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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.4.2与俯角、仰角有关的实际问题第2章锐角的正弦、余弦、正切湘教版九年级数学与坡度、坡角有关的实际问题练习题###核心知识点回顾1.基本概念坡角：坡面与水平面的夹角，记作$$\alpha$$。坡度（坡比）：坡面的垂直高度h与水平宽度l的比值，用字母$$i$$表示。2.核心公式（必考）$$i=\frac{h}{l}=\tan\alpha$$坡度本质就是坡角的正切值，坡度没有单位，通常写成$$1:m$$的形式。3.变化规律坡度越大→$$\tan\alpha$$越大→坡角越大→坡面越陡；坡度越小→坡角越小→坡面越平缓。4.解题模型坡度问题全部依托直角三角形解题：竖直高为对边，水平宽为邻边，坡面长为斜边，结合勾股定理、三角函数求解。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.已知一斜坡的垂直高度h=2m，水平宽度l=4m，求该斜坡的坡度。2.斜坡坡度$$i=1:\sqrt{3}$$，求斜坡的坡角度数。3.判断正误：斜坡的坡度等于坡角的正弦值。4.某斜坡坡角为45°，求该斜坡的坡度。5.斜坡水平宽10m，坡度$$i=1:2$$，求斜坡的垂直高度。6.比较大小：坡度$$1:2$$____坡度$$1:3$$（坡面更陡）###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.已知斜坡坡度$$i=1:4$$，斜坡垂直高度为3m，求斜坡的水平宽度和坡面总长。2.一段山坡坡面长$$20\sqrt{5}$$ m，垂直高度20m，求该山坡的坡度与坡角。3.某水库堤坝斜坡坡度$$i=\sqrt{3}:1$$，求坡角的度数，并说明坡面陡峭程度。4.斜坡坡角为30°，求斜坡的坡度（结果保留最简根式）。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.如图，河堤横断面为直角梯形，斜坡AB的坡度$$i=1:\sqrt{3}$$，堤高BC=6m，求斜坡AB的坡面长度。2.登山斜坡路段坡度为1:3，小明沿斜坡向上行走了$$3\sqrt{10}$$ m，求小明上升的垂直高度和水平前进的距离。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：$$i=\frac{h}{l}=\frac{2}{4}=1:2$$，坡度为1:2。2.解：$$i=\tan\alpha=\frac{1}{\sqrt{3}}$$，可得$$\alpha=30^\circ$$，坡角为30°。3.解：错误。坡度是坡角的正切值，不是正弦值。4.解：$$\tan45^\circ=1$$，坡度$$i=1:1$$。5.解：设高为h，$$\frac{h}{10}=\frac{1}{2}$$，解得h=5m。6.解：＞，比值越大坡度越大，坡面越陡。####能力提升题解析1.解：由$$\frac{3}{l}=\frac{1}{4}$$，得水平宽l=12m；坡面长$$=\sqrt{3^2+12^2}=3\sqrt{17}\ \mathrm{m}$$。2.解：水平宽$$l=\sqrt{(20\sqrt{5})^2-20^2}=40\ \mathrm{m}$$，坡度$$i=20:40=1:2$$，$$\tan\alpha=\frac{1}{2}$$，坡角为$$\arctan\frac{1}{2}$$。3.解：$$\tan\alpha=\sqrt{3}$$，坡角$$\alpha=60^\circ$$，坡角大，坡面陡峭。4.解：$$\tan30^\circ=\frac{\sqrt{3}}{3}$$，坡度$$i=\sqrt{3}:3$$。####拓展应用题解析1.解：$$i=\frac{BC}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$$，BC=6m，得$$AC=6\sqrt{3}\ \mathrm{m}$$。坡面$$AB=\sqrt{6^2+(6\sqrt{3})^2}=12\ \mathrm{m}$$。2.解：设垂直高为x，水平宽为3x，由勾股定理：$$x^2+(3x)^2=(3\sqrt{10})^2$$，$$10x^2=90$$，解得x=3。垂直高度3m，水平前进距离9m。新课导入
知者乐水，仁者乐山。
衡量山“险”与“不险”的标准是什么？
探究新知
如图2.4-4，从山脚到山顶有两条路AB与BD，问哪条路比较陡？
观 察
右边的路BD 陡些
如何用数量来刻画哪条路陡呢？
图2.4-4
如图2.4-5，从坡脚点A上坡走到点B时，升高
的高度 h (即线段BC的长度)与水平前进的距离 l (即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
(坡度通常写成 1∶m 的形式)．
坡度越大，山坡越陡．
图中 ∠BAC叫作坡角 (山坡与地平面的夹角) 记作α
图2.4-5
坡度等于坡角的正切
例2：如图2.4-6，一山坡的坡度 i = 1∶2 . 小华从山
脚 A 出发， 沿山坡向上到达点 B. 已知 A，B 两点间的直线距离为 240m，问：他从点 A 到点 B 高度上升了多少米(tan26.57°≈ 0.5， sin26.57°≈ 0.447，结果精确到0.1m)？
i=1∶2
图2.4-6
解：由于坡度i =1∶2，即
又 tan26.57°≈ 0.5，于是∠BAC ≈26.57°.
