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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.3解直角三角形第2章锐角的正弦、余弦、正切湘教版九年级数学2.3解直角三角形练习题###核心知识点回顾1.解直角三角形定义：在直角三角形中，利用已知边、角，求出所有未知边、未知角的过程，叫做解直角三角形。2.直角三角形三大关系（解题万能依据）（1）边角关系（三角函数）：$$\sin A=\frac{对边}{斜边},\cos A=\frac{邻边}{斜边},\tan A=\frac{对边}{邻边}$$（2）三边关系（勾股定理）：$$a^2+b^2=c^2$$（3）两锐角关系：$$\angle A+\angle B=90^\circ$$3.解题原则已知两边：先用勾股定理求第三边，再用三角函数求角度；已知一边一角：先求另一锐角，再用三角函数求剩余边长。4.已知条件分类：①已知两条边；②已知一条边、一个锐角。（至少需要2个条件，且至少一条边）###一、基础巩固题（每题5分，共30分）在Rt△ABC中，∠C=90°，解答下列各题：1.已知a=3，b=4，求c、∠A、∠B（角度精确到1°）。2.已知c=10，a=5，求b、∠A、∠B。3.已知∠A=30°，c=12，求a、b、∠B。4.已知∠A=45°，b=6，求a、c、∠B。5.已知b=8，∠B=60°，求a、c。6.判断：解直角三角形只需知道两个角度即可。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1. Rt△ABC中，∠C=90°，a=6，c=12，解这个直角三角形。2. Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，b=3，求三角形各边和∠B。3. Rt△ABC中，∠C=90°，a=5，b=$$5\sqrt{3}$$，求∠A、∠B、斜边c。4. Rt△ABC中，∠C=90°，$$\sin A=\frac{4}{5}$$，c=15，求a、b的长。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.在Rt△ABC中，∠C=90°，周长为24，a:b=3:4，解这个直角三角形。2.在Rt△ABC中，∠C=90°，斜边c=20，$$\tan A=\frac{3}{4}$$，求两直角边长和两个锐角度数。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：$$c=\sqrt{3^2+4^2}=5$$，$$\tan A=\frac{3}{4}$$，∠A≈37°，∠B≈53°。2.解：$$b=\sqrt{10^2-5^2}=5\sqrt{3}$$，$$\sin A=\frac{5}{10}=\frac{1}{2}$$，∠A=30°，∠B=60°。3.解：$$a=c\cdot\sin30^\circ=6$$，$$b=c\cdot\cos30^\circ=6\sqrt{3}$$，∠B=60°。4.解：∠B=45°，$$a=b=6$$，$$c=6\sqrt{2}$$。5.解：$$c=\frac{b}{\sin60^\circ}=\frac{16\sqrt{3}}{3}$$，$$a=\frac{b}{\tan60^\circ}=\frac{8\sqrt{3}}{3}$$。6.解：错误。已知两个角只能确定形状，无法确定边长，必须至少已知一条边。####能力提升题解析1.解：$$\sin A=\frac{6}{12}=\frac{1}{2}$$，∠A=30°，∠B=60°，$$b=\sqrt{12^2-6^2}=6\sqrt{3}$$。2.解：∠B=30°，$$a=b\cdot\tan60^\circ=3\sqrt{3}$$，$$c=2b=6$$。3.解：$$\tan A=\frac{5}{5\sqrt{3}}=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，∠A=30°，∠B=60°，$$c=10$$。4.解：$$a=c\cdot\sin A=12$$，$$b=\sqrt{15^2-12^2}=9$$。####拓展应用题解析1.解：设$$a=3k,b=4k$$，则$$c=5k$$。周长$$12k=24$$，$$k=2$$。得$$a=6,b=8,c=10$$，∠A≈37°，∠B≈53°。2.解：$$\tan A=\frac{a}{b}=\frac{3}{4}$$，设$$a=3k,b=4k$$，则$$c=5k=20$$，$$k=4$$。得$$a=12,b=16$$，∠A≈37°，∠B≈53°。新课导入
在图形的研究中，直角三角形是常见的三角形之一，因而人们经常会遇到求直角三角形的边长或角度等问题. 对于这类问题，我们一般利用锐角三角函数的有关知识来解决.
任意给定一个锐角 α ，它的正弦sin α(或余弦cos α，或正切tanα)都有唯一确定的值与它对应，并且当锐角 α 变化时，相应的sinα(cosα，tanα)的值也随之变化，习惯上把锐角的正弦、余弦和正切统称为锐角三角函数.
什么是锐角三角函数？
下列特殊角的三角函数值分别是什么？
α 30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα
1
说一说
探究新知
如图2.3-1，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
1.直角三角形的三边之间有什么关系？
a2+b2=c2(勾股定理)
2.直角三角形的锐角之间有什么关系？
∠A+∠B=90°
A
B
C
a
b
c
图2.3-1
如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A，∠B，∠C的对边分别记作a，b，c .
3.直角三角形的边和锐角之间有什么关系？
A
B
C
a
b
c
图2.3-1
总结
(1) 三边之间的关系a2+b2=c2(勾股定理)
(2) 两锐角之间的关系∠A+∠B=90°
(3) 边角之间的关系
B
A
C
a
b
c
例1：如图2.3-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=5. 求∠B、b、c.
解：∠B=90°－∠A=90° －30°=60°.
因为
所以
因为
所以
还可以用勾股定理求c.
