资源简介

广东省梅州市梅县区部分学校2024年中考一模数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在中，，，若，则的长为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：cos∠A=＝，
∴AB=13，
∴BC=，
故答案为：B．
【分析】先根据cos∠A＝，求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
2．在中，，，，则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在△ABC中， ，则AB为斜边，，
∴∠A=45°，
故答案为：B．
【分析】求出∠A的三角函数值即可．
3．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：解：将抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，
故答案为：B．
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律可得答案．
4．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝ ，cosB＝ ，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵sinA＝ ，cosB ，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故答案为：C．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得∠A，∠B的度数，进而得出答案。
5．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是(　　)
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A选项，由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确，
B选项，由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，相矛盾，故本选项错误，
C选项，由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，相矛盾，故本选项错误，
D选项，由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，相矛盾，故本选项错误，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数图象和二次函数图象性质，再根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断.
6．对于抛物线，下列说法中错误的是 （　　）
A．对称轴是直线 B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最小值为
【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：对于抛物线，抛物线开口向下，
A. 对称轴是直线，故该选项正确，不符合题意；
B. 顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，函数y的最大值为，故该选项不正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可．
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与运动时间秒之间的解析式是，则小球到达最高高度时，运动的时间是 （　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，0≤t≤6，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动3秒时，小球最高，
故答案为：C．
【分析】求出h有最大值时t的值即可．
8．若一次函数的图象与轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为 （　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
∴﹣2a+b=0，即b=2a．
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线，
故答案为：C．
【分析】把（-2，0）代入一次函数解析式求出b=2a，然后根据二次函数的对称轴公式计算即可．
9．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：；；；当时，随的增大而增大．其中正确的有 （　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：当时，，故①错误；
∵对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴，，
∴，
根据题意得：抛物线过点（-1，0），
∴当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线与y轴于正半轴，
∴c>0，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
所以正确的有②③，共2个，
故答案为：C．
【分析】根据函数图象得时，，即，①错误；根据抛物线的对称轴和开口方向求出，再根据时，，可得，②正确；根据c>0，可得，③正确；根据函数图象可直接得出④错误．
10．如图，抛物线：与轴于点、点在点的左侧，与轴交于点将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为若四边形为矩形，则，应满足的关系式为 （　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
∵，
∴x＝±，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB＝2，BC＝，
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，
∴，
∴，
∴ab＝﹣3，
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3，
故答案为：B．
【分析】表示出AB和BC，根据矩形的判定可得AB=BC，进而可求出a、b满足的关系．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB=　 　．
【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由∠C=90°，若sinA= ，
得cosB=sinA= ，
故答案为： ．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
12．抛物线的顶点坐标是　 　．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
【分析】将二次函数解析式化成顶点式即可得出答案．
13．已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式可设为，
∵抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，
∴，
∴所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】先设顶点式，再根据形状、开口方向均与相同可得，然后可得答案．
14．若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为　 　．
【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据抛物线与轴有两个交点，可得，即可求出的取值范围．
15．已知抛物线，经过，，，四点，则与的大小关系是　 　填“”、“”或“”．
【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由抛物线经过知抛物线对称轴为直线，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴距离越小，对应函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：＜．
【分析】根据抛物线的对称性求出对称轴，再根据抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴距离越小，对应函数值越大得出答案．
16．如图，在中，，，于点，，则　 　．
【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90，
∵cosB＝，
设BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴，
∴BE＝x，CE＝x，
∴＝，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则cosB＝，设BD＝5x，AB＝13x，利用勾股定理求出AD＝12x，证明△ABD∽△CBE，根据相似三角形的性质求出BE＝x，CE＝x，进而计算即可．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：．
【答案】解：
．
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则计算即可．
18．如图，在中，，，，求的长．
【答案】解：如图所示，过点作于，
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点C作于D，解求出，再解求出，然后利用勾股定理计算即可．
19．如图，抛物线交轴于，两点，顶点是．
（1）求点，的坐标；
（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标．
【答案】（1）解：设，则，
，
设，则，
，；
（2）解：，
即，
点的纵坐标为，
当时，代入抛物线有：，得：．
当时，代入抛物线有：，得：．
所以点的坐标为：，，，．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把代入可得C的坐标，把代入可得A，B的坐标；
（2）求出，设，根据列方程求出x即可．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sin B= ，AD=1.
