资源简介

(共42张PPT)
湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.2锐角的正切第2章锐角的正弦、余弦、正切湘教版九年级数学2.2锐角的正切练习题###核心知识点回顾1.正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的对边与邻边的比值，叫做这个锐角的正切。2.公式：在Rt△ABC中，∠C=90°，$$\tan A=\frac{\angle A的对边}{\angle A的邻边}$$。3.增减性与取值：锐角越大，正切值越大；取值范围：$$\tan\alpha>0$$。4.特殊角正切值：$$\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，$$\tan45^\circ=1$$，$$\tan60^\circ=\sqrt{3}$$。5.重要区别：正切是对边:邻边（无斜边）；正弦、余弦均包含斜边，三者统称为锐角三角函数。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=4，求$$\tan A$$和$$\tan B$$的值。2.直接写出$$\tan30^\circ$$、$$\tan45^\circ$$、$$\tan60^\circ$$的值。3.比较大小：$$\tan45^\circ$$____$$\tan60^\circ$$。4. Rt△ABC中，∠C=90°，AC=5，BC=12，求$$\tan A$$的值。5.判断正误：锐角越大，正切值越小。6.已知直角三角形两直角边为6、8，求较小锐角的正切值。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1. Rt△ABC中，∠C=90°，AB=13，AC=5，求$$\tan A$$、$$\tan B$$。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，$$\tan A=\frac{3}{4}$$，BC=6，求AC的长。3.等腰△ABC中，AB=AC=5，BC=6，求$$\tan B$$的值。4.计算：$$\tan^260^\circ-4\tan45^\circ$$。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，$$\sin A=\frac{3}{5}$$，求$$\tan A$$的值。2.如图，△ABC中，AD⊥BC，AD=6，BD=4，DC=9，求$$\tan B$$、$$\tan C$$的值。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：$$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{4}{3}$$，$$\tan B=\frac{AC}{BC}=\frac{3}{4}$$。2.解：$$\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，$$\tan45^\circ=1$$，$$\tan60^\circ=\sqrt{3}$$。3.解：＜，锐角越大正切值越大。4.解：$$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{12}{5}$$。5.解：错误。锐角越大，正切值越大。6.解：短直角边6，长直角边8，较小锐角对边为6，$$\tan\alpha=\frac{6}{8}=\frac{3}{4}$$。####能力提升题解析1.解：由勾股定理得$$BC=12$$，$$\tan A=\frac{12}{5}$$，$$\tan B=\frac{5}{12}$$。2.解：$$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{6}{AC}=\frac{3}{4}$$，解得$$AC=8$$。3.解：过A作AD⊥BC，BD=3，由勾股定理得AD=4，$$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{4}{3}$$。4.解：原式$$=(\sqrt{3})^2-4\times1=3-4=-1$$。####拓展应用题解析1.解：设BC=3k，AB=5k，由勾股定理得AC=4k，$$\tan A=\frac{BC}{AC}=\frac{3k}{4k}=\frac{3}{4}$$。2.解：$$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{6}{4}=\frac{3}{2}$$，$$\tan C=\frac{AD}{DC}=\frac{6}{9}=\frac{2}{3}$$。新课导入
如图：在Rt△ABC中，
∠C＝90°，sin A=_______；
cos A=_______.
邻边b
A
B
C
斜边c
对边a
∠A的对边与邻边的比值是否也是一个常数呢？
探 究
探究新知
如图2.2-1，△ABC和△DEF都是直角三角形，其中
∠A=∠D=α，∠C =∠F =90°， 则 成立吗？为什么？
A
B
C
α
E
F
D
α
图2.2-1
因为∠A=∠D =α，∠C=∠F= 90°，
所以 △ABC∽△DEF.
A
B
C
α
E
F
D
α
图2.2-1
在有一个锐角等于α的所有直角三角形中，角α的对边与邻边的比值是一个常数，与直角三角形的大小无关．
总结
如图2.2-2，在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tan A，即
A
B
C
斜边b
对边a
图2.2-2
随堂诊断
1.求出下列直角三角形中两个锐角的正切值.
解：图①，在Rt△ABC中，
随堂诊断