A
B
C
a
b
c
30°
图2.3-2
随堂诊断
1.如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，a=12. 求∠B、b、c.
A
B
C
a
b
c
解：∠B=90°－∠A=90° －30°=60°.
因为
所以
因为
所以
在直角三角形中，除直角外有5个元素(即3条边、2个锐角)，只要知道其中的2个元素(至少有1个是边) ，就可以求出其余的 3 个未知元素.
像这样，由直角三角形中已知元素求其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
总结
A
B
C
a
b
c
例2：如图2.3-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，
cos A= ，BC=5，试求 AB 的长.
A
B
C
解：因为∠C=90°，cos A= ，
所以
设AB=x，则AC= x.
又AB2=AC2+BC2，
所以
因此
所以AB的长为 .
于是
图2.3-3
随堂诊断
A
B
C
a
b
c
2.如图，在Rt△ABC中，∠A=90°，b= ，c=
求∠B、 ∠C、 a.
解：在Rt△ABC中，由勾股定理得
因为
所以 ∠C = 30°.
所以∠B=90°－∠C=90°－30°=60°.
3.如图，在△ABC中，∠B=45°， ∠C =30°，AB= ，求AC、 BC的长.
A
B
C
解：如图，过点A作AD⊥BC于点D.
D
在Rt△ABD中， ∠B=45°，
所以 AD=BD=AB·sin B= ·sin45°=4.
在Rt△ACD中， ∠C=30°，
AC = 2AD = 8，
所以BC=BD+CD =
解直角三角形的基本类型和方法
已知条件 图示 解法步骤
两边 两直角边
斜边和一直角边
已知条件 图示 解法步骤
一边一角 一锐角和一直角边 两直角边
斜边和一直角边
已知条件 图示 解法步骤
一边一角 一锐角和一斜边
1.在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=45°，b=3 cm，求a，c.
解：∠A=90°－∠B=90°－45°= 45°.
所以 a = b = 3 cm.
因为
所以
练习
C
A
B
a
c
b
2. 在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，
c=16cm，求a，b.
解：根据题意作Rt△ABC ，
因为
所以 a=c·sin A=16·sin30°=8 cm.
又因为
所以
C
A
B
a
b
c=16
知识点1 已知两边解直角三角形
1. 在中， ，， ，则
的度数为( )
D
A. B. C. D.
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2. 在中， ，，， 所对的边分别
为，，，且， ，求这个三角形的其他元素.
【解】因为在中， ，， ，
所以 ，
所以，所以 ，所以 .
解直角三角形的原则：（1）有斜（斜边）用弦
（正弦、余弦），无斜（斜边）用切（正切）；（2）宁乘
勿除：选取便于计算的关系式，若能用乘法计算就不用除法
计算；（3）取原避中：若能用原始数据计算，应避免使用
中间数据计算.
. .
. .
. .
. .
. .
. .
返回
知识点2 已知一边及一锐角（含锐角的三角函数值）解
直角三角形
3. [长沙芙蓉区期末] 如图，在矩形 中，
点在上，连接，，且 平分
，， ， 的长
为___.
1
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4. 如图，在平面直角坐标系中， 是
直角三角形， ，点在轴上， ，
.
（1）求点 的坐标；
【解】过点作于点 ，
因为在中， ，
所以 .
所以.所以点 的坐标
为 .
（2）求 的正切值；
由（1）易知 ，
因为 ,所以 .
所以 .
（3）延长，交轴于点，则点 的坐
标为_ ______.
【点拨】因为,在 中，
，所以 .由（2）知
,所以
，所以 .所
以点的坐标为 .
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知识点3 解非直角三角形
5. 在中，， ，
，则 的长为( )
C
A. B. 2 C. D. 3
解题支架
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6. 劳动教育是德智体美劳全面发展的主要内容
之一，现有一块如图的四边形劳动教育基地，则此基地的面
积为_______ .
返回
7. 如图，已知,点在射线
上，,点在射线 上.
（1）给出条件：;; ,能
使 的长唯一确定的是______（填序号）;
②③
（2）在第（1）题中选一个使 的长唯一确定的条件，求出
此时 的长度.
【解】（选择其中一个即可）若选②,当
时，如图①,过点作 于点
.因为,所以 ,所以
,
.因为 ,所以
,易知此时点 在
点 的右侧，所以
.
若选③,当 时，如图②,过点作于点 ,
易知此时点在点 的右侧.
易知, .
因为 ,
所以,所以 .
本题中出现了，由于 所在的三角
形并非直角三角形，因此应用余弦的定义，构造出一个与之
相关的直角三角形进行求解.
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（第8题）
8. 如图，在中， ，
，的垂直平分线交
于点，连接，若 ，则
的长是( )
D
A. B. C. D.
（第8题）
【点拨】因为的垂直平分线交
于点，所以.又因为 ，
所以 .因为
，所以 .所以
.所以 .所以
.
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（第9题）
9. 如图，在平面直角坐标系中，
，， ，
，则点 的坐标为( )
B
A. B.
C. D.
10. 在中， ,是 边上的高，如
果, ,那么 的长为( )
C
A. B.
C. D.
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11. 如图，在中， , ,
于,平分,分别交,于,,为 的中
点，连接,则 的值是__.
课堂小结
解直角三角形
由直角三角形中已知元素求出其余未知元素的过程，叫作解直角三角形.
两边：两直角边或斜边和一直角边
一边一角：一锐角个位斜边、一锐角个一直角边(邻边或对边)

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