（1）求BC的长；
（2）求tan ∠DAE的值.
【答案】（1）解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1.在△ADB中，∵∠ADB=90°，sin B= ，AD=1，∴AB= =3，∴BD= =2 ，
∴BC=BD+DC=2 +1.
（2）解：∵AE是BC边上的中线，∴CE= BC= + ，∴DE=CE-CD= - ，
∴tan ∠DAE= = - .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ADC中，由∠C=45°，AD=1，可得DC=AD=1.在Rt△ADB中，由sin B= ，AD=1，可求得AB，再由勾股定理可得BD，从而BC=BD+DC；
（2）在Rt△ADE中，tan∠DAE=，而AD=1，DE=CE-CD=BC-CD，代入BC和CD的值即可求出DE，从而得到tan∠DAE。
21．数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点，，在同一直线上，则该建筑物的高度约为多少？精确到参考数据：，，，
【答案】解：在中，，
∴，
在中，，，
∴，
解得：m
答：该建筑物的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在中，解直角三角形求出，再在中，解直角三角形求出即可．
22．如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由降为，已知原滑板的长为米，点、、在同一水平地面上．
（1）求改善后滑板的长为多少米？
（2）若滑板的正前方能有米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．
参考数据：，，，以上结果均保留到小数点后两位．
【答案】（1）解：在中，，，
∴，
，
在中，，
∴（米），
∴改善后滑板的长为米；
（2）解：这样改造能行，
理由：在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴这样改造是可行的．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在中，解直角三角形求出，然后在中，解直角三角形求出即可；
（2）解直角三角形求出的长，即可计算出的长，进而可求出改造后滑板前方的空地长，然后可得答案．
23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本
（1）求每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
【答案】（1）解：
所以；
（2）解：
，
抛物线开口向下．
，对称轴是直线，
当时，；
即销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=(售价-成本)×销售量，列出函数关系式即可；
(2)把(1)中的二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
24．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这个抛物线的函数解析式；
（2）求直线的函数解析式；
（3）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
【答案】（1）解：将点，代入中，
，
解得．
；
（2）解：令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的函数解析式为；
（3）解：存在点，使的面积最大，
如图，过点作轴交于点，
设，则，
，
，
点是直线上方，
，
当时，有最大值，
此时
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出C点坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）过点作轴交于点，设，则，然后求出△ACP的面积关于ｔ的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出最值即可．
25．如图，抛物线经过坐标原点O与点，正比例函数与抛物线交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作轴于点N，交于点M，是否存在点P，使得与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，①如图1，过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时，
将代入得：k=，
∵lOB，
∴设直线l解析式为：，
将代入得：，，
∴直线l解析式为：，
则：，
解得：x=或x=3（舍去），
将x=代入，得y=，
即P点坐标为；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时，
∴，
设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为：，即MN=
∴，
解得：t=2，
检验：当t=2时，，，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入，得y=-2，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时△OMN∽△APN，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用l∥OB，设直线l解析式为：，将点A的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到直线l的函数解析式，将其函数解析式和抛物线联立方程组，解方程组求出方程组的解，即可得到点P的坐标；②如图2，当∠OMN=∠PAN，此时△OMN∽△PAN，利用相似三角形的对应边成比例可得到，利用抛物线的解析式设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，同时可表示出MN的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值，然后求出点P的坐标；综上所述可得到点P的坐标.
