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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.4.3与方位角有关的实际问题第2章锐角的正弦、余弦、正切湘教版九年级数学与方位角有关的实际问题练习题###核心知识点回顾1.方位角定义以正北、正南方向为基准，描述物体偏转的角度，读作：北偏东、北偏西、南偏东、南偏西多少度。2.特殊方位角东北方向=北偏东45°；西北方向=北偏西45°；东南方向=南偏东45°；西南方向=南偏西45°。3.解题核心方位角问题无直接公式，必须画图构造直角三角形；利用平行线内错角相等，把方位角转化为直角三角形内角，再用三角函数、勾股定理求解距离、速度、路程。4.常见模型双观测点、轮船航行、台风路线、海岛测距，大多为双直角三角形共边模型，通过设未知数解方程求解。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.北偏东30°的基准方向是什么？偏转角度是多少？2.说出“西北方向”对应的标准方位角度。3.判断正误：方位角可以正东、正西为基准测量。4.观测海岛在轮船南偏西45°方向，轮船在海岛的什么方向？5.某点方位角为北偏东60°，与正东方向夹角是多少度？6.东北方向与正南方向的夹角是多少度？###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.一艘轮船从A处出发，测得小岛P在北偏东60°方向，轮船向正东航行，利用方位角求出∠PAB的度数。2.在O点测得A点在北偏东30°，B点在南偏东60°，求∠AOB的度数。3.灯塔P在轮船A的北偏西45°方向，轮船向正北航行10km到达B处，此时灯塔在正西方向，求B到灯塔P的距离。4.海岛A在港口O北偏东45°方向，距离$$10\sqrt{2}$$ km，求海岛到正北、正东方向的距离。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.轮船在A处测得灯塔P在北偏东60°方向，向东航行20km到达B处，测得灯塔P在北偏东30°方向，求灯塔P到航线AB的最短距离。2.港口O有两艘船，甲船向北偏东30°方向航行，乙船向南偏东60°方向航行，两船速度相同，同时出发航行2小时后相距40km，求每艘船的航行路程。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：以正北方向为基准，向东偏转30°。2.解：西北方向=北偏西45°。3.解：错误。方位角只能以正北、正南为基准。4.解：方向相反，轮船在海岛北偏东45°方向。5.解：90° 60°=30°。6.解：45°+90°=135°。####能力提升题解析1.解：正北与正东垂直，90° 60°=30°，∠PAB=30°。2.解：30°+60°=90°，∠AOB=90°。3.解：构造等腰直角三角形，BP=AB=10km。4.解：构造等腰直角三角形，正北、正东距离均为10km。####拓展应用题解析1.解：设最短距离PC=x，由方位角得∠PAB=30°，∠PBC=60°，推导得△ABP为等腰三角形，BP=AB=20km，在Rt△PBC中，$$PC=BP\cdot\sin60^\circ=10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$$。答：灯塔到航线最短距离为$$10\sqrt{3}\ \mathrm{km}$$。2.解：由方位角得两船航行路线夹角为90°，路程相等设为x，由勾股定理：$$x^2+x^2=40^2$$，解得$$x=20\sqrt{2}\ \mathrm{km}$$。答：每艘船航行$$20\sqrt{2}\ \mathrm{km}$$。新课导入
周末小华一家人去景区游玩，他们从渡口出发，一段时间后到达一处离渡口160m的湖心岛，他们在湖心岛稍作休息后，又划船到达一处小船停泊的渡口.思考：怎么判断此时小华一家所在的地方呢？
P
出发渡口
M
湖心岛
N
停泊渡口
探究新知
方位角：正北或正南方向线与目标方向线所形成的小于90°的角称为方位角.
如图，目标方向线OA，OB，OC 的方位角分别可以表示为北偏东45°、南偏东60°，其中南偏东45° 习惯上叫作东南方向，北偏东45°习惯上叫作东北方向，北偏西45°习惯上叫作西北方向，南偏西45°习惯上叫作西南方向.
例3 如图2.4-7，一艘船以20km/h的速度向正东方
向航行，在 A 处测得灯塔 C 在北偏东45°方向上，继续航行 0.5 h 到达 B 处，这时测得灯塔 C 在北偏东30°方向上. 已知在灯塔 C 的 20km 内有暗礁．问这艘船继续向东航行是否安全？
A
C
B
45°
30°
北
东
分析：这艘船继续向东航行是否安全，取决于灯塔C到AB航线的距离是否大于20km．
图2.4-7
解：作CD⊥AB，交AB延长线于点D . 设CD=x km.
在Rt△ACD中，
因为
所以
同理，在Rt△BCD中，
因为 AB=AD－BD，
所以
解得x = .