在Rt△ABC中， ∠C =90°，AB=240m ，
所以
因此 BC ≈ 240×0.447 ≈ 107.3(m) ．
答：小华从点 A 到点 B 高度上升了约107.3米．
又 sin26.57°≈ 0.447，
你还可以用其他方法求出BC吗？
随堂诊断
1. 如图，拦水坝的横断面为梯形ABCD，AD ＝ 3m ，坝高AE=DF=6m，坡角α ＝ 45°，β ＝30°，求 BC 的长.
解：因为坝高 AE=DF，且AE⊥BC， DF⊥BC，
所以四边形AEFD是矩形，
所以 EF = AD =3m.
因为 坡角α ＝ 45°，β ＝30°，
所以 BE = AE =6m，
所以 BC = BE+EF+CF=
答： BC 的长为
2. 为了学生的安全，某校决定把一段如图所示的
步梯路段进行改造.已知四边形ABCD为矩形，DE=10m， 其坡度为 i1 =1∶3，将步梯DE改造为斜坡AF，其坡度为i2 =1∶4，求斜坡AF的长度. (结果精确到 0.01m 参考数据： .)
解：因为DE的坡度为i1 =1∶ ，
所以∠DEC =30°，
在Rt△DEC中，
因为四边形ABCD为矩形，
所以AB = CD = 5m.
因为斜坡AF的坡度为i2=1∶ 4，
所以BF = 4AB = 20m.
在Rt△ABF中，
答：斜坡AF的长度为 20.62m.
练习
1. 一种等腰三角形坡屋顶的设计图如图所示. 其中坡角为 α .已知屋顶的宽度 l 为 12m，坡屋顶的高度 h 为4m. 分别求屋顶斜面坡度、斜面 AB 的长度和坡角 α 的正弦值、余弦值.
【选自教材P82 练习 第1题】
A
B
C
h
l
α
A
B
C
h
l
α
解：设CB中点为D ，则由题意可知
在Rt△ABD中，
AD = h= 4 m，
由勾股定理得
D
答：屋顶斜面坡度为 ，斜面AB的长度为 ，坡角α的正弦值为 ，余弦值为 .
2.如图，在山坡上种树，要求株距(相邻两树间
的水平距离)是5.5m，测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树的坡面距离是多少(精确到0.1m)．
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，
AC=5.5，∠A=24°，
在Rt△ABC中，
所以AB=
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是6.0m．
3.如图水库大坝的横断面是梯形，坝顶宽 6m，
坝高 23 m，斜坡AB的坡度 i=1∶3，斜坡CD的坡度i =1∶2.5，求斜坡AB的坡面角α，坝底宽 AD 和斜坡 AB的长(精确到0.1m)．
E
F
解：作BE⊥AD，CF⊥AD，
在Rt△ABE和Rt△CDF中，
所以 AE=3BE=3×23=69(m)．FD=2.5CF=2.5×23=57.5(m)．
所以AD = AE+EF+FD=69+6+57.5=132.5(m)．
因为斜坡AB的坡度
所以 α ≈ 18.43°.
因为
所以
E
F
答：斜坡AB的坡面角α为18.43°，坝底宽 AD为132.5m ，斜坡 AB的长为72.7m ．
4.庞亮和李强相约周六去登山，庞亮从北坡山脚
C处出发，以24米/分钟的速度攀登，同时，李强从南坡山脚B处出发.如图，已知小山北坡的坡度i=1∶ ，山坡长为240米，南坡的坡角是45°．问李强以什么速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A？(将山路AB、AC看成线段，结果保留根号)
解：过点 A 作 AD⊥BC于点D，
在Rt△ADC中，由i=1∶ 得
所以 ∠C=30°．
所以
在Rt△ABD中，∠B=45°，
所以
答：李强以12 米/分钟的速度攀登才能和庞亮同时到达山顶A．
D
知识点1 坡度、坡角问题
1. 为贯彻“绿水青山就是金
山银山”的发展理念，某市开展植树造林
活动．如图，在坡度 的斜坡上栽
A
A. B. C. D.
两棵树，它们之间的株距（相邻两棵树间的水平距离）为
，则这两棵树之间的坡面距离为( )
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2. “周末不忙，来趟衡
阳！”小明与小亮相约到南岳衡山旅游
风景区登山，需要登顶 高的山
峰，由山底处先步行到达 处，
再由处乘坐登山缆车到达山顶处，如图，已知点， ，
，，在同一平面内，山坡的坡角为 ，缆车行驶路
线与水平面的夹角为 （换乘登山缆车的时间忽略不
计）.