1 / 1广东省梅州市梅县区部分学校2024年中考一模数学试卷
一、选择题：本题共10小题，每小题3分，共30分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．如图，在中，，，若，则的长为 （　　）
A． B． C． D．
2．在中，，，，则的度数为 （　　）
A． B． C． D．
3．将抛物线向左平移个单位，再向下平移个单位，得到的抛物线是 （　　）
A． B． C． D．
4．△ABC中，∠A，∠B都是锐角，且sinA＝ ，cosB＝ ，则△ABC的形状是（　　）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．锐角三角形或钝角三角形
5．在同一直角坐标系中，函数y＝ax2+b与y＝ax+b(a，b都不为0)的图象的相对位置可以是(　　)
A． B．
C． D．
6．对于抛物线，下列说法中错误的是 （　　）
A．对称轴是直线 B．顶点坐标是
C．当时，随的增大而减小 D．当时，函数的最小值为
7．从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度米与运动时间秒之间的解析式是，则小球到达最高高度时，运动的时间是 （　　）
A．秒 B．秒 C．秒 D．秒
8．若一次函数的图象与轴的交点坐标为，则抛物线的对称轴为 （　　）
A．直线 B．直线 C．直线 D．直线
9．已知二次函数的图象如图所示，对称轴为直线，有下列结论：；；；当时，随的增大而增大．其中正确的有 （　　）
A．个 B．个 C．个 D．个
10．如图，抛物线：与轴于点、点在点的左侧，与轴交于点将抛物线绕点旋转，得到新的抛物线，它的顶点为，与轴的另一个交点为若四边形为矩形，则，应满足的关系式为 （　　）
A． B． C． D．
二、填空题：本题共6小题，每小题3分，共18分。
11．在Rt△ABC中，∠C=90°，若sinA= ，则cosB=　 　．
12．抛物线的顶点坐标是　 　．
13．已知一条抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，且它的顶点坐标为，则这条抛物线的解析式为　 　．
14．若二次函数的图象与轴有两个交点，则的取值范围为　 　．
15．已知抛物线，经过，，，四点，则与的大小关系是　 　填“”、“”或“”．
16．如图，在中，，，于点，，则　 　．
三、解答题：本题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17．计算：．
18．如图，在中，，，，求的长．
19．如图，抛物线交轴于，两点，顶点是．
（1）求点，的坐标；
（2）若点在抛物线上，且，求点的坐标．
20．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE是BC边上的中线，∠C=45°，sin B= ，AD=1.
（1）求BC的长；
（2）求tan ∠DAE的值.
21．数学活动小组到某广场测量标志性建筑的高度．如图，他们在地面上点测得最高点的仰角为，再向前至点，又测得最高点的仰角为，点，，在同一直线上，则该建筑物的高度约为多少？精确到参考数据：，，，
22．如图所示，城关幼儿园为加强安全管理，决定将园内的滑板的倾斜角由降为，已知原滑板的长为米，点、、在同一水平地面上．
（1）求改善后滑板的长为多少米？
（2）若滑板的正前方能有米长的空地就能保证安全，原滑板的前方有米长的空地，像这样改造是否可行？请说明理由．
参考数据：，，，以上结果均保留到小数点后两位．
23．某企业设计了一款工艺品，每件的成本是元，为了合理定价，投放市场进行试销．据市场调查，销售单价是元时，每天的销售量是件，而销售单价每降低元，每天就可多售出件，但要求销售单价不得低于成本
（1）求每天的销售利润元与销售单价元之间的函数关系式；
（2）求出销售单价为多少元时，每天的销售利润最大？最大利润是多少？
24．在平面直角坐标系中，二次函数的图象与轴交于，两点，与轴交于点．
（1）求这个抛物线的函数解析式；
（2）求直线的函数解析式；