又
因此，这艘船继续向东航行是安全的．
A
C
D
B
45°
30°
北
东
随堂诊断
1.知识改变世界，科技改变生活.导航装备的不断更新极大方便了人们的出行.如图，某校组织学生乘车到 C 地开展社会实践活动，车辆到达 A 地后，发现 C 地恰好在 A 地的正北方向，且距离 A 地 13 km，导航显示车辆应沿北偏东60°
方向行驶至 B 地，再沿北偏西 37°行驶一段距
离才能到达 C 地，求B，C两地间的距离(参考数据：
).
A
B
C
37°
60°
东
北
A
B
C
37°
60°
东
北
解：过点 B 作BD⊥AC，垂足为D ，设BD = x km.
D
在Rt△ABD中，
在Rt△BCD中，∠BCD=90°－37°=53°
因为AC = CD + AD
在Rt△BCD中，
A
B
C
37°
60°
东
北
D
答：B，C两地间的距离为 ．
2. 在一次海上救援中，两艘专业救助船 A、B 同时收到
某事故渔船 P 的求救讯息，已知此时救助船 B 在 A 的正北方向，事故渔船 P 在救助船 A 的北偏西30°方向上，在救助船 B 的西南方向上，且事故渔船 P 与救助船 A 相距 120 n mile.
（1）求收到求救讯息时事故渔船 P 与救
助船 B 之间的距离(结果保留根号)；
（2）若救助船A、B分别以40 n mile/h、
30 n mile/h的速度同时出发，匀速直
线前往事故渔船 P 处搜救，试通过计
算判断哪艘船先到达.
C
解：(1) 过点 P 作 PC⊥AB，垂足为C ，则∠PCA=∠PCB=90°.
由题意得，PA=120 n mile， ∠PAB=30°， ∠CPB=45°，
在Rt△ACP中， ∠CAP=30°，
答：收到求救讯息时事故渔船 P 与救助船 B 之间的距离为
C
(2) 因为PA=120 n mile，PB = 救助船A、
B分别以40 n mile/h、30 n mile/h的速度同时出发，
所以 救助船 A 所用的时间为
救助船 B 所用的时间为
因为 3 >
所以 救助船 B 先到达.
【选自教材P82 练习 第2题】
练习
1. 某次军事演习中，有三艘船在同一时刻向指挥所报告：A 船说 B 船在它的正东方向，C 船在它的北偏东60°方向；B船说C船在它的北偏西45°方向；C船说它到 A 船的距离比它到 B 船的距离远 40km. 求A，B两船的距离( 结果精确到0.1km).
东
60°
45°
北
B
C
A
解：作CD⊥AB于点D.
所以
又 CA－CB=40，
东
60°
45°
北
B
C
A
D
由图易知∠CAB=30°， ∠CBA=45°.
东
60°
45°
北
B
C
A
D
又因为
答：A，B两船的距离为186.2 km．
2.如图所示，某渔船上的渔民在A处看见灯塔M在
北偏东60°方向，这艘渔船以28海里/小时的速度航行30分钟到B处，在B处看见灯塔M在北偏东15°方向，此时灯塔M与渔船的距离是 ( )
A
A. 7 海里
B. 14 海里
C. 7海里
D. 14海里
60°
15°
东
M
A
北
B
分析：作BN⊥AM，垂足为N，
由题意知，在Rt△ABN中，∠BAN=30°，AB=14海里，所以BN=AB·sin30°=7(海里) ，
所以 在Rt△BMN中，∠MBN=45°，BN=7海里，
所以
故选A.
60°
15°
东
M
A
北
B
N
学而时习之
1. 如图，渔船在A处看到灯塔C在北偏东60°方向上，渔船向正东方向航行12km到达B处，在B处看到灯塔C在正北方向上，这时渔船与灯塔C的距离是多少？
B
C
60°
A
北
东
解：由图可知∠CAB=30°，∠CBA=90°，AB=12km.
在Rt△ACB中，
因为
答：这时渔船与灯塔 C 的距离是
2. 如图，塔AD的高度为30m，塔的底部 D 与桥
BC 位于同一条水平直线上.由塔顶 A 测得 B 和 C 的俯角∠EAB，∠EAC分别为60°和30°.求 BD，BC的长( ， 结果精确到0.1m)
A
B
D
E
C
解：由题意得∠BAD=90°－60°=30°，
∠CAD=90°－30°=60°，
在Rt△BAD中，
同理可得 CD = (m)，
所以 BC =CD－BD=
答：BD的长为17.3m，BC的长为34.6m.
