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湘教版数学9年级上册精做课件授课教师：.班级：9年级（）班.时间：.2.4与俯角、仰角有关的实际问题第2章锐角的正弦、余弦、正切湘教版九年级数学2.4与俯角、仰角有关的实际问题练习题###核心知识点回顾1.基本概念仰角：视线在水平线上方，视线与水平线的夹角；俯角：视线在水平线下方，视线与水平线的夹角。2.解题核心思想所有仰角、俯角问题，都需要构造直角三角形，把实际角度转化为直角三角形的锐角，利用解直角三角形知识求高度、距离。3.常用解题模型（1）单直角三角形模型：一条视线、一条水平线、竖直高构成Rt△；（2）双直角三角形模型（高频考点）：同一观测点不同角度、或不同观测点测同一物体，共用竖直直角边，列方程求解。4.解题步骤画图→找仰角/俯角→确定直角三角形→选三角函数→列算式/方程求解。###一、基础巩固题（每题5分，共30分）1.从地面观测楼顶，视线与水平线夹角为35°，这个角是什么角？2.从楼顶观测地面车辆，视线与水平线夹角为28°，这个角是什么角？3.观测一棵树，仰角为60°，观测点距树底水平距离10m，求树高。4.高台高15m，从高台顶看地面一点，俯角45°，求该点到高台底部的水平距离。5.判断：俯角是视线与竖直高度的夹角。6.水平距离20m，仰角30°，求观测物体的竖直高度。###二、能力提升题（每题10分，共40分）1.小明在地面观测旗杆顶端，仰角45°，小明距旗杆底部18m，求旗杆高度（忽略身高）。2.一座楼高30m，楼顶观测地面花坛，俯角30°，求楼底到花坛的水平距离。3.在地面某处观测山顶仰角为30°，水平距离$$100\sqrt{3}$$ m，求山的高度。4.从高20m的塔顶看地面小树，俯角60°，求塔底到小树的水平距离。###三、拓展应用题（每题15分，共30分）1.（双直角三角形经典题）在地面A点观测楼顶仰角30°，向楼前进20m到达B点，仰角变为60°，求楼高。2.飞机在高空飞行，高度为6000m，观测地面目标俯角为60°，求飞机到目标的直线距离和水平距离。###参考答案与详细解析####基础巩固题解析1.解：视线在水平线上方，为仰角。2.解：视线在水平线下方，为俯角。3.解：设树高h，$$\tan60^\circ=\frac{h}{10}$$，$$h=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$$。4.解：俯角45°，对应仰角45°，等腰直角三角形，水平距离=15m。5.解：错误。俯角是视线与水平线的夹角。6.解：$$h=20\cdot\tan30^\circ=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$$。####能力提升题解析1.解：$$\tan45^\circ=1$$，楼高$$=18\times1=18\mathrm{m}$$。2.解：俯角30°，$$\tan30^\circ=\frac{30}{x}$$，解得$$x=30\sqrt{3}\ \mathrm{m}$$。3.解：$$h=100\sqrt{3}\times\tan30^\circ=100\mathrm{m}$$。4.解：$$\tan60^\circ=\frac{20}{x}$$，$$x=\frac{20\sqrt{3}}{3}\ \mathrm{m}$$。####拓展应用题解析1.解：设楼高为$$h$$，B点距楼底距离为$$x$$。$$\begin{cases}h=\sqrt{3}x\\h=\dfrac{\sqrt{3}}{3}(x+20)\end{cases}$$，解得$$x=10$$，楼高$$h=10\sqrt{3}\ \mathrm{m}$$。2.解：竖直高6000m，俯角60°，水平距离：$$\dfrac{6000}{\tan60^\circ}=2000\sqrt{3}\ \mathrm{m}$$，直线距离（斜边）：$$\dfrac{6000}{\sin60^\circ}=4000\sqrt{3}\ \mathrm{m}$$。新课导入
2026年5月11日8时13分，搭载天舟十号货运飞船的长征七号遥十一运载火箭，在中国文昌航天发射场点火发射，任务取得成功。 5月11日13时11分，成功对接于空间站天和核心舱后向端口。交会对接完成后，天舟十号将转入组合体飞行段。
天舟十号与空间站组合体在距离地球表面400km
的轨道上运行.当组合体A运行到地球表面P点的正上方时从中能够看到地球表面最远的点在Q，此时OQ⊥AQ，α为19.8°求组合体距离最远点的距离 (提示：地球半径6371km，sinα≈0.34，cosα ≈0.94 ，tanα ≈0.36，结果保留整数) .