（3）点是直线上方的抛物线上一动点，是否存在点，使的面积最大？若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由．
25．如图，抛物线经过坐标原点O与点，正比例函数与抛物线交于点．
（1）求该抛物线的函数表达式；
（2）点P是第四象限抛物线上的一个动点，过点P作轴于点N，交于点M，是否存在点P，使得与以点N、A、P为顶点的三角形相似？若存在，请求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】解：cos∠A=＝，
∴AB=13，
∴BC=，
故答案为：B．
【分析】先根据cos∠A＝，求出AB，再利用勾股定理求出BC即可．
2．【答案】B
【知识点】锐角三角函数的定义；求特殊角的三角函数值
【解析】【解答】解：∵在△ABC中， ，则AB为斜边，，
∴∠A=45°，
故答案为：B．
【分析】求出∠A的三角函数值即可．
3．【答案】B
【知识点】二次函数图象的几何变换
【解析】【解答】解：解：将抛物线向左平移3个单位，再向下平移5个单位，
故答案为：B．
【分析】根据左加右减，上加下减的平移规律可得答案．
4．【答案】C
【知识点】锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵sinA＝ ，cosB ，
∴∠A＝45°，∠B＝60°，
∴∠C＝75°，
∴△ABC的形状是锐角三角形．
故答案为：C．
【分析】直接利用特殊角的三角函数值得∠A，∠B的度数，进而得出答案。
5．【答案】A
【知识点】二次函数图象与系数的关系；一次函数图象、性质与系数的关系
【解析】【解答】解：A选项，由抛物线可知，a＜0，b＜0，由直线可知，a＜0，b＜0，故本选项正确，
B选项，由抛物线可知a＜0，由直线可知a＞0，相矛盾，故本选项错误，
C选项，由抛物线可知，a＞0，b＜0，由直线可知，a＞0，b＞0，相矛盾，故本选项错误，
D选项，由抛物线可知，a＞0，b＞0，由直线可知，a＜0，b＞0，相矛盾，故本选项错误，
故答案为：A.
【分析】根据一次函数图象和二次函数图象性质，再根据每一选项中a、b的符号是否相符，逐一判断.
6．【答案】D
【知识点】二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：对于抛物线，抛物线开口向下，
A. 对称轴是直线，故该选项正确，不符合题意；
B. 顶点坐标是，故该选项正确，不符合题意；
C. 当时，随的增大而减小，故该选项正确，不符合题意；
D. 当时，函数y的最大值为，故该选项不正确，符合题意，
故答案为：D．
【分析】根据二次函数的性质逐项判断即可．
7．【答案】C
【知识点】二次函数的实际应用-抛球问题
【解析】【解答】解：h＝30t﹣5t2＝﹣5（t﹣3）2+45，
∵﹣5＜0，0≤t≤6，
∴当t＝3时，h有最大值，最大值为45，
∴小球运动3秒时，小球最高，
故答案为：C．
【分析】求出h有最大值时t的值即可．
8．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】∵一次函数y=ax+b（a≠0）的图象与x轴的交点坐标为（﹣2，0），
∴﹣2a+b=0，即b=2a．
∴抛物线y=ax2+bx的对称轴为直线，
故答案为：C．
【分析】把（-2，0）代入一次函数解析式求出b=2a，然后根据二次函数的对称轴公式计算即可．
9．【答案】C
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：根据题意得：当时，，故①错误；
∵对称轴为直线，抛物线开口向下，
∴，，
∴，
根据题意得：抛物线过点（-1，0），
∴当时，，
∴，故②正确；
∵抛物线与y轴于正半轴，
∴c>0，
∵，
∴，
∴，故③正确；
∵抛物线开口向下，且对称轴为直线，
∴当时，y随x的增大而增大，故④错误，
所以正确的有②③，共2个，
故答案为：C．
【分析】根据函数图象得时，，即，①错误；根据抛物线的对称轴和开口方向求出，再根据时，，可得，②正确；根据c>0，可得，③正确；根据函数图象可直接得出④错误．
10．【答案】B
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：令x＝0，得：y＝b．