1.求出下列直角三角形中两个锐角的正切值.
图②，在Rt△DEF中，由勾股定理得
如何求tan 30°，tan60°的值呢？
如图2.2-3，画一个Rt△ABC，使∠C=90°，∠A=30°.
AC2 = AB2－BC2 = (2BC)2－BC2 = 3BC2.
由此得出AC= BC．
于是
BC= AB，
∠B=60°．
思考：
A
B
C
30°
图2.2-3
根据勾股定理，得
如何求tan 30°，tan60°的值呢？
思考：
A
B
C
30°
图2.2-3
因此
试一试
求tan 45°值.
A
B
C
45°
如图，画一个Rt△ABC，使∠C = 90°，∠A=45°.
于是 AC = BC，∠B = 45°，
因此 .
现在我们把30°，45°，60°的正弦值、余弦值、正切值列表归纳如下：
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
记忆方法
如图，由锐角三角函数的定义可得30°、45°、60°角的三角函数值.
观 察：
观察表格中的数据，说说你有什么发现？
例：计算：tan45°+ tan230°tan260°.
解：tan45°+ tan230°tan260°
随堂诊断
2. 计算
除30°，45°，60°外，对于一般锐角α的正切值，也可用计算器来求.
求 25°角的正切值(精确到0.000 1).
可以在计算器上依次按键
tan
2
5
显示结果 为 0.466 307 658，
因此 tan 25°≈ 0.466 3.
如果已知正切值，也可以利用计算器求出它的对应锐角.
已知 tan α =0.839 1，要求对应锐角α (精确到1°).
tan
0
.
8
3
9
1
显示结果为 40.000 012 4，可得 α ≈ 40°.
依次按键
SHIFT
利用计算器计算：
(1) tan21°15′≈ ___________ (精确到0.000 1) ；
(2) tan89°27′≈ ___________ (精确到0.000 1)；
(3) 若tan α=1.286 8，则锐角α ≈ _______(精确到0.1°) ；
(4) 若tan α=108.572 9，则锐角α ≈ _____(精确到0.1°).
0.3889
104.1709
52.1°
89.5°
做一做
从正弦、余弦、正切的定义看到，任意给定一个锐角 α ，它的正弦sin α(或余弦cos α，或正切tanα)都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角 α 变化时，相应的sinα(cosα，tanα)的值也随之变化，习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数.
练习
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=7， BC=5，求 tan A，tan B 的值．
解：根据题意作出Rt△ABC.
A
B
C
4.计算：
（1）1+ tan260°； （2） tan30°cos30°.
解：1+ tan260°
解：tan30°cos30°
知识点1 正切的定义
1. 在中， ，，则 的值为
( )
D
A. B. C. D.
返回
2. 在中， ，如果把 的各边长都
缩小为原来的，那么 的正切值( )
A. 缩小为原来的 B. 扩大为原来的4倍
C. 缩小为原来的 D. 没有变化
D
3. [杭州高级中学自主招生] 在中， ，
，是的中点，则 ___.
返回
（第4题）
4. [苏州中考] 如图， ，
以 为圆心，2为半径画弧，分别交
，于，两点，再分别以，
为圆心，为半径画弧，两弧在
内部相交于点，作射线，连接 ，
，则 _ __.（结果保留根号）
【点拨】如图，连接，交于点 ，
由题意得 ，
，所以垂直平分 ，
所以, .因为
所以，所以 ，所以在
中， .
，所以 是等边三角形，所以
，
解四边形问题时，通常通过
作辅助线将问题转化成解直角三角形
问题，作辅助线时注意：
（1）尽量不破坏题目中原有的已知角，
特别是一些特殊角；
（2）尽量使已知的边作为构造的直角
三角形的边，否则会给解题造成麻烦
或不能求解.
. .
. .
. .
. .
. .
返回
知识点2 特殊角的正切值
5. 如图，点在 内，且到三边的距离相等.若
，则 的值为____.
（第5题）
（第5题）
【点拨】因为点到 三边的距离相等，
所以平分，平分 .所以
.
，.所以 .所以
返回
6. 计算：
（1） ；
【解】原式 .
（2） ;
原式 .
（3） .
原式 .
返回
知识点3 用计算器求锐角的正切值或度数
7. 利用计算器计算：
（1） ________精确到 ；
（2）若，则 __________ 结果用度、分、
秒表示，且精确到 .
返回
知识点4 锐角三角函数
8. 下列选项中，正确的是( )
B
A.
B. 若 为锐角，则
C. 对于锐角 ，必有
D. 在中， ，则有
返回
9. 如图，在中，，垂足为.若 ，
，，求 的值.
【解】
因为在中， ，所以.
所以.所以 .所以在
中，.所以 ，
.所以 .
返回
10. 如图，由8个全等的菱形组成的网格中，
每个小菱形的边长均为2， ，其中点,, 都
在格点上，则 ( )
B
A. B. C. D. 3
【点拨】如图，延长交格点于点 ，
连接，， 分别在格点上，依题意得
， ，所以
易得 ， .所以 .易得
，，所以 .所以
.所以
.
解答本题的关键是利用等角转
换法将求 的值转换为求
的值,然后在 中求解.
返回
（第11题）
11. [自贡中考] 如图，在平面直角坐
标系中，将平移，得到 ，
点,在坐标轴上.若 ,
,，则点 坐标为( )
B
A. B. C. D.
课堂小结
在直角三角形中，锐角A的对边与邻边的比叫作∠A的正切，记作 tan A，即
A
B
C
斜边b
对边a
图2.2-2

展开更多......

收起↑