3. 如图，有一段斜坡 BC 长为10m，坡角
∠CBD = 12°，为方便残疾人的轮椅通行，现准备把坡角降为5°.已知 sin12°≈ 0.20，tan12°≈ 0.21，tan5°≈ 0.09.
（1）求坡高 CD (结果精确到0.1m)；
（2）求斜坡新起点 A 与原起点 B 的距离(结果精确到 0.1m)；
A
B
C
D
12°
5°
A
B
C
D
12°
5°
解：(1) 在Rt△CBD中，
所以 CD=BC·sin∠CBD = 10×sin12°≈ 2.0 (m).
答：坡高 CD 为2.0m.
A
B
C
D
12°
5°
(2) 在△CAD中
所以 AB = AD－BD = 13.8 (m)
答：斜坡新起点 A 与原起点 B 的距离为13.8m.
4. 如图，MN表示水平地面，由地面上 A 处测得
山坡上 B 处的仰角是25°，由山顶C处测得B处的俯角是40°.若AB=120m，BC=180m，求山顶C处到地面MN的垂直距离(sin25°≈ 0.42，sin40°≈ 0.64，结果精确到1m).
B
M
25°
N
A
C
40°
B
M
25°
N
A
C
40°
解：如图，过点B作BD⊥MN于点D，过点C作CE⊥MN于点E，过点B作BF⊥CE于点F，则BD=EF，∠CBF=40°，
因为AB =120m，BC=180m， ∠BAD = 25°， ∠CBF=40°，
在Rt△BAD中，
D
E
F
所以 CE = CF+BD =115.2+50.4 ≈ 166 (m)
答：山顶C处到地面MN的垂直距离为166m.
5. 图(1)是一间安装有壁挂式空调的卧室的一部分，图(2)是该空调挂机的侧面示意图.已知空调挂机底部BC垂直于墙面CD，且当导风板所在直线AE与竖直线AB的夹角α为40°时，空调风刚好吹到床的外边沿E处，若AB=0.02m，BC=0.2m，床铺长DE=2.3m，求空调挂机底部位置距离床的高度CD(tan40°≈ 0.84，结果精确到0.1m).
温故而知新
D
A
C
E
B
α
（2）
（1）
D
A
C
E
B
α
（2）
解：设射线AB交DE于点F，由题意得，DF=BC=0.2m，CD = BF，
F
因为EF=DE－DF=2.3－0.2=2.1(m)，
所以 BF ≈ 2.5(m)，
所以 CD = BF≈ 2.5 (m)，
答： 空调挂机底部位置距离床的高度CD约为 2.5 m.
6. 如图(a)，A，B和C是三个小岛.一艘船由A处出发
向正东方向航行 4km 到达 B 处，然后向正北方向航行
3 km到达 C 处.
(1) 求由 A 处测得 C 处的方位角的大小(tan37°≈ 0.75，结果精确到1°).
C
A
B
北
3km
(a)
P
A
C
M
h
48°
65°
(b)
解：在Rt△ABC中，
所以 ∠CAB ≈ 37°，
答：由 A 测得C的方位角的大小为北偏东53°.
90°－37°= 53°，
6. 如图(a)，A，B和C是三个小岛.一艘船由A处出发
向正东方向航行 4km 到达 B 处，然后向正北方向航行
3 km到达 C 处.
(2) 如图(b)，直升机由 C 处飞往 A 处，其飞行高度一直保持在海平面以上h km.当直升机飞到P处时，由P处测得C 处和 A 处的俯角分别是 48°和65°.已知 A，C，P 和海平面上一点M都在同一个平面上，且 M 位于 P 的正下方，求 h(tan48°≈1.11， tan65°≈2.14，结果精确到0.1km).
C
A
B
北
3km
(a)
P
A
C
M
h
48°
65°
(b)
C
A
B
北
3km
(a)
P
A
C
M
h
48°
65°
(b)
解：由题意得，∠PAM=65°，∠PCM=48°，
在Rt△ABC中，因为AB=4 km，BC=3 km，
在Rt△APM中，
因为 AC = AM+CM，
即 5 = 0.47h+0.90h，
所以 h ≈ 3.6(km).
C
A
B
北
3km
(a)
P
A
C
M
h
48°
65°
(b)
答： h 为 3.6 km.
在Rt△PCM中，
课堂小结
名称 定义 举例
方 位 角
正北或正南方向线与目标方向线所形成的小于90°的角称为方位角.
如图，目标方向线OA，OB，
OC 的方位角分别可以表示
为北偏东45°、南偏东60°，
其中南偏东45° 习惯上叫作
东南方向，北偏东45°习惯上叫作东北方向，北偏西45°习惯上叫作西北方向，南偏西45°习惯上叫作西南方向.

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