∴C（0，b）．
令y＝0，得：ax2+b＝0，
∵，
∴x＝±，
∴A（﹣，0），B（，0），
∴AB＝2，BC＝，
要使平行四边形AC1A1C是矩形，必须满足AB＝BC，
∴，
∴，
∴ab＝﹣3，
∴a，b应满足关系式ab＝﹣3，
故答案为：B．
【分析】表示出AB和BC，根据矩形的判定可得AB=BC，进而可求出a、b满足的关系．
11．【答案】
【知识点】互余两角三角函数的关系
【解析】【解答】解：由∠C=90°，若sinA= ，
得cosB=sinA= ，
故答案为： ．
【分析】根据一个角的余弦等于它余角的正弦，可得答案．
12．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象
【解析】【解答】解：，
抛物线的顶点坐标是．
故答案为：．
【分析】将二次函数解析式化成顶点式即可得出答案．
13．【答案】
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数y=a（x-h）²+k的性质
【解析】【解答】解：∵抛物线的顶点坐标为，
∴抛物线解析式可设为，
∵抛物线的形状、开口方向均与抛物线相同，
∴，
∴所求抛物线的解析式为．
故答案为：．
【分析】先设顶点式，再根据形状、开口方向均与相同可得，然后可得答案．
14．【答案】
【知识点】二次函数图象与坐标轴的交点问题
【解析】【解答】解：根据题意得，，
解得：；
故答案为：．
【分析】根据抛物线与轴有两个交点，可得，即可求出的取值范围．
15．【答案】
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数y=ax²+bx+c的性质
【解析】【解答】解：由抛物线经过知抛物线对称轴为直线，
∵a＜0，
∴抛物线开口向下，
∴抛物线上的点离对称轴距离越小，对应函数值越大，
∵，
∴，
故答案为：＜．
【分析】根据抛物线的对称性求出对称轴，再根据抛物线开口向下，抛物线上的点离对称轴距离越小，对应函数值越大得出答案．
16．【答案】
【知识点】相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义
【解析】【解答】∵AB＝AC，BD＝CD，
∴AD⊥BC，
∴∠ADB＝90，
∵cosB＝，
设BD＝5x，AB＝13x，
∴AD＝＝12x，
∴BC＝2BD＝10x，
∵CE⊥AB，
∴∠BEC＝90，
∵∠B＝∠B，
∴△ABD∽△CBE，
∴，
∴，
∴BE＝x，CE＝x，
∴＝，
故答案为：．
【分析】根据等腰三角形的性质得到AD⊥BC，则cosB＝，设BD＝5x，AB＝13x，利用勾股定理求出AD＝12x，证明△ABD∽△CBE，根据相似三角形的性质求出BE＝x，CE＝x，进而计算即可．
17．【答案】解：
．
【知识点】求特殊角的三角函数值
【解析】【分析】先代入特殊角三角函数值，再利用二次根式的运算法则计算即可．
18．【答案】解：如图所示，过点作于，
在中，，，，
，
在中，，，
，
，
．
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】过点C作于D，解求出，再解求出，然后利用勾股定理计算即可．
19．【答案】（1）解：设，则，
，
设，则，
，；
（2）解：，
即，
点的纵坐标为，
当时，代入抛物线有：，得：．
当时，代入抛物线有：，得：．
所以点的坐标为：，，，．
【知识点】二次函数y=ax²+bx+c的图象；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）把代入可得C的坐标，把代入可得A，B的坐标；
（2）求出，设，根据列方程求出x即可．
20．【答案】（1）解：在△ABC中，∵AD是BC边上的高，
∴∠ADB=∠ADC=90°.在△ADC中，∵∠ADC=90°，∠C=45°，AD=1，∴DC=AD=1.在△ADB中，∵∠ADB=90°，sin B= ，AD=1，∴AB= =3，∴BD= =2 ，
∴BC=BD+DC=2 +1.
（2）解：∵AE是BC边上的中线，∴CE= BC= + ，∴DE=CE-CD= - ，
∴tan ∠DAE= = - .
