的比值为等
腰三角形顶角的值，即顶角 .在等腰三角
形中，，且，则 _ ____．
返回
知识点2 互余锐角的正、余弦的关系
5. 如果 是锐角,且,那么 ( )
B
A. B. C. D.
6. [北京四中自主招生] 若锐角满足 ，
则 的取值范围是_______________．
返回
解题支架
返回
知识点3 特殊角的余弦值
7. 在中,若（），,
都是锐角,则 的度数是( )
C
A. B. C. D.
8. 已知在中， ， ，
，那么 的值为_ __.
返回
9. 计算： .
【解】原式 .
返回
知识点4 用计算器求锐角的正、余弦值或度数
10. 利用计算器计算：
（1）精确到 ；
【解】 .
（2）精确到 ；
.
（3）若,求的度数 结果用度、分、秒表示，
且精确到 ；
.
（4）若，求的度数精确到 .
.
返回
（第11题）
11. 如图，在矩形中， ，
，点在上，把沿 折叠，
点恰好落在边上的点处，则
的值为( )
A
A. B. C. D.
返回
（第12题）
12. 如图，在 的正方形
网格中，每个小正方形的边长都为1，点 ，
，，均在格点上，，相交于点 ，
则 的值为( )
A
A. B. 1 C. D.
【点拨】如图，过点作 ，连接
，则 .由题意得
，
， ，
所以，，.所以 是
直角三角形，且 .
所以 .
在求锐角的三角函数值时，当用
定义法、参数法、构造法等都不能求出所
要求的锐角的三角函数值时，我们需转换
思维方式，将角进行转化，改求与所求锐
角相等的角的三角函数值，即等角转换法：
找相等的角的方法有很多种，可以借助平
行线、等腰三角形、三角形全等、三角形
相似等知识来寻找，要根据题目中的条件
灵活选用方法.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
返回
（第13题）
13. 如图，在平面直角
坐标系中，点， 的坐标分别为
（，0），（，1），连接，以
为边向上作等边三角形，则线段 所
在直线的函数表达式为_ _____________.
（第13题）
【点拨】过点作轴于点 ，如图.因
为点，的坐标分别为， ，
所以， .在
中，根据勾股定理，得
，所以
.所以 .在等
边三角形中， ，
，所以 .所以点
的坐标为.设直线 的表达式为
，代入点和点
（第13题）
的坐标，得解得
所以线段 所在直线的函数表达式为
.
（第13题）
返回
14. 在由10个完全相同的正三角形构成的网格图中，
， 如图所示，则 _ ___.
（第14题）
（第14题）
【点拨】如图，给图中相关点标上字母，
连接.在中， ，
，所以 .同理可得
.所以.
所以 .因
为 ， ，所以
.设正三角形的边长为 ，则易
得，，所以 .所以
.
解答本题的关键是构造一个锐
角等于 的直角三角形.
（第14题）
返回
15.
（1）通过计算（可用计算器），比较大小，并提出你的猜
想：
① ___ ；
② ___ ；
③ ___ ；
④ ___ ；
⑤ ___ .
【解】猜想：若 ，则 .
（2）如图①②，在 中，
， ，请
根据图中的提示，利用面积方法
证明你的猜想.
【证明】由题图①得
，由题图②得
. 因为 ，所以
.
返回
16.
（1）锐角的正弦值和余弦值
都随着锐角的确定而确定，也
随着其变化而变化，请利用图
①和图②探索随着锐角度数的
增大，它的正弦值和余弦值的
变化规律.
【解】在题图①中，令
，
于点，
于点，于点 ，
显然有 ，
，
，
，
，所以
，所以 .在题图②中，令
，所以
，
，
.因为
，所以
，即 .
综上可知，随着锐角度数的增大，正弦值越来越大，余弦值越来越小.
（2）根据你探索到的规律，试比较 ， ， ，
， 这些角的正弦值和余弦值的大小.
由（1）的规律可得
，
.
（3）比较大小：（在横线上填写“ ”“ ”或“ ”）若
，则 ___ ；若 ，则 ___
；若 ，则 ___ 为锐角 .
（4）利用互余的两个角的正弦和余弦的关系比较下列正弦
值和余弦值的大小： ， ， ， .
.
返回
课堂小结
在直角三角形中，锐角A的邻边与斜边的比叫作∠A的余弦，记作cos A，即
A
B
C
斜边c
邻边b

展开更多......

收起↑