A
O
P
Q
α
A
O
P
Q
α
解：因为 PO = 6371km，AP = 400km，
所以 AO=PO+AP=6371+400 = 6771(km)
在Rt△ABC中，
答：组合体距离最远点的距离为2302km.
在在日常生活中，我们经常会碰到一些与直角三角形有关的实际问题.对于这些问题，可用所学的解直角三角形的知识来加以解决.
探究新知
某探险者到达如图2.4-1所示的点 A 处时，他准备估算出到目的地—海拔为 3500m 的山峰顶点 B 处的水平距离.你能帮他想出一个可行的办法吗？
思考：
A
B
图2.4-1
如图2.4-2，BD 表示点 B 的海拔，AE 表示点 A 的海拔，AC⊥BD，垂足为点 C .用仪器先测量出点A 的海拔 AE，再测出仰角∠BAC，然后用锐角的正切就可求出 A，B 两点之间的水平距离 AC.
俯角
仰角
眼睛
A
C
B
D
E
图2.4-2
海平面
仰角和俯角
名称 定义 图示
仰角
俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角
俯角
仰角
眼睛
视线
视线
做一做
如图2.4-2，如果测得点 A 的海拔 AE 为 1 600m，
仰角∠BAC=40°求A，B两点的水平距离 AC (tan40°≈ 0.839 1，结果精确到 1 m).
A
C
B
D
E
海平面
因为 BD = 3 500m，AE = 1 600m，AC⊥BD，∠BAC = 40°，
所以 在Rt△ABC中，
即
从而 AC ≈ 2 264(m).
因此，A，B两点的水平距离 AC 约为2264 m.
A
C
B
D
E
海平面
例1：某测量人员准备测量上海东方明珠塔的高
度，他站在塔底部 1 000m 的 A 处，用仪器测得塔顶的仰角∠BAC为25°，仪器距地面的高度 AE 为1.7m．如图2.4-3所示.求上海东方明珠塔的高度BD(tan25°≈ 0.466 3，结果精确到 1 m).
图2.4-3
解 在Rt△ABC中，∠BAC＝25°，
AC＝1000 m，因此
又tan25°≈0.466 3，
因此，上海东方明珠塔的高度
BD ≈ 466.3 ＋ 1.7 ＝ 468 (m) ．
答：上海东方明珠塔的高度 BD 约为468 m.
从而 BC ≈ 1 000 ×0.466 3 = 466.3(m) ．
图2.4-3
利用解直角三角形知识解决实际问题的一般过程
一般过程 图示
(1)将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形，转化为解直角三角形的问题) ；
(2)根据问题中的条件，适当选用锐角三角函数等解直角三角形；
(3)得到数学问题的答案；
(4)得到实际问题的答案.
实际问题
数学问题(解直角三角形)
数学问题的解
实际问题的解
抽象
(转化)
求解 得到
得到
解决
随堂诊断
1. 如图，小强想测量楼 CD 的高度，楼在
围墙内，小强只能在围墙外测量.他无法测
得观测点到楼底的距离，于是小强在 A 处
仰望楼顶，测得仰角为37°，再往楼的方
向前进30m 至B处，测得楼顶的仰角为53°
(A，B，C 三点在一条直线上)，求楼CD 的高度(小强的身高忽略不计，结果精确到0.1m，参考数据：sin37°≈ 0.60，cos 37°≈ 0.80，tan 37°≈0.75， sin53°≈ 0.80，cos 53°≈ 0.60，
tan 53°≈1.33).
解：设楼 CD 的高度为 x m.
依题意得，有∠DAC=37°， ∠DBC=53°，
在Rt△ACD中，
因为AB = AC－BC
解得 x = 51.6
答：楼 CD 的高度为51.6m.
2. 如图，测角仪 CD 竖直放在距建筑物 AB 底部
5m的位置，在D处测得建筑物顶端A的仰角为50°.若测角仪的高度是1.5m，则建筑物AB的高度约为_______米.(结果精确到0.1，参考数据：sin50°≈ 0.77，cos 50°≈ 0.64，tan 50°≈1.19).
解：如图过点D作DE⊥AB，垂足为E.
则DE = BC = 5m， BE = DE = 1.5m，
在Rt△ADE中，
所以 AB=AE+BE≈5.95+1.5 ≈ 7.5 (m)
A
B
D
C
5m
50°
E
7.5
实际问题中常见的基本图形及相应的关系
图形 关系式 图形 关系式
AC = BC·tanα
AG = AC+BE
AC = BC·tanα
AG = AC－BE
BC= CD－BD=AD·(tanα－tanβ)
1.如图，一艘游船在离开码头 A 后，以与和河岸成 30°角的方向行驶了 500m 到达 B 处，求 B 处与河岸的距离 BC.