【知识点】解直角三角形
【解析】【分析】（1）在Rt△ADC中，由∠C=45°，AD=1，可得DC=AD=1.在Rt△ADB中，由sin B= ，AD=1，可求得AB，再由勾股定理可得BD，从而BC=BD+DC；
（2）在Rt△ADE中，tan∠DAE=，而AD=1，DE=CE-CD=BC-CD，代入BC和CD的值即可求出DE，从而得到tan∠DAE。
21．【答案】解：在中，，
∴，
在中，，，
∴，
解得：m
答：该建筑物的高度约为．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣仰角俯角问题
【解析】【分析】在中，解直角三角形求出，再在中，解直角三角形求出即可．
22．【答案】（1）解：在中，，，
∴，
，
在中，，
∴（米），
∴改善后滑板的长为米；
（2）解：这样改造能行，
理由：在中，，，
∴，
∴，
∵，
∴这样改造是可行的．
【知识点】解直角三角形的实际应用﹣坡度坡角问题
【解析】【分析】（1）在中，解直角三角形求出，然后在中，解直角三角形求出即可；
（2）解直角三角形求出的长，即可计算出的长，进而可求出改造后滑板前方的空地长，然后可得答案．
23．【答案】（1）解：
所以；
（2）解：
，
抛物线开口向下．
，对称轴是直线，
当时，；
即销售单价为元时，每天的销售利润最大，最大利润是元．
【知识点】二次函数的实际应用-销售问题
【解析】【分析】（1）根据利润=(售价-成本)×销售量，列出函数关系式即可；
(2)把(1)中的二次函数解析式化为顶点式，利用二次函数的性质可得答案．
24．【答案】（1）解：将点，代入中，
，
解得．
；
（2）解：令，则，
，
设直线的解析式为，
，
解得，
直线的函数解析式为；
（3）解：存在点，使的面积最大，
如图，过点作轴交于点，
设，则，
，
，
点是直线上方，
，
当时，有最大值，
此时
【知识点】待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）利用待定系数法求解即可；
（2）求出C点坐标，利用待定系数法求解即可；
（3）过点作轴交于点，设，则，然后求出△ACP的面积关于ｔ的二次函数表达式，利用二次函数的性质求出最值即可．
25．【答案】（1）解：将，代入中得：
，
解得：，
即抛物线的解析式为：；
（2）解：存在，①如图1，过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时，
将代入得：k=，
∵lOB，
∴设直线l解析式为：，
将代入得：，，
∴直线l解析式为：，
则：，
解得：x=或x=3（舍去），
将x=代入，得y=，
即P点坐标为；
②如图2，当∠OMN=∠PAN，时，
∴，
设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，
∵M横坐标为t，
∴M纵坐标为：，即MN=
∴，
解得：t=2，
检验：当t=2时，，，
故t=2是该分式方程的根，
将x=2代入，得y=-2，
∴P点坐标为：，
综上所述，P点坐标为或．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定；二次函数与一次函数的综合应用；二次函数的实际应用-几何问题
【解析】【分析】（1）将点A，B的坐标代入函数解析式，可得到关于a，b的方程组，解方程组求出a，b的值，可得到抛物线的解析式.
（2）过A点作直线lOB，与抛物线交于点P时，此时△OMN∽△APN，利用待定系数法求出直线OB的函数解析式，利用l∥OB，设直线l解析式为：，将点A的坐标代入函数解析式，可求出m的值，可得到直线l的函数解析式，将其函数解析式和抛物线联立方程组，解方程组求出方程组的解，即可得到点P的坐标；②如图2，当∠OMN=∠PAN，此时△OMN∽△PAN，利用相似三角形的对应边成比例可得到，利用抛物线的解析式设P点坐标为，则ON=t，AN=3-t，PN=，同时可表示出MN的长，即可得到关于t的方程，解方程求出t的值，然后求出点P的坐标；综上所述可得到点P的坐标.
1 / 1

展开更多......

收起↑