资源简介

河南开封市五县学校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题
一、单选题
1．已知向量，若，则（ ）
A．-9 B．9 C．-4 D．4
2．在中，若，，，则的大小为（ ）
A． B． C．或 D．或
3．“”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知函数则（ ）
A．7 B．10 C．13 D．16
5．已知，是两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题一定正确的是（ ）
A．若，，则. B．若，，则.
C．若，，，则 D．若，，则
6．在三棱柱中，平面是棱上的动点，直线与平面所成角的最大值是，点在底面内，且，则点的轨迹长是（ ）
A． B． C． D．
7．已知为坐标原点，若，，三点共线，则在上的投影向量的坐标为（ ）
A． B． C． D．
8．若数据的方差为15，数据的方差为10，则数据，的方差的最小值为（ ）
A．10 B．12 C．13 D．15
二、多选题
9．已知直线 及平面 . 下列命题中正确的是（ ）
A．若 ，则 B．若 ，则
C．若 ，则 D．若 ，则
10．“沾衣欲湿杏花雨，吹面不寒杨柳风”，惊蛰过后，杏花绽放、春风和煦，正是春游赏花的好时节.已知某旅游景区近一周的最低气温如下：9，11，14，11，10，7，8（单位：℃），则（ ）
A．这组数据的极差为7 B．这组数据的众数等于中位数
C．这组数据的下四分位数为8 D．这组数据的方差为
11．如图，在棱长为4的正方体中，，分别为，的中点，则（ ）
A．
B．平面
C．直线与平面所成角的正切值为
D．三棱锥外接球的表面积为
三、填空题
12．如图，用三个不同的元件连接成一个系统.当元件正常工作且元件至少有一个正常工作时，系统正常工作，已知正常工作的概率依次为，则系统正常工作的概率为___________.
13．如图，在正三棱柱中，各棱长均相等，点为的中点，则异面直线与所成角的余弦值为________________
14．已知函数满足对于任意的，当时，恒成立，则不等式的解集为______．
四、解答题
15．已知复数，其中，为虚数单位.
(1)若是纯虚数，求实数的值:
(2)若的实部与虚部相等，求.
16．已知函数．
(1)判断的奇偶性并证明；
(2)若函数，求的值．
17．如图，在正三棱柱中，为的中点，，.
(1)证明：；
(2)证明：平面.
18．某企业生产一种机器的固定成本（即固定投入）为0.5万元，但每生产1百台时又需可变成本（即需另增加投入）0.25万元，市场对此商品的需求量为5百台，销售收入（单位：万元）的函数为，其中x是产品生产并售出的数量（单位：百台）．
(1)把利润表示为年产量的函数．
(2)年产量为多少时，企业所得利润最大？
(3)年产量为多少时，企业才不亏本（不赔钱）？
19．已知菱形的边长为，平面外一点在平面上的射影是与的交点是等边三角形．
(1)求证：平面；
(2)求直线与平面所成角的大小；
(3)求点到平面的距离.
试卷第4页，共4页
《河南开封市五县学校联考2025-2026学年高一下学期7月期末数学试题》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 D B A C D B D B BD AC
题号 11
答案 ACD
1．D
解析：由题可知：，所以.
故选：D
2．B
解析：在中，由正弦定理得，，
所以，
由于，所以，又，所以.
3．A
解析：由于指数函数是单调递增的，所以，
所以当时，，即”是“”的充分条件；
当时，不一定成立，即”不是“”的必要条件；
综上所述，“”是“”的充分不必要条件，故A正确.
4．C
解析：由题意可得：，所以.
5．D
解析：对于A，若，，则与可以平行或相交，故A项错误；
对于B，若，，则与可以平行，异面，相交，故B项错误；