（1）求登山缆车上升的高度 .
【解】如图，过点作 于点
，由题意可知， ，
， ，所以
在中，. 易得 ，所以
.所以 .
答：登山缆车上升的高度为 .
（第2题）
（2）若步行速度为，登山缆车的速度为 ，
从山底处到达山顶 处大约需要多少分钟 （结果精确到
;参考数据：， ，
）
在中， ， ，所以
，所以需要的时间
.
答：从山底处到达山顶处大约需要 .
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知识点2 方位角问题
（第3题）
3. 如图，海中有一个小岛 ，某渔
船在海中的点测得小岛 位于东北
方向上，该渔船由西向东航行一段
时间后到达点，测得小岛 位于北
偏西 方向上，再沿北偏东
方向继续航行一段时间后到达点，这时测得小岛 位于北偏
西 方向上.已知，相距.则， 间的距离为
____________. （结果保留根号）
（第3题）
【点拨】如图，过点作于点 .
由题易知 ， ，
所以 .易知
，所以
.过点作交 的延长线
于点，所以 . 所以
.所以 .又因为
，所以 .
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（第4题）
4. 如图①,两个夹角为
的共点力和的合力 ,
可以用表示力和 的大小和方向的有向
线段为邻边作平行四边形，平行四边形中
这两条邻边之间对角线的大小和方向就表
C
A. 北偏东 , B. 北偏东 ,
C. 北偏西 , D. 北偏西 ,
示合力 的大小和方向，这种方法我们常
常称为平行四边形法则.如图②,一条小河水
流的速度为 ,若要使小船的实际速度
方向为垂直于河岸方向，大小为 ,
则小船的实际行驶方向和速度为 ( )
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5. 一艘在南北航线上的测量船，于点处测得海岛在点 的
南偏东 方向上，继续向南航行到达点 ，测得
海岛在点的北偏东 方向，则海岛 离此航线的最近距
离大约是（结果精确到 ）( )
B
A. B.
C. D.
【点拨】由题意得 ，
， .如图，过点 作
于点，在上取，连接 ，
所以.所以 .所以
， .
因为 ，所以
.所以.所以 .所以
.所以
.
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6. 风电项目对于调整能源结
构和转变经济发展方式具有重要意义.某电
力部门在某地安装了一批风力发电机，某
校实践活动小组对其中一架风力发电机的
塔杆高度进行了测量，如图为测量示意图
32
（点，，， 均在同一平面内，）.已知斜坡
的长为 ，斜坡的坡角为 ，在斜坡顶部 处测得风
力发电机塔杆顶端点的仰角为 ，坡底与塔杆底的距离
，则该风力发电机塔杆的高度约为____ .
（结果精确到个位,参考数据： ，
，， ）
7. 宜宾地标广场位于三江汇合口
（左侧是岷江，右侧是金沙江，正面是长
江）.某同学在数学实践中测量长江口的宽
度，他在长江口的两岸选择两个标点， ，
在地标广场上选择两个观测点，（点，，， 在同一
水平面，且）.如图，在点处测得点 在北偏西
方向上，测得点在北偏东 方向上；在 处测
得点在北偏西 方向上，测得点 在
北偏东 方向上，测得 .求
长江口的宽度. （结果精确到 ,参考数
据：， ，
， ，
， ）
【解】如图，过点作，垂足为 ，
过点作，垂足为.因为 ，
所以.易得 .设
，在 中，
，所以 .在
中， ，所以
.在 中，
，所以 .
因为 ，所以
，解得.所以.所以长江口的宽度约为 .
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课堂小结
从坡脚点A上坡走到点B时，升高的高度h(即线段BC的长度)与水平前进的距离l(即线段AC的长度)的比叫作坡度，用字母 i 表示，即
(坡度通常写成1∶m的形式)．
图中 ∠BAC叫作坡角 (山坡与地平面的夹角) 记作α
坡度越大，山坡越陡．
坡度等于坡角的正切

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