练习
解：在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AB=500m.
从而BC = 500×sin30°= 250(m).
答：B处与河岸的距离 BC 为 250 m．
2. 某厂家新开发的一种电动车，其大灯 A 射出
的光线 AB，AC 与地面 MN 所成的夹角∠ABN，
∠ACN 分别为8°和15°，大灯 A 与地面的距离为
1m，如图所示，求该车大灯照亮地面的宽度 BC
(tan 8°≈ 0.14，tan 15°≈ 0.27，不考虑其他因素，结果精确到0.1m) ．
解：作AD⊥MN，垂足于D.
D
如图，在Rt△ABD中，∠ABD =8°，AD =1m，
因此
从而
同理 CD ≈3.70 m.
所以 BC = BD-CD ≈ 3.4(m).
答:该车大灯照亮地面的宽度 BC 为3.4m.
知识点1 仰角的应用
（第1题）
1. 2025年11月25日12时11分，
搭载神舟二十二号飞船的长征二号 遥二十二
运载火箭在酒泉卫星发射中心点火发射.如图，
当火箭上升到点时，位于海平面 处的雷达
测得点到点的距离为，仰角为 ，则
此时火箭距海平面的高度 为( )
A
A. B.
C. D.
返回
（第2题）
2. 在课外实践活动中，某小组测量楼
房的高度（如图），他们在 处仰望
楼顶，测得仰角为 ，再往楼房的
方向前进至处，测得楼顶 的仰
角为 ，那么楼房 的高度为
__________（人的身高忽略不计，结果
保留根号）.
问题中有两个或两个以上的
直角三角形，当其中一个直角三角形不
能求解时，可考虑分别由两个直角三角
形找出含有相同未知元素的关系式，运
用方程求解.
（第2题）
返回
知识点2 俯角的应用
3. 矮寨大桥，彻底打破了湘西
交通的瓶颈，不仅创造了世界桥梁史上的
奇迹，更是见证着湘西发展历程.如图，为
测量地面与大桥一侧塔顶的距离，无人机
在空中处测得大桥塔顶顶部的仰角为， 底部 的俯角
为 ，无人机与桥面的水平距离约为 ，则大桥的
高度 为_________（结果保留根号）.
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4. 如图， 处有一垂直于地
面的标杆,热气球沿着与 的夹
角为 的方向升空，到达 处，这
时在处测得 处的正东方向200米的
处的俯角为（,,, 在同一平
141
面内）.则, 之间的距离约为_____（结果精确到1米，参考
数据： ）.
【点拨】如图，过点作 ,垂
足为.由题意得， 米，
，
，所以
.
所以在中，
（米），所以， 之间的距离约为141米.
在中，因为 ,所以 米，
异侧双直角三角形的求解
方法：
方法一：先解已知条件较多的直角
三角形，再结合已知条件解另一个
直角三角形.
方法二：用重合边表示出共直线的
直角边，根据两边关系列方程求解.
. .
. .
返回
（第5题）
5. 如图是椭圆机在使用过程中某时
刻的侧面示意图，已知手柄 滚轮连杆 ，
且，，连杆 与底座
的夹角为 ，则该椭圆机的机身高度
（点到的距离）为____________ .
（第5题）
【点拨】如图，作, ,垂足分别
为和，作于点 ，所以
， ，所
以四边形是矩形， .
所以, .因
， ，所以
，
.所以 .所
以 .
（第5题）
返回
（第6题）
6. 如图，某地政
府为解决当地农户网络销售农产品
物流不畅问题，计划打通一条东西
方向的隧道.无人机从点 的正上
方点处，沿正东方向以 的速
243
度飞行到达点处，测得的俯角为 ,然后以同样的速
度沿正东方向又飞行到达点处，测得点的俯角为 ,
则的长度约为_____.（结果精确到 ,参考数据：
,, , ）
（第6题）
【点拨】过点作 ，垂
足为 ，如图.由题意得，
， ，
,
.在
中， ,所以
,所以 .在
中， ,所以
, 所以 ,
所以的长度约为 .
（第6题）
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7. 图①是光伏发电场景，其示意图如图②，
为吸热塔，在地平线上的点， 处各安装定日镜
（介绍见图③）.绕各中心点（点， ）旋转镜面，使过中
心点的太阳光线经镜面反射后到达吸热器点 处.已知
，，，在点 观测点
的仰角为， 则的高度为___.设 ，
，则 与 的数量关系是____________.
9
课堂小结
仰角和俯角
名称 定义 图示
仰角
俯角 在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角
在视线与水平线所成的角中，视线在水平线下方的是俯角
俯角
仰角
眼睛
视线
视线

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