对于C，若，，，则与可以平行，异面，相交，故C项错误；
对于D，若，由线面平行的定义，存在，使得，
由得，而，得，故D项正确．
6．B
解析：连接，因为平面，所以为直线与平面所成角，
所以，又直线与平面所成角的最大值是，
所以，当且仅当取最小值时取得最大值，
因为，所以当时取最小值，此时，
所以，
又点在底面内，且，连接，
因为平面，平面，所以，
所以，
所以点在以为圆心，为半径的圆（圆弧）上，且圆心角为，
所以点的轨迹长为.
故选：B
7．D
解析：，
若，，三点共线，
则与共线，，
解得，，，
则在上的投影向量的坐标为.
故选：D.
8．B
解析：设的平均数为，的平均数为，总体的平均数为，总体的方差为，
则，
，
当且仅当时，等号成立.
所以数据，的方差的最小值为12.
9．BD
解析：对于A，当 时，可能与平行，相交（包含垂直），故A错误；
对于B，因，，则在 内存在直线，使得，从而，故B正确；
对于C，若 ，则可能与平行或异面，故C错误；
对于D，当 时，结合线面垂直性质可得，故D正确.
10．AC
解析：将原始数据按从小到大排序：，
所以这组数据的极差为，故A正确；
这组数据的众数为，这组数据的中位数为，故B不正确；
由于，所以这组数据的下四分位数为8，故C正确；
这组数据的平均数为，所以方差,故D不正确
11．ACD
解析：由题设，，则，
由平面，平面，则，
都在平面内，则平面，
平面，则，A对；
由平面，即为平面，又平面，，
所以平面，即与平面相交，B错；
由平面，则直线与平面所成角为，
又
所以，C对；
由为等腰直角三角形，且，则，故其外接圆半径，
由平面，，则三棱锥外接球半径，
所以外接球的表面积，D对.
故选：ACD.
12．
解析：因为元件至少有一个正常工作的概率为，
所以系统正常工作的概率为.
故答案为：
13．/
解析：连接，两者交于点，连接，
在正三棱柱中，可得，因点为的中点，则，
故异面直线与所成角即为直线与所成角，即或其补角.
不妨设，易得，，，
在中，由余弦定理，，
故异面直线与所成角的余弦值为．
14．
解析：由题可知，是上的增函数，则不等式等价于，即，
函数在上单调递增，且，
所以不等式的解集为，
从而不等式的解集为．
15．(1)
(2)
解析：（1）因为复数为纯虚数，
所以，
解得.
（2）根据题意得，，
解得：，
将代入复数的表达式中，得：
，
故.
16．(1)是偶函数，
证明如下：由，可得，
则的定义域为，关于原点对称．
，
所以是偶函数．
(2)2
解析：（1）略
（2）令函数，则，
由（1）可知是偶函数，
因为
所以是奇函数，从而，
．
17．(1)在正三棱柱中，平面，平面，
所以，
因为为等边三角形，为的中点，所以，
因为，、平面，所以平面，
因为平面，故.
(2)连接交于点，连接，
在三棱柱中，，，故四边形为平行四边形，
因为，则为的中点，
又因为为的中点，所以，
因为平面，平面，所以平面.
解析：（1）略
（2）略
18．(1)
(2)475台；
(3)年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
解析：（1）设利润为y万元，
得 ，
即.
（2）显然当时，企业会获得最大利润，
此时，，
，即年产量为475台时，企业所得利润最大．
（3）要使企业不亏本，则．
即 或，
得或，即．
即年产量在11台到4800台之间时，企业不亏本．
19．(1)证明：因为点在底面上的射影是与的交点，
所以平面，因为平面，所以，
又因为四边形为菱形，所以，
因为，且平面，所以平面．
(2)
(3)
解析：（1）略
（2）解：因为平面，所以直线与平面所成角，即为，
又因为菱形的边长为且，可得为等边三角形，且，
因为是等边三角形，所以，
在直角中，可得，
因为，所以.
（3）解：由题意，可得，与都是边长为是等边三角形，
所以，且，
所以，
因为，所以，
设点到平面的距离为，由，可得，
即，解得，
所以点到平面的距离为．
答案第8页，共8页
答案第7页，共8页

展开更多......

收起↑